Bab 1 Geometri [PDF]

Citation preview

BAB 1 PENDAHULUAN Disusun oleh: Kelompok 1  Cicilia Cindy Silviana  Ikhsan Hidayat Lubis  Julia Nanda  Kadek Trissia Kusuma H.



(1710118120006) (1710118110013) (1710118120014) (1710118120015)



1.1 Geometri dan Pemecahan Masalah Geometri merupakan cabang matematika yang tidak mengutamakan hubungan antar bilangan, meskipun ia menggunakan bilangan. Tetapi geometri mempelajari hubungan antara titik-titik, garis-garis, sudut-sudut, bidang-bidang, serta bangun datar dan bangun ruang (solid). Banyak fakta dalam aritmetika atau aljabar dibuktikan dalam geometri. Sebagai contoh dalam geometri dibuktikan bahwa kuadrat hipotenusa segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lain. Geometri merupakan sistem matematika yang menggunakan penalaran deduktif berdasarkan fakta yang dikenal dan dapat diterima untuk menemukan sifat-sifat baru. Disamping itu pelajaran geometri sangat berharga karena luasnya aplikasi subyek-subyek lain dalam kehidupan sehari-hari sebagai contoh bagaimana seorang Astronot menggunakan geometri mengukur jarak dari bumi ke bulan. Geometri sebagai sistem deduktif dimulai dengan unsur-unsur yang tidak didefinisikan yang disebut unsur primitif. Ada 3 unsur yang tidak didefinisikan yaitu : 1. Titik Suatu tempat (posisi) dalam ruang (space), tidak mempunyai panjang dan tidak mempunyai tebal. 2. Garis Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang tetapi tidak mempunyai lebar. Macam-macam garis, yaitu:  Garis Lurus



 Garis Patah



 Garis Lengkung



3. Bidang Suatu bidang adalah permukaan datar yang diperpanjang tak terhingga ke segala arah, memiliki panjang dan lebar tetapi tidak memiliki ketebalan. Bidang termasuk dimensi dua.  Bidang Datar



 Bidang Lengkung Contoh bidang lengkung adalah selimut tabung dan permukaan bola.



Berpangkal dari tiga unsur primitif (yang tak didefinisikan) titik, garis dan bidang akan dimulai untuk menggunakan definisi, postulat (aksioma) dan teorema.



1. Definisi adalah pernyataan yang mendeskripsikan bangun-bangun dan sifat-sifat tertentu. Contoh: Segmen (ruas garis) adalah himpunan titik-titik yang memuat dua titik dan semua titik-titik lainnya berada diantara dua titik itu. 2. Aksioma (postulat) adalah pernyataan yang diasumsikan benar tanpa bukti. Contoh : Ada tepat satu garis yang memuat 2 titik berbeda.



Kebenaran bahwa hanya ada garis c yang memuat titik A dan B dan tidak ada garis yang lain, tidak perlu diragukan lagi.



3. Teorema adalah pernyataan yang kebenarannya di buktikan berdasar definisi, postulat atau teorema yang telah dibuktikan terlebih dahulu. Contoh: 2 sudut yang bertolak belakang adalah kongruen. Pernyataan ini perlu dibuktikan kebenarannya. Untuk bukti teorema tersebut, kita memerlukan definisi sudut, definisi bertolak belakang dan sifat-sifat (teorema) hubungan 2 sudut. Langkah-langkah pembuktian teorema harus logis dan setiap langkah harus disertai alasan. Geometri sebagai sistem deduktif, nampak bahwa obyek geometri merupakan benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak. Jadi gambar dianggap sebagai peraga dari obyek geometri.



1.2 Pengukuran Jarak Kita telah mempelajari betapa pentingnya berpikir logis bagi geometri, dengan definisi-definisi yang telah ditetapkan dan sifat-sifat yang telah dibuktikan dibuat definisi dan sifat baru. Kita tahu bahwa bukti sifat baru, atau teorema, didasarkan pada sifat-sifat atau teorema yang telah dibuktikan. Dalam geometri beberapa pernyataan yang disebut postulat, diterima tanpa bukti. Dari postulat-postulat diturunkan teorema-teorema dan diturunkan teorema yang lebih banyak. Penting dipahami bahwa postulat-postulat bertindak sebagai pondasi geometri. Dalam geometri setiap orang harus menerima himpunan postulat yang sama atau jika tidak mereka akan mendapatkan kesimpulan-kesimpulan berbeda. Pernahkah kita menyaksikan seorang tukang kayu “membuat sebuah garis dengan pensil” pada lantai atau dinding? Untuk membuat garis lurus yang menghubungkan 2 titik berjauhan, tukang kayu itu membentangkan meteran dengan kencang antara 2 titik itu, menandai jarak antara 2 titik tersebut, kemudian menarik pensilnya pada permukaan dinding sehingga terbentuk sebuah garis. Membuat garis dari pensil diatas memberi ide postulat pertama untuk geometri.



Postulat 1 Diberikan dua titik yang berbeda, maka tepat satu garis yang memuat kedua titik tersebut



Jadi, dalam geometri postulat 1 menyatakan bahwa jika garis 1 memuat titik A dan titik B tidak ada garis lain yang memuat kedua titik itu. Cara lain untuk menyatakan ini adalah bahwa dua titik yang diketahui menentukan tepat satu garis, yang bermakna bahwa dua titik itu membangun tepat satu dan hanya satu garis. Bila kita membuat garis bilanagn dengan mengaitkan bilangan-bilangan real dengan titik pada sebuah garis, kita mempunyai beberapa kebebasan dalam melakukannya. Seseorang bisa melakukannya seperti ini:



Orang lain dapat melakukan seperti:



Misalkan kita diminta menentukan jarak (menghitung banyaknya satuan) antara dua titik, A dan B. Jika kita menggunakan penomoran skala orang pertama, akan tampak jarak antara A dan B adalah 3 satuan.



Jika kita menggunakan penomoran orang kedua, jaraknya adalah 6 satuan.



Jelaslah bahwa jarak itu tidak berubah, namun skalanya yang berubah. Untuk menghindari kebingungan setiap kali berurusan dengan jarak, kesepakatan berikut harus diperhatikan: dalam masalah tertentu, skala pada garis bilangan harus tetap konstan.



Postulat 2 (Postulat Jarak) Setiap pasang titik berbeda berkesesuaian dengan tepat satu bilangan real positif. Postulat 3 (Postulat Penggaris) Titik-titik pada garis berkesesuaian dengan bilanganbilangan real sedemikian hingga: 1. setiap titik pada garis itu berkesesuaian dengan tepat satu bilangan real; 2. setiap bilangan real berkesesuaian dengan tepat satu titik pada garis; dan 3. jarak antara dua titik adalah nilai mutlak selisih bilangan-bilangan yang bersesuaian.



Bagian 1 dan 2 Postulat Penggaris menjelaskan bagaimana membuat garis bilangan. Bagian 3 menjelaskan bagaimana menggunakan garis bilangan sebagai alat ukur. Bila kita mengukur panjang sebuah obyek, kita biasanya meletakkan satu ujung penggaris pada satu ujung objek yang kita ukur seperti pada gambar pertama di bawah ini. Kemudian kita melihat ujung lain objek itu untuk melihat ukuran yang bersesuaian pada penggaris.



Misalkan penggaris yang kita gunakan rusak di salah satu ujungnya, sehingga kita tidak dapat menempatkan dengan benar pada objek. Haruskah kita gunakan penggaris lain? Tidak, masih bisa dilakukan pengukuran dengan penggaris rusak itu seperti ditunjukkan pada gambar kedua.



. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai nama dan koordinat sekaligus. Kita tahu sebelumnya bahwa nama-nama titik ditulis dalam huruf kapital. Koordinat-koordinatnya, tentu bilangan-bilangan real. Simbol AB akan digunakan untuk menyatakan jarak antara titik A dan titik B. Jadi dalam gambar di atas, FJ = |5 − 1| = 4 dan EH = |3 − 0| = 3. Pandang beberapa titik dengan koordinat negatif CG = |2 − (−2)| = 4. Ada satu pertanyaan lagi yang harus dijawab. Kadang-kadang koordinatnya berupa peubah yang dapat bernilai positif dan negatif. Pandang A dan B berturutturut dengan koordinat x dan y. Jika kita mengatakan jarak antara A dan B selalu bermakna y-x, kadang-kadang kita dapatkan bilangan negatif. Sebagai contoh, misalnya koordinat titik A adalah x = 9 dan koordinat titik B adalah y = 2. Maka y – x = 2 - 9 = -7. Tetapi menurut Postulat 2, jarak selalu bilangan positif. Sederhananya kita dapat mengambil nilai mutlak y – x.



1.3 Pemilihan Penggaris Tak Hingga



Postulat penggaris memungkinkan kita menciptakan sistem koordinat pada garis. Ini dapat dilakukan dalam banyak cara. Salah satunya adalah memilih sebarang titik P berkoordinat 0. Kemudian labeli koordinat positif di salah satu arahnya;



atau



Postulat 4 (Postulat Penempatan Penggaris) Diberikan dua titik P dan Q pada satu garis, sistem koordinat dapat dipilih sedemikian hingga koordinat titik P adalah nol dan koordinat titik Q adalah positif.



Kita telah mempunyai beberapa konsep antara, tetapi definisi formal diperlukan:



Definisi 1.1 (Keantaraan titik-titik) Diberikan tiga titik A, B dan C, B dikatakan diantara A dan C jika dan hanya jika 1. A, B dan C pada garis yang sama 2. AB + BC = AC



Gambar di atas menunjukkan bahwa titik Y tidak di antara titik X dan titik Z, sedangkan titik B berada di antara titik A dan titik C. Sehingga jika suatu titik berada di antara dua titik yang lain maka ketiga titik tersebut pasti berada pada satu garis, dan dikatakan bahwa jarak AC sama dengan jarak AB ditambah jarak BC atau AB + BC = AC.



Teorema 1.1 Misal A, B dan C tiga titik pada sebuah garis dengan koordinat berturut-turut x, y dan z. Jika x < y < z, maka B diantara A dan C



Diketahui: A, B dan C pada garis yang sama dan mempunyai koordinat x, y, z dengan x < y < z. Buktikan: B diantara A dan C Bukti: Dari yang diketahui yaitu A, B dan C segaris, dan x < y < z.



Berdasarkan Postulat Penggaris AB = |𝑦 − 𝑥| dan BC = |𝑧 − 𝑦|, sehingga AB + BC = |𝑦 − 𝑥| + |𝑧 − 𝑦|. Karena nilai mutlak bilangan didefinisikan sebagai jarak dari nol, pernyataan itu menjadi AB + BC = y -x + z – y = -x + z, sebab y + (-y) = 0. Atau, AB + BC = |𝑧 − 𝑥|. Berdasarkan postulat Penggaris, |𝑧 − 𝑥| adalah jarak antara A dan C, sehingga AB + BC = AC. Jadi, terbukti bahwa B terletak di antara A dan C.



Teorema 1.2 Dari tiga titik berbeda pada garis yang sama ada tepat satu titik diantara dua yang lainnya. Diketahui A, B dan C adalah tiga titik pada garis yang sama. Buktikan: Salah satu di antara A, B, atau C terletak di antara dua titik yang lain. Bukti: Dari definisi keantaran, paling sedikit satu dari yang berikut adalah benar: AB + BC = AC, AC + CB = AB, atau BA + AC = BC. Jika pernyataan pertama benar, maka AC adalah jarak terpanjang di antara AB, AC dan BC; jika pernyataan kedua benar, maka AB jarak terpanjang. Demikian pula, jika pernyataan ketiga benar, maka BC jarak terpanjang. Menurut sifat trikotomi, hanya satu di antara tiga bilangan yang bisa terbesar. Oleh karena itu hanya ada satu pernyataan yang benar. Jadi, hanya satu titik yang berada di antara dua titik lainnya.



Definisi 1.2 (Ruas Garis/Segmen) Himpunan titik-titik disebut ruas garis/segmen jika dan hanya jika himpunan itu memuat dua titik dan semua titik-titik lainnya berada diantara dua titik itu.



Ruas garis ditandai dengan huruf besar pada masing-masing titik akhirnya dan dilambangkan dengan dua huruf besar yang diberi setrip di atasnya misal ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 atau ̅̅̅̅ 𝐵𝐴.



Definisi 1.3 (Segmen Kongruen) Dua atau lebih ruas garis (segmen) dikatakan kongruen jika dan hanya jika ruas-ruas garis tersebut mempunyai panjang yang sama. Segmen-segmen yang kongruen dikatakan mempunyai kongruensi. Simbol “ ≅” bermakna “kongruen dengan” dan sebaliknya.



Teorema 1.3 Kongruensi antar segmen adalah hubungan equvalensi Diketahui: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 dan ̅̅̅̅ 𝐸𝐹 . ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷, ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐸𝐹 Buktikan: ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 (refleksif), ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 (simetris), ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐸𝐹 (transitif) ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ ≅ 𝐸𝐹 ̅̅̅̅ , 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dan 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝐸𝐹 ̅̅̅̅ maka ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Dengan Bukti: Jika 𝐴𝐵 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐵 Postulat Penggaris, Anda tahu sebuah segmen, ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 bersesuaian dengan suatu jarak AB yang merupakan bilangan real, sehingga berdasarkan sifat refleksif ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 . Berdasarkan ̅̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅. Demikian juga, diketahui 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ maka definisi kongruen, jika AB = AB maka 𝐴𝐵 AB = CD dan dengan simetris CD =AB, yang mengakibatkan ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 dan ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐸𝐹 maka AB = CD dan CD = EF. Dengan sifat transitif AB = EF yang mengakibatkan kongruensi ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ . Karena kongruensi antara AB, CD, dan EF adalah refleksif, simetris dan transitif, ≅ 𝐸𝐹 kongruen antara segmen-segmen memenuhi definisi relasi ekuvalensi.



⃗⃗⃗⃗⃗ ) adalah bagian garis yang memuat titik A dan Definisi 1.4 (Sinar Garis) Sinar garis AB (𝐴𝐵 ⃡⃗⃗⃗⃗ pada sisi yang sama seperti B dari A. Sinar garis disebut dengan nama setiap titik pada 𝐴𝐵 sinar. Sinar dilambangkan oleh dua huruf besar, huruf pertama sebagai pangkal sinar dan huruf kedua sebagai arah sinar. Simbol Sinar (→) selalu kearah kanan tanpa memperhatikan arah sebenarnya. Sinar dibawah ini dinamai ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 .



Definisi 1.5 (Sinar Berlawanan) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 dan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 disebut dua sinar yang berlawanan jika dan hanya jika A diantara B dan C. ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ Contoh: Pada gambar berikut sinar 𝐶𝐵 𝐶𝐴 adalah sinar yang berlawanan.



⃗⃗⃗⃗⃗ adalah sinar dan x adalah bilangan positif. Teorema 1.4 (Penempatan Titik) Misal 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ sedemikian hingga AP = x . Maka tepat ada satu titik P pada 𝐴𝐵 Diketahui: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 dan bilangan positif x Buktikan: Ada tepat satu titik P harus pada ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 sedemikian hingga AP = x



Bukti: Dengan Postulat Penggaris, pilih sistem koordinat pada ⃡⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 sedemikian hingga A mempunyai koordinat 0 dan B positif. Misal P adalah titik berkoodirnat x. Misal x > 0 dan P pada ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 , dan misal hanya satu titik yang mempunyai koordinat x, dan AP = |𝑥 − 0| = x, maka hanya P yang berjarak x dari A.



̅̅̅̅ jika dan hanya jika (1) B diantara A dan C dan Definisi 1.6 Titik B disebut titik tengah pada 𝐴𝐶 (2) AB = BC . Teorema 1.5 Setiap ruas garis mempunyai tepat satu titik tengah.



̅̅̅̅ dan P titik tengah 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ Diketahui: 𝐴𝐵 Buktikan: Ada tepat satu titik P pada ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 sedemikian hingga (1) P di antara A dan B (2) AP = PB Bukti:



Misal AP + PB = AB, dan AP = PB dengan substitusi AP pada PB maka diperoleh AP = 1 2 1 2



AB. Berdasarkan teorema penempatan titik maka ada tepat satu titik P pada ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 yang berjarak ̅̅̅̅ mempunyai tepat satu titik tengah. AB dari A. Jadi 𝐴𝐵



Definisi 1.7 (Pembagian dua, Bisektor) Suatu titik, garis, sinar, atau bidang membagi dua sebuah segmen bila dan hanya bila persekutuannya dengan segmen hanya pada titik tengah segmen. Bangun yang membagi dua sama panjang ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 disebut bisektor ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 . Definisi 1.8 (Garis Sumbu) Garis Sumbu Segmen adalah garis yang tegak lurus segmen itu di titik tengahnya.



Daftar Pustaka



Dr. Susanah, M.Pd, Drs. Hartono. 2014.Geometri. Surabaya: Unesa University Press-2004.



Gambar-gambar https://subhandepok.wordpress.com/bahan-ajar/materi-ajar/kelas-vii/gambar-ragam-hias-garis/ http://geo-metris.blogspot.co.id/2015/08/bangun-datar-2-dimensi.html https://www.slideshare.net/grizkif/geometri-bidang-kelompok-9 http://0903347.blogspot.co.id/2011/12/geometri.html https://www.slideshare.net/agusloveridha/aksioma-insidensi-dalam-geometri-euclid-final http://www.gibsonsothebysrealty.com/blog/2013/01/07/construction-industry-jobs-up-in-bostonby-12/ http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/08/rumus-mencari-luas-selimut-pada-tabung.html http://www.mikirbae.com/2017/02/hubungan-antara-titik-garis-dan-bidang.html http://mmujari.blogspot.co.id/2014/11/garis-dan-sudut.html