Aplikasi Integral Momen Dan Pusat Massa [PDF]

Citation preview

1



APLIKASI INTEGRAL: MOMEN DAN PUSAT MASSA



MOMEN



Gambar 1.



Misalkan terdapat dua benda yang masing-masing memiliki massa m1 dan m2 dan berjarak d1 dan d 2 dari titik asal x . m1 terletak pada x1 berjarak d1 dan m2 terletak pada x2 berjarak d 2 dari x . Dalam kondisi setimbang



m1 x1  m2 x2  0 Perkalian antara massa dengan posisinya terhadap suatu titik disebut momen (M), M = mx.



Gambar 2.



Secara umum, momen total M (terhadap titik asal) dari n benda dengan massa m1 , m2 ,



, mn yang



terletak pada x1 , x2 ,, xn adalah jumlah dari seluruh momennya:



M  m1 x1  m2 x2 



n



 mn xn   mi xi



(1)



i 1



Kondisi di mana kesetimbangan pada titik asal x , maka M = 0:



m1 ( x1  x )  m2 ( x2  x ) 



M 0  mn ( xn  x )  0



m1 x1  m2 x2  m1 x1  m2 x2 



Ias Sri Wahyuni



 mn xn  m1 x  m2 x   mn xn   m1  m2 



 mn x



 mn  x



Matematika Dasar 2



2 Sehingga diperoleh n



m x  m2 x2   mn xn x 1 1  m1  m2   mn



m x i 1 n



i i



m i 1







M m



(2)



i



x , disebut pusat massa, adalah titik kesetimbangan.



PUSAT MASSA DAERAH BIDANG



Gambar 3.



Suatu bidang yang dibatasi oleh y = f(x), y = g(x), x = a, x = b, memiliki koordinat pusat massa



 x , y  sebagai berikut: b



x



x



f ( x)  g ( x) dx



a



,



b







 f ( x)  g ( x)  a  2  f ( x)  g ( x) dx b



y



f ( x)  g ( x) dx



a



b



 a



f ( x)  g ( x) dx



b







1 2 a



 f ( x) 



2



2



(3)



b











  g ( x)  dx



f ( x )  g ( x ) dx



a



Contoh 1: Tentukan pusat massa daerah yang dibatasi oleh kurva y  x3 dan y  x . Jawab: Mencari titik potong kedua kurva: y x x  x (kuadratkan kedua ruas) 3



x6  x



Ias Sri Wahyuni



Matematika Dasar 2



3 x6  x  0 x( x5  1)  0 x  0, x5  1( x  1)



Ketika x = 0, y = 03 = 0, dan x = 1, y = 13 = 1, sehingga koordinat titik potong kedua kurva tersebut adalah (0, 0) dan (1, 1). Gambar bidangnya sebagai berikut 1



x



 x f ( x)  g ( x) dx 0 1







1







x 0 1







f ( x)  g ( x) dx



0



x  x 3 dx x  x 3 dx



0 1







x



3/2



 x 4 dx



0 1







x  x 3 dx



0 1



 2 5/2 1 5   5 x  5 x  1/ 5 12 0    1 5 /12 25  2 3/2 1 5   3 x  4 x  0 1



y



1 2 0



 f ( x) 



2



2



1







f ( x)  g ( x) dx



0



1











  g ( x)  dx



1 2 0







x







2



2



1



 0







  x3  dx



x  x3 dx



1



1



1 1 1 2 1 7  1 5 x  x 6  dx x  x   .   20 2 2 7  0 2 14 3     5 5 5 /12 7 12 12



 12 3  Sehingga diperoleh koordinat pusat massa bidang tersebut adalah  ,   25 7 



Ias Sri Wahyuni



Matematika Dasar 2



4 Contoh 2: Tentukan koordinat pusat massa daerah yang dibatasi oleh y = sin x, sumbu X, x = 0, x   Jawab: Grafik daerah tersebut seperti pada gambar di bawah ini. Dari gambar terlihat bahwa daerah tersebut simetri terhadap garis x  pusat massanya adalah x 







y



1 2 0



 f ( x) 



2



 2







sehingga dapat disimpulkan bahwa koordinat absis untuk



2



.







  g ( x)  dx 2











f ( x)  g ( x) dx



0



















1 2 2  sin x    0  dx  20 



 sin x dx











1 sin 2 xdx  20



  cos x 0 











1 1 1  cos 2 x  dx 1  x  1 sin 2 x    2 2  4 2 0  0   4  2 2 2 8



0



   Koordinat pusat massanya adalah  ,  2 8 Catatan 1: Pusat massa untuk koordinat polar Misalkan r  f   pada 1    2 , maka pusat massa bidang tersebut adalah 



x



Ias Sri Wahyuni



1 2 3 r cos  d 3 1 



1 2 2 r d 2 1







,



y



1 2 3 r sin  d 3 1 



1 2 2 r d 2 1



(4)



Matematika Dasar 2



5 Contoh 3: Koordinat pusat massa dari daerah di dalam suatu cabang (kuadran pertama) dari r  sin 2 Jawab: 







x



1 2 3 r cos  d 3 1 2







1 2 r d 2 1







12 3 r cos  d 3 0 







12 2 r d 2 0







12 3  sin 2  cos  d  30 











12 3  2sin  cos   cos  d  30 



12 2  sin 2  d 2 0



12 2 sin 2 d 2 0







82 3 sin  cos 4  d 3 0











121 1  cos 4  d 2 0 2



128 105



  Karena bidang simetri terhadap garis y = x     , maka x  y . Jadi titik pusat massa adalah 4   128 128  ,    105 105 



PUSAT MASSA BENDA PUTAR Pusat massa benda putar yang terjadi akibat perputaran daerah yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu X, x = a, x = b, diputar mengelilingi sumbu X adalah b



  xy dx



b



x



a b



  x  f ( x)  dx 2



2







a b



   f ( x)  dx



  y dx



,



y 0



(5)



2



2



a



a



Pusat massa benda putar yang terjadi akibat perputaran daerah yang dibatasi oleh x = g(y), sumbu Y, y = c, y = d, diputar mengelilingi sumbu Y adalah d



  yx dy



d



x  0,



y



c d



  x dy 2



c



  y  g ( y )  dy 2



2







c d



   g ( y )  dy



(6)



2



c



Contoh 4: Koordinat pusat massa benda putar akibat perputaran antara parabola y  4  x 2 dengan sumbu X dan Y di kuadaran pertama yang diputar mengelilingi sumbu X Jawab: Karena daerah dibatasi juga oleh sumbu Y maka x bergerak dari x = 0.



Ias Sri Wahyuni



Matematika Dasar 2



6 Batas dengan sumbu X: y = 0, diperoleh x = 2 dan x = -2, karena berada di kuadran pertama, sehingga x yang digunakan adalah x = 2. Sehingga x bergerak dari 0 ke 2. Koordinat pusat massa daerah tersebut adalah 2



2



2



2



1 6  2 4 8 x  2 x  6 x  32 / 3 5 0 x  02  02  02    2 2 256 /15 8 2 8 1    f ( x)  dx    4  x 2  dx   16  8 x 2  x 4  dx 16 x  x3  x5  3 5 0  0 0 0



  x  4  x 2  dx



  x  f ( x)  dx 2



2



  16 x  8 x 3  x 5  dx



5  Sehingga koordinat pusat massanya:  , 0  8 



PUSAT MASSA BUSUR Koordinat pusat massa busur kurva lengkung y = f(x) dari x = a sampai x = b adalah 2



 dy  a x 1   dx  dx b



x



b



 a



2



 dy  1    dx  dx 



b







x a b







1   f '( x)  dx 1   f '( x)  dx



2



 dy  a y 1   dx  dx b



2



,



y



2



b







a



a



2



 dy  1    dx  dx 



b







y



1   f '( x)  dx 2



a b







(7)



1   f '( x)  dx 2



a



(penyebut merupakan panjang busur) Contoh 5: Tentukan koordinat pusat massa busur lingkaran x2 + y2 = 16 pada kuadran pertama Jawab: x 2  y 2  16 x 2   y 2  16 2 xdx  2 ydy



  dy  1    1    dx   2



dy x  dx y 2



 dy  0 y 1   dx  dx 4



y



4



 0



2



 dy  1    dx  dx 



4







y 0 4



 0



16 dx y2 16 dx y2



4







 4dx 0 4



4



4







 4dx







0 4



 y dx  0



2



x x 2 x 2  y 2 16  2   1 2  y y y2 y



0



4 16  x 2



dx



16 8  2 



8 8 Karena simetri terhadap garis y = x, maka x  y , sehingga koordinat pusat massa =  ,    



Ias Sri Wahyuni



Matematika Dasar 2



7



TEOREMA PAPPUS Misalkan daerah R terletak pada satu sisi dari suatu garis dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, maka volum benda putar tersebut sama dengan luas R dikalikan jarak ditempuh oleh sentroidnya (pusat massa).



Contoh: Gunakan teorema Pappus untuk mencari volume daerah yang dibatasi oleh y = sin x, 0  x   dan diputar mengelilingi sumbu X Jawab:



   Koordinat pusat massa daerah tersebut yang diperoleh di contoh 2:  x , y    ,  2 8 Luas daerah di antara kurva dan sumbu X: 



A   sin xdx    cos x 0    cos   ( cos 0)  1.  1  (1)  1  1  2 



0



Dengan metode piringan: 











1 1  cos 2 x  dx 2 0



V     f ( x)  dx    sin 2 xdx    2



0



0











1 1  1 2     1  cos 2 x  dx    x  sin 2 x   2 0 2  2 2 0 Dengan teorema Pappus



   V  A.  2 y   2.  2   8 2 



2



Ias Sri Wahyuni



Matematika Dasar 2



8



Ias Sri Wahyuni



Matematika Dasar 2