v1 Kuliah 05 - Integral Duhamel Dan Percepatan Tanah [PDF]

Citation preview

Dinamika Struktur dan (Rekayasa) Gempa



05 Modul ke:



Fakultas



Teknik



Integral Duhamel dan Percepatan Tanah 1. 2. 3. 4. 5.



Pengantar integral Duhamel Integrasi numerik Beban sembarang SDOF teredam dengan beban sembarang Respon struktur terhadap percepatan tanah



6. Response Spectra 7. Tugas 4



Program Studi



Teknik Sipil disampaikan pada:



Rabu, 29 September 2021



Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc., DIC, PhD



Lingkup Bahasan



1. Pendahuluan



7.



2.



Tugas 4



6.



Integrasi Numerik



Integral Duhamel dan Percepatan Tanah



3. Beban



Response Spectra



Sembarang



5. Percepat -an Tanah



4.



SDOF



Teredam, Beban Sembarang



2



Integral Duhamel dan Percepatan Tanah



2. Integrasi Numerik 3. Beban Sembarang 4. SDOF Teredam dengan Beban Sembarang 5. Respon Struktur terhadap Percepatan Tanah



1. Pendahuluan



6. Response Spectra 3



Penggolongan Getaran SDOF



B. Dengan Redaman



A. Tanpa Redaman



1. Getaran Bebas



2. Getaran Terpaksa



1A



2AH



2AS



1BO



2BOH



2BOS



O: 𝜉>1



1BC



2BCH



2BCS



C: 𝜉 =1



1BU



2BUH



2BUS



𝑈: 𝜉 1



• Solusi: 𝑢 𝑡 = 𝐴𝑒



−𝜉+ 𝜉 2 −1 𝜔𝑡



+ 𝐵𝑒



−𝜉− 𝜉 2 −1 𝜔𝑡



Getaran bebas, dengan redaman kritis 1BC • Persamaan gerak: 𝑚𝑢ሷ + 𝑐 𝑢ሶ + 𝑘𝑢 = 0, 𝑐 = 𝑐𝑐𝑟



• Penyelesaian: 𝑢 𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑡 𝑒



𝑐𝑐𝑟 − 2𝑚 𝑡



Getaran bebas, dengan redaman yang underdamped 1BU • Persamaan gerak: 𝑚𝑢ሷ + 𝑐 𝑢ሶ + 𝑘𝑢 = 0, 𝑐 = 𝜉𝑐𝑐𝑟 , 𝜉 < 1 • Penyelesaian: u 𝑡 = 𝐶𝑒 −𝜉𝜔𝑡 cos 𝜔𝐷 𝑡 − 𝛼



• 𝐶=



𝑢02



+



2 𝑢0 +𝑢ሶ 0 𝜉𝜔 2 𝜔𝐷



tan 𝛼 =



𝑢0 +𝑢ሶ 0 𝜉𝜔 𝜔𝐷 𝑢0



5



Persamaan Gerak dan Penyelesaiannya [2/3] 2AH



Getaran terpaksa, tanpa redaman, beban harmonik



• Persamaan gerak: 𝑚𝑢ሷ + 𝑘𝑢 = 𝐹0 sin Ω𝑡 • Penyelesaian: 𝑢 𝑡 =



𝐹0 ൗ𝑘 Ω 2 1− 𝜔



Ω



sin Ω𝑡 − 𝜔 sin 𝜔𝑡



2BOH



Getaran terpaksa, dengan redaman yang overdamped, beban harmonik



2BCH



Getaran terpaksa, dengan redaman kritis, beban harmonik



2BUH



Getaran terpaksa, dengan redaman yang underdamped, beban harmonik



• Persamaan gerak: 𝑚𝑢ሷ 𝑡 + 𝑐𝑢ሶ 𝑡 + 𝑘𝑢(𝑡) = 𝐹0 sin Ω𝑡, 𝑐 = 𝜉𝑐𝑐𝑟 , 𝜉 < 1 • Penyelesaian:



𝑢 𝑡 = 𝑒 −𝜉𝜔𝑡 𝐴 cos 𝜔𝐷 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝐷 𝑡 𝜃=



tan−1



2𝜉𝑟 1 − 𝑟2



6



Persamaan Gerak dan Penyelesaiannya [3/3a]



2AS



Getaran terpaksa, tanpa redaman, beban sembarang



• Persamaan gerak: 𝑚𝑢ሷ + 𝑘𝑢 = 𝐹(t) 1



𝑡



• Penyelesaian: 𝑢(𝑡) = 𝑚𝜔 ‫׬‬0 𝐹 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 • Beban tangga: 0 jika 𝑡 < 0 𝐹0 jika 𝑡 ≥ 0 𝐹0 𝑢 𝑡 = (1 − cos 𝜔𝑡) 𝑘 𝐹 𝑡 =ቊ



• Beban persegi: 𝐹 jika 𝑡 < 𝑡𝑑 𝐹 𝑡 =ቊ 0 0 jika 𝑡 ≥ 𝑡𝑑 𝐹0 (1 − cos 𝜔𝑡) jika 𝑘 𝑢 𝑡 = 𝐹0 cos 𝜔(𝑡 − 𝑡𝑑 ) − cos 𝜔𝑡 𝑘



2BOS



𝑡 < 𝑡𝑑 jika



𝑡 ≥≥ 𝑡𝑑



Getaran terpaksa, dengan redaman yang overdamped, beban sembarang



2BCS



Getaran terpaksa, dengan redaman kritis, beban sembarang



2BUS



Getaran terpaksa, dengan redaman yang underdamped, beban sembarang



7



Persamaan Gerak dan Penyelesaiannya [3/3b]



2AS



Getaran terpaksa, tanpa redaman, beban sembarang



• Persamaan gerak: 𝑚𝑢ሷ + 𝑘𝑢 = 𝐹(t) 1



𝑡



• Penyelesaian: 𝑢(𝑡) = 𝑚𝜔 ‫׬‬0 𝐹 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 • Beban segitiga 𝐹 𝑡 =ቊ



𝐹0 1 − 𝑡Τ𝑡𝑑 jika 𝑡 < 𝑡𝑑 0 jika 𝑡 ≥ 𝑡𝑑



𝐹0 𝐹0 sin 𝜔𝑡 (1 − cos 𝜔𝑡) + 𝑡− 𝑘 𝑘𝑡𝑑 𝜔 𝑢 𝑡 = 𝐹0 sin 𝜔𝑡𝑑 2 − cos 𝜔𝑡𝑑 − 𝑘 𝜔𝑡𝑑



2BOS



jika 𝑡 < 𝑡𝑑 jika 𝑡 ≥ 𝑡𝑑



Getaran terpaksa, dengan redaman yang overdamped, beban sembarang



2BCS



Getaran terpaksa, dengan redaman kritis, beban sembarang



2BUS



Getaran terpaksa, dengan redaman yang underdamped, beban sembarang



8



Respon terhadap Satu Satuan Impuls F(t)



Apa itu Impuls? 1















t



(a) Satu satuan impuls y(t)



Gaya yang besar sekali namun bekerja pada waktu yang singkat disebut gaya impuls (impulsive). Impuls adalah gaya dikalikan dengan lamanya gaya itu bekerja 1 𝐹 𝑡 ∙ ∆𝑡 = ∙ 𝜀 = 1 𝜀 Gambar menunjukkan satu satuan impuls, yaitu gaya sebesar 𝐹 𝑡 = 1Τ𝜀 yang bekerja pada saat 𝑡 = 𝜏 selama 𝜀 detik.



t



(b) Respons



9



Integral Duhamel Jawaban terhadap getaran bebas tanpa redaman



y = y 0 cos t +



y 0







sin  t



1. Pendahuluan



10



Integral Duhamel dan Percepatan Tanah



3. Beban Sembarang 4. SDOF Teredam dengan Beban Sembarang 5. Respon Struktur terhadap Percepatan Tanah



2. Integrasi Numerik



6. Response Spectra



7. Tugas 4



11



Integrasi Numerik



12



Integral Duhamel dan Percepatan Tanah



4. SDOF Teredam dengan Beban Sembarang 5. Respon Struktur terhadap Percepatan Tanah 6. Response Spectra



3. Beban Sembarang



7. Tugas 4



13



Respon terhadap Satu Satuan Impuls F(t)



Apa itu Impuls? 1















t



(a) Satu satuan impuls y(t)



Gaya yang besar sekali namun bekerja pada waktu yang singkat disebut gaya impuls (impulsive). Impuls adalah gaya dikalikan dengan lamanya gaya itu bekerja 1 𝐹 𝑡 ∙ ∆𝑡 = ∙ 𝜀 = 1 𝜀 Gambar menunjukkan satu satuan impuls, yaitu gaya sebesar 𝐹 𝑡 = 1Τ𝜀 yang bekerja pada saat 𝑡 = 𝜏 selama 𝜀 detik.



t



(b) Respons



14



Integral Duhamel Jawaban terhadap getaran bebas tanpa redaman



y = y 0 cos t +



y 0







sin  t



1. Pendahuluan



15



Ringkasan Hasil Integral Duhamel [1/4] 1. Beban Tangga



16



Ringkasan Hasil Integral Duhamel [2/4] 2. Beban Persegi



Response Spectral Chart



17



Ringkasan Hasil Integral Duhamel [3/4] 3. Beban Segitiga



18



Integral Duhamel dan Percepatan Tanah 5. Respon Struktur terhadap Percepatan Tanah 6. Response Spectra



4. SDOF Teredam dengan Beban Sembarang



7. Tugas 4



19



Integral Duhamel untuk SDOF Teredam 2AS



Getaran terpaksa, tanpa redaman, beban sembarang



• Persamaan gerak: 𝑚𝑢ሷ + 𝑘𝑢 = 𝐹(t) 1



𝑡



• Penyelesaian: 𝑢(𝑡) = 𝑚𝜔 ‫׬‬0 𝐹 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 • Beban segitiga 𝐹 𝑡 =ቊ



𝐹0 1 − 𝑡Τ𝑡𝑑 jika 𝑡 < 𝑡𝑑 0 jika 𝑡 ≥ 𝑡𝑑



𝐹0 𝐹0 sin 𝜔𝑡 (1 − cos 𝜔𝑡) + 𝑡− 𝑘 𝑘𝑡𝑑 𝜔 𝑢 𝑡 = 𝐹0 sin 𝜔𝑡𝑑 2 − cos 𝜔𝑡𝑑 − 𝑘 𝜔𝑡𝑑



2BOS



jika 𝑡 < 𝑡𝑑 jika 𝑡 ≥ 𝑡𝑑



Getaran terpaksa, dengan redaman yang overdamped, beban sembarang



2BCS



Getaran terpaksa, dengan redaman kritis, beban sembarang



2BUS



Getaran terpaksa, dengan redaman yang underdamped, beban sembarang



20



Integral Duhamel dan Percepatan Tanah 6. Response Spectra



5. Respons Struktur terhadap Percepatan Tanah



7. Tugas 4



21



Integral Duhamel dan Percepatan Tanah



5. Tugas 4



23



Tugas 4 Portal pada Tugas 3A dihilangkan redaman-nya dan rotary machinenya tidak dinyalakan. Pada bagian atap kini bekerja beban mendatar berbentuk trapezium yang berubah terhadap waktu seperti pada gambar di samping. Jika 𝐹0 = 2 ton, 𝑡1 = 2 detik, 𝑡2 = 6 detik dan 𝑡𝑑 = 8 detik, hitung simpangan pada 𝑡 = 1, 4, 7 dan 12 detik.



24



Terima Kasih Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



0813 1746 3462 [email protected]