8.4 Penyelesaian Persamaan Ruang Keadaan PDF [PDF]

Citation preview

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya



Penyelesaian Persamaan Ruang Keadaan



Pengantar Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen



Pengantar



Teorema Cayley-Hamilton



Materi



Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen



Contoh Soal



Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Dengan Tranformasi Laplace



Ringkasan Latihan Asesmen



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Pengantar



 Pada sub-bab ini akan dibahas teorema CayleyHamilton untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan persamaan matrik transisi keadaan, persamaan homogen, dan pendekatan laplace pada persamaan keadaan homogen.  Matrik transisi keadaan, merupakan matriks yang mencirikan suatu transisi dari variable-variabel state pada saat ti untuk beralih ke tj, dimana tj>ti



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi Teorema Cayley-Hamilton Teorema ini digunakan untuk pembuktian yang melibatkan persamaan matrik atau menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan matrik. Matrik Anxn, dengan persamaan karakteristik



I  A    a1 n



n 1



 ...  an1  an  0 (Pers.1)



teorema Cayley-Hamilton: matrik A yang sesuai dengan persamaan karakteristiknya dinyatakan dengan bentuk persamaan sebagai berikut,



A n  a1 A n1  ...  an1 A  an I  0



(Pers.2)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi



Fungsi eat at at det de de d (at )  et ;   e at a  ae at dt dt d (at ) dt 



k ( at ) e  1  at  21! (at )   k1! (at )     k! k 0 k! k  (k  1)   2 1 at



2



k



de at d (1  at  12 (at ) 2   k1! (at ) k  )  dt dt 0  a  22 (at )a   kk! (at ) k 1 a  )   ae at dt



(Pers.3)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Persamaan diferensial Skalar Persamaan diferensial skalar dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut:



x  ax



(Pers.4)



dan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut x(t )  b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....



(Pers.5)



Dari kedua persamaan diatas dilakukan substitusi sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut



b1  2b2 t  3b3t 3  ....  kbk t k 1  ....  a(b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....) (Pers.6)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Selanjutnya dengan menyamakan koefisien-koefisien dari suku-suku dengan pangkat t yang sama diperoleh:



b1  ab0 1 b2  ab1  2 1 b3  ab2  3 ................... 1 bk  a k b0 k!



1 2 a b0 2 1 3 a b0 3x 2



(Pers.7)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen dengan mensubtitusikan t=0 kedalam persamaan



b,1  2b2 t  3b3t 3  ....  kbk t k 1  ....  a(b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....) (Pers.8) maka diperoleh x(0)=b0, jadi jawab x(t) dapat dituliskan sebagai berikut : x(t )  (1  at 



1 2 2 1 a t  ....  a k t k  ....) x(0)  e at x(0) 2! k!



(Pers.9)



Persamaan diatas merupakan penyelesaian umum persamaan diferensial skalar dan mengandung suku eksponensial skalar.



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi



Exponensial Matriks: eAt 



k k A t At 2 2 k k 1 1 e  I  At  2! A t   k! A t     k  0 k! k! k  (k  1)   2 1



de at de at d (at )   ae at dt d (at ) dt de At de At d ( At )   Ae At  e At A dt d ( At ) dt



(Pers.9)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi Bentuk deret dari eAt



d At d e  ( I  At  21! A 2 t 2   k1! A k t k  ) dt dt  0  A  12 2tA2    k1! kt k 1 A k    A  A 2t   



1 ( k 1)!



A k t k 1  



 A(I  At   (k1-1)! A k 1t k 1  ) 



 A k 0



Ak t k  Ae At k!



 (I  At   (k1-1)! A k 1t k 1  ) A 



 ( k 0



Ak t k ) A  e At A k!



(Pers.10)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi PenyelesaianUmum UmumPersamaan PersamaanKeadaan KeadaanHomogen Homogen Penyelesaian Persamaan diferensial Matrik Vektor Persamaan diferensial matrik-vector:



x  Ax



(Pers.11)



dimana : x = vektor n dimensi. A= matriks konstannxn Analogi dengan kasus skalar, berbentuk deret pangkat vektor dalam t, atau



x(t )  b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  ....



(Pers.12)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Substitusi pada pers (



b1  2b 2 t  3b 3t 3  ....  kb k t k 1  ....  A(b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  ....) (Pers.13) Selanjutnya dengan menyamakan koefisien-koefisien dari suku-suku dengan pangkat t yang sama diperoleh: b  Ab 1 0 1 1 b  Ab  A 2b 2 1 0 2 2 1 1 b  Ab  A3b 3 2 0 3 3x 2 ................... 1 b  Ak b k 0 k!



(Pers.14)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen dengan mensubtitusikan t=0 kedalam persamaan x(t )  b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  .... , maka diperoleh x(0)=b0, jadi jawab x(t) dapat dituliskan sebagai berikut :



x(t )  (I  At 



1 22 1 A t  ....  A k t k  ....)x(0)  e At x(0) 2! k!



(Pers.15)



Karena eksponensial matrik eAt dalam analisis ruang keadaan sistem linier, maka berikut adalah beberapa sifat eksponensial matrik,



e ( AB)t  e At e Bt



jika AB  BA



e ( AB)t  e At e Bt



jika AB  BA



(Pers.16)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Dengan Tranformasi Laplace



Pendekatan penyelesaian untuk persamaan diferensial skalar homogen dapat diperluas dengan persamaan keadaan homogen:



x  Ax(t )



(Pers.17)



dengan transformasi laplace sebagai berikut :



sX(s)-x(0) = AX(s)



(Pers.18)



dimanaX(s) = ℒ[x]. Selanjutnya (sI-A)X(s) = x(0)



(Pers.19)



kedua persamaan (a) dan (b) dikalikan dengan (sI-A)-1, maka diperoleh X(s) = (sI-A)-1 x(0)



(Pers.20)



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Contoh Soal



Persamaan keadaan sistem linier time invariant yang dinyatakan dalam bentuk berikut : 1 0   x1  1  x1   0  x    0   x   1 r (t ) 0 1 2     2     x 3   6  11  6  x3  1 y  1 1 0x



Bila diberikan kondisi awal dari variabel keadaan adalah :  x1   1   x    0,5   2    x3   0,5



Tentukan x(t) dan y(t) jika r(t) adalah fungsi step.



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Contoh Soal Penyelesaian



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Contoh Soal Penyelesaian



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Contoh Soal Penyelesaian



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Contoh Soal Penyelesaian



Program Matlab pada contoh soal tersebut, A=[0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6]; B=[1;1;1]; C=[1 1 0]; D=0; x0=[1 .5 -0.5]; t=0:0.05:4; U=ones(1, length(t)); % menghasilkan vektor baris u(t) [y,x]=lsim(A,B,C,D,U,t,x0); plot(t,x,t,y); title('Penyelesaian numerik pada persamaan state'), xlabel('Waktu - detik')



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Contoh Soal Penyelesaian Keluaran dari program Matlab seperti terlihat pada gambar di bawah :



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Ringkasan



1. Untuk menyelesaikan persamaan keadaan homogen dapat diselesaikan dengan teorema: Teorema Cayley-Hamilton 2. Penyelesaian persamaan keadaan sistem, dapat dilakukan dengan menggunakan function [y,x] = impulse(A,B,C,iu,t) dan [y,x] = step(A,B,C,D,iu,t) dimana kedua fungsi tersebut akan menghasilkan respon impulse dan respon step



Pengantar



Materi



Contoh Soal



Ringkasan



Latihan



Asesmen



Latihan



Persamaan keadaan sistem linier time invariant yang dinyatakan dalam bentuk berikut : 1 0   x1  1  x1   0  x    0   x   1 r (t ) 0 2 2     2     x3   6  6  6  x3  1 y  1 2 0x



Bila diberikan kondisi awal dari variabel keadaan adalah :  x1   1  x    1   2    x3   0,5



Tentukan x(t) dan y(t) jika r(t) adalah fungsi step.



SEKIAN & TERIMAKASIH