5 0 323 KB
1
APLIKASI INTEGRAL: MOMEN DAN PUSAT MASSA
MOMEN
Gambar 1.
Misalkan terdapat dua benda yang masing-masing memiliki massa m1 dan m2 dan berjarak d1 dan d 2 dari titik asal x . m1 terletak pada x1 berjarak d1 dan m2 terletak pada x2 berjarak d 2 dari x . Dalam kondisi setimbang
m1 x1 m2 x2 0 Perkalian antara massa dengan posisinya terhadap suatu titik disebut momen (M), M = mx.
Gambar 2.
Secara umum, momen total M (terhadap titik asal) dari n benda dengan massa m1 , m2 ,
, mn yang
terletak pada x1 , x2 ,, xn adalah jumlah dari seluruh momennya:
M m1 x1 m2 x2
n
mn xn mi xi
(1)
i 1
Kondisi di mana kesetimbangan pada titik asal x , maka M = 0:
m1 ( x1 x ) m2 ( x2 x )
M 0 mn ( xn x ) 0
m1 x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2
Ias Sri Wahyuni
mn xn m1 x m2 x mn xn m1 m2
mn x
mn x
Matematika Dasar 2
2 Sehingga diperoleh n
m x m2 x2 mn xn x 1 1 m1 m2 mn
m x i 1 n
i i
m i 1
M m
(2)
i
x , disebut pusat massa, adalah titik kesetimbangan.
PUSAT MASSA DAERAH BIDANG
Gambar 3.
Suatu bidang yang dibatasi oleh y = f(x), y = g(x), x = a, x = b, memiliki koordinat pusat massa
x , y sebagai berikut: b
x
x
f ( x) g ( x) dx
a
,
b
f ( x) g ( x) a 2 f ( x) g ( x) dx b
y
f ( x) g ( x) dx
a
b
a
f ( x) g ( x) dx
b
1 2 a
f ( x)
2
2
(3)
b
g ( x) dx
f ( x ) g ( x ) dx
a
Contoh 1: Tentukan pusat massa daerah yang dibatasi oleh kurva y x3 dan y x . Jawab: Mencari titik potong kedua kurva: y x x x (kuadratkan kedua ruas) 3
x6 x
Ias Sri Wahyuni
Matematika Dasar 2
3 x6 x 0 x( x5 1) 0 x 0, x5 1( x 1)
Ketika x = 0, y = 03 = 0, dan x = 1, y = 13 = 1, sehingga koordinat titik potong kedua kurva tersebut adalah (0, 0) dan (1, 1). Gambar bidangnya sebagai berikut 1
x
x f ( x) g ( x) dx 0 1
1
x 0 1
f ( x) g ( x) dx
0
x x 3 dx x x 3 dx
0 1
x
3/2
x 4 dx
0 1
x x 3 dx
0 1
2 5/2 1 5 5 x 5 x 1/ 5 12 0 1 5 /12 25 2 3/2 1 5 3 x 4 x 0 1
y
1 2 0
f ( x)
2
2
1
f ( x) g ( x) dx
0
1
g ( x) dx
1 2 0
x
2
2
1
0
x3 dx
x x3 dx
1
1
1 1 1 2 1 7 1 5 x x 6 dx x x . 20 2 2 7 0 2 14 3 5 5 5 /12 7 12 12
12 3 Sehingga diperoleh koordinat pusat massa bidang tersebut adalah , 25 7
Ias Sri Wahyuni
Matematika Dasar 2
4 Contoh 2: Tentukan koordinat pusat massa daerah yang dibatasi oleh y = sin x, sumbu X, x = 0, x Jawab: Grafik daerah tersebut seperti pada gambar di bawah ini. Dari gambar terlihat bahwa daerah tersebut simetri terhadap garis x pusat massanya adalah x
y
1 2 0
f ( x)
2
2
sehingga dapat disimpulkan bahwa koordinat absis untuk
2
.
g ( x) dx 2
f ( x) g ( x) dx
0
1 2 2 sin x 0 dx 20
sin x dx
1 sin 2 xdx 20
cos x 0
1 1 1 cos 2 x dx 1 x 1 sin 2 x 2 2 4 2 0 0 4 2 2 2 8
0
Koordinat pusat massanya adalah , 2 8 Catatan 1: Pusat massa untuk koordinat polar Misalkan r f pada 1 2 , maka pusat massa bidang tersebut adalah
x
Ias Sri Wahyuni
1 2 3 r cos d 3 1
1 2 2 r d 2 1
,
y
1 2 3 r sin d 3 1
1 2 2 r d 2 1
(4)
Matematika Dasar 2
5 Contoh 3: Koordinat pusat massa dari daerah di dalam suatu cabang (kuadran pertama) dari r sin 2 Jawab:
x
1 2 3 r cos d 3 1 2
1 2 r d 2 1
12 3 r cos d 3 0
12 2 r d 2 0
12 3 sin 2 cos d 30
12 3 2sin cos cos d 30
12 2 sin 2 d 2 0
12 2 sin 2 d 2 0
82 3 sin cos 4 d 3 0
121 1 cos 4 d 2 0 2
128 105
Karena bidang simetri terhadap garis y = x , maka x y . Jadi titik pusat massa adalah 4 128 128 , 105 105
PUSAT MASSA BENDA PUTAR Pusat massa benda putar yang terjadi akibat perputaran daerah yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu X, x = a, x = b, diputar mengelilingi sumbu X adalah b
xy dx
b
x
a b
x f ( x) dx 2
2
a b
f ( x) dx
y dx
,
y 0
(5)
2
2
a
a
Pusat massa benda putar yang terjadi akibat perputaran daerah yang dibatasi oleh x = g(y), sumbu Y, y = c, y = d, diputar mengelilingi sumbu Y adalah d
yx dy
d
x 0,
y
c d
x dy 2
c
y g ( y ) dy 2
2
c d
g ( y ) dy
(6)
2
c
Contoh 4: Koordinat pusat massa benda putar akibat perputaran antara parabola y 4 x 2 dengan sumbu X dan Y di kuadaran pertama yang diputar mengelilingi sumbu X Jawab: Karena daerah dibatasi juga oleh sumbu Y maka x bergerak dari x = 0.
Ias Sri Wahyuni
Matematika Dasar 2
6 Batas dengan sumbu X: y = 0, diperoleh x = 2 dan x = -2, karena berada di kuadran pertama, sehingga x yang digunakan adalah x = 2. Sehingga x bergerak dari 0 ke 2. Koordinat pusat massa daerah tersebut adalah 2
2
2
2
1 6 2 4 8 x 2 x 6 x 32 / 3 5 0 x 02 02 02 2 2 256 /15 8 2 8 1 f ( x) dx 4 x 2 dx 16 8 x 2 x 4 dx 16 x x3 x5 3 5 0 0 0 0
x 4 x 2 dx
x f ( x) dx 2
2
16 x 8 x 3 x 5 dx
5 Sehingga koordinat pusat massanya: , 0 8
PUSAT MASSA BUSUR Koordinat pusat massa busur kurva lengkung y = f(x) dari x = a sampai x = b adalah 2
dy a x 1 dx dx b
x
b
a
2
dy 1 dx dx
b
x a b
1 f '( x) dx 1 f '( x) dx
2
dy a y 1 dx dx b
2
,
y
2
b
a
a
2
dy 1 dx dx
b
y
1 f '( x) dx 2
a b
(7)
1 f '( x) dx 2
a
(penyebut merupakan panjang busur) Contoh 5: Tentukan koordinat pusat massa busur lingkaran x2 + y2 = 16 pada kuadran pertama Jawab: x 2 y 2 16 x 2 y 2 16 2 xdx 2 ydy
dy 1 1 dx 2
dy x dx y 2
dy 0 y 1 dx dx 4
y
4
0
2
dy 1 dx dx
4
y 0 4
0
16 dx y2 16 dx y2
4
4dx 0 4
4
4
4dx
0 4
y dx 0
2
x x 2 x 2 y 2 16 2 1 2 y y y2 y
0
4 16 x 2
dx
16 8 2
8 8 Karena simetri terhadap garis y = x, maka x y , sehingga koordinat pusat massa = ,
Ias Sri Wahyuni
Matematika Dasar 2
7
TEOREMA PAPPUS Misalkan daerah R terletak pada satu sisi dari suatu garis dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, maka volum benda putar tersebut sama dengan luas R dikalikan jarak ditempuh oleh sentroidnya (pusat massa).
Contoh: Gunakan teorema Pappus untuk mencari volume daerah yang dibatasi oleh y = sin x, 0 x dan diputar mengelilingi sumbu X Jawab:
Koordinat pusat massa daerah tersebut yang diperoleh di contoh 2: x , y , 2 8 Luas daerah di antara kurva dan sumbu X:
A sin xdx cos x 0 cos ( cos 0) 1. 1 (1) 1 1 2
0
Dengan metode piringan:
1 1 cos 2 x dx 2 0
V f ( x) dx sin 2 xdx 2
0
0
1 1 1 2 1 cos 2 x dx x sin 2 x 2 0 2 2 2 0 Dengan teorema Pappus
V A. 2 y 2. 2 8 2
2
Ias Sri Wahyuni
Matematika Dasar 2
8
Ias Sri Wahyuni
Matematika Dasar 2