Pusat Massa Suatu Keping Datar [PDF]

Citation preview

PUSAT MASSA SUATU KEPING DATAR Selain untuk menghitung isi benda padat, salah satuu penggunaan lain dari integral lipat dua adalah menentukan massa, momen, dan pusat massa suatu keping datar dengan rapat massa yang tak homogen. Rapat massa keping di setiap titiknya bergantung pada letak titik tersebut, yaitu merupakan fungsi dua peubah.



MASSA, MOMEN, DAN PUSAT MASSA KEPING DATAR Kita mempunyai sebuah keping datar dengan rapat massa tak homogen yang berbentuk daerah



Atau



Di mana



dan



kontinu pada



, di mana



. Rapat massa di setiap titik



merupakan fungsi kontinu pada



pada keping



adalah



.



Kedua keping datar tersebut diperlihatkan pada gambar berikut. Y



Y b



a o



a



b



X



o



X



Kita akan mengkonstruksi rumus massa, momen terhadap kedua sumbu koordinat dan pusat massa keping



.



Buatlah jarring



untuk keping



beririsan dengan daerah



yang terdiri dari



buah persegi panjang yang semuanya



seperti diperlihatkan pada gambar di bawah.



Komponen jarring yang ke adalah



Ukuran jarring ke



didefinisikan sebagai panjang diagonal terbesar dari persegi panjang



ditulis dengan lambang



Keping



. kemudian pilihlah titik



dapat dipandang sebagai system



Jika massa partikel ke adalah



Massa system



, maka



partikel tersebut adalah



pada komponen jarring ke .



partikel yang terletak di titik



.



Bentuk ini merupakan suatu bentuk Rieman yang mempunyai limit karena Massa keping



didefinisikan sebagai limit jumlah Rieman dari momen



partikel terhadap sumbu , yaitu



Momen massa keping terhadap sumbu massa system



.



didefinisikan sebagai limit dari jumlah Rieman ini, yaitu



Momen massa keping terhadap sumbu massa system



kontinu pada



partikel terhadap sumbu



Pusat massa keping adalah titik



didefinisikan sebagai limit jumlah Rieman dari momen yaitu



, di mana



MOMEN INERSIA Momen suatu partikel terhadap titik atau garis yang tetap disebut momen pertama, yang didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel dengan jaraknya terhadap titik atau garis tersebut. Sekarang kita akan mendefinisikan momen kedua dengan cara serupa tetapi jaraknya diganti oleh kuadrat jaraknya.



Momen kedua suatu partikel terhadap titik atau garis yang tetap, dikenal sebagai momen inersia, didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kuadrat jarak partikel terhadap titik atau garis itu. Berikut ini definisinya secara matematis. Definisi momen inersia, adalah Momen inersia dari partikel dengam massa



dan jaraknya



satuan dari garis



, ditulis



,



didefinisikan sebagai



MOMEN INERSIA KEPING DATAR Kita mempunyai sebuah keping datar dengan rapat massa terdistribusi secara kontinu berbentuk daerah tertutup



yang dapat ditulis sebagai



Atau



Di mana



dan



, di mana



kontinu pada



. Rapat massa di setiap titik



merupakan fungsi kontinu pada



pada keping



adalah



.



Seperti halnya dengan momen pertama untuk keping datar



, momen inersia dari keping



terhadap kedua sumbu koordinat kita definisikan sebagai limit jumlah dari momen inersia sistem partikel terhadap kedua sumbu koordinat itu. Sistem di titik



dengan rapat massa



.



partikel tersebut masing-masing terletak



Kita tulisskan hal ini dalam definisi berikut Definisi, momen inersia suatu keping datar. Misalkan



adalah suatu keping datar yang berbentuk



Atau



Di mana



dan



kontinu pada



Jika rapat massa di setiap titik momen inersia keping



.



adalah



, di mana



terhadap sumbu koordinat dan titik asal



Momen inersia terhadap sumbu



Momen inersia terhadap sumbu



Momen inersia terhadap titik



kontinu pada



, maka



didefinisikan sebagai berikut



Jari-jari kitaran (radius of gyration) suatu keping bilangan positif



Di mana kepingnya.



terhadap suatu sumbu didefinisikan sebagai



yang memenuhi



adalah m adalah momen inersianya terhadap sumbu itu dan



adalah massa