Makalah Nilai Eigen Dan Vektor Eigen-Kel.7 [PDF]

Citation preview

MAKALAH ALJABAR LINEAR “Nilai Eigen dan Vektor Eigen” Dosen Pengampu : Siti Salamah Br. Ginting, M.Pd



Disusun Oleh Kelompok 7 : Sabrina Ramadhani



(0305191014)



Shalatiah Hasibuan



(0305192102)



Siti Nur Annisyah Dalimunthe



(0305172075)



Tengku Karina Rafiela



(0305192062)



Zulfa



(0305191004)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1 FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA MEDAN 2020



KATA PENGANTAR Puji syukur yang dalam kami sampaikan kepada Allah SWT Tuhan Yang Maha Pemurah, yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Nilai Eigen dan Vektor Eigen. Shalawat dan salam kami persembahkan kepada Nabi Muhammad SAW, yang membawa risalah islam sebagai pedoman hidup untuk meraih keselamatan hidup di dunia dan juga di akhirat kelak. Alhamdulillah, atas izin Allah SWT, kami dapat menyelesaikan tugas ini. Sebuah makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Tugas ini disusun juga bertujuan sebagai alternative dalam memahami dan mengetahui lebih dalam tentang salah satu materi dari pada mata kuliah ini. Dalam penyusunan tugas ini juga tidak luput dari adanya macam sumber seperti mengenai Aljabar Linier sebagai referensi untuk memperkuat dan membuka cakrawala kami dalam menganalisis tentang materi dalam karya tulis ini. Sehingga kami dapat menyelesaikan tugas ini dengan mudah dan menyusunnya menjadi sebuah makalah seperti ini. Semoga dengan kehadiran tugas ini dapat menambah wawasan dan ilmu tentang hal tersebut. Dengan segala keterbatasan yang ada, kami menyadari bahwa dalam penulisan tugas ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik senantiasa kami harapkan. Semoga tugas yang kami kerjakan dapat bermanfaat bagi kami pribadi dan pembacanya. Aamiin.



Medan, Mei 2020 Penyusun



Kelompok 7



2



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR.......................................................................................................i DAFTAR ISI.....................................................................................................................ii BAB I................................................................................................................................1 PENDAHULUAN.............................................................................................................1 A.



Latar Belakang.......................................................................................1



B.



Rumusan Masalah..................................................................................2



C.



Tujuan Penulisan...................................................................................2



BAB II...............................................................................................................................3 PEMBAHASAN...............................................................................................................3 A.



Nilai Eigen dan Vektor Eigen.................................................................3



B.



Diagonalisasi.........................................................................................13



BAB III...........................................................................................................................21 PENUTUP.......................................................................................................................21 A.



Kesimpulan...........................................................................................21



B.



Saran.....................................................................................................21



DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................................22



3



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu yang mendasari semua disiplin ilmu yang ada, baik ilmu social, esakta, sains dan teknologi. Salah satu cabang matematika adalah aljabar yang perkembangannya sangat berkaitan erat dengan cabang ilmu matematika lain seperti : geometri, teori bilangan, statistik, ilmu computer, ilmu analisis bahkan matematika terapan dan lainnya. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena riil yang dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Mata kuliah Al-Jabar Linier sangat bermanfaat bagi kita dalam ketika mempelajari matematika lanjutan dan penerapannya dalan sains dan teknologi. Pada makalah kita kali ini kita akan membahas materi lanjutan dari mata kuliah Al-Jabar Linier yaitu nilai eigen (eigen value), vektor eigen (eigen vector ) Pada umumnya perumusan model matematika ini berupa fungsi. Dalam banyak kasus, tidak semua model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan metode analitik, sehingga digunakan metode numerik untuk mencari penyelesaiannya. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetik biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) .Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawab yang eksak (tepat), tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan jawaban pendekatan yang berbeda dari jawab yang eksak sebesar suatu nilai yang merupakan galat dari metode yang digunakan. Namun demikian, hasil perhitungan dengan metode numerik cukup dapat memberikan solusi pada persoalan yang dihadapi.Salah satu penerapan dari metode numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks. Cara yang digunakan dalam metode numerik ini termasuk unik karena dalam penyelesaiannya hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa.



1



Nilai eigen dan vektor eigen merupakan salah satu topik pada aljabar yang dimiliki matriks bujur sangkar. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. B. Rumusan Masalah Adapun masalah yang akan dibahas pada makalah ini adalah bagaimana cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks. C. Tujuan Penulisan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah : Menentukan bagaimana cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks.



2



BAB II PEMBAHASAN A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Kata “eigen” berasal dari bahasa Jerman yang artinya adalah sebenarnya atau karakteristik. Sehingga nilai eigen sering disebut sebagai nilai karakteristik.nilai eigen disimbolkan dengan “λ” dibaca lambda. Berikut ini diberikan defenisi tentang nilai eigen dan vektor eigen. Defenisi 7.1. Misalkan A adalah matrikspersegi yang berukuran n x n. sebuah vector tak nol ⃗x di Rn dinamakan vector eigen (eigen vector) dari A jika Ax̄ merupakan kelipatan skalar dari x⃗ yakni A⃗x = λ⃗x Untuk suatu scalar λ. Skalar λ disebut sebagai nilai eigen (eigen value) dari A jika terdapat solusi tak trivial ⃗x yang memenuhi A⃗x = λ⃗x dan ⃗x disebut sebagai vector eigen yang bersesuaian dengan λ. Bila dipandang dari sisi geometri, A⃗x merupakan dilatasi dari x⃗ . perhatikan contoh berikut ini. Contoh 7.1. Misalkan A = A⃗u =



[−13 20], u⃗ = [ 11], dan ⃗v = [−21]. Perkalian



[−15 ] dan A⃗v = [−42 ] = 2⃗v.



Pada contoh 7.1,perkalian A⃗v =



[−42 ] = 2⃗v bersesuaian dengan λ = 2.



Persoalannya sekarang, bagaimana mencari nilai eigen dari matriks persegi A yang berukuran n x n, kita dapat menuliskan bentuk (7.1) menjadi A⃗x = λ I ⃗x



(7.2)



Dimana I adalah matriks identitas yang berukuran n x n. selanjutnya bentuk (7.2) ekivalen dengan λ I ⃗x ˗ A⃗x = 0



(7.3)



(λ I ˗ A)⃗x = 0



(7.4)



3



Jika λ I ˗ A adalah matriks tak singular (determinannya ≠ 0), maka solusi dari ⃗x adalah trivial (x1 = x2 = … = xn = 0). Berdasarkan defenisi 7.1, agar solusi dari ⃗x menjadi tak trivial maka matriks λ I ˗ A haruslah singular (determinannya = 0). Dalam hal ini kita punyai det (λ I ˗ A) = 0



(7.5)



Persamaan (7.5) disebut sebagai persamaan karakteristik A, dan persamaan inilah yang kita gunakan untuk mencari nilai eigen. Karena matriks A berukuran n x n maka persamaan (7.5) nantinya akan menjadi persamaan pollinomial λ dengan derajat n, atau kita dapat menuliskannya sebagai det(λ I ˗ A) = λn + c1 λn-1 + … + cn-1 λ+cn = 0.



(7.6)



Nilai λ pada persamaan (7.6) dapat dicari dengan cara memfaktorkannya. Apabila berupa persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan, nilai eigen dapat dicari menggunakan rumus kuadrat. Agar pembaca lebih memahami tentang nilai eigen, perhatikanlah contoh berikut ini. Contoh 7.2. carilah nilai-nilai eigen dari matriks A =



[ 12 −25 ]. Pertama, cari



terlebih dahulu λ I ˗ A, yakni



[ 10 01] - [ 12 −25 ] = [ λ−1 −2



−5 . λ+2



]



λI˗A=λ



Dengan persamaan (7.5),diperoleh : det (λ I ˗ A) =



[ λ−1 −2



−5 = 0. λ+2



]



Persamaan karakteristiknya adalah (λ –1)(λ+2) – 10 = 0 λ2 + λ – 12 = 0. Dengan memfaktorkan persamaan karakteristik, diperoleh dua buah nialai eigen yaitu λ = -4 dan λ = 3. Contoh 7.3. carilah nilai eigen dari matriks A =



[−21 53]. Dengan melakukan



serangkaian cara yang sama seperti pada contoh 7.2, diperoleh det (λ I ˗ A) = det



([ 0λ 0λ ]−[−21 53]) 4



= det



([ λ+2 −1



−5 λ−3



])



= λ2 – λ – 11 Persamaan karakteristiknya adalah λ2 – λ – 11 = 0. Nilai λ dapat dicari dengan menggunakan rumus −b ± √b 2−4 ac 1± √ 1+ 44 1± √ 45 λ1,2 = = = . 2 2 2a Sehingga nilai eigennya adalah λ=



1+ √ 45 1−√ 45 dan 2 2



Contoh 7.4. Carilah nilai eigen dari matriks A =



. Dengan melakukan [−13 −7 −3 ]



serangkaian cara yang sama seperti pada contoh 7.2, diperoleh



([ λ1˗ 3



det (λ I ˗ A) = det



7 λ+3



])



= λ2 – 16□ Persamaan karakteristiknya adalah = λ2 – 16 = 0 Sehingga nilai eigennya adalah λ=−4 dan λ=4. Contoh 7.5. Carilah nilai eigen dari matriks A =



[−11 51]. Dengan melakukan



serangkaian cara yang sama seperti pada contoh 7.2, diperoleh



[( λ+1 −1



det (λ I ˗ A) = det



5 λ−1



])



= λ2 + 4□ Persamaan karakteristiknya adalah = λ2 + 4 = 0. Nilai yang memenuhi adalah λ=−2 idan λ=2 i. Karena kita menganggap bahwa λ disini merupakan skalar real, maka matriks A tidak mempunyai nilai eigen. Teorema 7.2. Jika A adalah matriks yang berukuran n x n, maka pernyataan berikut ini ekivalen satu sama lain : (i)



λ adalah nilai eigen dari A



5



(ii)



Sistem persamaan ( λI − A ) ⃗x =0 mempunyai pemecahan yang tak trival.



(iii)



Ada vektor tak nol ⃗x di dalam Rn sehingga A⃗x =λ ⃗x



(iv)



λ adalah penyelesaian real dari persamaan karakteristik det ( λI − A )=0.



Teorema 7.2 dapat dibuktikan dengan (i) => (ii) => (iii) => (iv) dan (iii) => (ii) => (i). Teorema berikut ini memberikan sebuah karakteristik dari nilai eigen suatu matriks segitiga. Teorema 7.3. Jika A adalah sebuah matriks segitiga, maka nilai-nilai eigen dari A adalah entri-entri pada diagonal utamanya. Bukti. Karena A merupakan matriks segitiga, matriks A dapat dituliskan sebagai a11 a12 a13 0 a22 a23 A= 0 0 a33 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0



[



⋯ a 1n ⋯ a 2n ⋯ a3n ⋱ ⋮ ⋯ ann



]



atau a11 0 0 a2 1 a 22 0 A= a31 a 32 a33 ⋮ ⋮ ⋮ an 1 an 2 a n 3



[



⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ ann



]



Menurut Teorema 3.7, det(A) = a 11 . a 22 . a33 … ann. selanjutnya λI – A juga merupakan matriks diagonal (buktikan), sehingga determinannya juga merupakan perkalian dari entri-entri pada diagonal utamanya. Dalam hal ini, polinom karakteristiknya adalah det λ I – A=( λ−a11 ) ( λ−a 22) …( λ−ann) dan persamaan karakteristiknya adalah



( λ−a 11 ) ( λ−a22 ) … ( λ−ann )=0.



6



Sehingga nilai eigennya adalah λ=a11 , λ=a22 , … , λ=ann yang keseluruhannya merupakan entri-entri pada diagonal utamanya. Contoh 7.6. Dengan menggunakan teorema 7.3, nilai-nilai eigen dari matriks A 2 0 0 = 1 −1 0 adalah λ=2 , λ=−1 , dan λ=5. Nilai-nilai eigen dari matriks B = 3 −4 5



[



]



−1 2 0 −7



3 1 0 adalah λ=−1 , λ=−7 , λ= . Buktikan dengan menggunakan cara 1 2 2



[ ] 0



0



pada contoh 7.2. Contoh 7.7. Dari matriks pada contoh 7.4 yaitu A =



[



3 −7 , nilai eigennya −1 −3



]



adalah λ=−4 dan λ=4. Invers dari matriks A adalah A−1=



−1 −3 7 . 16 1 3



[



]



Dengan melakukan serangkaian cara yang sama seperti pada contoh 7.2, diperoleh



−1 det( λ I − A )=det



([



3 16 1 16



λ−



7 16 = λ2− 1 . 3 16 λ+ 16



])



Persamaan karakteristiknya adalah λ 2−



1 =0 16



Dengan memfaktorkan persamaan karakteristik, diperoleh dua buah nilai eigen yaitu λ=



−1 1 dan λ= . 4 4



7



Dari contoh 7.6, dapat dilihat bahwa nilai eigen dari A−1 adalah



1 , dimana λ λ



adalah nilai eigen dari A. Dari contoh ini, dapat ditarik sebuah kesimpulan seperti yang tertuang dalam teorema berikut. Teorema 7.4. Misalkan A adalah matriks invertible. Jika λ adalah nilai eigen dari A, maka



1 adalah nilai eigen dari A-1. λ Bukti. Karena A adalah matriks invertible, maka A mempunyai invers. Misalkan λ adalah nilai-nilai eigen dari A dan untuk suatu vector ⃗x ≠ 0 diperoleh A-1 ⃗x = A-1(1⃗x )= A-1 (



1 1 . λ . ⃗x )= A-1( λ . ⃗x ) λ λ



Dengan menggunakan bentuk (7.1) diperoleh A-1 ⃗x =



Oleh karena itu,



1 -1 1 1 1 A (A . ⃗x) = ¿ A-1 . A) x⃗ = . I . ⃗x = ⃗x . λ λ λ λ



1 merupakan nilai eigen dari A-1. λ



Sekarang kita bahas mengenai vektor eigen. Pada Definisi 7.1 kita telah mengetahui bahwa vektor eigen dari matriks A adalah vektor tak nol ⃗x yang memenuhi persamaan A⃗x =λ⃗x . Ada beberapa langkah untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen yakni: 1. Tentukan persamaan karakteristik dengan menggunakan persamaan determinan 2. Tentukan nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik karakteristik yang diperoleh dari langkah 1 3. Untuk setiap nilai eigen yang telah diperoleh pada langkah 2, tentukan ruang ruang nol dari persamaan = 0. vektor tak nol yang diperoleh dari setiap nilai eigen, merupakan vektor eigen dari matriks A. 4. Tentukanlah basis untuk ruang eigen tersebut



8



Contoh 7.8. carilah basis basis untuk ruang eigen dari matriks 3 2 0 A= 2 3 0 0 0 5



[ ]



Dengan melakukan serangkaian cara yang sama seperti contoh 7.2 diperoleh persamaan karakteristik yakni: (λ – 1) (λ – 5)2 = 0 Sehingga diperoleh λ = 1 dan λ = 5 Dari Definisi 7.1 , ⃗x = ( x1, x2, x3)T merupakan vektor eigen yang sesuai dengan nilai λ. Dari persamaan ( λI – A )⃗x = 0, yakni



[



λ−3 −2 −2 λ−3 0 0



0 0 λ−5



x1 0 x 2 = 0 . ………….. (1) x3 0



][ ] [ ]



Untuk λ = 1 , bentuk (1) menjadi



[



−2 −2 0 −2 −2 0 0 0 −4



x1 0 x2 = 0 x3 0



][ ] [ ]



Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh x1 = - s, x2 = s dan x3 = 0 Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 1 adalah −s −1 ⃗x = s = S 1 0 0



[] []



Sehingga −1 1 0



[] Merupakan basis untuk ruang yang bersesuaian dengan λ = 1.



9



Untuk λ = 5, bentuk (1) menjadi



[



2 −2 0 −2 2 0 0 0 0



x1 0 x2 = 0 x3 0



][ ] [ ]



Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh x1 = s, x2 = s dan x3 = t Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 5 adalah s 1 0 +t 0. ⃗x = s = s 1 t 0 1



[] [] []



Karena vektor-vektor 1 0 1 dan 0 0 1



[] [] Adalah bebas linier, maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 5. Pada contoh 7.6, untuk λ = 1 , vektor eigennya adalah ⃗x = ( -s, s, 0 )T untuk sembarang bilangan scalar real s . Jadi ( -1,1, 0 )T, ( -2,2, 0 )T, ( 1,-1, 0 )T juga merupakan vektor eigennya. Misalkankita ambil ⃗x = ( 1,-1, 0 ). Dari Definisi 7.1, diperoleh A ⃗x = λ⃗x 3 2 0 1 1 1 2 3 0 −1 = −1 0 0 0 5 0



[ ][ ] [ ] [ ][ ] 1 1 −1 = −1 0 0



Oleh karena itu, vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai λ adalah tak hingga banyaknya. Untuk memudahkan kita dalam pemilihan vektor eigen, kita dapat



10



menganggap basis dari ruang eigen sebagai vektor eigennya. Sehingga ( -1,1, 0 ) T



, ( 1,1, 0 )T , dan ( 0, 0, 1)T merupakan vektor-vektor eigen dari matriks A.



Definisi 7.5 Misalkan T:V→V adalah sebuah transformasi linier. Bilangan skalar λ adalah nilai eigen dari T jika terdapat sebuah vektor taknol ⃗x di T sedemikian sehingga bentuk (7.1) menjadi T⃗x = λ⃗x .



(7.7)



Vektor ⃗x disebut sebagai vektor eigen dari T yang bersesuaian dengan nilai λ. Definisikan sebuah matriks T yang berasal dari trans-formasi linier T, sehingga bentuk (7.5) menjadi det(λI – T) = 0



(7.8)



Persamaan diatas disebut sebagai persamaan karakteristik. Selanjutnya dapat mengubah bentuk (7.4) menjadi (λI – T) ⃗x = 0.



(7.9)



Penyelesaian dari sistem (7.9) berupa vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai λ dan ruang penyelesaian dari sistem (7.9) disebut sebagai ruang eigen (kernel). Contoh 7.9 : Tentukan nilai eigen dan basis untuk ruang eigen dari ope-rator linier T:P2 → P2 yang didefinisikan oleh T(α 0 + α 1x + α 2x ) = (3α 0 + 2α 1) + (2α 0 + 3α 1) x + (5α 2) x2. Matriks T terhadap basis baku B = {1,x,x2} adalah 3 2 0 T= 2 3 0 0 0 5



[ ]



Pada contoh 7.8 telah diperoleh nilai karakteristiknya yakni λ = 1 dan λ = 5. Pada contoh 7.8 juga telah di peroleh bahwa ruang eigen T yang bersesuaian



11



dengan λ = 1 mempunyai basis u1 = (-1,1,0)T dan ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 5 mempunyai basis u2 = (1,1,0)T dan u3 = (0,0,1)T. Matriks-matriks yang merupakan matriks koordinat terhadap basis baku B adalah p1 = -1 + x, p2 = 1 + x, dan p3 = x2 Oleh karena itu, {-1 + x} merupakan adalah basis untuk T yang bersesuaian dengan λ = 1, dan {1 + x, x2} adalah basis untuk T yang bersesuaian dengan λ = 5. Contoh 7.10: Misalkan sebuah transformasi linier T : M2x2 → M2x2 yang didefinisikan oleh T



([ ac bd]) = [ dc ab ] .



(a) Carilah nilai-nilai eigen T. (b) Carilah basis-basis untuk ruang eigen T. (c) Jika A adalah vektor eigen T untuk λ = -1, maka tentukan det(A). Untuk menjawab (a), terlebih dahulu kita tuliskan bentuk (7.7) menjadi T



([ ac bd])= λ [ ac dd ]



Atau



[ dc ab ] = [ λaλc λdλb ]. Sehingga diperoleh sistem persamaan λa – c = 0 -a + λb = 0 λc – d = 0



12



(7.10)



-b + λd = 0 Sistem persamaan ini akan mempunyai solusi tak trival untuk a, b, c dan d jika λ 0 −1 0 −1 λ 0 0 det =0 0 0 λ −1 0 −1 0 λ



([



])



atau λ4 – 1 = 0. Kita faktorkan menjadi (λ2 + 1)( λ2 – 1) = 0 (λ – i) (λ + i) (λ – 1) (λ + 1) = 0. Dapat diperoleh nilai eigennya yakni λ = i, λ = -i, λ = 1, λ = -1. Karena kita menganggap λ adalah skalar real, maka yang memenuhi adalah λ = 1 dan λ = -1. Untuk menjawab (b), substitusikanlah nilai λ yang telah diperoleh pada bagian (a) ke dalam matriks yang diperbesar dari sistem (7.10). Jika nilai λ = -1, maka diperolehlah matriks



[



−1 0 −1 0 −1 −1 0 0 0 0 −1 −1 0 −1 0 −1



0 0 0 0



]



Dengan mereduksi matriks yang diperbesar tersebut diperoleh α = s, b = -s, c = -s, d = s. Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = -1 adalah S



[−11 −11 ]



Sehingga



[−11 −11 ] merupakan basis untuk T. Untuk nilai λ = 1.



Untuk menjawab (c), lihat kembali vektor eigen yang diperoleh pada bagian (b). Anggaplah nilai s = 1, maka akan diperoleh A=



[−11 −11 ], dan det(A) = 0. 13



B. Diagonalisasi Telah kita ketahui bahwa matriks diagonal adalah matriks yang enti-entri pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol, sedangkan entri-entri lainnya adalah nol. Defenisi 7.6 matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat martiks invertible P sedemikian sehingga Pˉ¹ AP adalah matriks diagonal. Dari defenisi 7.6, jika Pˉ¹ AP adalah matriks diagonal, maka matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Teorema 7.7 Jika A adalah matriks persegi berukuran n x n, maka pernyataan berikut ini adalah ekivalen 1. A dapat didiagonalisasi 2. A mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linier Bukti. 1→ 2 karena A dapat didiagonalisasi, maka akan terdapat matriks invertible P. misalkan matriks P adalah matriks yang berukuran n x n dengan a ₁ , ⃗a ₂ ,…,⃗a ₙ , yakni kolom-kolom ⃗ a ₁ , ⃗a ₂ ,…,⃗a ₙ ¿ P = [⃗ Dari defenisi 7.6, Pˉ¹ AP adalah matriks diagonal. Misalkan Pˉ¹ AP = D, dimana D adalah λ₁ 0 … 0 0 λ₂ … 0 D= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λₙ



[



]



Sehingga diperoleh a ₁ , ⃗a ₂ ,…,⃗a ₙ ¿ = [ A ⃗ a ₁ ,⃗ Aa ₂,…,⃗ Aaₙ ¿ AP = A [⃗ Dan



14



(7.11)



λ₁ 0 … 0 0 λ₂ … 0 a₁,⃗ λa ₂,…,⃗ λa ₙ ¿ PD = = [λ ⃗ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λₙ



[



]



(7.12)



Karena Pˉ¹ AP = D, maka AP = PD. Sehingga dai (7.11) dan (7.12) dapat kita peroleh a ₁ ,⃗ Aa ₂,…,⃗ Aaₙ ¿ = [λ ⃗ a₁,⃗ λa ₂,…,⃗ λa ₙ ¿ [ A⃗



(7.13)



Persamaan kolom-kolomnya adalah A⃗ a ₁=λ ⃗ a₁, ⃗ Aa₂= ⃗ λa ₂ , ⃗ Aaₙ= ⃗ λa ₙ



(7.14)



a ₁ , a⃗ ₂ ,…,⃗a ₙadalah bebas Karena P adalah invertible, maka kolom-kolom ⃗ linier. Begitu pula kolom-kolomnya dari P adalah tak nol. Dengan defenisi (7.1) dapat disimpulkan bahwa pada persamaan (7.14) nilai λ₁, λ₂,…,λₙ adalah nilaia ₁ , a⃗ ₂ ,…,⃗a ₙ adalah vektor eigen yang bersesuaian nilai eigen dari A dan ⃗ dengan nilai eigen. a ₁ , ⃗a ₂ ,…,⃗a ₙ dan gunakan (i) → (i) misalkan terdapat vektor-vektor eigen ⃗ untuk sebagai kolm-kolom dari matriks P dan λ₁, λ₂,…,λₙ, gunakanlah sebagai diagonal dari matriks D. Dari persamaan (7.11)-(7.13) diperoleh AP = PD. Karena vektor-vektor kolom P adalah bebas linier, maka P dapat dibalik.hal ini mengakibatkan Pˉ¹ AP = D . Oleh karena itu A dapat didiagonalisasi. Beberapa langkah yang digunakan untuk mendiagonalisasi sebuah matriks persegi A, yakni : 1. Tentukan nilai eigen dari A 2. Tentukan vektor-vektor eigen yang bersesuaian nilai-nili eigen yang diperoleh pada langkah 1 3. Bentuklah sebuah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen yang diperoleh pada langkah 2 4. Bentuklah matriks D, dimana D = Pˉ¹ AP yang entri-entrinya merupakan nilainilai eigen pada langkah 1



15



Contoh 7.11 tentukan matriks P yang mendiagonalkan 3 2 0 A= 2 3 0 0 0 5



[ ]



Dari contoh 7.8 telah diperoleh nilai-nilai eigennya yaitu λ = 1 dan λ = 5. Serta dari contoh tersebut vektor −1 P₁ = 1 0



[]



Merupakan basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 1 dan vektorvektor 1 0 P₂ = 1 dan P₃ = 0 0 1



[]



[]



Membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai λ = 5 . Oleh karena itu, matriks persegi P yang kolomnya berupa vektor eigen adalah −1 1 0 P= 1 1 0 0 0 1



[



]



Akan mendiagonalkan A. Nilai dari det (P) = -2, sehingga P merupakan matriks invertibel. Sekarang kita cek apakah Pˉ¹ AP = D, 1 −1 0 3 2 0 −1 1 0 1 0 0 1 Pˉ¹ AP = - −1 −1 0 2 3 0 1 1 0 = 0 5 0 2 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 5



[



][ ][



][ ]



Diperoleh matriks diagonal −1 1 0 D= 1 1 0 0 0 1



[



]



Contoh berikut ini merupakan matriks persegi yang tidak dapat didiagonalisasi



16



Contoh 7.12 tentukanlah matriks P yang mendiagonalkan



A=



[



1 2 2 0 2 1 −1 2 2



]



Pertama kuta cari terlebih dahulu nilai eigen λ dari matriks A. dengan menggunakan serangkaian cara seperti contoh 7.2, diperoleh :



det (λI – A) = det



([



λ−1 0 1



−2 −2 λ−2 −1 = (λ – 1)(λ – 2)². −2 λ−2



])



Persamaan karakteristiknya adalah (λ – 1)(λ – 2)² = 0, Dan nilai karakteristiknya adalah λ = 1 dan λ = 2 Vektor eingennya adalah peyelesaian dari persamaan



[



λ−1 −2 −2 0 λ−2 −1 1 −2 λ−2



X₁ 0 X₂ = 0 X₃ 0



][ ] [ ]



Untuk λ = 1, persamaan tersebut menjadi



[



0 −2 −2 0 −1 −1 1 −2 −1



X₁ 0 X₂ = 0 X₃ 0



][ ] [ ]



Penyelesaiannya x₁ = -s, x₂ = -s, x₃ = s. sehingga vektor eigennya adalah −s −1 ⃗x = −s = s −1 s 1



[] []



Kita peroleh vektor eigennya P₁ = (-1, -1,1)ᵀ. Selanjutnya untuk λ = 2, persamaanya adalah



17



[



1 −2 −2 0 0 −1 1 −2 0



X₁ 0 X₂ = 0 X₃ 0



][ ] [ ]



Penyelesaiannya adalah x₁ = 2s, x₂ = s,dan x₃ = 0. sehingga vektor eigennya adalah 2s 2 ⃗x = s = s 1 0 0



[ ] []



Maka kita peroleh vektor eigennya P₂ = (2,1,0)ᵀ. Karena basis-basis dari ruang eigennya adalah {P₁, P₂} berdimensi 2 dan matriks P harus berdimensi 3, maka A tidak mempunyai tiga buah vektor eigen yang bebas linier. Oleh karena itu, A tidak dapat didiagonalisasi. Contoh 7.13.



Misalkan T : R3 → R3 adalah operator linear yang didefinisikan



oleh



T



X1 −X 2+ X 3 X 2 = −X 1+ X 3 X3 X 1+ X 2



([ ]) [



]



Carilah basis untuk R3 yang relatif terhadap matriks T diagonal. Kita tinjau basis baku B ={ e 1 , e 2 , e 3 } untuk R3, sehingga 1 0 T(e1) = T 0 = −1 , T(e2) = T 0 1



([ ]) [ ]



0 0 −1 1 1 = −0 , dan T(e3) = T 0 = 1 0 1 1 0



([ ]) [ ]



([ ]) [ ]



Sehingga matriks [T]B (matriks T yang relatif terhadap basis B) adalah [T] B =



[



0 −1 1 −1 0 1 . 1 1 0



]



Persamaan karakteristiknya adalah (λ – 1)2 (λ + 2) = 0 (Buktikan).



18



Nilai-nilai eigen dari [T]B adalah λ=1 dan λ=-2. Untuk nilai λ=1, penyelesaian dari sistem



[



1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1



X1 0 X2 = 0 X3 0



][ ] [ ]



adalah x1 = -s + t, x2 = s dan x3 = t. Sehingga vektor eigennya adalah −s +t −1 1 s ⃗x = =s 1 +t 0 . t 0 1



[ ] [ ] [] [ ] []



−1 1 Dan vektornya u1 = 1 dan u2 = 0 . 0 1 Bebas linear, sehingga merupakan basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ=1. Dengan serangkaian cara yang sama, untuk λ=-2 diperoleh vektor 1 u3= 1 . −1



[]



Misalkan P adalah matriks yang terdiri atas vektor-vektor eigen pada setiap kolomnya, yakni −1 1 1 P= 1 0 1 . 0 1 1



[



]



Sekarang kita cek apakah P-1[T]BP = D.



P-1[T]BP =



1 3



[



−1 2 1 0 −1 1 −1 1 1 1 1 2 −1 0 1 1 0 1 1 1 −1 1 1 0 0 1 −1



1 0 0 =0 1 0 0 0 −2



[



][



][



]



Karena P-1[T]BP adalah matriks diagonal, maka basis 19



]



B` =



−1 1 1 1 , 0 , 1 . 0 1 −1



{[ ] [ ] [ ]}



Akan menghasilkan sebuah matriks diagonal dari [T]B`. Teorema 7.8. Sebuah matriks yang berukuran n x n dengan n buah nilai eigen yang berbeda dapat didiagonalisasi. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Gunakan Definisi 7.6 dan Teorema 7.7, serta Definisi 5.17 pada Bab 5. Contoh 7.14. Matriks pada contoh 7.4 yakni A=



3−7 [−1−3 ]



mempunyai dua buah nilai eigen yaitu λ = -4 dan λ = 4. Teorema 7.8 menjamin bahwa A dapat didiagonalisasikan. Vektor eigen untuk λ = -4 adalah ⃗x = s



Dan vektor eigen λ = 4 adalah ⃗x = s



Sehingga matriks P =



. [ 1−7 11 ]



Selanjutnya P-1AP =



1 8



=



[ 11].



[−71].



3−7 [ 1711 ] [−1−3 ] [ 1−7 11 ]



[−40 40].



Hasil P-1 AP telah sesuai dengan teorema 7.8. Namun teorema 7.8 menjadi tidak berlaku apabila matriks A adalah matriks diagonal yang mempunyai beberapa nilai eigen yang sama. Perhatikan contoh berikut!



20



1 0 0 Contoh 7.15. Misalkan matriks persegi A = 0 −2 0 . 0 0 1



[



]



Dengan menggunakan teorema 7.3, nilai-nilai eigennya adalah λ = 1 dan λ = -2. 1 0 Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 1 adalah 0 dan 0 . 0 1



[] [] []



0 Kemudian basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = -2 adalah 1 . 0 Dapat dilihat bahwa basisnya merupakan basis baku untuk R3. Oleh karena itu matriks P = I, 1 0 0 sehingga P-1 AP = A = 0 −2 0 . 0 0 1



[



]



21



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Jika A matriks m n, maka vektor x yang tidak nol di Rn disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λ x untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A. Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det(λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik. Jika A adalah suatu matriks n n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen (a) λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. (b) Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non trivial). (c) Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian sehingga Ax = λx. (d) λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0.



B. Saran Dalam penulisan makalah ini yang berjudul ”Determinan Matriks” mungkin terdapat kesalahan , kami sebagai pemakalah sangat berharap kepada para pembaca untuk memberikan kritik, masukan, ataupun saran untuk menambah pengetahuan kita mengenai isi yang terdapat dalam makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat untuk pembaca dan kita semua.



22



DAFTAR PUSTAKA



Sari. Rina Filia, dkk.2019. MATRIKS, Aljabar Linier dan Aplikasinya. Medan : Perdana Publishing. Gozali, Sumanang Muhtar. 2010. Aljabar Linier. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia. Novrida, Rida. 2012. “ Nilai Eigen dan Vektor Eigen”. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Indonesia. Depok. Husein, Ismail dkk. 2017. Aljabar Linier Dasar dan Aplikasinya. Medan : Perdana Publishing.



23