BAB 7 Nilai Eigen & Vektor Eigen [PDF]

Citation preview

Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dipo Aldila ([email protected]) Department of Mathematics, Universitas Indonesia, Indonesia



Aljabar Linear Elementer, Semester genap 2014-2015



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Materi Perkuliahan 1



2



3



Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Nilai Eigen dan Vektor Eigen Pada bab ini, kita akan mempelajari tentang nilai skalar dan vektor, yaitu nilai eigen dan vektor eigen. Eigen berasal dari bahasa jerman, yang slaah satu artinya adalah "karakteristik". Nilai eigen pertama kali muncul pada permasalahan gerak rotasi namun berkembang ke permasalahan permukaan dan berbagai permasalahan persamaan differensial. Pada awal tahun 1900an, nilai eigen banyak diaplikasikan ke matriks dan matriks transformasi dan kini, aplikasinya sangat banyak antara lain grafik komputerisasi, vibrasi mekanik, persamaan panas, dinamika populasi, mekanika kuantum, ekonomi dan lain sebagainya.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A adalah matriks berukuran n × n, maka vektor tak nol x di R n disebut sebagai Vektor Eigen dari matriks A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, atau dalam bentuk matematikanya Ax = λx



(1)



untuk suatu skalar λ. Nilai λ inilah yang disebut sebagai nilai eigen dari A.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A adalah matriks berukuran n × n, maka vektor tak nol x di R n disebut sebagai Vektor Eigen dari matriks A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, atau dalam bentuk matematikanya Ax = λx



(1)



untuk suatu skalar λ. Nilai λ inilah yang disebut sebagai nilai eigen dari A. Teorema 1 Jika A adalah matriks berukuran n × n, maka λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika λ memenuhi persamaan det(λI − A) = 0.



(2)



Catatan : PErsamaan ini disebut sebagai Persamaan karakteristik dari A. Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Teorema 2 Jika A adalah matriks segitiga atas, segitiga bawah ataupun diagonal berukuran n × n, maka nilai eigen dari matriks A adalah elemen pada diagonal utamanya .



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Teorema 2 Jika A adalah matriks segitiga atas, segitiga bawah ataupun diagonal berukuran n × n, maka nilai eigen dari matriks A adalah elemen pada diagonal utamanya . Teorema 3 Jika A adalah matriks berukuran n × n, maka pernyataan berikut ini saling ekuivalen : 1



λ adalah nilai eigen dari A.



2



λ adalah solusi dari persamaan karakteristik det(λI − A) = 0.



3



Sistem persamaan (λI − A)x = 0 memiliki solusi non-trivial.



4



Terdapat vektor tak nol yang memenuhi Ax = λx.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Teorema 2 Jika A adalah matriks segitiga atas, segitiga bawah ataupun diagonal berukuran n × n, maka nilai eigen dari matriks A adalah elemen pada diagonal utamanya . Teorema 3 Jika A adalah matriks berukuran n × n, maka pernyataan berikut ini saling ekuivalen : 1



λ adalah nilai eigen dari A.



2



λ adalah solusi dari persamaan karakteristik det(λI − A) = 0.



3



Sistem persamaan (λI − A)x = 0 memiliki solusi non-trivial.



4



Terdapat vektor tak nol yang memenuhi Ax = λx.



Teorema 4 Sebuah matriks persegi A memiliki invers jika dan hanya jika λ = 0 bukanlah nilai eigen dari matriks A. Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Sejauh ini, definisi nilai eigen dan vektor eigen yang telah dijelaskan sebelumnya hanya terbatas pada matriks ataupun operator linear di R n (dalam hal ini matriks A). Definisi 1 di atas dapat diperumum untuk ruang vektor secara umum, yaitu Definisi 2 Jika T : V → V adalah operator linear untuk ruang vektor V , maka vektor tak nol A x di V adalah vektor eigen dari T jika T (x) adalah kelipatan skalar dari x, atau : T (x) = λx



(3)



untuk suatu skalar λ. Skalar λ ini disebut sebagai nilai eigen dari T dan x disebut sebagai vektor eigen dari nilai eigen λ .



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Sejauh ini, definisi nilai eigen dan vektor eigen yang telah dijelaskan sebelumnya hanya terbatas pada matriks ataupun operator linear di R n (dalam hal ini matriks A). Definisi 1 di atas dapat diperumum untuk ruang vektor secara umum, yaitu Definisi 2 Jika T : V → V adalah operator linear untuk ruang vektor V , maka vektor tak nol A x di V adalah vektor eigen dari T jika T (x) adalah kelipatan skalar dari x, atau : T (x) = λx



(3)



untuk suatu skalar λ. Skalar λ ini disebut sebagai nilai eigen dari T dan x disebut sebagai vektor eigen dari nilai eigen λ . Latihan pemantapan pemahaman Latihan 5.1, halaman 300 dari Buku Howard Anton (edisi 11). Soal nomer 5(a), 7, 15, 25, 27. Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Teorema 6.2.7 Pernyataan Ekuivalen Jika A adalah matriks persegi, dan jika TA : R n → R n adalah perkalian dengan matriks A, maka pernyataan berikut ekivalen.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19



A dapat dibalik. Ax = 0 hanya punya solusi trivial. Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In . Matriks A dapat dituliskan sebagai hasil perkalian antara matriks elementer. Ax = b konsisten untuk setiap matriks b yang berukuran n × 1. Ax = b punya hanya 1 solusi setiap matriks b yang berukuran n × 1. det(A) 6= 0. Range dari TA adalah R n . TA bersifat satu-satu. Vektor kolom dari A bebas llinear Ruang baris dari A bebas linear Vektor kolom dan vektor baris dari A membangun R n Vektor kolom dan vektor baris dari A membentuk basis dari R n A memiliki rank n A memiliki nullitas 0 Komplemen ortogonal dari ruang nol A adalah R n Komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah ~ 0 AT A memiliki invers λ = 0 bukanlah nilai eigen dari A.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Diagonalisasi



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Diagonalisasi Pada sub bab ini, kita akan melihat bagaimana menemukan basis dari R n yang mengandung vektor eigen dari sebarang matriks A berukuran n × n. Basis ini sangat banyak penggunaannya antara lain untuk penyederhanaan komputasi numerik.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Some Questions



Masalah Vektor Eigen Misalkan diberikan matriks A berukuran n × n, apakah terdapat basis di R n yang mengandung vektor-vektor eigen dari A?



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Some Questions



Masalah Vektor Eigen Misalkan diberikan matriks A berukuran n × n, apakah terdapat basis di R n yang mengandung vektor-vektor eigen dari A? Masalah Diagonalisasi Misalkan diberikan matriks A berukuran n × n, apakah terdapat basis matriks invertible P sedemikian sehingga P −1 AP adalah matriks diagonal?



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Kita akan berkonsentrasi pada bentuk hasil kali matriks P −1 AP dimana P dan A adalah matriks berukuran n × n. Sebut saja pemetaan dari A → P −1 AP. Pemetaan disamping disebut sebagai Similarity transformations. Ada beberapa sifat yang dapat diturunkan dari Similarity transformations, kita sebut sebagai similarity invariant, antara lain : Sifat Determinan Invers Rank Nulitas Trace Pol. Karakteristik Nilai eigen Dimensi r.eigen



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Deskripsi A dan P −1 AP memiliki determinan sama A invertible jika dan hanya jika P −1 AP invertible A dan P −1 AP memiliki rank sama A dan P −1 AP memiliki nulitas sama A dan P −1 AP memiliki trace sama A dan P −1 AP memiliki polinom karakteristik sama A dan P −1 AP memiliki nilai eigen yang sama Jika λ adalah nilai eigen A, maka r.eigen A dan P −1 AP yang bergantung pada λ berdimensi sama Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A dan B adalah matriks persegi, maka kita sebut B similar dengan A jika terdapat matriks invertible P sedemikian sehingga B = P −1 AP.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A dan B adalah matriks persegi, maka kita sebut B similar dengan A jika terdapat matriks invertible P sedemikian sehingga B = P −1 AP. Definisi 2 Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi jika A similar pada suatu matriks diagonal;



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A dan B adalah matriks persegi, maka kita sebut B similar dengan A jika terdapat matriks invertible P sedemikian sehingga B = P −1 AP. Definisi 2 Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi jika A similar pada suatu matriks diagonal; Artinya, jika terdapat suatu matriks invertible P sedemikain sehingga P −1 AP adalah diagonal. Dalam kasus ini, matriks P disebut mendiagonalisasi matriks A.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A dan B adalah matriks persegi, maka kita sebut B similar dengan A jika terdapat matriks invertible P sedemikian sehingga B = P −1 AP. Definisi 2 Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi jika A similar pada suatu matriks diagonal; Artinya, jika terdapat suatu matriks invertible P sedemikain sehingga P −1 AP adalah diagonal. Dalam kasus ini, matriks P disebut mendiagonalisasi matriks A. Teorema 1 Jika A adalah matriks berukuran n × n, maka pernyataan berikut saling ekuivalen : 1



A dapat didiagonalisasi



2



A memiliki n buah vektor eigen saling bebas linear.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Teorema 2 1



Jika λ1 , λ2 , ..., λn adalah nilai eigen yang saling berbeda dari matriks A, dan jika v1 , v2 , ..., vn adalah vektor eigennya, maka {v1 , v2 , ..., vn } adlah himpunan bebas linear



2



Sebuah matriks n × n dengan n buah nilai eigen berbeda dapat didiagonalisasi.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Teorema 2 1



Jika λ1 , λ2 , ..., λn adalah nilai eigen yang saling berbeda dari matriks A, dan jika v1 , v2 , ..., vn adalah vektor eigennya, maka {v1 , v2 , ..., vn } adlah himpunan bebas linear



2



Sebuah matriks n × n dengan n buah nilai eigen berbeda dapat didiagonalisasi.



Prosedur mendiagonalisasi Matriks berukuran n × n 1



Tentukan lebih dulu, apakah matriks A dapat didiagonalisasi?. Caranya, tentukan dulu ruang eigennya. Jika ruang eigennya memiliki n buah vektor eigen, maka A dapat didiagonalisasi.



2



Bentuklah matriks P = [p1 p2 ... pn ] dimana pi adalah vektor eigen ke-i.



3



Hitunglah P −1 AP, dimana hasilnya adlaah matriks diagonal yang elemen diagonalnya adalah nilai eigen λi yang berkorespondensi dengan vektor eigen pi .



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Teorema 3 Jika k adalah sebarang skalar positif dan λ adalah nilai eigen dari matriks A serta x adalah vektor eigennya, maka λk adalah nilai eigen dari matriks Ak dan x adalah vektor eigennya. Latihan Buku Howard Anton, Elementary Linear ALgebra edisi 11, exercise 5.2, halaman 311, soal nomer 5, 9, 17, 30.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Diagonalisasi secara Ortogonal



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Diagonalisasi secara Ortogonal Pada sub bab ini, kita akan berkonsentrasi dalam mendiagonalisasi matriks simetri (AT = A). Dalam prakteknya nanti, masalahanya tidak akan jauh berbeda dengan bagaimana menemukan basis ortonormal di R n yang mengandung vektor eigen dari A. Masalah ini banyak diterapkan karena dalam berbagai permasalahan di lapangan, matriks yang digunakan adalah matriks simetri.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Some Questions Masalah Vektor Eigen Ortonormal Misalkan diberikan matriks A berukuran n × n, apakah terdapat basis ortonormal di R n terhadap HKD Euclid yang mengandung vektor-vektor eigen dari A?



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Some Questions Masalah Vektor Eigen Ortonormal Misalkan diberikan matriks A berukuran n × n, apakah terdapat basis ortonormal di R n terhadap HKD Euclid yang mengandung vektor-vektor eigen dari A? Masalah Diagonalisasi Ortonormal Misalkan diberikan matriks A berukuran n × n, apakah terdapat basis matriks ortogonal P sedemikian sehingga P −1 AP = P T AP adalah matriks diagonal? Jika terdapat, maka A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal dan P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A dan B adalah matriks persegi berukuran sama, maka kita katakan B orthogonally similar dengan A jika terdapata sebuah matriks ortogonal sedemikian sehingga B = P T AP.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A dan B adalah matriks persegi berukuran sama, maka kita katakan B orthogonally similar dengan A jika terdapata sebuah matriks ortogonal sedemikian sehingga B = P T AP. Teorema 1 Jika A adlaah matriks berukuran n × n dengan entrinya adalah bilangan real, maka pernyataan berikut saling ekuivalen. 1



A orthogonally diagonalizable



2



A memiliki himpunan ortonormal dari n buah vektor eigen



3



A bersifat simetris.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Definisi 1 Jika A dan B adalah matriks persegi berukuran sama, maka kita katakan B orthogonally similar dengan A jika terdapata sebuah matriks ortogonal sedemikian sehingga B = P T AP. Teorema 1 Jika A adlaah matriks berukuran n × n dengan entrinya adalah bilangan real, maka pernyataan berikut saling ekuivalen. 1



A orthogonally diagonalizable



2



A memiliki himpunan ortonormal dari n buah vektor eigen



3



A bersifat simetris.



Teorema 2 Jika A adalah matriks simetris dengan entri bilangan real, maka : 1



Nilai eigen dari A semuanya bilangan real.



2



Vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda saling ortogonal.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Prosedur mendiagonalisasi secara ortogonal matriks simetri n × n 1



Temukan basis dari masing-masing ruang eigen A



2



Aplikasikan teori Gram-Schmidt pada masing-masing basis untuk menemukan basis ortonormal dari masing-masing ruang eigen



3



Bentuk matriks P yang kolomnya adalah hasil proses Gram-Schmidt di langkah ke-2. Maka, matriks P ini akan mendiagonalisasi matriks A secara ortogonal, dan nilai eigen dari D = P T AP akan sama berurut sesuai dengan vektor eigennya di P.



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Prosedur mendiagonalisasi secara ortogonal matriks simetri n × n 1



Temukan basis dari masing-masing ruang eigen A



2



Aplikasikan teori Gram-Schmidt pada masing-masing basis untuk menemukan basis ortonormal dari masing-masing ruang eigen



3



Bentuk matriks P yang kolomnya adalah hasil proses Gram-Schmidt di langkah ke-2. Maka, matriks P ini akan mendiagonalisasi matriks A secara ortogonal, dan nilai eigen dari D = P T AP akan sama berurut sesuai dengan vektor eigennya di P.



Latihan Buku Howard Anton, Elementary Linear ALgebra edisi 11, exercise 7.2, halaman 416, soal nomer 8,12,19,20. Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia



Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Diagonalisasi



Diagonalisasi secara ortogonal



Dekomposisi Spektral (Optional) Jika matriks A dapat didiagonalisasi secara ortogonal (D = P T AP)dan P = [u1 , u2 , ..., un ] dimana ui adalah vektor eigen dari nilai eigen λi dari matriks A, maka formula A = λ1 u1 uT1 + λ2 u2 uT2 + ... + λn un uTn



(4)



disebut Dekomposisi spektral dari A



Dipo Aldila Universitas Indonesia, 2015



Universitas Indonesia, Indonesia