12 TO UTBK Full Version (SAINTEK) - Pengetahuan Kuuantitatif [PDF]

Citation preview

Soal



Pembahasan



Nomor 1 Santi, Rosa, dan Tika pergi menonton film di bioskop yang mempunyai 5 pintu. Mereka masuk dari pintu yang sama, akan tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah.. (A) 120 (B) 200 (C) 240 (D) 300 (E) 360 Jawaban : D Santi, Rosa, dan Tika masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada 5. Untuk keluar mereka menggunakan pintu yang berbeda sehingga ada 5 pilihan untuk yang memilih pintu keluar pertama, 4 pilihan untuk orang yang memilih kedua, dan 3 pilihan untuk orang yang memilih ketiga. Masuk Keluar I Keluar II Keluar III 5 5 4 3 Banyak cara adalah 5 × 5 × 4 × 3 = 300



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Soal



Sedang Kaidah Pencacahan C4 Ya Ya



Nomor 2 Diketahui terdapat sekelompok bilangan yang memiliki rata-rata sebesar 70. Akan tetapi terdapat sebuah bilangan yang sebenarnya adalah 80 tapi terbaca 40. Setelah dihitung kembali diperoleh rata-rata yang benar adalah 78. Banyak bilangan dalam kelompok tersebut adalah.. A. 5



B. C. D. E. Pembahasan



8 12 16 20



Jawaban : A Misalkan 𝑥1 adalah rata-rata awal dan 𝑥2 adalah rata-rata baru. 𝑥1 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛 𝑛 40 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛 70 = 𝑛 70𝑛 = 40 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛 70𝑛 − 40 = 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 .. (1) 𝑥1 =



𝑥1 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛 𝑛 80 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛 78 = 𝑛 78𝑛 = 80 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛 78𝑛 − 80 = 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 .. (2) 𝑥2 =



Dengan melakukan subtitusi pada persamaan (1) dan (2) diperoleh 78𝑛 − 80 = 70𝑛 − 40 𝟖𝒏 = 𝟒𝟎 𝒏=𝟓



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif



Sehingga jumlah bilangan adalah 5. Sulit Statistika C4



HOTS UTBK



Soal



Pembahasan



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Soal



Ya Ya



Nomor 3 Suatu halaman berbentuk persegi panjang memiliki panjang 10 meter dan lebar 12 meter. Di sekeliling halaman tersebut akan dipasang pagar dengan biaya Rp 15.000, 00 per meter. Besar biaya yang diperlukan adalah.. (A) Rp 400.000,00 (B) Rp 450.000,00 (C) Rp 560.000,00 (D) Rp 660.000,00 (E) Rp 700.000,00 Jawaban : D Pagar tersebut akan dipasang di sekeliling halaman maka akan dicari keliling dari halaman tersebut adalah 𝐾𝑒𝑙𝑙 = 2 × (𝑝 + 𝑙 ) 𝐾𝑒𝑙𝑙 = 2 × (10 + 12) = 44 Maka besar biaya yang diperlukan adalah 44 × 15.000 = 𝑅𝑝 660.000,00. Sedang Geometri C4 Ya Ya Nomor 4 Operasi ∗ pada himpunan bilangan didefinisikan dengan aturan sebagai berikut 𝑎 ∗ 𝑏 = 3 × 𝑏 × (1 + 𝑎) maka nilai dari 2 ∗ (3 ∗ 4) adalah.. (A) 56 (B) 72



(C) 144 (D) 256 (E) 432 Pembahasan



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Soal



Pembahasan



Jawaban : E Nilai dari 2 ∗ (3 ∗ 4) akan dicari dengan menyelesaikan terlebih dahulu nilai yang ada di dalam kurung (3 ∗ 4) = 3 × 4 × (1 + 3) = 48. Kemudian nilai dari 2 ∗ 48 = 3 × 48 × (1 + 2) = 432. Sedang Operasi Bilangan C4 Ya Ya Nomor 5 Dalam rak telur terdapat 20 box telur berbeda. Dari 20 box tersebut terdapat 3 box berisi telur pecah. Jika Rusti mengambil 3 box telur satu per satu dengan pengembalian, berapa peluang Rusti mendapat box berisi telur pecah pada box pertama dan ketiga? A. 0.006375 B. 0.019125 C. 0.06375 D. 0.19125 E. 0.3825 Jawaban : B Diketahui dari 20 box terdapat 3 box berisi telur pecah. Sehingga, jika diambil 1 box telur: 17



Peluang box tidak berisi telur pecah adalah 20 Peluang box berisi telur pecah adalah



3 20 3



17



3



Jadi peluang mendapat box berisi telur pecah × box berisi telur tidak pecah × box berisi telur pecah adalah: 20 × 20 × 20 = 0.019125



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Soal



Pembahasan



Sulit Peluang C4 Ya Ya Nomor 6 Apabila 𝑥, 𝑦, adalah anggota bilangan real yang terletak pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 {6𝑥 + 3𝑦 ≤ 18 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12 Maka berapakah nilai maksimum untuk 𝑥 + 2𝑦? A. 7 B. 12 C. 16 D. 30 E. 8 Jawaban : E Langkah pertama gambarkan pertidaksamaan linear ke dalam grafik



Cara mendapatkan titik-titik potong. Perhatikan bahwa:  Garis 6𝑥 + 3𝑦 = 18 berpotongan dengan sumbu 𝑥 sehingga 𝑦 = 0. Maka titik potongnya adalah subtitusikan 𝑦 = 0, sehingga didapatkan 𝑥 = 3, maka titik potongnya (3, 0)  Garis 2𝑥 + 3𝑦 = 12 berpotongan dengan sumbu 𝑦 sehingga 𝑥 = 0. Maka titik potongnya adalah subtitusikan 𝑥 = 0, sehingga didapatkan 𝑦 = 4, maka (0, 4)  Garis 2𝑥 + 3𝑦 = 12 dan garis 6𝑥 + 3𝑦 = 18 berpotongan. 2𝑥 + 3𝑦 = 12 6𝑥 + 3𝑦 = 18 − −4𝑥 = −6 𝑥 = 1.5 Subtitusikan 𝑥 = 1.5 ke salah satu garis sehingga didapatkan 𝑦 = 3, maka titik potongnya adalah (1.5, 3) Didapatkan titik-titik potong yang memenuhi sistem persamaan linear. Titik-titik potong tersebut disubtitusikan ke fungsi objektif 𝑥 + 2𝑦.  (0, 0) 0 + 2(0) = 0







(3, 0) 3 + 2(0) = 3







(0, 4) 0 + 2(4) = 8







(1.5, 3) 1.5 + 2(3) = 1.5 + 6 = 7.5



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Titik potong yang memberikan nilai maksimum adalah (0, 4) dengan nilai maksimum 8. Sedang Pertidaksamaan C3 Bukan Ya Nomor 7



Soal



Domain fungsi 𝑓 (𝑥) =



3𝑥+𝑎 𝑥−𝑎



adalah {𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 𝑎}. Jika 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan domain 𝑓 −1 ∘ 𝑔−1 sama dengan domain 𝑓, maka



𝑎= A. B. C. D. E. Pembahasan



3 2 −4 −5 5



Jawaban : E Diketahui fungsi 𝑓 (𝑥) =



3𝑥 + 𝑎 𝑥−𝑎



Dengan domain {𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 𝑎} 𝑓 −1 ∘ 𝑔−1



𝑓 −1 ∘ 𝑔−1 (𝑥) = (𝑔(𝑓(𝑥))



−1



Akan dicari fungsi komposiisnya terlebih dahulu 3𝑥 + 𝑎 )−1 𝑥−𝑎 6𝑥 + 2𝑎 − 𝑥 + 𝑎 = 𝑥−𝑎 5𝑥 + 3𝑎 = 𝑥−𝑎



𝑔(𝑓(𝑥)) = 2 (



Kemudian dicari inversnya (𝑔(𝑓(𝑥))



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



−1



=



𝑎𝑥 + 3𝑎 𝑥−5



Sehingga 𝑓 −1 ∘ 𝑔−1 memiliki domain adalah {𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 5}. Maka 𝑎 = 5 Sedang Fungsi C4 Ya Ya Nomor 8



Soal



Faktor dari 𝑥 4 + 8𝑥 2 + 16 − 16𝑦 2 adalah.. A. (𝑥 2 + 4𝑦 + 4)(𝑥 2 − 4𝑦 + 4) B. (𝑥 2 + 𝑦 − 4)(𝑥 2 − 𝑦 + 4) C. (𝑥 2 + 4𝑦)(𝑥 2 − 4𝑦) D. (𝑥 2 + 16𝑦 + 16)(𝑥 2 − 16𝑦 + 16) E. (𝑥 2 + 4𝑦 + 8)(𝑥 2 − 4𝑦)



Pembahasan



Jawaban : A Diketahui 𝑥 4 + 8𝑥 2 + 16 − 16𝑦 2



Akan disederhanakan bentuknya menjadi 𝑥 4 + 8𝑥 2 + 16 − 16𝑦 2 = (𝑥 2 + 4)2 − 16𝑦 2 Dengan selisih kuadrat adalah 𝑎 2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) (𝑥 2 + 4)2 − 16𝑦 2 = (𝑥 2 + 4)2 − (4𝑦)2 = (𝑥 2 + 4 + 4𝑦)(𝑥 2 + 4 − 4𝑦) = (𝑥 2 + 4𝑦 + 4)(𝑥 2 − 4𝑦 + 4) Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Sedang Fungsi Kuadrat C4 Ya Ya Nomor 9



Soal



2 1 5 1 ) dan B= ( ). Maka determinan dari (B.A)T adalah… Diketahui matriks A= ( 1 −3 2 1 A. -1 B. -21 C. 1 D. 21 E. -24



Pembahasan



Jawaban : B Pertama-tama, kalikan antara matriks 𝐵 dengan 𝐴. Ingat! 𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴 5 1) (2 1 ) 𝐵. 𝐴 = ( . 1 −3 2 1 (5.2) + (1.1) (5.1) + (1. (−3)) 𝐵. 𝐴 = ( ) (2.2) + (1.1) (2.1) + (1. (−3))



(10 + 1) (5 − 3) ) (4 + 1) (2 − 3) 11 2 ) 𝐵. 𝐴 = ( 5 −1 Selanjutnya, ubah bentuk tersebut menjadi bentuk transportnya, yakni merubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. (𝐵 ∙ 𝐴)𝑇 = (11 5 ) 2 −1 𝐵. 𝐴 = (



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Soal



Langkah terakhir, cari determinan dari matriks tersebut. 𝑑𝑒𝑡(𝐵. 𝐴)𝑇 = ((11). (−1)) − ((5). (2)) 𝑑𝑒𝑡(𝐵. 𝐴)𝑇 = ((−11) − 10) 𝑑𝑒𝑡(𝐵. 𝐴)𝑇 = (−21) Sedang Matriks C3 Bukan Ya Nomor 10 Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 memiliki invers dan memenuhi 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥 + 2), maka nilai 𝑓 −1 (𝑥) adalah…. A. B. C. D. E.



Pembahasan



𝑓 −1 (𝑥) 𝑓 −1 (𝑥) 𝑓 −1 (𝑥) 𝑓 −1 (𝑥) 𝑓 −1 (𝑥)



= 𝑔−1 (𝑥) − 2 = 𝑔−1 (𝑥) + 2 = 𝑔−1 (𝑥 − 2) = 𝑔−1 (𝑥 + 2) = 𝑔−1 (𝑥)



Jawaban : A Diketahui : 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥 + 2) Sehingga 𝑓 −1 (𝑔(𝑥 + 2)) = 𝑥



Misal 𝑔(𝑥 + 2) = 𝑦 maka 𝑔−1 (𝑦) = 𝑥 + 2 Maka 𝑥 = 𝑔−1 (𝑦) − 2 Sehingga 𝑓 −1 (𝑔(𝑥 + 2)) = 𝑥 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑔−1 (𝑦) − 2 Maka 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑔−1 (𝑥) − 2 Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Soal



Sedang Invers C3 Bukan Ya Nomor 11 Diketahui trapesium ABCD dengan panjang BC adalah 8 cm. Berapakah luas trapesium ABCD?



Putuskan apakah pernyataan (1) dan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan di atas? (1) AB = 15 cm (2) CD = 12 cm A. B. C. D. E.



Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan (2) SAJA cukup Pernyataan (1) dan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan



Pembahasan



Jawaban : C Luas trapesium dirumuskan sebagai berikut, 𝐿𝑢𝑎𝑠 =



(𝐴𝐵 + 𝐷𝐶) × 𝐴𝐷 2



Dari pernyataan (1) diketahui 𝐴𝐵 = 15 sehingga (15 + 𝐷𝐶) × 𝐴𝐷 2 Di sini kita tidak mengetahui panjang 𝐴𝐷 dan 𝐷𝐶, maka pernyataan (1) tidak cukup. Dari pernyataan (2) diketahui 𝐶𝐷 = 12 sehingga (𝐴𝐵 + 12) 𝐿𝑢𝑎𝑠 = × 𝐴𝐷 2 Di sini kita tidak mengetahui panjang 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐷, maka pernyataan (2) tidak cukup. 𝐿𝑢𝑎𝑠 =



Perhatikan gambar berikut



Dari kedua pernyataan, 𝐴𝐵 = 15 dan 𝐴𝐷 = 12 kita dapat peroleh 𝐸𝐵 = 𝐴𝐵 − 𝐷𝐶 = 15 − 12 = 3 sehingga 𝐸𝐶 = 𝑥 = √𝐵𝐶 2 − 𝐸𝐵2 = √64 − 9 = √55. Akibatnya (𝑎 + 𝑏) (15 + 12) ×𝑡 = × √55 𝑐𝑚 2 2 2 Jadi kedua pernyataan cukup secara bersama-sama untuk menjawab pertanyaan pada soal. Mudah 𝐿𝑢𝑎𝑠 =



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Geometri C3 Bukan Ya



Soal



Nomor 12 Delapan data memiliki rata-rata 7. Setelah dicek, ternyata ada dua data yang salah. Data yang tercatat 6 dan 7 sebenarnya 3 dan 8. Manakah hubungan yang benar antara kuantitas P dan Q berikut berdasarkan informasi yang diberikan? P Q Rata-rata baru 6,5 A. B. C. D.



Pembahasan



P>Q P Q Sedang Statistika C4 Ya Ya Nomor 13 Dilakukan survey pada siswa di kelas A untuk mengetahui makanan kesukaan mereka. Berapa jumlah siswa di kelas tersebut? Putuskan apakah pernyataan (1) dan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan di atas? (1) 25 siswa menyukai nasi goreng dan 22 siswa menyukai mie goreng (2) 6 siswa menyukai nasi goreng dan mie goreng



A. B. C. D. E. Pembahasan



∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖



Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan (2) SAJA cukup Pernyataan (1) dan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan



Jawaban : E Dengan menggunakan persamaan berikut, jumlah siswa di kelas A dapat diketahui jumlahnya, yaitu 𝑛(𝑆) = 𝑛(𝐴) + 𝑛 (𝐵) − (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝑋)) Dimana :  Siswa yang menyukai nasi goreng dilambangkan sebagai 𝑛(𝐴) = 25 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎  Siswa yang menyukai mie goreng dengan 𝑛 (𝐵) = 22 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎  Siswa yang menyukai keduanya dengan 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 6 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎  Jumlah siswa di kelas tersebut dengan 𝑛(𝑆)







Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Soal



Perhatikan bahwa dari soal tidak diketahui nilai 𝑛(𝑋) sehingga dari pernyataan-pernyataan yang sudah diberikan tidak dapat ditentukan jumlah siswa di kelas A. Mudah Himpunan C4 Ya Ya Nomor 14 Bilangan 𝑎 dan 𝑏 berbeda (𝑎 < 𝑏) yang berasal dari himpunan bilangan prima lebih kecil dari 15. Apabila nilai 𝑎 + 𝑏 habis dibagi 6 maka nilai 𝑏 − 𝑎 yang mungkin adalah ... (1) 4 (2) 6 (3) 8 (4) 10 A. B. C. D. E.



Pembahasan



Siswa yang tidak menyukai keduanya dengan 𝑛(𝑋)



(1), (2), dan (3) SAJA yang benar (1) dan (3) SAJA yang benar (2) dan (4) SAJA yang benar HANYA (4) yang benar SEMUA pilihan benar



Jawaban : B Diketahui bilangan prima dalam tabel berikut ini, 2 3 5 2 3



lebih kecil dari 15 adalah {2,3,5,7,11,13} maka hasil jumlah dari bilangan prima 𝑎 dan 𝑏 ditunjukan 5 7 8



7 9 10



11 13 14



13 15 16



5 7 11



-



-



-



12 -



16 18 -



18 20 24



Dari tabel terlihat bahwa bilangan yang habis dibagi 6 diperoleh dari {(5,7), (5,13), (7,11), (11,13)} maka nilai 𝑏 − 𝑎 yang mungkin adalah 2,4, dan 8



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



Soal



Pembahasan



Maka jawaban yang sesuai dengan pilihan adalah B yaitu (1) dan (3) benar. Sulit Himpunan C4 Ya Ya Nomor 15 Diketahui garis (2𝑦 − 𝑥) + 𝑎(𝑥 + 𝑦) = 2𝑎 sejajar dengan garis 𝑦 = −2𝑥 + 1 . Maka nilai 𝑎 adalah ... A. 5 B. −5 C. 1 D. −1 E. 0 Jawaban : B Perhatikan bahwa, Bentuk sederhana dari garis (2𝑦 − 𝑥) + 𝑎(𝑥 + 𝑦) = 2𝑎, adalah 2𝑦 − 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 2𝑎 (𝑎 − 1)𝑥 + (𝑎 + 2)𝑦 = 2𝑎 (𝑎 + 2)𝑦 = −(𝑎 − 1)𝑥 + 2𝑎 −(𝑎 − 1) 2𝑎 𝑦= 𝑥+ (𝑎 + 2) 𝑎+2



Dengan gradien 𝑚 =



Tingkatan Soal Materi Level Kognitif HOTS UTBK



−(𝑎−1) (𝑎+2)



Karena garis tesebut sejajar dengan garis 𝑦 = −2𝑥 + 1 yang bergradien −2, maka haruslah −(𝑎 − 1) 𝑚= = −2 𝑎+2 −(𝑎 − 1) = −2(𝑎 + 2) −𝑎 + 1 = −2𝑎 − 4 𝑎 = −5 Sedang Persamaan Garis