UNIT 05 Oke [PDF]

Citation preview

Unit 5 Strategi Pemecahan Masalah Heuristik II (Membuat Suatu Dugaan Yang Diperhitungkan) Sri Harmini



PENDAHULUAN Uni t 5 dari bahan ajar cetak ini merupakan kelanjutan dari konsep-konsep yang telah dikaji dari unit-unit terdahulu. Dalam unit ini akan dibahas mengenai beberapa strategi dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika. Seperti pada unit sebelumnya kita telah mempelajari hakikat dan proses pemecahan masalah matematika yang meliputi memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Pada unit ini akan dibahas mengenai strategi dalam pemecahan masalah heuristik II yaitu menduga dan menguji, membuat pola, menggunakan perumpamaan/pemisalan beserta contoh-contohnya dan pemecahan masalahnya. Kompetensi yang harus dikuasai setelah mempelajari unit ini, Sdr harus mampu menerapkan strategi pemecahan masalah matematika yang terkait dengan strategi menduga dan menguji, membuat pola, menggunakan perumpamaan/pemisalan, serta mampu menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Dengan demikian setelah mempelajari materi ini, diharapkan mahasiswa mampu: 1). Mengidentifikasi masalah yang harus dipecahkan; 2). Memecahkan masalah dengan cara menduga dan menguji jawaban; 3). Menentukan pola dari suatu masalah; 4). Memecahkan masalah dengan cara menggunakan pola dari masalah; 5). Menuliskan kalimat matematika/persamaan dari suatu masalah yang diketahui; 6). Memecahkan masalah dengan cara menggunakan perumpamaan/pemisalan atau penyelesaian persamaan; Unit ini dilengkapi dengan latihan-latihan, agar Sdr dapat semakin memahami konsep yang dipaparkan. Pelajari unit ini dengan tuntas, kemudian untuk mengetahui 5- 1



tingkat penguasaaan Sdr. terhadap materi ini, kerjakan tes formatifnya. Untuk membandingkan hasil penguasaan Sdr. terhadap materi ini, dapat Sdr. bandingkan dengan kunci jawaban tes formatif yang berada di bagian akhir unit. Dari hasil perbandingan tersebut, Sdr. bisa mengetahui kemampuan Sdr. sudah memenuhi standart yang dipersyaratkan atau belum. Jika penguasaan Sdr. belum memenuhi standar yang dipersyaratkan, coba pelajari ulang, terutama pada konsep-konsep yang belum Sdr. pahami dengan benar. Jika Sdr mengalami kesulitan, jangan segan-segan bertanya pada dosen atau rekan Sdr. yang lebih mampu. Manfaatkan sumber belajar lain yang mendukung, misalnya bahan ajar berbasis web yang telah disediakan.



Selamat belajar, semoga berhasil dengan sukses.



SubUnit 1 Dugaan dan Pengujian



Subunit 1 dari unit 5 akan membahas tentang strategi pemecahan masalah dengan cara menduga dan menguji jawaban disertai contoh. Strategi pemecahan masalah dengan cara menduga dan menguji merupakan salah satu dari strategi pemecahan masalah matematika yang efektif dengan cara menerka dan menguji jawaban dan proses pemecahan masalah matematika.



5- 2



Seperti pada strategi pemecahan masalah yang terdahulu, langkah pemecahan masalah matematika diawali dengan memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Dari keempat langkah pemecahan masalah tersebut, untuk menerapkan strategi ini Saudara harus lebih dahulu benar-benar memahami masalahnya. Kemudian menuliskan apa yang diketahui dan apa yang harus dicari dari masalah tersebut. Selanjutnya Saudara harus menduga jawaban dari masalah dan menguji jawaban tersebut sudah memenuhi syarat-syarat yang ditentukan atau belum. Jika dari jawaban yang Saudara duga, ada satu atau lebih syarat yang tidak terpenuhi, maka jawaban tersebut salah. Perhatikan contoh berikut: 1. Bermain Kartu Bilangan. Dari sekumpulan bilangan 1 sampai 20, Tuti mengambil tiga bilangan berurutan. Jumlah tiga bilangan tersebut 1/5 dari hasil kali ketiganya. Bilangan mana sajakah yang diambil oleh Tuti tersebut? Penyelesaian masalah ini dilakukan dengan menduga dan menguji.Sebelum menduga dan menguji, dilakukan pemahaman masalah lebih dahulu, yaitu bilangan yang tersedia dari 1 sampai 20. Sedangkan jumlah bilangan tersebut 1/5 hasil kali ketiga bilangan, dan bilangan tersebut berurutan. Yang harus dicari adalah ketiga bilangan tersebut. Untuk melakukan dugaan dilakukan beberapa cara: Dugaan pertama dengan menggunakan bilangan 8, 9, dan 10. 8 + 9 + 10 = 27 8 x 9 x 10 = 720 Perbandingannya : 27/720 = 3/80; (3/80 < 1/5) Dugaan kedua dengan menggunakan bilangan 11, 12, 13, 11 + 12 + 13 = 36 11 x 12 x 13 = 1716 Perbandingannya: 36/1716 = 3/143; ( 3/143 < 1/5) Dugaan ketiga dengan menggunakan bilangan 3, 4, 5. 3 + 4 + 5 = 12 3 x 4 x 5 = 60 Perbandingannya: 12/60 = 1/5



5- 3



Dari hasil dugaan tersebut yang paling sesuai dengan permasalahan adalah 3 bilangan, Yakni 3, 4, dan 5. Jumlah ketiga bilangan tersebut = 12 dan hasil kalinya = 60, sehingga perbandingannya = 1/5.



2. Bermain angka Diberikan sebuah segitiga yang pada ketiga sudut dan tengah sisinya terdapat lingkaran, seperti terlihat pada gambar. Bagaimanakah cara menempatkan angkaangka 1 sampai 6 pada lingkaran-lingkaran seperti pada gambar berikut, sehingga jumlah bilangan pada setiap sisi segitiga sama dan tidak ada angka yang berulang?



Guna memecahkan masalah ini, Sdr. harus memahami masalahnya dengan memahami apa yang diketahui yaitu adanya angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 serta jumlah bilangan pada setiap sisi segitiga harus sama dan tidak boleh ada angka yang terulang. Agar Sdr. dapat menduga jawabannya, dapat dilakukan proses terkaan sebagai berikut: Dugaan pertama: dengan menempatkan bilangan 8, 9, dan 10, sehingga kombinasi angka-angka yang diletakkan dalam lingkaran: 1, 5, 2 ; 2, 4, 3; 1, 6, 3. Angka-angka yang besar 4, 5, 6 hanya terletak pada kombinasi saja. Untuk memperoleh ketepatan hasil dilakukan pengujian sebagai berikut: 1 + 5 + 2 = 8; 2 + 4 + 3 = 9; 1 + 6 + 3 + 10 Hal ini tidak benar, karena tidak memenuhi syarat kedua. 5- 4



Dugaan kedua: dengan menempatkan bilangan 1 sebagai langkah awal menempatkan bilangan pada sisi tegak segitiga.. Bilangan 2 dan 3, serta 5 dan 6 ditukar tempat. Sehingga menghasilkan dugaan sebagai berikut: 1, 5, 3; 1, 6, 2; 3, 4, 2. Bilangan 4, 5, 6 tetap sebagai kombinasi. Untuk memperoleh ketepatan hasil dilakukan pengujian sebagai berikut: 1 + 5 + 3 = 9; 1 + 6 + 2 = 9; 3 + 4 + 2 = 9. Hal ini benar, karena memenuhi syarat kedua. Dari hasil dugaan tersebut yang paling sesuai dengan permasalahan adalah dugaan kedua, yaitu dengan mengawali penempatan bilangan 1 pada sudut puncak segitiga. Sesuai dengan persyaratan yang harus dipenuhi, sehingga menghasilkan jumlah ketiga bilangan pada setiap sisi segitiga harus sama, 3. Menghitung bilangan yang belum diketahui dalam segitiga Diberikan tiga buah segitiga A, B, dan C yang masing-masing menunjukkan pecahan 2/5 dan 3/4, seperti tampak dalam gambar di bawah ini.



A



B



2/5



? 3/4



C



?



?



Untuk menyelesaikan masalah di atas Sdr. dapat menggunakan strategi terka dan uji dengan cara sebagai berikut: pertama memahami masalah dengan mengamati apa yang diketahui pada gambar A dan B, kemudian memahami apa yang ditanyakan pada gambar C. Selanjutnya dilakukan dugaan dengan melihat proses pengerjaan secara langsung dengan membandingkan antara nilai bilangan pada gambar A dan B, yaitu: ¾ - 2/5 = 7/20. Agar diperoleh jawaban yang tepat, maka dilakukan pengujian dengan cara berikut: Mencari bilangan yang belum diketahui pada gambar A, yaitu: 1 – 2/5 = 3/5; 5- 5



Mencari bilangan yang diketahui pada gambar B, yaitu: 1 – ¾ = ¼, Membandingkan antara nilai bilangan hasil dari A dan B untuk mencari jawab C, yaitu 3/5 – ¼ = 7/20. Dari hasil terkaan dan pengujian dapat diperoleh ketepatan hasil yaitu selisih kedua daerah yang belum diketahui nilainya, yaitu: 7/20.







Latihan :



1. Tiga orang anak menebak banyaknya permen yang terdapat dalam plastik. Mereka menebak 20, 23, dan 21. Anak pertama tebakannya keliru 1 angka, anak kedua keliru 3 angka, dan anak ketiga jawabannya tepat. Berapa banyak permen tersebut? 2. Tempatkan sebuah tanda kurung pada bagian sebelah kiri agar persamaan berikut bernilai benar. 50 – 30 - 6 : 3 x 5 + 2 = 6 3. Susunlah bilangan bulat dari 1 sampai 15 dalam satu baris sehingga jumlah dari dua bilangan yang berdampingan adalah prima. Sebagai contoh 3, 2, 1, 4 untuk bilangan bulat 1 sampai 4, maka 3 + 2 = 5, 2 + 1 = 3, 1 + 4 = 5.







Petunjuk Jawaban Latihan :



a. Anda cermati kembali teori tentang proses pemecahan masalah ada 4 (empat) tahap, yaitu memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Berdasarkan bekal tersebut, Saudara dapat memahami keterkaitan tahap yang satu dengan tahap yang lain. b. Untuk menyelesaikan permasalahan yang terdapat pada latihan, Saudara dapat melakukan dugaan pada masalah yang harus diselesaikan, dari hasil dugaan kemudian dilakukan pengujian tentang kebenaran hasil pemecahan masalah. Jika hasil dugaan sama dengan hasil pengujian, maka Saudara dapat 5- 6



menggunakan melakukan dugaan tersebut dijadikan jawaban dari permasalahan yang harus diselesaikan. Dengan demikian hasil dugaan yang telah dilakukan pengujian merupakan hipotesis jawaban. Dan akhirnya hasil dugaan yang telah teruji tersebut digunakan untuk menyelesaikan masalah. c. Untuk menyelesaikan soal latihan, perhatikan cara-cara berikut:



 Anak pertama keliru 1 angka, berarti aanak pertama menyebut 21; Anak kedua keliru 3 angka, berarti anak kedua menyebut 23; Anak ketiga menjawab tepat, berarti anak ketiga menyebut 20. Dilakukan pengujian sbb.: 21 – 1 = 20; 23 – 3 = 20; dan 20. Jadi permen yang ada dalam plastik sebanyak 20 permen.



 50 – 30 – 6 : 3 x 5 + 2 = 6, disini dilakukan dugaan sbb.: a)



(50 – 30) –{ (6 : 3) x (5 + 2)} 20 – {2 x 7}



=6



20 – 14



=6



=6



Benar



Kita uji dengan cara sbb.: b)



c)



d)



50 – ([{(30 – 6) : 3} x 5] + 2) 50 – ([{ 24:3} x 5]+ 2)



=6



50 – ([ 8 x 5] + 2)



=6



50 – (40 + 2)



= 6



50 – 42



= 6



(50 – 30 – 6) : {3 x (5 + 2)} 24 : { 3 x 7 }



=6



24 : 21



=6



(50 – 30) – [{(6 : 3) x 5} + 2] 20 – [{ 2 x 5} + 2]



=6



? Salah



=6



? Salah



=6



=6



5- 7



20 – [10 + 2 ]



=6



20 – 12



=6







? Salah



15, 2, 3, 4, 7, 6, 13, 10, 1, 12, 11, 8, 9, 14, 5.



{15,2},{ 3,4}, {7, 6}, {13,10},{1,12}, {11, 8},{ 9, 14},{ 5}, Kita uji: 15 + 2 = 17; 2 + 3 = 5; 3 + 4 = 7; 4+7 =11; 7 + 6 = 13; 6 + 13 = 19; 13 + 10 = 23; 10 + 1 = 11; 1 + 12 = 13; 12 + 5 = 17; 5 + 8 = 13; 8 + 9 = 17; 9 + 14 = 23;



d. Pendapat atau hasil pekerjaan Saudara dapat saja berbeda-beda. Saudara dapat menerima atau menolak pendapat tersebut dengan memberikan sejumlah argumentasi. Untuk memudahkan Saudara mengemukakan pendapat, sebaiknya terlebih dahulu Saudara kaji kembali teori proses pemecahan masalah yang terdahulu kemudian kaitkan dengan materi ini dan materi yang ada pada mata pelajaran matematika di Sekolah Dasar.



Strategi pemecahan masalah matematika heuristik II yang pertama dengan cara melakukan dugaan dan pengujian. Seperti pada strategi pemecahan masalah yang terdahulu, langkah pemecahan masalah matematika diawali dengan Rangkuman memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Dari keempat langkah pemecahan masalah tersebut, untuk menerapkan strategi ini Saudara harus lebih dahulu benar-benar memahami masalahnya. Kemudian menuliskan apa yang diketahui dan apa yang harus dicari dari masalah tersebut. Selanjutnya Saudara harus menduga jawaban dari masalah dan menguji jawaban tersebut sudah memenuhi syarat-syarat yang ditentukan atau belum. Selain itu dugaan dilakukan dengan melihat proses pengerjaan secara langsung dengan cara membandingkan jawaban. Jika dari jawaban yang Saudara duga, ada satu atau lebih syarat yang tidak terpenuhi, maka jawaban tersebut salah.







5- 8







TES FORMATIF 1



Kerjakan tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Sdr. terhadap materi strategi pemecahan masalah matematika topik Dugaan dan Pengujian. 1. Saat mengikuti ujian Matematika, Siti mengerjakan soal-soal yang berbentuk pilihan dan isian. Jumlah skor soal pilihan sama dengan jumlah skor soal isian. Satu soal pilihan diberi skor 5 dan satu soal isian diberi skor 10. Setelah hasil ujian dibagikan, Siti dapat mengerjakan 12 soal dengan benar. Berapakah banyaknya masing-masing soal pilihan dan isian yang dapat dijawab Siti dengan benar? 2. Tempatkan pada setiap persegi dengan sebuah tanda operasi ( +, - , x , : ) agar diperoleh jawaban benar dari pernyataan berikut: 1



2



3



4



5



6



7



8



9



=



10 0



5- 9



3. Ani pergi ke toko makanan untuk membeli roti dan kue. Dia membelanja-kan uang Rp.100.000,00 untuk membeli 55 makanan (dua macam kue dan roti). Harga sebuah roti Rp. 2.000,00 dan harga sebuah kue Rp. 1.600,00. Berapa banyak masing-masing roti Dan kue yang dibeli oleh Ani? 4. Dengan menggunakan bilangan 2, 3, 4, dan 5 serta menggunakan tanda operasi + dan = masing-masing sekali dapat dibuat persamaan matematika 32 = 4 + 5. Sekarang gunakan bilangan 1 sampai 4 serta operasi “–“ dan “=” untuk membuat suatu operasi matematika. 5. Di suatu persimpangan jalan terdapat beberapa tukang becak dan tukang ojek motor. Di sana terdapat 12 kendaraan dan jumlah roda seluruhnya 29 buah. Berapakah banyaknya masing-masing becak dan motor?







Umpan Balik dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Sdr. dengan kunci



jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Hitunglah skor pencapaian Sdr. jika tiap jawaban benar dibobot 20, sehingga skor keseluruhan soal bila dijawab benar adalah 100. Untuk menentukan tingkat penguasaan Saudara terhadap materi ini gunakanlah rumus berikut: Rumus:



Tingkat Penguasaan



Jumlah skor yang diperoleh = ----------------------------Jumlah skor yang diharapkan



x 100 %



Jika tingkat penguasaan Saudara mencapai minimal 80%, Sdr. dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Sdr. melanjutkan mempelajari subunit berikutnya. Sebaliknya, jika jawaban Sdr. kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam subunit ini, terutama bagian-bagian yang belum Sdr. pahami dengan baik.



SubUnit 2 Menentukan / Membuat Pola



5 - 10



SubUnit 2 dari Unit 5 akan membahas tentang strategi pemecahan masalah dengan cara membuat pola disertai contoh. Strategi pemecahan masalah dengan cara membuat pola merupakan salah satu dari strategi pemecahan masalah matematika yang efektif guna menjawab permasalahan serta dan proses pemecahan masalah matematika. Seperti pada strategi pemecahan masalah yang terdahulu, langkah pemecahan masalah matematika diawali dengan memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Dari keempat langkah pemecahan masalah tersebut, untuk menerapkan strategi ini Saudara harus lebih dahulu benar-benar memahami masalahnya. Kemudian menuliskan apa yang diketahui dan apa yang harus dicari dari masalah tersebut. Selanjutnya Saudara harus membuat pola jawaban dari masalah tersebut sudah memenuhi syarat-syarat yang ditentukan atau belum. Jika satu pola dapat diketahui dari sekumpulan data atau dengan melakukan manipulasi data, maka Saudara dapat menggunakan pola tersebut untuk menyelesaikan masalah yang harus dipecahkan. Perhatikan contoh berikut: 1. Bermain Persegi. Ditunjukkan beberapa persegi yang disusun mulai 1 persegi, 4 persegi, 9 persegi, 16 persegi, dan 25 persegi. Persegi tersebut diberikan dua warna.putih dan hitam seperti tampak pada gambar berikut:



P 1



H P



H H 2



H P P



H P P



H H H 3



H P P P



H P P P



H P P P



H H H H 4



H P P P P



H P P P P



H P P P P



H P P P P 5



H H H H H n 5 - 11



Berapa banyak persegi warna putih dan persegi warna hitam jika diberikan n persegi?



Penyelesaian masalah ini dilakukan dengan membuat pola dari data yang ada. Selanjutnya dipilah persegi warna putih dan persegi warna hitam. Seperti dalam daftar pola berikut:



No. 1 2 3 4 5 … 50 … n



Banyaknya seluruh persegi 1 4 9 16 25 … 2500 … n2



Banyaknya persegi putih 1 1 4 9 16 … 2401 … (n - 1 ) 2



Banyaknya persegi hitam 0 3 5 7 9 … 99 … 2n-1



Dari pola yang terlihat dapat ditunjukkan hasil yang diinginkan, yaitu untuk urutan persegi ke 50, diperoleh banyaknya persegi yang terbentuk sebanyak 2500 persegi, banyaknya persegi warna putih sebanyak 2401 persegi, dan banyaknya persegi warna hitam sebanyak 99 persegi. Dengan demikian untuk urutan persegi ke-n, dapat disimpulkan bahwa banyaknya persegi yang terbentuk sama dengan n2 persegi, banyaknya persegi warna putih sebanyak (n-1)2 persegi, dan banyaknya persegi warna hitam sebanyak 2 n – 1 persegi. 2.



Hubungan Bundaran/titik dan Sisi Bangun Datar. Dari sebuah segienam yang memiliki 138 bundaran/titik. Berapa banyak bundaran/titik yang terletak pada setiap sisi. Guna memecahkan masalah ini, Sdr. harus memahami masalahnya dengan melihat pola yang terbentuk dengan memperhatikan gambar berikut:



5 - 12



Gb.1



Gb.2



Gb.3



Dari tampilan gambar di atas dapat ditunjukkan pola seperti pada daftar sebagai berikut: No. Gb. 1 2 3 … n …



Banyaknya bundaran tiap sisi 2 3 4 … n 24



Banyaknya bundaran keseluruhan (2 – 1) x 6 = 6 (3 – 1) x 6 = 12 (4 – 1) x 6 = 18 … (n – 1) x 6 (n – 1 ) x 6 = 138



Berdasarkan pola tersebut dapat disimpulkan bahwa banyaknya bundaran dalam setiap sisi pada segienam yang memiliki keseluruhan bundaran sebanyak 138 bundaran adalah:



(n – 1 ) x 6 = 138. Sehingga 6 n – 6 = 138 ; 6 n = 138 + 6; 6 n = 144:



maka n = 24. Jadi banyaknya bundaran pada setiap sisi sebanyak 24 bundaran.



3. Bermain angka Berapakah jumlah 100 bilangan gasal yang pertama? Untuk menyelesaikan masalah di atas, Sdr. dapat melihat pola yang terbentuk dari penjumlahan suku demi suku dari penjumlahan tersebut, sebagai berikut: 1



= 1 = 12



1+3



= 4 = 22



1+3+5



= 9 = 32



1+3+5+7



= 16 = 42



5 - 13



1+3+5+7+9



= 25 = 52



1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 2n-1



= n2



1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 199



= 1002 = 10000



Dari pola di atas dapat diperoleh jawaban bahwa jumlah 100 bilangan gasal yang pertama sama dengan 1002 atau = 10000.



 1.



Latihan :



Andi adalah siswa yang cerdas. Pada pelajaran Matematika, gurunya menanyakan kepada seluruh siswanya berapakah jumlah 100 bilangan asli yang pertama? Dengan cepat Andi dapat menjawab dengan tepat. Bagaimanakah cara Andi menyelesaikan permasalahan tersebut?



2.



Tentukan suku ke-10 dari barisan bilangan berikut: 2, 5, 10, 17 , …



3.



Jika 12 + 22 + 32 + … + 92 + 102 = 385, berapakah jumlah dari 22 + 42 + 62 + … + 182 + 202 ?







Petunjuk Jawaban Latihan : Anda cermati kembali teori tentang proses pemecahan masalah



ada 4



(empat) tahap, yaitu: memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Berdasarkan bekal tersebut, Saudara dapat memahami keterkaitan tahap yang satu dengan tahap yang lain. Untuk menyelesaikan permasalahan yang terdapat pada latihan, Saudara dapat menentukan/membuat pola jawaban dari masalah tersebut berdasarkan data yang telah ada sudah memenuhi syarat-syarat yang ditentukan atau belum. Jika satu pola dapat diketahui dari sekumpulan data atau dengan melakukan manipulasi data, maka Saudara dapat menggunakan pola tersebut untuk menyelesaikan masalah yang harus 5 - 14



dipecahkan. Langkah pertama yang harus dilakukan dengan cara mendaftar data yang ditentukan dan temukan polanya, kemudian



langkah kedua menggunakan pola



tersebut untuk membuat hipotesis jawaban. Dan akhirnya pola tersebut digunakan untuk menyelesaikan masalah. Pendapat atau hasil pekerjaan Saudara dapat saja berbeda-beda. Saudara dapat menerima atau menolak pendapat tersebut dengan memberikan sejumlah argumentasi. Untuk memudahkan Saudara mengemukakan pendapat, sebaiknya terlebih dahulu Saudara kaji kembali teori proses pemecahan masalah yang terdahulu kemudian kaitkan dengan materi ini dan materi yang ada pada mata pelajaran matematika di Sekolah Dasar.



 Rangkuman Strategi pemecahan masalah matematika heuristik II yang kedua dengan cara menentukan atau melihat pola dari masalah yang harus dselesaikan. Seperti pada strategi pemecahan masalah yang terdahulu, langkah pemecahan masalah matematika diawali dengan memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Dari keempat langkah pemecahan masalah tersebut, untuk menerapkan strategi ini Saudara harus lebih dahulu benar-benar memahami masalahnya. Kemudian menuliskan apa yang diketahui dan apa yang harus dicari dari masalah tersebut. Selanjutnya Saudara harus menentukan atau melihat pola satu langkah demik satu langkah atau pola satu suku demi satu suku. Jika terdapat satu kesamaan pola jawaban, maka jawaban yang memenuhi syarat tersebut adalah jawaban dari permasalahan yang dicari.



5 - 15







TES FORMATIF 2 Kerjakan tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Sdr. terhadap



materi strategi pemecahan masalah matematika topik Menentukan/Membuat Pola. 1. Beberapa bundaran digunakan untuk membentuk segitiga samasisi seperti pada gambar di bawah ini. 3, 6, dan 9 adalah contoh-contoh dari jumlah bundaranbundaran pada segitiga samasisi tersebut.



3



6



9



Berapakah banyak bundaran pada setiap sisi segitiga samasisi jika jumlah seluruh bundaran pada segitiga samasisi tersebut 99? 2. Perhatikan pola bundaran-bundaran berikut:



(i) ( ii ) (iii) Berapakah banyaknya bundaran pada suku ke-50? 3. Tentukan 3 bilangan berikutnya dari barisan bilangan berikut ini: 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, …, …, … 4. Berapakah jumlah 50 bilangan genap yang pertama? 5. Empat pernyataan pertama berikut bernilai benar. Lengkapilah pernyataan kelima tanpa menggunakan kalkulator



5 - 16



1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1,234 x 8 + 4 = 9,876 123,456,789 x 8 + 9 = …







Umpan Balik dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Sdr. dengan kunci



jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Hitunglah skor pencapaian Sdr. jika tiap jawaban benar dibobot 20, sehingga skor keseluruhan soal bila dijawab benar adalah 100. Untuk menentukan tingkat penguasaan Saudara terhadap materi ini gunakanlah rumus berikut: Rumus:



Tingkat Penguasaan



Jumlah skor yang diperoleh = ----------------------------Jumlah skor yang diharapkan



x 100 %



5 - 17



Jika tingkat penguasaan Saudara mencapai minimal 80%, Sdr. dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Sdr. melanjutkan mempelajari subunit berikutnya. Sebaliknya, jika jawaban Sdr. kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam subunit ini, terutama bagian-bagian yang belum Sdr. pahami dengan baik.



SubUnit 3 Menggunakan Perumpamaan / Pemisalan



Subunit 3 dari unit 5 akan membahas tentang strategi pemecahan masalah dengan cara menggunakan perumpamaan atau pemisalan masalah disertai contoh. Strategi pemecahan masalah dengan cara menggunakan perumpamaan atau pemisalan ini merupakan salah satu dari strategi pemecahan masalah matematika yang efektif dengan cara melakukan pemisalan terhadap masalah yang akan dicari jawabannya, berdasarkan data yang diketahui.



Seperti pada strategi pemecahan masalah yang



terdahulu, langkah pemecahan masalah matematika diawali dengan memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Dari keempat langkah pemecahan masalah tersebut, untuk menerapkan strategi ini Saudara harus lebih dahulu benar-benar memahami masalahnya. Kemudian menuliskan apa yang diketahui dan 5 - 18



apa yang harus dicari dari masalah tersebut. Saat memulai penyelesaian masalah diawali dengan cara membuat perumpamaan atau pemisalan dari masalah yang akan dicari jawabannya. Berdasarkan pemisalan tersebut, akan terbentuk suatu kalimat matematika yang biasa disebut dengan persamaan. Selanjutnya dengan menggunakan penyelesaian



aljabar



dari



persamaan



yang



terbentuk,



diperoleh



himpunan



penyelesaiannya. Perhatikan contoh berikut: 1. Menghitung kendaraan. Di dalam garasi Pak Rudi terdapat 20 sepeda dan kereta. Jumlah roda keseluruhan 56 roda. Berapa banyak sepeda atau kereta Pak Rudi di dalam garasi tersebut? Untuk menyelesaikan masalah ini dilakukan dengan cara membuat pemisalan, kemudian dari pemisalan akan disusun kalimat matematikanya untuk dicari penyelesaiannya. Pengerjaan kalimat matematika dilakukan dengan cara substitusi, yang akhirnya didapatkan jawab dari pemisalan tersebut. Seperti langkah berikut: Misalkan seluruh kendaraan adalah sepeda. Total banyaknya roda ada 2 x 20 = 40 roda, sehingga sisa roda = 56 – 40 = 16 roda. Penambahan 16 roda diperoleh dari roda kereta yang seperti sepeda, sehingga banyaknya kereta ada 16 : 2 = 8 kereta. Jumlah kendaraan sepeda dan kereta ada 20 kendaraan, dan banyak kereta ada 8 kereta, sehingga banyaknya sepeda ada 20 – 8 = 12 sepeda. Jadi banyaknya kendaraan Pak Rudi 8 kereta dan 12 sepeda. 2. Hewan piaraan Di peternakan Pak Jono terdapat beberapa kambing, sapi dan ayam. Pada saat yang bersamaan banyaknya ayam sama seperti banyaknya sapi. Pak Jono mendapatkan diantara binatang-binatang tersebut memiliki keseluruhan 32 kepala dan 92 kaki. Berapa banyaknya kambing Pak Jono? Guna menyelesaikan permasalahan ini, dilakukan dengan cara membuat pemisalan, yaitu: Misalkan 32 binatang tersebut tiap binatang mempunyai 4 kaki. Jumlah kaki seluruhnya = 4 x 32 = 128 kaki. Kaki yang ada = 92 kaki. Sisa kaki binatang = 128 – 92 = 36 kaki. Secara khusus tiap ayam hanya memiliki 2 kaki, jadi kurang dari 4. Sehingga banyaknya ayam = 36 – 2 = 18 ekor ayam; Banyaknya sapi = 18 : 3 = 6 ekor sapi; Sedangkan banyaknya kambing = 32- 18 – 6 = 8 ekor kambing. Jadi banyaknya kambing ada 8 ekor. 5 - 19



3. Perbedaan Usia. Umur Bu Rini tujuh kali umur Ani anaknya. Jika umur Bu Rini sekarang 28 tahun. Berapa umur Ani 15 tahun ayang akan datang? Untuk menyelesaikan masalah tersebut, harus dimisalkan lebih dahulu. Misalkan umur Ani = a. Umur Bu Rini = 7 x a = 7a; Jika umur Bu Rini sekarang 28 tahun, maka umur Ani 28 = 7a, sehingga a = 28 : 7 atau a = 4. Jadi umur Ani 15 tahun yang akan dating = 4 + 15 = 19 tahun.







Latihan :



1. Seorang pedagang buah di pasar, membandingkan berat buah rambutan, jeruk, dan anggur. Tiga buah rambutan sama beratnya dengan satu buah jeruk. Satu buah jeruk sama beratnya dengan Sembilan buah anggur. Berapa banyak buah anggur yang sama beratnya dengan satu buah rambutan? 2. Reni dan Ida sedang bermain tebak-tebakan menggunakan angka. Reni memberikan pertanyaan kepada Ida dengan menggunakan pernyataan sebagai berikut: Ada dua buah bilangan yang jumlahnya 17. Selisih kedua bilangan tersebut adalah 7. Berapakah hasil kali kedua bilangan yang dimaksud? 3. Enam belas tahun yang akan dating, usia Doni menjadi tiga kali usianya sekarang. Berapa usia Doni saat ini?







Petunjuk Jawaban Latihan :



1. Anda cermati kembali teori tentang proses pemecahan masalah ada 4 (empat) tahap, yaitu: memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Berdasarkan bekal tersebut, Saudara dapat memahami keterkaitan tahap yang satu dengan tahap yang lain. 2. Untuk menyelesaikan permasalahan yang terdapat pada latihan, Saudara dapat menggunakan pemisalan atau perumpamaan terlebih dahulu. Kemudian dari pemisalan tersebut Saudara bisa menyelesaikan permasalahannya sesuai dengan kalimat matematika (persamaan) yang terbentuk. Penyelesaian hasil yang diperoleh dari pemisalan tersebut merupakan jawab dari permasalahan yang harus diselesaikan. 5 - 20



3. Pendapat atau hasil pekerjaan Saudara dapat saja berbeda-beda. Saudara dapat menerima atau menolak pendapat tersebut dengan memberikan sejumlah argumentasi. Untuk memudahkan Saudara mengemukakan pendapat, sebaiknya terlebih dahulu Saudara kaji kembali teori proses pemecahan masalah yang terdahulu kemudian kaitkan dengan materi ini dan materi yang ada pada mata pelajaran matematika di Sekolah Dasar.



 Rangkuman Strategi pemecahan masalah matematika heuristik II yang ketiga dengan cara membuat pemisalan atau perumpamaan dari permasalahan yang harus diselesaikan Seperti pada strategi pemecahan masalah yang terdahulu, langkah pemecahan masalah matematika diawali dengan memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Dari keempat langkah pemecahan masalah tersebut, untuk menerapkan strategi ini Saudara harus lebih dahulu benar-benar memahami masalahnya. Kemudian menuliskan apa yang diketahui dan apa yang harus dicari dari masalah tersebut. Selanjutnya Saudara harus membuat pemisalan atau perumpamaan dari permasalahan yang harus diselesaikan. Dari pemisalan/perumpamaan tersebut akan didapatkan kalimat matematika atau persamaan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan operasi aljabar. Himpunan penyelesaian yang didapat merupakan jawab dari permasalahan yang harus diselesaikan.







TES FORMATIF 3



5 - 21



Kerjakan tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Sdr. terhadap materi strategi pemecahan masalah matematika topik Pemisalan. 1. Usia Tedy 5 (lima) tahun lebih tua dari usia Nano. Saat ini jumlah usia mereka adalah 31 tahun. Berapa usia mereka masing-masing tujuh tahun yang akan datang? 2. Sebuah kontraktor bangunan membuat kebijakan tentang pemberian gaji pada karyawannya. Seorang karyawan setuju untuk bekerja dalam 2 (dua) minggu berturut-turut tanpa libur dengan mendapatkan gaji sebesar Rp. 700.000,00 dan sebuah bingkisan. Setelah 9 hari bekerja, karyawan tersebut berhenti, dan menerima gaji sebesar Rp. 350.000,00 dan sebuah bingkisan. Berapakah harga bingkisan yang diterima karyawan tersebut? 3. Tiga orang kakak beradik Riska, Riski, dan Risma suka menyisihkan sebagian uang saku yang diberi oleh ibunya untuk ditabung. Saat ini Riska memiliki tabungan Rp. 30.000,00 lebih banyak daripada tabungan Riski. Tabungan Riski Rp. 50.000,00 lebih banyak daripada tabungan Risma. Jika jumlah tabungan mereka bertiga rp. 340.000,00, maka berapakah uang tabungan mereka masing-masing? 4. Tuti meminta uang Rp. 13.000,00 kepada ibunya untuk membeli alat-alat tulis. Alat-alat tulis yang dibelinya berupa 2 pulpen dan 6 buku tulis. Harga sebuah pulpen Rp. 500,00 lebih mahal daripada harga sebuah buku tulis. Berapakah harga masing-masing alat tulis yang dibeli Tuti? 5. Santi dan Winda dua orang sahabat yang bekerja di perusahaan kue. Secara bersama-sama mereka membuat 830 buah kue. Santi selama 1 menit dapat menghasilkan 2 buah kue. Dalam waktu yang sama (1 menit) Winda dapat menghasilkan 3 buah kue. Santi bekerja 15 menit lebih lama daripada Winda. Berapa waktu yang diperlukan oleh mereka masing-masing untuk menyelesaikan pembuatan kue tersebut diatas?







Umpan Balik dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Sdr. dengan kunci



jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Hitunglah skor pencapaian Sdr. jika tiap jawaban benar dibobot 20, sehingga skor keseluruhan soal bila dijawab benar adalah 100. Untuk menentukan tingkat penguasaan Saudara terhadap materi ini gunakanlah rumus berikut: Rumus:



Tingkat Penguasaan



Jumlah skor yang diperoleh = -------------------------------- x 100 % 5 - 22



Jumlah skor yang diharapkan Jika tingkat penguasaan Saudara mencapai minimal 80%, Sdr. dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Sdr. melanjutkan mempelajari subunit berikutnya. Sebaliknya, jika jawaban Sdr. kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam subunit ini, terutama bagian-bagian yang belum Sdr. pahami dengan baik.



DAFTAR RUJUKAN :



Hudojo, H, 2001, Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika. Malang: Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang. Kaur B, 2008. Problem Solving in the Mathematics Classroom (Secondary). Singapore: Foong Yuet Foong. Lam, T.Y, Seng, Q.K, Guang, T.E. 2008. Problem Solving in the Mathematics Classroom (Junior College). Singapore: Foong Yuet Foong. Lenchner, G. 2005. Creative Problem Solving in School Mathematics. Bellmore, NY: Mathematicsal Olympiads for Elementary and Middle School s Inc. Leng, W.Ng. 2008. Problem Solving Heuristics For Primary School Mathematics. A Comprehensive Guide. Singapore: Printice Hall : Pearson. Skemp, R. 1992. The Psychology of Learning Mathematics. USA: Hazel Watson Ltd. Tim Supermath. 2007. Strategi Pemecahan Masalah Matematika SD. Jakarta: Literatur Media Sukses.



5 - 23



GLOSARIUM Masalah heuristik II



Membuat dugaan Melakukan pengujian



Menentukan Pola



Identifikasi masalah



Membuat perumpamaan/pemisalan Variabel Kalimat matematika



Persamaan Penyelesaian persamaan Substitusi



: langkah dalam strategi pemecahan masalah yang meliputi kegiatan membuat dugaan dan pengujian, menentukan pola dari soal yang diberikan, serta membuat suatu perumpamaan/pemisalan. : langkah dalam strategi pemecahan masalah yang menggunakan dugaan terhadap jawaban dari suatu penyelesaian soal/ masalah. : Setelah dilakukan dugaan dalam pemecahan masalah, langkah berikutnya dilakukan pengujian atau pencocokan jawaban dengan menggunakan cara lain sehingga diperoleh jawaban yang tepat dari penyelesaian masalah yang diinginkan. : langkah dalam strategi pemecahan masalah dilakukan dengan melihat pola dari sajian data suatu masalah agar dapat dimanfaatkan untuk mentukan penyelesaian masalah. : kegiatan memahami masalah dengan melakukan pencirian suatu masalah agar dapat dikelompokkan sesuai dengan variabel yang diberikan. Misal: apa yang diketahui dari masalah, apa yang ditanyakan, dan cara menjawabnya. : mengubah pernyataan yang belum diketahui dengan cara memberikan suatu lambang (variable) agar dapat dengan mudah dikerjakan. : Sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real. : Kalimat yang menunjukkan penerapan suatu perhitungan (algoritma, operasi, dll.) dalam matematika agar masalah yang diberikan dapat diselesaikan. Kalimat matematika dapat bersifat tertutup dan terbuka. : Kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan : Suatu bilangan tertentu yang jika digunakan menggantikan suatu variable dalam suatu persamaan, maka diperoleh pernyataan yang benar. : Salah satu metode dalam menyelesaikan system persamaan dengan cara memasukkan salah satu variable dalam salah satu persamaan yang dinyatakan dalam variable lain ke persamaan yang lain.



KUNCI JAWABAN Tes Formatif 1 5 - 24



1. Banyaknya masing-masing soal, yaitu 8 soal pilihan, dan 4 soal isian. 2. 1



+



2



+



3



+



4



+



5



+



6



+



7



+



8



x



9



=



10 0



3. 30 roti dan 25 kue 4. 52 – 42 = 32 5. Untuk memecahkan masalah, dilakukan dugaan dengan cara: Dugaan 1



Banyak kendaraan Becak Motor 6 6



2



5



7



Jumlah kendaraan 12 12



Banyaknya roda Becak Motor 6x3= 6x2= 18 12 5x3= 7x2= 15 14



Jumlah roda 30 29



Dari hasil dugaan tersebut yang paling sesuai dengan permasalahan adalah jumlah kendaraan yang memenuhi jumlah roda 29 roda , yaitu: 5 becak dan 7 motor. Tes Formatif 2 1. Beberapa bundaran digunakan untuk membentuk segitiga samasisi seperti pada gambar di bawah ini. 3, 6, dan 9 adalah contoh-contoh dari jumlah bundaranbundaran pada segitiga samasisi tersebut.



3



6



9



Agar jumlah seluruh bundaran pada segitiga samasisi = 99, maka banyaknya budaran pada setiap sisi segitiga samasisi, yaitu 34 bundaran.



2. Perhatikan pola bundaran-bundaran berikut:



5 - 25



(i)



(ii)



(iii)



Suku ke 1 = 1 x 2 = 2 Suku ke 2 = 2 x 3 = 6 Suku ke 3 = 3 x 4 = 12 Suku ke 4 = 4 x 5 = 20 Suku ke … = … x (… + 1) = … Suku ke 50 = 50 x 51 = 2550 Jadi banyaknya bundaran pada suku ke-50, adalah 2550 bundaran. 3. 3 (Tiga) bilangan berikutnya dari barisan bilangan berikut ini adalah: 123, 299, dqn 432. 4,



7, +3



11, +4



18, +7



+11



29, +18



47, +29



76,



123, +47



299,



+76



432.



+123



4. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 50 + 52 + … + 90 + 92 + 94 + 96 + 98 + 100 =



102



102



102



102



…



102



5 - 26



Berapakah jumlah 50 bilangan genap yang pertama? 5. Empat pernyataan pertama berikut bernilai benar. Lengkapilah pernyataan kelima, keenam, dst. sehingga pernyataan tersebut bernilai benar tanpa menggunakan kalkulator. 1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1.234 x 8 + 4 = 9.876 ... x8+5=... ... x8+6=... ... x8+7=... ... x8+8=... 123.456.789 x 8 + 9 = 987.654.321



Tes Formatif 3 1. Usia Tedy 25 tahun, dan usia Nano 20 tahun. 2. Harga bingkisan yang diterima sebesar Rp. 280.000,00 3. Uang tabungan Riski sebesar Rp. 120.000,00; Uang tabungan Riska sebesar Rp. 120.000,00 + Rp. 30.000,00 = Rp. 150.000,00; Uang tabungan Risma sebesar Rp. 120.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 70.000,00. 4. Harga sebuah Pulpen sebesar Rp. 2.000,00 5. Santi memerlukan waktu 175 menit, dan Winda memerlukan waktu 160 menit.



5 - 27



5 - 28