2 Geometri [PDF]

Citation preview

III. PENDALAMAN MATERI GEOMETRI Dalam bagian ini diberikan materi geometri yang berhubungan dengan (1) bangun datar meliputi segitiga, segiempat, segi-n beraturan, garis-garis pada segitiga, lingkaran, dan Koordinat geometri; (2) bangun ruang meliputi luas permukaan dan volum bangun ruang, serta jarak dan sudut dalam bangun ruang; dan (3) soal latihan Geometri. 3.1 Segitiga Diberikan sebuah segitiga ABC sebagai berikut.



a. Jenis segitiga Jika a2 = b2 + c2 maka  ABC siku-siku di A. Jika a2 > b2 + c2 maka  ABC tumpul di A. Jika a2 < b2 + c2 maka  ABC lancip di A b. Sifat segitiga 1) Sifat umum segitiga a) Jumlah besar sudutnya 180o. b) Jumlah dua sisi pertama > sisi ke-3 a + b > c, a + c > b, b + c > a. c) Panjang sisi-sisi segitiga berbanding lurus dengan besar sudutnya Jika a > b > c, maka A > B > C. 2) Sifat khusus segitiga



(a)



(b)



(c)



a) Pada segitiga sama sisi, semua sisi sama panjang dan semua sudut sama besar = 60o. b) Pada segitiga sama kaki, dua sisinya sama panjang dan dua sudutnya sama besar. c) Pada segitiga siku-siku sama kaki, salah satu sudutnya 90o dan yang lainnya 45o



22



Contoh 3.1.1 Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan panjang AB =AC = 3, BC = 2. Titik D pada sisi AC dengan AD = 1. Tentukan luas segitiga ABD. ....(OSK 2012)



Contoh 3.1.2 Diberikan segitiga ABC, AB = AC. Jika titik P diantara A dan B sedemikian rupa sehingga AP = PC = CB, maka besarnya sudut A adalah ….(OSK 2010)



Contoh 3.1.3 Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan AB sebagai sisi miringnya. Jika keliling dan luasnya berturut-turut 624 dan 6864, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah....(OSK 2012)



3.2 Segiempat Segiempat yang dibahas meliputi segiempat sembarang, persegi, persegi panjang, jajar genjang, trapesium, belah ketupat, dan layang-layang. Contoh 3.2.1 Pak Budi memiliki sawah berbentuk huruf L. Jika diketahui bahwa sawah pak Budi hanya memiliki sisi yang panjangnya 5 m dan 10 m dan semua sudut sawahnya siku-siku, luas sawah Pak Budi adalah…(OSK 2019)



Contoh 3.2.2 Diberikan trapesium ABCD dengan AB sejajar DC dan AB = 84 serta DC = 25. Jika trapesium ABCD memiliki lingkaran dalam yang menyinggung keempat sisinya, keliling trapesium ABCD adalah …(OSK 2015) Contoh 3.2.3 Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1. Titik K dan L berturut-turut terletak pada segmen garis BC dan DC sehingga keliling dari segitiga KCL adalah 2. Luas minimum dari segitiga AKL adalah…(OSK 2016) 3.3 Segi n beraturan 1. Segi-n beraturan (dengan n > 3) dapat dibuat dari n segitiga sama kaki yang kongruen. Dengan demikian, 2. Luas segi n beraturan = n × luas 1 unit segitiga sama kaki 1



𝐿 = 𝑛. 2 𝑟 2 sin



360 𝑛



3. Sifat segi-n beraturan: 23



Besar sudut pusat pada tiap unit segitiga =



Besar sudut pada tiap sisinya = 180 -



360 o n



360 o . n



Contoh 3.3.1 Pada segilima beraturan ABCDE, diagonal-diagonalnya berpotongan di F,G, H,I dan J. misalkan 𝑆1 menyatakan luas segilima ABCDE dan 𝑆2 menyatakan luas segilima FGHIJ. Jika 𝑆1 𝑆2



=



𝑚−√𝑛 𝑘



, dengan 𝑘, 𝑚, 𝑛 bilangan bulat positif dan n tidak memiliki factor kuadrat selain 1,



maka nilai dari 𝑘 + 𝑚 + 𝑛 adalah …(OSK 2015) 3.4 Garis-garis pada segitiga 1. Garis tinggi alas  tinggi 2  luas  Luas  =  tinggi = 2 alas



c ta a1



Garis tinggi pada sisi hipotenusa:



b a2



t a = a1  a 2 Perbandingan garis tinggi ta : tb : tc =



1 1 1 : : , a b c



ket: ta = panjang garis tinggi yang tegak lurus sisi a. Contoh 3.4.1 Misalkan H adalah titik tinggi dari segitiga lancip ABC dan P adalah titik tengah CH. Jika AP = 3, BP = 2 dan CP = 1, maka panjang sisi AB adalah . . . . Catatan: Titik tinggi suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis tinggi dari segitiga tersebut. …(KSNK 2020).



2. Garis bagi Diberikan segitiga ABC. Pada saat CD membagi  C menjadi dua bagian yang sama  CD merupakan garis bagi  C dan berlaku z2 = ab - c1c1 , dan c1 : c2 = b : a



Contoh 3.4.2 Diberikan segitiga ABC dengan AB = 360, BC = 240, dan AC = 180. Garis bagi dalam dan garis bagi luar dari sudut CAB memotong BC dan perpanjangan BC berturut-turut di P dan Q. Jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A, P, dan Q adalah....(OSK 2014) 24



C



3. Garis pembagi sisi Pada gambar di samping, CD dengan panjang z



b



a



z



merupakan garis pembagi sisi AB menjadi c1 dan c2. Berdasarkan dalil Steward:



A



c1 D



c2



B



c



cz2 = c1a2 + c2b2 - c1c2c



Contoh 3.4.3 Pada segitiga ABC, titik M terletak pada BC sehingga AB=7, AM = 3, BM = 5 dan MC = 6. Panjang AC adalah…(OSK 2016)



4. Garis berat Pada saat c1 = c2  z merupakan panjang garis berat.



a2 b2 c2 z = + − 2 2 4 2



Contoh 3.4.4 Garis berat AD pada segitiga ABC memotong garis berat CF di titik P, serta perpanjangan BP memotong ABC di E. Jika diketahui segitiga ABC lancip dan AB = 6, maka panjang DE adalah.... (OSK 2014) 5. Dalil Menelaos Pandang  ABC dengan garis transversal DF.



C



Berlaku: E



F



AD BE CF   =1 DB EC FA 6. Dalil De Ceva Jika AP, BQ, dan CR sembarang garis yang



D



C



berpotongan di dalam  ABC, maka berlaku:



AR BP CQ   =1 RB PC QA



B



A



Q



A



P



R



B



25



Contoh 3.4.5 Pada segitiga ABC, garis tinggi AD, garis bagi BE dan garis berat CF berpotongan di satu titik. Jika panjang AB = 4 , BC = 5 dan CD =



𝑚2 𝑛2



dengan 𝑚 dan 𝑛 relative prima, maka nilai



dari 𝑚 − 𝑛 adalah …(OSK 2015)



3.5 Lingkaran 1. Luas dan keliling lingkaran Lingkaran berjari-jari r mempunyai: Luas = πr2 dan keliling = 2πr. 2. Busur, juring, dan tembereng AOB Panjang busur AB =  kel. lingkaran 360 o Luas juring AOB =



AOB  luas lingkaran. 360 o



Luas tembereng BC = luas juring OBC – luas  OBC 3. Sudut pusat dan sudut keliling  BOC adalah sudut pusat menghadap busur BC, dan



B A



 BAC adalah sudut keliling (SK) menghadap busur BC.



O C



Berlaku hubungan  BOC = 2 ×  BAC 4. Tali busur 1) Segi empat tali busur Pada segi empat tali busur terdapat sifat-sifat sbb: o



a) Jumlah sudut berhadapan = 180 .  A +  C =  B +  D = 180o



D



C E



A B



b) Hasil kali perpotongan setiap diagonalnya sama. AE × EC = BE × ED c) Hasil kali dua diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi berhadapan. AC × BD = AB × DC + BC × AD



26



2) Sudut antara 2 tali busur a) Berpotongan di dalam C B



b) Berpotongan di luar C



D



E



E B



A



D



 AEC = SK busur AC + SK busur BD



A



 BED = SK busur AC - SK busur BD



c) Sifat segmen dua tali busur yang berpotongan di luar. (1) EB × EA = ED × EC (2) Jika A dan B berimpit maka (AE)2 = ED × EC. Contoh 3.5.1 Diberikan empat titik pada satu lingkaran Γ dalam urutan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. Sinar garis AB dan DC berpotongan di E, dan sinar garis AD dan BC berpotongan di F. misalkan EP dan FQ menyinggung lingkaran Γ berturut- turut di P dan Q. misalkan pula bahwa EP = 60 dan FQ = 63, maka panjang EF adalah…(OSK 2016)



Contoh 3.5.2 Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, talibusur AB berjarak 5 dari O dan talibusur AC berjarak 5√2 dari titik O. jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka 𝐵𝐶 2 adalah…(OSK 2017)



5. Garis singgung lingkaran Garis yang menyinggung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.



Contoh 3.5.3 Lingkaran 𝜔1 dan 𝜔2 bersinggungan di titik A dan mempunyai garis singgung sekutu 𝑙 yang menyinggung 𝜔1 , 𝜔2 berturut-turut di B dan C. jika BD merupakan diameter lingkaran 𝜔1 dengan panjang 2, dan BC = 3, luas segitiga BDC adalah …….(OSP 2014)



Contoh 3.5.4 Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi satu satuan. Misalkan lingkaran Γ dengan AD sebagai diameter, dan pilih titik E pada sisi AB sehingga garis CE menjadi garis singgung pada Γ. Luas segitiga BCE adalah …….(OSP 2014) 27



6. Lingkaran dan Segitiga a. Lingkaran dan segitiga 1) Lingkaran dalam segitiga



2) Lingkaran luar segitiga C



C



Rumus:



a



b A A



R dalam =



B



luas ABC s



R luar =



c



B



abc 4  luas ABC



Contoh 3.5.5 Diketahui segitiga ABC dengan 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶. Garis bagi sudut BAC memotong BC di titik D. Titik E dan F berturut-turut terletak pada sisi AC dan AB sehingga DE sejajar AB dan DF sejajar AC. Lingkaran luar ∆BCE memotong sisi AB di titik K. Jika luas segitiga CDE adalah 75 dan luas segitiga DEF adalah 85, maka luas segiempat DEKF adalah …..(KSK KD 2021)



3.6 Koordinat geometri  x + x y + y2  1. Koordinat titik tengah antara A(x1, y1) dan B(x2, y2)   1 2 , 1 . 2   2  x + xb + x c y a + y b + y c  , 2. Koordinat titik berat  ABC   a . 3 3  



3. Luas segitiga dengan titik koordinat (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3). Luas segitiga =



1 x1



x2



x3



x1



2 y1



y2



y3



y1



=



1 2



(x1 y 2 + x2 y3 + x3 y1 )− (x2 y1 + x3 y 2 + x1 y3 )



Catatan: Nilai luas yang diambil harus selalu yang positif.



Contoh 3.6.1 Parabola 𝑦 = 𝑎𝑥 2 − 4 dan 𝑦 = 8 − 𝑏𝑥 2 memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik. Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai 𝑎 + 𝑏 adalah…(OSK 2018)



28



3.7 Bangun Ruang 1. Luas dan volume prisma Luas prisma = 2 × luas alas + jumlah luas bidang tegak. Volume prisma = luas alas × tinggi. 2. Luas dan volume limas Luas limas = luas alas + jumlah luas bidang tegak yang berbentuk segitiga. 1 Volume limas =  luas alas  tinggi. 3 3. Luas dan volume kerucut Luas kerucut = 𝜋𝑟 2 + 𝜋𝑟𝑠 1



Volume kerucut = 3 𝜋𝑟 2 𝑡 4. Luas dan volume bola Luas bola = 4πr2 Volume bola =



4 3 r 3



3.8 Soal Latihan Geometri Soal Tingkat kabupaten/Kota



1.



Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah…(OSK 2018)



2.



Misalkan ABCD adalah trapesium siku-siku dengan AB sejajar DC dan AB tegak lurus AD. Misalkan juga P adalah titik potong diagonal AC dan BD. Jika perbandingan luas 𝐴𝐵



segitiga APD dan luas trapesium ABCD adalah 4:25 maka nilai 𝐷𝐶 adalah…(OSK 2018) 4



Diberikan segitiga ABC dan lingkaran Γ yang berdiameter AB. Lingkaran Γ memotong 1



1



sisi AC dan BC berturut-turut di D dan E. jika 𝐴𝐵 = 30, 𝐴𝐷 = 3 𝐴𝐶,dan 𝐵𝐸 = 4 𝐵𝐶, maka luas segitiga ABC adalah…(OSK 2018) 5



Pada segitiga ABC, panjang sisi BC adalah 1 satuan. Ada tepat satu titik D pada sisi BC yang memenuhi |𝐷𝐴|2 = |𝐷𝐵|. |𝐷𝐶|. jika 𝑘 menyatakan keliling ABC, jumlah semua 𝑘 yang mungkin adalah… (OSK 2018)



29



6



Diberikan suatu trapezium ABCD dengan AB//CD. Misalkan titik P dan Q berturut-turut pada AD dan BC sedemikian sehingga PQ//AB dan membagi trapezium menjadi dua bagian yang sama luasnya. Jika AB = 17 dan BC = 7 maka nilai PQ adalah. …(OSK KD 2019)



7



Diberikan segitiga ABC dengan D pertengahan AC, E pertengahan BD, dan H merupakan pencerminan dari A terhadap E. Jika F perpotongan antara AH dengan BC, 𝐴𝐹



maka nilai 𝐹𝐻 sama dengan . …(OSK KL 2019) 8



Misalkan ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 4. Lingkaran-lingkaran x, y, z dengan jari-jari sama mempunyai pusat di dalam persegi sedemikian sehingga lingkaran x menyinggung sisi AB dan AD, lingkaran y menyinggung sisi AB dan BC, serta lingkaran z menyinggung sisi DC, lingkaran x, dan lingkaran y. Diketahui jari-jari lingkaran x dapat dinyatakan dengan 𝑛 − √𝑚 dengan m dan n bilangan bulat positif. Nilai m adalah.... (OSK KL 2019)



9



Diberikan jajar genjang ABCD, ∠𝐴𝐵𝐶 = 105𝑜 . Titik M berada di dalam jajar genjang sehingga segitiga BMC sama sisi dan ∠𝐶𝑀𝐷 = 135𝑜 . Jika K pertengahan sisi AB, maka besarnya ∠𝐵𝐾𝐶 = ⋯ derajat. (OSK KL 2019)



10 Diberikan trapezium ABCD siku di B dan C. Jika 𝐴𝐵 = 1, 𝐵𝐷 = √7 dan 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷, maka luas trapezium tersebut adalah …(KSK KD 2020) 11 Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi 𝐵𝐶 = 3, 𝐶𝐴 = 4, dan 𝐴𝐵 = 5. Titik P terletak pada AB dan Q terletak pada AC sehingga 𝐴𝑃 = 𝐴𝑄 dan garis bagi PQ membagi segitiga ABC menjadi dua daerah dengan luas yang sama. Panjang segmen PQ adalah. …(KSK KD 2020). 12 Diberikan segitiga ABC dengan ∠ACB = 48o . Garis bagi ∠BAC memotong sisi BC dan lingkaran luar ABC berturut-turut di titik D dan E. Jika AC = AB+DE, maka ∠ABC = …(KSK KL 2020). 13 Misalkan ABC segitiga dan P, Q, R titik pada sisi BC, CA, AB. Jika luas segitiga ABC 𝐴𝑄



sama dengan 20 kali luas segitiga P QR dan 𝐴𝐶 +



𝐵𝑅



+ 𝐵𝐴



𝐶𝑃



𝐴𝑄 2



𝐵𝑅 2



= 1, maka (𝐴𝐶 ) + (𝐵𝐴) + 𝐶𝐵



𝐶𝑃 2



(𝐶𝐵) = …(KSK KL 2020).



30



14 Pada gambar di bawah ini, sebuah persegi panjang dibagi dua menjadi 2 buah persegi yang panjang sisinya 6 cm. Luas total daerah yang di arsir adalah …. cm2 .. (KSK KD 2021)



15 ,Pada suatu lingkaran dengan jari-jari r, terdapat segiempat talibusur ABCD dengan AB = 8 dan CD = 5. Sisi AB dan CD diperpanjang dan berpotongan di luar lingkaran di titik P. Jika ∠𝐴𝑃𝐷 = 60° dan BP = 6, maka nilai dari 𝑟 2 adalah ….(KSK KD 2021) 16 Diberikan segitiga ABC dengan AB = 6, BC = 7 dan CA = 8. Jika I adalah titik potong ketiga garis bagi segitiga ABC, maka 𝐴𝐼 2 adalah …..(KSK KL 2021) 22. Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan ∠𝐵𝐶𝐴 = 90°. Dibuat setengah lingkaran 𝜔1 dengan titik pusat di BC sedemikian sehingga 𝜔1 menyinggung AC dan AB. Titik D dan E berturut-turut terletak pada sisi AB dan AC sedemikian sehingga DE sejajar BC dan DE menyinggung 𝜔1 . Dibuat setengah lingkaran 𝜔2 dengan titik pusat di AE sedemikian sehingga 𝜔2 menyinggung AD dan DE. Dibuat setengah lingkaran 𝜔3 dengan titik pusat di CE sedemikian sehingga 𝜔3 menyinggung DE dan 𝜔1 , seperti pada gambar di bawah ini



Jika 2𝐴𝐶 + 5𝐵𝐶 = 5𝐴𝐵, maka perbandingan panjang jari-jari 𝜔2 dan 𝜔3 adalah k : 25. Nilai dari k adalah …..(KSK KL 2021)



31



Soal-soal Tingkat Provinsi 1. Diberikan trapezium 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, dengan 𝐴𝐷 sejajar 𝐵𝐶. Diketahui 𝐵𝐷 = 1, ⦟𝐷𝐵𝐴 =



23°, dan ⦟𝐵𝐷𝐶 = 46°. Jika perbandingan 𝐵𝐶: 𝐴𝐷 = 9: 5, maka panjang sisi 𝐶𝐷 adalah ….(OSP 2018) 2. Diberikan segitiga tak samakaki 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝑀 titik tengah 𝐵𝐶. Misalkan 𝐾 adalah



titik berat segitiga 𝐴𝐵𝑀. Titik 𝑁 pada sisi 𝐴𝐶 sehingga luas segiempat 𝐾𝑀𝐶𝑁 𝐴𝑁



setengah dari luas segitiga 𝐴𝐵𝐶. Nilai 𝑁𝐶 adalah …. (OSP 2018) 3. Titik 𝑀 terletak pada lingkaran luar segilima beraturan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Nilai terbesar 𝑀𝐵+𝑀𝐸 𝑀𝐴+𝑀𝐶+𝑀𝐷



yang mungkin adalah ….(OSP 2018)



4. Suatu segitiga lancip 𝐴𝐵𝐶 memiliki panjang sisi bilangan bulat. Diketahui 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷



dengan 𝐷 adalah titik pada garis 𝐵𝐶 sehingga 𝐴𝐷 tegak lurus 𝐵𝐶. Nilai terkecil panjang sisi 𝐵𝐶 yang mungkin adalah ….(OSP 2018) 5. Diberikan suatu segienam beraturan dengan panjang sisi 1 satuan. Luas segienam



tersebut adalah ….(OSP 2019) 6. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶, dengan 𝐴𝐵 = 6, 𝐴𝐶 = 8, dan 𝐵𝐶 = 10. Titik-titik 𝐷 dan 𝐸



terletak pada segment garis 𝐵𝐶, dengan 𝐵𝐷 = 2 dan 𝐶𝐸 = 4. Besar sudut 𝐷𝐴𝐸 adalah ….(OSP 2019) 7. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan ⦟𝐴𝐵𝐶 = 135° dan 𝐵𝐶 > 𝐴𝐵. Titik 𝐷 terletak pada



sisi 𝐵𝐶 sehingga 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. Misalkan 𝐹 titik pada perpanjangan sisi 𝐴𝐵 sehingga 𝐷𝐹 tegak luru 𝐴𝐵. Titik 𝐸 terletak pada sinar 𝐷𝐹 sehingga 𝐷𝐸 > 𝐷𝐹 dan ⦟𝐴𝐶𝐸 = 45°. Besar sudut ⦟𝐴𝐸𝐶 adalah ….(OSP 2019)



32