Xi Modul 2 Jumlah Dan Selisih Dua Sudut 2021 [PDF]

Citation preview

OLEH ANGGUN PUTRI PUZIATI, M.Pd



Daftar Isi Daftar Isi ................................................................................................................................................



i



KEGIATAN BELAJAR 4 2.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA SUDUT ...........................................................



1



2.1.1 Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus .....................................................................



1



2.1.2 Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus .........................................................................



4



Latihan 4 ................................................................................................................................................



5



KEGIATAN BELAJAR 5 2.1.3 Rumus Jumlah dan Selisih Tangen .........................................................................................



6



2.2 RUMUS-RUMUS SUDUT GANDA (SUDUT RANGKAP) DAN SUDUT PARUH .............................



8



2.2.1 Rumus Sudut Rangkap (ganda)...................................................................................................



8



2.2.2 Rumus Sudut Paruh ..................................................................................................................



10



Latihan 5 ................................................................................................................................................



11



KEGIATAN BELAJAR 6 2.3 RUMUS PERKALIAN KE PENJUMLAHAN DAN PENJUMLAHAN KE PERKALIAN DARI EKSPRESI TRIGONOMETRI ..............................................................................................................................



11



2.3.1 Rumus perkalian sinus dan kosinus .............................................................................................



11



2.3.2 Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus .............................................................................



13



Latihan 3 ................................................................................................................................................



14



i



KEGIATAN BELAJAR 4



2.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA SUDUT Tabel sudut Istimewa 𝜶



𝟎°



𝟑𝟎°



𝟒𝟓°



𝟔𝟎°



𝟗𝟎°



Sin



0



1 2



1 √2 2



1 √3 2



1



Cos



1



1 √3 2



1 √2 2



1 2



0



Tan



0



1 √3 3



1



∞



√3



2.1.1 Rumus Penjumlahan Dan Pengurangan cosinus



cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽



Contoh 2 Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator atau table, nilai setiap ekspresi berikut: a. cos 75° 3



b. cos 𝜋 4



Pembahasan a. cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° 1 1 1 1 √2 ∙ √3 − √2 ∙ 2 2 2 2 1 1 = √6 − √2 4 4 =



Cara lainnya: 3 1 cos 𝜋 = cos (𝜋 − 𝜋) 4 4 1 = − cos 𝜋 4 1 = − √2 2



1



INGAT ATURAN SUDUT BERELASI DALAM KUADRAN II cos(180° − 𝛼) = −cos 𝛼



=



1 (√6 − √2) 4 3



1



4



4



b. cos 𝜋 = cos (𝜋 − 𝜋) 1 1 = cos 𝜋 ∙ cos 𝜋 + sin 𝜋 ∙ sin 𝜋 4 4 1 1 = (−1) ∙ √2 + 0 ∙ √2 2 2 1 = − √2 + 0 2 1 = − √2 2 Contoh 3 Tanpa memakai table atau kalkulator, hitunglah nilai berikut: a. cos 80° ∙ cos 10° − sin 80° ∙ sin 10° b. cos 𝑥 + cos(𝑥 + 120)° + cos(𝑥 + 210)° Pembahasan a. cos 80° ∙ cos 10° − sin 80° ∙ sin 10° = cos(80° + 10°) = cos 90° =0 b. cos 𝑥 + cos(𝑥 + 120)° + cos(𝑥 + 210)° = cos 𝑥 + cos 𝑥 ∙ cos 120° − sin 𝑥 ∙ sin 120° + cos 𝑥 ∙ cos 210° − sin 𝑥 ∙ sin 210° 1 1 1 1 = cos 𝑥 + cos 𝑥 ∙ (− ) − sin 𝑥 ∙ √3 + cos 𝑥 ∙ (− ) − sin 𝑥 ∙ (− √3) 2 2 2 2 1 1 1 1 = cos 𝑥 − cos 𝑥 − √3 sin 𝑥 − cos 𝑥 + √3 sin 𝑥 2 2 2 2 1 1 1 1 = cos 𝑥 − cos 𝑥 + √3 sin 𝑥 − √3 sin 𝑥 2 2 2 2 =0+0 =0



Contoh 4 3



1



Untuk sudut lancip 𝛼 dan 𝛽, diketahui cos 𝛼 = dan sin 𝛽 = √2, tentukan 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽 ) 5 2 Pembahasan Jika 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 = 1, maka: •



3



cos 𝛼 = → 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 5



→ sin 𝛼 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 3 2 → sin 𝛼 = √1 − ( ) 5 2



→ sin 𝛼 = √1 −



→ sin 𝛼 = √



25 9 − 25 25



→ sin 𝛼 = √



16 25



4 5



→ sin 𝛼 = •



9 25



1



sin 𝛽 = √2 → 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛽 2 → cos 𝛽 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛽



Maka: 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽 ) = cos 𝛼 ∙ cos 𝛽 + sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 3 1 4 1 = × √2 + × √2 5 2 5 2 3 4 = √2 + √2 10 10 7 = √2 10



2 1 → cos 𝛽 = √1 − ( √2) 2



→ cos 𝛽 = √1 −



1 2



2 1 → cos 𝛽 = √ − 2 2 1 1 → cos 𝛽 = √ = √2 2 2



Contoh 5 Jika 𝛼 + 𝛽 =



𝜋 6



3



dan cos 𝛼 cos 𝛽 = , maka cos(𝛼 − 𝛽 ) =… 4



Pembahasan cos(𝛼 − 𝛽 ) = cos 𝛼 ∙ cos 𝛽 + sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 3



= + sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 → harus mencari nilai sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 terlebih dahulu 4



•



cos(𝛼 + 𝛽 ) = cos 𝛼 ∙ cos 𝛽 − sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 𝜋 3 cos ( ) = − sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 6 4 1 3 √3 = − sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 2 4 3 1 sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 = − √3 4 2



Maka: cos(𝛼 − 𝛽 ) = cos 𝛼 ∙ cos 𝛽 + sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 =



3 + sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 4 3



3 3 1 + − √3 4 4 2 6 1 = − √3 4 2 3 1 = − √3 2 2 =



2.1.2 Rumus Penjumlahan Dan Pengurangan Sinus sin(𝛼 + 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛽 cos 𝛼 sin(𝛼 − 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛽 cos 𝛼 Contoh 6 Tanpa menggunakan table matematika dan kalkulator, hitunglah: a. sin 15° b. sin 20° cos 25° + sin 25° cos 20° Pembahasan a. sin 15° = sin(45° − 30°) = sin 45° cos 30° − sin 30° cos 45° 1 1 1 1 √2 × √3 − × √2 2 2 2 2 1 1 = √6 − √2 4 4 1 = (√6 − √2) 4 =



b. sin 20° cos 25° + sin 25° cos 20° = sin(20° + 25°) = sin 45° =



1 √2 2



Contoh 7 Diketahui sin 𝛼 =



5 13



4



dan cos 𝛽 = untuk 𝛼 dan 𝛽 sudut lancip, tentukan sin(𝛼 + 𝛽 ) 5



Pembahasan Jika 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 = 1 •



sin 𝛼 =



5 13



→ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼



→ cos 𝛼 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 → cos 𝛼 = √1 − (



→ cos 𝛼 = √1 −



5 2 ) 13



25 169 4



→ cos 𝛼 = √



169 25 − 169 169



→ cos 𝛼 = √



144 12 = 169 13



→ cos 𝛼 = •



12 13



4



cos 𝛽 = → 𝑠𝑖𝑛2 𝛽 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 5



→ sin 𝛽 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 4 2 → sin 𝛽 = √1 − ( ) 5 → sin 𝛽 = √1 −



16 25



→ sin 𝛽 = √



25 16 − 25 25



→ sin 𝛽 = √



9 25



→ sin 𝛽 =



Maka: 𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽 ) = sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 − sin 𝛽 ∙ cos 𝛼 5 4 3 12 = × − × 13 5 5 13 4 36 = + 13 65 20 36 = + 65 65 56 = 65



3 5



LATIHAN 4



5



KEGIATAN BELAJAR 5



2.1.3 Rumus Jumlah Dan Selisih Tangen tan(𝛼 + 𝛽 ) =



tan 𝛼 + tan 𝛽 1 − tan 𝛼 tan 𝛽



tan(𝛼 − 𝛽 ) =



tan 𝛼 − tan 𝛽 1 + tan 𝛼 tan 𝛽



Contoh 1 a. Jabarkan bentuk dari tan(𝐴 − 135°) b. Hitunglah nilai dari tan 75° c. Sederhanakanlah



tan 125°−tan 65° 1+tan 125°∙tan 65°



Pembahasan a. tan(𝐴 − 135°) = =



tan 𝐴−tan 135° 1+tan 𝐴 tan 135°



tan 𝐴 − (−1) 1 + tan 𝐴 (−1)



tan 𝐴 + 1 1 − tan 𝐴 b. tan 75° = tan(45° + 30°) =



tan 45° + tan 30° 1 − tan 45° tan 30° 1 1 + √3 3 = 1 1 − 1 ∙ √3 3 =



3 + 1√3 3 = 3 − 1√3 3 = =



3 + √3 3 − √3 3 + √3 3 − √3



×



3 + √3 3 + √3



=



9 + 6√3 + 3 9−3



=



12 + 6√3 6



=



6(2 + √3) 6



= 2 + √3 c.



tan 125°−tan 65° 1+tan 125°∙tan 65°



= tan(125° − 65°) 6



= tan 60° = √3



Contoh 2 3



1



5



4



Untuk 𝛼 dan 𝛽 sudut-sudut lancip, diketahui sin 𝛼 = dan tan 𝛽 = , tentukan tan(𝛼 − 𝛽 ) Pembahasan Untuk menentukan tan 𝛼 boleh menggunakan aturan identitas trigonometri (lihat di contoh jumlah dan selisih sinus atau cosinus), atau boleh menggunakan aturan segitiga siku-siku. sin 𝛼 =



𝑑𝑒 3 = 𝑚𝑖 5



depan



Maka 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 = √52 − 32 = √25 − 9 = √16 = 4 𝑑𝑒 3 tan 𝛼 = = 𝑠𝑎 4



𝛼 samping



Maka: tan(𝛼 − 𝛽 ) =



tan 𝛼 − tan 𝛽 1 + tan 𝛼 tan 𝛽



3 1 − = 4 4 3 1 1+ ∙ 4 4 2 4 = 3 1+ 16 2 4 = 16 3 + 16 16 2 19 = ÷ 4 16 2 16 8 = × = 4 19 19 8 tan(𝛼 − 𝛽 ) = 19



Contoh 3 Jika tan(𝑥 + 𝑦) = 1 dan tan 𝑦 = 1, tentukan tan 𝑥 Pembahasan Berdasarkan rumus tan(𝛼 + 𝛽) diperoleh: 7



tan(𝑥 + 𝑦) =



tan 𝑥 + tan 𝑦 1 − tan 𝑥 tan 𝑦



tan 𝑥 + 1 1 − tan 𝑥 ∙ 1 tan 𝑥 + 1 1= 1 − tan 𝑥 1(1 − tan 𝑥 ) = tan 𝑥 + 1 1=



1 − tan 𝑥 = tan 𝑥 + 1 1 − 1 = tan 𝑥 + tan 𝑥 0 = 2 tan 𝑥 tan 𝑥 =



0 2



tan 𝑥 = 0



2.2 RUMUS-RUMUS SUDUT GANDA (SUDUT RANGKAP) DAN SUDUT PARUH 2.2.1 Rumus Sudut Rangkap (ganda) 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 − 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 cos 2𝐴 = { 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝐴 2𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 − 1



sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴



tan 2𝐴 =



2 tan 𝐴 1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝐴



Contoh 4 3



Jika sin 𝐴 = dengan sudut lancip, tentukan: 5



a. sin 2𝐴 b. cos 2𝐴 c. tan 2𝐴 Pembahasan Kita butuh cos 𝐴 dan tan 𝐴, maka sin 𝐴 =



𝑑𝑒 3 = 𝑚𝑖 5



depan



Maka



𝐴 samping



𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 = √52 − 32 = √25 − 9 = √16 = 4 𝑑𝑒 3 tan 𝐴 = = 𝑠𝑎 4 𝑠𝑎 4 𝑐𝑜𝑠𝐴 = = 𝑚𝑖 5



8



a. sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴 3 4 = 2( )( ) 5 5 24 = 25 b. cos 2𝐴 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝐴 3 2 = 1 − 2( ) 5 9 = 1 − 2( ) 25 25 18 7 = − = 52 25 25 c. tan 2𝐴 =



2 tan 𝐴 1−𝑡𝑎𝑛2 𝐴



3 2( ) 4 = 3 2 1−( ) 4 6 4 = 9 1− 16 6 4 = 16 9 − 16 16 6 7 = ÷ 4 16 6 16 = × 4 7 24 = 7 Contoh 5 a. Jika sin 𝐴 − cos 𝐴 = 𝑝, maka tentukan sin 2𝐴 b. Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan sin 2𝑥 + sin 𝑥 = 0 jika 0 ≤ 𝑥 ≤ 180° Pembahasan a. sin 𝐴 − cos 𝐴 = 𝑝 (sin 𝐴 − cos 𝐴)2 = 𝑝2 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 − 2 sin 𝐴 cos 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 = 𝑝2 1 − 2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 𝑝2 1 − sin 2𝐴 = 𝑝2 − sin 2𝐴 = 𝑝2 − 1 sin 2𝐴 = 1 − 𝑝2 b. sin 2𝑥 + sin 𝑥 = 0 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 = 0 9



sin 𝑥 (2 cos 𝑥 + 1) = 0 •



sin 𝑥 = 0 𝑥1 = 0° dan 𝑥2 = 180° Karena sin 0 = 0 dan sin 180° = 0



•



2 cos 𝑥 + 1 = 0 2 cos 𝑥 = −1 cos 𝑥 = −



1 2



𝑥3 = 120° dan 𝑥4 = 240° (untuk 𝑥4 = 240° tidak memnuhi) 1



1



2



2



Karena cos 120° = − dan cos 240° = −



Maka 𝑥 yang memenuhi adalah {0°, 120°, 180°}



2.2.2 Rumus Sudut Paruh 1



Rumus cos 𝐴



1



2



Rumus sin 𝐴 2



cos 𝐴 = ±√



1 − cos 2𝐴 sin 𝐴 = ±√ 2



1 1 + cos 𝐴 cos 𝐴 = ±√ 2 2



1 1 − cos 𝐴 sin 𝐴 = ±√ 2 2 1



Rumus tan 𝐴 2



1 1 − cos 𝐴 tan 𝐴 = 2 sin 𝐴



Contoh 6 Dengan menggunakan prinsip sudut paruh, hitunglah cos Pembahasan 𝜋 1 + cos 2 ( ) 𝜋 8 cos = ±√ 8 2 =√



1 + cos



𝜋 4



2



1 √1 + 2 √2 = 2



=



√



1 + cos 2𝐴 2



2 + √2 2 2 10



𝜋 8



=√



2 + √2 4



LATIHAN 5



KEGIATAN BELAJAR 6



2.3 RUMUS PERKALIAN KE PENJUMLAHAN DAN PENJUMLAHAN KE PERKALIAN DARI EKSPRESI TRIGONOMETRI 2.3.1 Rumus perkalian sinus dan kosinus 11



Rumus perkalian ke penjumlahan



1



(i)



𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = [𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)]



(ii)



𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = [𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽) + 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽)]



(iii)



𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = [𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)]



(iv)



𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = − [𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽) − 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽)]



2 1



2 1 2



1 2



Contoh 1 Nyatakan setiap bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih kosinus. a. 2 cos 72° cos 8° b. 6 sin 3𝑥 sin 𝑥 Pembahasan a. 2 cos 72° cos 8° = cos(72° − 8°) + cos(72° + 8°) = cos 64° + cos 80° b. 6 sin 3𝑥 sin 𝑥 = 3(2 sin 3𝑥 sin 𝑥 ) = 3[cos(3𝑥 − 𝑥 ) − cos(3𝑥 + 𝑥 )] = 3[cos 2𝑥 − cos 4𝑥 ] = 3 cos 2𝑥 − 3 cos 4𝑥



Contoh 2 Dengan menggunakan rumus perkalian ke penjumlahan, sederhanakan bentuk-bentuk berikut: a. 4 sin 3𝐴 cos 2𝐴 b. cos 5𝐴 sin 2𝐴 Pembahasan a. 4 sin 3𝐴 cos 2𝐴 = 2(2 sin 3𝐴 cos 2𝐴) = 2[sin(3𝐴 − 2𝐴) + sin(3𝐴 + 2𝐴)] = 2[sin 𝐴 + sin 5𝐴] = 2 sin 𝐴 + 2 sin 5𝐴 1



b. cos 5𝐴 sin 2𝐴 = − [2 cos 5𝐴 sin 2𝐴] 2



1 = − [sin(5𝐴 − 2𝐴) − sin(5𝐴 + 2𝐴)] 2 1 = − [sin 3𝐴 − sin 7𝐴] 2 1 1 = − sin 3𝐴 + sin 7𝐴 2 2 1 1 = sin 7𝐴 − sin 3𝐴 2 2



12



Contoh 3 Hitunglah nilai-nilai setiap bentuk berikut: 1



1



2



2



a. 2 sin 37 ° cos 7 ° b. 2 cos 105° sin 75° Pembahasan 1



1



1



1



1



2



2



2



2



2



a. 2 sin 37 ° cos 7 ° = [2 sin 37 ° cos 7 °] 1 1 1 1 = sin (37 ° − 7 °) + sin (37 ° + 7 °) 2 2 2 2 = sin 30° + sin 45° 1 1 + √2 2 2 1 = (1 + √2) 2 =



1



b. 2 cos 105° sin 75° = − [2 cos 105° sin 75°] 2



= − sin(105° − 75°) + sin(105° + 75°) = − sin 30° + sin 180° 1 =− −0 2 1 =− 2 2.3.2 Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus Rumus penjumlahan ke perkalian 1



1



2 1



2 1



2 1



2 1



(i)



𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 2 𝑠𝑖𝑛 (𝐴 + 𝐵) 𝑐𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵)



(ii)



𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 2 𝑐𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵) 𝑠𝑖𝑛 (𝐴 − 𝐵)



(iii)



𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = 2 𝑐𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵) 𝑐𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵)



(iv)



𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = −2 𝑠𝑖𝑛 (𝐴 + 𝐵) 𝑠𝑖𝑛 (𝐴 − 𝐵)



2



2



1



1



2



2



Contoh 4 Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan dari sinus atau kosinus berikut. a. sin 160° + sin 40° b. cos 54° − cos 12° Pembahasan 1



1



2



2



a. sin 160° + sin 40° = 2 sin (160° + 40°) cos (160° − 40°) 1 1 = 2 sin (200) cos (120°) 2 2 = 2 sin 100° cos 60° = 2 sin 100° ∙



1 2 13



= sin 100° 1



1



2



2



b. cos 54° − cos 12° = −2 sin (54° + 12°) sin (54° − 12°) 1 1 = −2 sin (66°) sin (42°) 2 2 = −2 sin 33° sin 21°



Contoh 5 Hitunglan nilai berikut: a. cos 105° + cos 15° b.



cos 75°+cos 15° sin 75°−sin 15°



Pembahasan 1



1



2



2



a. cos 105° + cos 15° = 2 cos (105° + 15°) cos (105° − 15°) 1 1 = 2 cos (120°) cos (90°) 2 2 = 2 cos 60° cos 45° 1 1 = 2 ∙ ∙ √2 2 2 1 = √2 2 b.



cos 75°+cos 15° sin 75°−sin 15°



=



(75°+15°) (75°−15°) cos 2 2 (75°+15°) (75°−15°) 2 cos sin 2 2



2 cos



2 cos 45° cos 30° 2 cos 45° sin 30° cos 30° = sin 30° 1 √3 =2 1 2 1 = 2 =



LATIHAN 6



14



15