Tugas Pak Furqan Fix [PDF]

Citation preview

b.



∑𝑛=2



1 𝑛 𝐼𝑛2 𝑛



1



Ambil 𝑓(𝑥) =



𝑥 𝐼𝑛2 𝑥



Untuk 𝑥 > 2, pada selang [2, ~), karena : ~



~



∫ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 1



1



1 𝑑𝑥 𝑥 𝐼𝑛2 𝑥



= lim ∫



𝑐 (𝐼𝑛 1 𝑑 𝑥) −1 𝑐 𝑑𝑥 = lim ∫ = lim | | 𝑐→~ 1 𝑐→~ 𝐼𝑛 𝑥 2 𝑥𝐼𝑛2 𝑥 𝐼𝑛2 𝑥



= lim



1 1 ( − ) =.2 log 𝑐 𝐼𝑛 2 𝐼𝑛 𝑐



𝑐 𝑐→~ 1



𝑐→~



1



Jadi deret ∑~ 𝑛=2 𝑛 𝐼𝑛2 𝑛 konvergen E. Deret Tak Hingga Dengan Suku Suku Positif Dan Negatif (Deret Ganti Tanda) Deret Ganti Tanda dinamakan juga deret berayun ( Alternating Series ). Deret berayun dapat di definisikan sebagai berikut : Definisi 3 : Misalkan 𝑈𝑐 > 0 ∀𝑛 𝜖𝐴. Deret yang berbentuk ~



∑(−1)𝑛 𝑈𝑛 = −𝑈1 + 𝑈2 − 𝑈3 + 𝑈4 − 𝑈5 + ⋯ 𝑛=1



atau ~



∑(−1)𝑛+1 𝑈𝑛 = −𝑈1 − 𝑈2 + 𝑈3 − 𝑈4 + ⋯ 𝑛=1



Dinamakan deret berayun (Alternating Series)



Selanjutnya konvergen absolut (mutlak) dan konvergen bersyarat dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi 4 : Sebuah deret ∑~ 𝑛=1 𝑈𝑛 dengan suku – suku berayun disebut konvergen mutlak jika deret ∑~ 𝑛=1|𝑈𝑛 | konvergen. Dan disebut konvergen bersyarat jika ~ deret ∑𝑛=1|𝑈𝑛 | divergen.



Teorema 19: 𝑛+1 Sebuah deret berayun ∑~ 𝑈𝑛 dengan 𝑈𝑛 > 0 konvergen jika 𝑛=1(−1) dipenuhi :



(i) Suku – sukunapositif yang monoton turun atau 𝑈𝑛+1 ≤ 𝑈𝑛 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (ii) lim 𝑈𝑛 = 0 𝑛→−



Teorema 20. (Penukaran Tempat) : Suku – suku deret konvergen mutlak dapat diatur kembali tanpa mempengaruhi pada kekonvergenan deretnya.



Untuk pengujian deret kekonvergenan mutlak dapat diuji dengan teorema 21 berikut ini. Teorema 21 (Uji Perbndingan): Jika ∑𝑛=1 𝑈𝑛 adalah deret dengan suku – suku tak nol dan lim | 𝑛→~



𝑈𝑛+1 | 𝑈𝑛



= 𝐿 maka



deret konvergen mutlak bila 0 ≤ 𝐿 < 1 dan divergen bila 𝐿 > 1. Dalam kasus 𝐿 = 1 Uji perbandingan gagal.



Teorema 22 (Uji Akar): 𝑛



Jika ∑𝑛=1 𝑈𝑛 adalah deret dengan suku – suku tak nol dan lim √|𝑈𝑛 | = 𝐿 𝑛→~



maka deret konvergen mutlak bila 0 ≤ 𝐿 < 1 dan divergen bila 𝐿 > 1. Dalam kasus 𝐿 = 1 Uji akar gagal.



Contoh 13 Selidiki ke konvergenan deret. a. ∑𝑛=1(−1)𝑛+1



1 𝑛



b. ∑𝑛=1(−1)𝑛 (



𝑛+1 𝑛 2𝑛



)



Jawab a. Deret ganti tanda ∑𝑛=1(−1)𝑛+1



1 𝑛



adalah konvergen sebab memenuhi 1



teorema 19, namun deret nilai mutlaknya ∑𝑛=1 𝑛 divergen. Jadi deret ∑𝑛=1(−1)𝑛+1 bersyarat.



1 𝑛



= 1−



1 2



+



1 3



−



1 4



+⋯



merupakan



deret



konvergen



b. Deret ∑𝑛=1(−1)𝑛 (



𝑛+1 𝑛 2𝑛



9



)



8



dinyatakan dalam bentuk ∑𝑛=1 𝑈𝑛 , maka : 625



∑𝑛=1 𝑈𝑛 = −1 + − + − ⋯ + (−1)𝑛 ( 16 27 4096



2𝑛



)



𝑛



lim √|𝑈𝑛 | = lim



berayun. Dengan uji akar yaitu



merupakan deret



𝑛+1



𝑛→~ 2𝑛



𝑛→~



deret ini konvergen. Karena ∑𝑛=1 𝑈𝑛 = ∑𝑛=1 ( sehingga deret ∑𝑛=1(−1)𝑛 (



𝑛+1 𝑛



𝑛+1 𝑛 2𝑛



)



1



= 2 < 1 , maka juga konvergen,



𝑛+1 𝑛 2𝑛



) ..... konvergen absolut (mutlak).



Contoh 14 Selidiki kekonvergenandari deret berikut : a. ∑𝑛=1(−1)𝑛+1



𝑛2



b. ∑𝑛=1



𝑛4 +2



1 6



sin (2𝑛−1)𝑛 𝑛 √𝑛



Jawab 𝑛2



a. Periksa dulu deret suku-suku positif dari ∑𝑛=1 𝑛4 +2 = 𝑈𝑛 𝑈𝑛 =



𝑛2



𝑛2



𝑛4 +2



1



1



< 𝑛4 = 𝑛2 . Deret ∑𝑛=1 𝑛2 konvergen, karena merupakan deret



hiperharmonis dengan𝑝 = 2 > 1 (lihat teorema 17). Jadi sesuai teorema 𝑛2



14, maka deret ∑𝑛=1 𝑛4 +2 ∑𝑛=1(−1)𝑛+1



𝑛2 𝑛4 +2



konvergen pula. Karena itu deret



konvergen mutlak (absolut).



b. Kita tulis deret itu dalam bentuk ∑𝑛=1 𝑈𝑛 , maka : 1



1



1



1



1



1



∑𝑛=1 𝑈𝑛 = + + 6√3 − 16 − 5√5 − 12√6 + ⋯ terdiri dari suku – suku 2 2√2 positif dan negatif. Periksa kekonvergenan deret ∑𝑛=1|𝑈𝑛 | yaitu deret : ∑𝑛=1 ∑𝑛=1



1 6



|sin (2𝑛−1)𝜋| 𝑛 √𝑛 1 𝑛 √𝑛



Karena



1 6



|sin (2𝑛−1)𝜋| 𝑛 √𝑛



≤



1 𝑛 √𝑛



∀𝑛 ∈ 𝐴 dengan deret



konvergen (Uji Integral) maka deret ∑𝑛=1



konvergen. Akibatnya deret ∑𝑛=1



1 6



|sin (2𝑛−1)𝜋| 𝑛 √𝑛



1 6



|sin (2𝑛−1)𝜋| 𝑛 √𝑛



juga



konvergen mutlak (abolut).



Contoh 15 (Teorema 20) 1



1



Deret geometri ∑𝑛=1(−1)𝑛+1 2𝑛−1 konvergen mutlak karena ∑𝑛=1 2𝑛−1 yang merupakan deret nilai mutlaknya juga konvergen. Deret geometri ini konvergen karena :



1



1



1



1



1



∑𝑛=1(−1)𝑛+1 𝑛−1 = 1 − + − + − ⋯ = 2 2 4 8 16



1



1



1 2



1−(− )



2



= 32 = 3



Sesuai teorema 20 bahwa deret ganti tanda tersebut diatur kembali suku – suku deretnya dengan mengubahnya sebagai dua deret yaitu : 1



1



1



1



1



1



∑𝑛=1(−1)𝑛+1 𝑛−1 = (1 + + + ⋯ ) − ( + + + ⋯ ) 2 4 16 2 8 32 ∑𝑛=1(−1)𝑛+1



1 2𝑛−1



=



1 1−



1 4



−



1 2



1−



4



1 4



2



2



= 3−3=3



Jadi jelas bahwa meskipun dilakukan penukaran tempat namun deret itu tetap konvergen. LATIHAN BAB I A. Barisan Tak Terhingga 1. Selidiki kemonotonan dan keterbatasan dari setiap barisan berikut : a. 𝑈𝑛 = 3𝑛2 − 6𝑛



sin 𝑛𝜋



d. 𝑈𝑛 =



𝑛



2



b. 𝑈𝑛 = 𝑛 + 𝑛



𝑛!



e. 𝑈𝑛 = 2𝑛𝑛



3𝑛−1



c. 𝑈𝑛 = 4𝑛+2



3𝑛



f. 𝑈𝑛 = 1+3𝑛



2. Ujilah konvergensi



setiap



deret



geometri



berikut



ini. Jika deret



konvergen, carilah jumlahnya! 1



1



1



a.



1+2+4+8+⋯



b.



4 − 1 + 4 − 16 + ⋯



1



c.



3



9



1+2+4+



27 8



+⋯



1



3. Carilah jumlah setiap deret berikut : 1



𝑛!



a. ∑ 𝑛(𝑛+4)



c. ∑ (𝑛+1)!



2𝑛+1



1



b. ∑ 3𝑛−2



d. ∑ (4𝑛+3)(4𝑛−1)



B. Kekonvergenan Suatu Barisan 4. Selidiki kekonvergenan dari setiap barisan berikut : 𝑛!



a. 𝑈𝑛 = 𝑛(𝑛+4) 1+2.10𝑛



b. 𝑈𝑛 = 2+3.10𝑛



e. 𝑈𝑛 = f. 𝑈𝑛 =



cos 𝑛𝜋 1



𝑛 √𝑛



2𝑛+1



i. 𝑈𝑛 = √3𝑛−2



𝑛2 𝑛!



j. 𝑈𝑛 =



c. 𝑈𝑛 =



(−1)𝑛 +2𝑛



1



g. 𝑈𝑛 = 1+



𝑛2



𝑛3 +𝑛2



√𝑛



𝜋



3𝑛2 +2𝑛−1



sin 𝑛



2𝑛+1



1



h. 𝑈𝑛 = √𝑛4



d. 𝑈𝑛 = 2𝑛+1 −1



+1



C. Deret Tak Hingga Dan Kekonvergenannya 5. Selidiki kekonvergenan dari setiap deret berikut ini : 𝑛



e. ∑𝑛=1



a. ∑𝑛=1 2𝑛+3 b. ∑𝑛=1 c.



(−1)𝑛+1



6



i. ∑𝑛=1 𝑛−4



3



𝑛 √𝑛



f. ∑𝑛=1 𝑒 −𝑛 𝐼𝑛 𝑛



3𝑛



𝑛



j. ∑𝑛=1 2𝑛.3𝑛



1



g. ∑𝑛=1 (1 + 𝑛2 )



𝐼𝑛 𝑛 ∑𝑛=2 (2𝑛)!



d. ∑𝑛=1



cos 𝑛𝜋



3𝑛+1



h. ∑𝑛=1 5𝑛−1



2𝑛 −𝑛2 2𝑛+1



6. Buktikan deret-deret berikut : 𝑛



a. lim ∑𝑛𝑘=1 𝑛2 +𝑘 2 = 𝑛→~



𝜋 4



𝑛



b. ∑𝑛=1 𝑛2 +3𝑛+2 konvergen ke



1 2



7. Sebuah bola dijatuhkan tegak lurus pada sebuah tabung tegak dari ketinggian 1 meter. Pada setiap saat bola memantul dari bidang, ketinggiannya selalu 2/3 dari semula. Tentukan jarak total dari lintasan bola itu. D. Uji Kekonvergenan Deret Positif 8. Dengan menggunakan salah satu tes konvergensi yang ada pada teorema 14 sampai dengan 18, selidiki kekonvergenan deret – deret berikut. 𝑛



a. ∑𝑛=1 𝑛2 +1 b. ∑𝑛=1



𝑛2 +3𝑛 3𝑛+1 𝑛3



c. ∑𝑛=2 (2𝑛)! d. ∑𝑛=1



2𝑛 +𝑛 𝑛!



𝑛+1



e. ∑𝑛=1 𝑛√3𝑛−2 𝑛+3



f. ∑𝑛=1 𝑛2 g. ∑𝑛=1



√𝑛



𝐼𝑛 √𝑛 𝑛2



𝑛!



i. ∑𝑛=1 𝑛100 j. ∑𝑛=1



4+cos 𝑛 𝜋 𝑛3 1



1 𝑛



k. ∑𝑛=1 (2 + 𝑛)



2𝑛+1



h. ∑𝑛=1 (3𝑛+4)



E. Deret Ganti Tanda 9. Selidiki apakah deret – deret berikut konvergen mutllak, konvergen bersyarat atau divergen!



𝑛+1



a. ∑𝑛=1(−1)𝑛



𝑛2 1



b. ∑𝑛=1(−1)𝑛+1 c. ∑𝑛=1(−1)𝑛



𝑛.3𝑛



𝑛𝑛 𝑛!3𝑛 1



d. ∑𝑛=1(−1)𝑛+1



𝑛 𝐼𝑛2 𝑛 𝑛2



e. ∑𝑛=1(−1)𝑛+1 f. ∑𝑛=1(−1)𝑛 g. ∑𝑛=1



1 𝑛 √𝑛



𝜋 2 𝑛2



sin( )𝑛



h. ∑𝑛=1(−1)𝑛 i. ∑𝑛=1



𝑒𝑛



√𝑛 𝑛(√𝑛+1)



(−1)𝑛+1 √𝑛+1+√𝑛 1.3.5…….(2𝑛−1)



j. ∑𝑛=1 1.4.7…….(3𝑛−2)



BAB II DERET PANGKAT A. Pengertian Deret Pangkat Dan Selang Kekonvergenan Deret Pangkat Suatu deret yang suku – sukunya memuat variabel disebut deret pangkat. Deret pangkat dinamakan juga deret Kuasa. Deret geometri dengan suku awal I dan rasio x adalah : ∑𝑛=0 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ , |𝑥| < 1



deret ini konvergen ke



1 1−𝑥



Generalisasi dari deret ini , disini akan kita definisikan deret pangkat dimana koefisien dari setiap sukunya tidak tetap sebagai berikut. Defenisi 1 Deret ∑𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ dinamakan deret pangkat dalam x yang berpusat di O dan konvergen untuk 𝑥 = 0. (ii) Deret ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑐) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑐)2 + ⋯ dinamakan deret pangkat dalam (𝑥 − 𝑐) yang berpusat di c dan konvergen untuk (𝑥 = 𝑐) (i)



Untuk setiap harga x pada defenisi diatas kan menjadi deret tak hingga dari suku-suku konstan yang mungki n konvergen atau divergen. Daerah harga – harga x yang memberikan konvergensi pada deret pangkat disebut “selang konvergensi”. Untuk menentukan selang – selang konvergensi ini dapat digunakan tes banding atau tes akar yang selanjutnya juga masih harus diselidiki konvergensinya pada ujung – ujung interval. Contoh 1 Tentukan interval konvergnsi dari deret berikut. a. ∑𝑛=1(−1)𝑛−1 b. ∑𝑛=0 𝑛! 𝑥



1



𝑥𝑛 𝑛



c. ∑𝑛=0



(𝑥−3)𝑛 𝑛 3𝑛



𝑛



Jawab a.



1



𝑈𝑛 = (−1)𝑛−1 𝑛 𝑥 𝑛



Misalkan 𝑥 𝑛+1 𝑛



lim | 𝑛+1



𝑛→~



𝑥𝑛



𝑛



| = lim |𝑥| lim 𝑛+1 |𝑥|. 1 = |𝑥|. 𝑛→~



𝑛→~



|𝑥| < 1 atau −1 < 𝑥 < 1.



𝑈𝑛+1



Dengan tes banding lim | 𝑛→



𝑈𝑛



|=



Deret konvergen absolut jika



1



1



1



Untuk x=1 deret menjadi 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1



1



Suatu dere konvergen bersyarat untuk x=-1 , deret menjadi − (1 − 2 + 3 − 1 4



+ ⋯ ) suatu deret yang divergen.sehingga deret diatas konvergen dalam selang



−1 < 𝑥 < 1 dan divergen pada selang 𝑥 ≤ −1 atau 𝑥 > 1. b.



Misalkan 𝑈𝑛 = 𝑛! 𝑥 𝑛 . Dengan tes banding : 𝑈𝑛+1



lim |



𝑛→~



𝑈𝑛



(𝑛+1)!𝑥 𝑛+1



| = lim |



𝑛! 𝑥 𝑛



𝑛→~



={



| = lim |(𝑛 + 1)𝑥| 𝑛→~



0, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑥 = 0 𝑥~, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑥 ≠ 0



Jadi deret ini konvergen hanya untuk x=0 dan divergen untuk x lainnya. c.



(𝑥−3)𝑛



Misalkan 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛+1



lim |



𝑛→~



𝑈𝑛



𝑛.3𝑛



. dengan tes banding



(𝑥−3)𝑛+1



| = lim |(𝑛+1)3𝑛+1 𝑛→~



𝑛.3𝑛



𝑥−3



(𝑥−3)𝑛



|=|



3



𝑛



𝑥−3



| lim 𝑛+1 = | 𝑛→~



3



|



𝑥−3



Deret akan konvergen apabila | atau 0 0 Sehingga : |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 apabila 0 < √(𝑥. 𝑥𝑛 )2 + (𝑦 − 𝑦𝑛 )2 < 𝛿



Atau jika 𝑓(𝑥, 𝑦) → 𝐿 apabila (𝑥, 𝑦) → (𝑥0 , 𝑦0 ). Atau apabila harga mutlak selisih antara 𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝐿 dapat dibuat kecil sekehendak kita dengan mengambil (x,y) cukup dekat ke (𝑥0 , 𝑦0 ) tetapi tidak sama dengan (𝑥0 , 𝑦0 ). Secara geomeri, definisi diatas terlihat pada gambar – 7 yang menunjukkan sebagian permukaan di atas cakaram buka 𝑃((𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ∶ 𝑟) dengan persamaan 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦).



Tampak pada gambar bahwa nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿. Pada sumbu Z dibatasi oleh 𝐿 − 𝜀 dan 𝐿 + 𝜀 apabila (𝑥0 , 𝑦0 ) diambil pada cakram buka ((𝑥0 , 𝑦0 ): 𝛿) dibidang XOY.