System Partikel Dan Pusat Massa [PDF]

Citation preview

A. SISTEM PARTIKEL DAN PUSAT MASSA Hukum kekekalan energi mekanik berkaitan dengan momentum linear, momentum anguler dan energi terapan diberbagai system. Jika sebuah system berisi sejumlah N partikel, dengan symbol bilangan 1,2……N. massa partikel ini adalah m1, m2,……mN dan letaknya pada jarak r1, r2,……….rN dari titik asal O. kecepatan partikel adalah r21, r22………..r2N(a1, a2,……aN). untuk beberapa system partikel, pusat massa terletak pada jarak R(X,Y,Z) dari titik asal dan didapat hubungan. (m1, m2,……mN)R =m1r1 +m2r2+…….+mN rN atau N



N



∑ mk R=∑ mk r k k =1



k=1



Oleh karena itu : R



∑ mk r ∑ mk



=



=



k



∑ mk r



k



M



(1) Dalam hal ini M =∑ mk merupakan jumlah dari keseluruhan massa dalam system tersebut dan penjumlahan Σ dari k = 1 ke k = N. berdasarkan komponen tersebut dapat dituliskan : X



1 1 1 m k x k , Y = ∑ m k y k , Z= ∑ m k z k ∑ M m M



= (2)



Kecepatan ´v =R pada pusat massa dapat diperoleh dengan differensi persamaan (1) terhadap t oleh karena itu, v=R=



1 m r M∑ k k



(3)



Komponen-komponen kecepatan pusat massa dapat ditulis : v x =x



1 M



1



1



∑ mk x˙ k , v y = y˙ = M ∑ mk ˙y k , v z = ˙z = M ∑ mk z˙ k A=π r 2



Percepatan a didapat dengan mendefferensialkan lagi, yakni :



(4)



a x = x¨ =



1 1 1 m k x¨ k , a y = y¨ = ∑ mk ¨y k , a z= ∑ m k z¨ k ∑ M M M



(5)



B. KEKEKALAN MOMENTUM LINEAR Untuk sebuah partikel tunggal bermassa m bergerak dengan kecepatan ´v dan momentum linear ´p, hukum II Newton menyatakan : ´ d ´p F= dt (6) Teorema momentum untuk system partikel : “ Kekekalan momentum linear : perubahan rata-rata pada momentum linear adalah sama dengan gaya terapan luar total. Jadi bila jumlah semua gaya terapan luar sama dengan nol, maka momentum linear total ´p



dari system ini adalah



konstan.” ´p = konstan, jika F´ = 0



(7)



Pusat koordinasi massa N



´p=∑ mk r˙ =M R´˙



(8)



k=1



“Pusat massa pada sistem partikel bergerak seperti halnya partikel tunggal bersama m (sistem massa total )bekerja pada gaya tunggal F´ sama dengan jumlah semua gaya luar yang bekerja pada sistem.” Dua buah pendekatan differensial : 1. Hukum II newton 2. Prinsip dari kerja nyatanya F´ ik =¿ merupakan gaya dorong pada partikel



(9)



menuju partikel



. Sesuai dengan



hukum III newton.



Fik=−F ik



(10)



Kerja yang dilakukan oleh gaya internal



k sesungguhnya δ r untuk partikel ke th



Fik pada suatu simpangan



adalah



δW k =F ik⋅δ r



(11)



Kerja total yang dilakukan oleh seluruh gaya internal adalah : N



N



k =1



k=1



δW = ∑ δW k= ∑ ( F ik⋅δ r )=δ r



N



[ ] ∑ F ik



(12)



k=1



C. KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT Momentum sudut dari partikel tunggal didefenisikan pada bentuk perkalian silang yaitu :



L=r×p=r×mr=r×m v



(13)



Pada sistem partikel N, momentum sudut total



L dapat dituliskan sebagai



jumlah vector : N



N



¿



(



)



L= ∑ ( r k × pk )= ∑ r k×m k r =0 k =1



k =1



(14) Gaya total yang bekerja pada partikel k, diperoleh : N



N



N



dL =∑ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿= ∑ r k ×F ek + ∑ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ dt ¿ ¿ k=1



(15)



e F k merupakan gaya luar total yang bekerja pada partikel k, dan Dalam hal ini



Fikl sebagai gaya dalam yang bekrja pada partikel k th menuju partikel lth . Suku kedua pada ruas kanan sama dengan nol, dalam hal ini : N



¿ =( r k ×Fikl )×( r l ×Filk ) ¿ ¿ ∑ ¿ N



(16)



Fikl=−F ilk , maka persamaan



Oleh karena N



∑¿ ¿ =( r k ×Fikl )×( r l ×Filk ) ¿=( r k−r l×F ilk =r kl×F ikl ) ¿ N



(17)



D. KEKEKALAN ENERGI



F ek tergantung pada posisi



Gaya keluar



rk



dari partikel k, sedangkan



i



gaya dalam F k tergantung pada posisi relatif dari partilkel –partikel relative lain terhadap partikel



k,yakni



r kl =( r k −r l )



dan sebagainya. Jika gaya



Fk



memenuhi kondisi :



∇×F k =curl⋅F k =0 (18) Sehingga



F kx =−



dV dV dV ⋅Fky =− , F kz =− d xk d yk d zk , dengan



k=1,2,....N



(19)



k th dinyatakan sebagai :



Gerak partikel ¿



¿⋅¿=m



mk



k



v= F



rk



k



¿



(20)



Yang merupakan hukum kekekalan energi. Jika gaya luar tidak gayut pada posisi, maka gaya dalam dapat diturunkan dari suatu fungsi potensial, sehingga N



¿ d( K +V i )= ∑ Fek⋅r l dt k=1



Oleh V



i



gayut pada posisi relative pasangan partikel, maka



(21)



i



i



i



V kl=V kl ( r kl ) =V kl ( r k−r l )



(22)



Dapat diperoleh bahwa :



Fik=−i



i



i



i



dV dV dV −j −k dx k dy k dz k



(23)



E. GERAK SISTEM DENGAN VARIABEL MASSA : ROKET DAN SABUK-BERJALAN DAN SABUK BERJALAN Kecepatan gas merupakan u terhadap roket, sedangkan kecepatan terhadap sistem koordinat tertentu



u+v



pada interval waktu antara t dan t+dt,



sejumlah pembuangan gas adalah |dm|=-dm, sedangkan massa roket adalah m+dm dan kecepatan ´v + d ´v Momentum sistem pada saat t yakni ´p(t)=m´v



(24)



Dan momentum sistem pada saat t + dt adalah



p ( t+dt )= proket ( t +dt ) +p gas ( t+dt ) =



( m+dm )( v+d v ) +(−dm )( v+u )



(25)



u



adalah kecepatan dari gas yang keluar :



m



dv dm =u +F dt dt



(26)



Kecepatan akhir



v



, tergantung pada dua factor,



u



,



v



1. Besar nilai 2. Besar



kecepatan dari gas yang dikeluarkan dan



m0 /m , dala hal ini m0



merupakan massa awal roket dan bahan



bakar, sedang m sebagai massa akhir saat semua bahan bakar telah digunakan.



Untuk posisi roket dekat permukaan bumi. Maka gaya gravitasi tak dapat diabaikan sehingga disubstitusi



m



F=m g



dalam persamaan didapat



dv dm =u +m g dt dt



(27)



Dan hasil integrasinya, 1



m



1



∫ d v=u ∫ m1 dm+g∫ dt 0 m0 0 v =v 0 −u ln



m0 m



+ g⋅t



Pada saat t = 0 dan besar kecepatan



(28)



v 0 =0



, dan



u



berlawanan dengan



v



,



maka persamaan (56) menjadi (bentuk saklar)



v =u⋅ln



m0



( ) m



−g⋅t



(29) Momentum toal pada sistem , sabuk dan pasir pada sabuk yakni



P=( m+M ) v (30) Karena M dan



F=



v



konstan, sedangkan m berubah maka



d p dm =v dt dt



Dalam hal ini



(31)



F merupakan gaya digunakan pada sabuk-sabuk berjalan. Daya



yang disuplai oleh gaya agar sabu-berjalan dapat melaju v yakni : Daya = P = F . v =



=



v2 2



dm d d 1 2 = mv 2 =2 mv dt dt dt 2



(



d 1 dK ( m+M ) v 2 =2 dt 2 dt



(



)



)



atau



(32)



Ketika pasir mengenai sabuk berjalan maka harus dipercepat dari kelajuan nol sampai kelajuan sabuk berjalan menempuh jarak tertentu. Pada pengamat yang



berada pada sabuk ,pasir yang jatuh kebawah harus bergerak horizontal dengan kelajuan v pada arah berlawanan dengan sabuk. F. TUMBUKAN LENTING DAN HUKUM KEKEKALAN Tumbukan antar partikel dapat dibedakan menjadi tumbukan elastic yang berlaku kekekalan momentum linear dan energy kinetic, dan tumbukan elastic yang hanya berlaku kekekalan momentum linear namun kekekalan energy kinetiknya tak berlaku.



pi= p f ,dan K i = K f



Untuk tumbukan lenting :



Untuk tumpukan tak lenting :



(33)



pi= p f ,dan K i ≠ K f



(34) Sebuah benda bermassa m1 bergerak dengan kecepatan



v1 i



, dan mengenai



sebuah partikel lain bermassa m2 pada keadaan diam yang keduanya berada di sepanjang sumbu x. Setelah tumbukan, massa m 1 bergerak dengan kecepatan



v1 f



θ



membentuk sudut



kecepatan



v2 f



dengan sumbu x, dan massa m2 bergerak dengan



, membentuk sudut ϕ



Untuk kasus (a) θ



dengan sumbu x.



= 0, tumbukan satu dimensi yang merupakan tumbukan



tepat pusat massa



v1 f v 1i



=1 atau



v if v 1i



=



m 1 −m 2 m1 +m 2



(35)



Tidak terjadi bertumbukan



v if v2f = 0, jika v 1i



=1 (36)



Pada kasus (b) m1> m2, maka cos 2 θ≥



m 2 −m 1



m



12



(37)



θ = θm



Dan untuk cos 2 θ =



m 2 −m 1



m



22



2



m =1 −



12



θ



Sudut hamburan π



22



≤θ≤θ



m



22



, 0 ≤ θm ≤



12



π 2



(38)



harus lebih kecil daripada



θm , jika



θ



>



θm dan



, nilai dibawah tanda akar mejadi negatif. Dalam hal ini



θm



merupakan sudut maksimum = θ maks,



θ≤θ maks ,



dan 0