Nilai Eigen Dan Vektor Eigen [PDF]

Citation preview

Nilai Eigen dan Vektor Eigen



Nilai eigen adalah himpunan dari skalar yang berhubungan dengan persamaan sistem linear yang dikenal dengan nama akar karakteristik (Hoffman dan Kunze, 1971) , proper value, atau latent roots (Marcus danMinc, 1988, 144). Vektor eigen adalah himpunan khusus dari vektor yang berhubungan dengan persamaan sistem linear yang dikenal juga dengan vektor karakteristik, proper vector, atau latent vectors (Marcus danMinc, 1988, 144). Persamaan



adalah sebuah persamaan yang banyak ditemukan



dalam aplikasi aljabar linier. Jika persamaan tersebut mempunyai penyelesaian tak nol x, maka



disebut sebagai nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x disebut vektor



eigen yang dimiliki Nilai eigen adalah suatu hal yang wajar dalam kehidupan kita, baik disadari maupun tidak. Di mana ada getaran di situ akan ada nilai eigen, yaitu frekuensi alami dari getaran tersebut. Jika anda pernah memetik senar gitar, maka anda telah menyelesaikan masalah nilai eigen. Bila para insinyur merancang suatu struktur, mereka akan memberikan perhatian pada frekuensi getaran dari struktur tersebut. Hal ini sangat penting terutama pada daerah-daerah yang rawan gempa seperti California. Nilai eigen dari suatu masalah nilai batas dapat digunakan untuk menentukan keadaan energi dari suatu atom atau beban kritis yang menyebabkan batang melengkung. Nilai eigen dan vektor eigen merupakan kunci untuk memahami bagaimana suatu transformasi bekerja. Jika pada setiap vektor eigen yang dimiliki atau penyusutan oleh suatu vektor eigen.



maka pengaruh transformasi



semata-mata merupakan suatu ekspansi



Definisi. Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol x di dalam dinamakan vektor eigen (eigenvektor) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni



Untuk suatu skalar . Skalar



dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x



dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan (Howard Anton) Persamaan (



dapat dituliskan dalam bentuk



)



(1)



Jadi



adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika (1) memiliki suatu



penyelesaian tak trivial. Himpunan penyelesaian terhadap persamaan (1) adalah (



) yang merupakan ruang bagian dari



dari A, maka



(



)



. Jadi, jika



adalah nilai eigen



* + dan sembarang vektor tak nol dalam



adalah vektor eigen milik



(



. Ruang



(



)



) dinamakan ruang eigen



(eigenspace) yang berhubungan dengan nilai eigen Persamaan (1) akan mempunyai persamaan tak trivial jika dan hanya jika (



) singular atau secara ekivalen (



)



(2)



Jika determinan pada persamaan (2) diuraikan, akan didapatkan suatu polinom berderajat ke-n (



) dalam peubah ( )



(



)



Polinom ini disebut polinom karakteristik (characteritic polynomial) dan persamaan (2) disebut persamaan karakteristik (characteristic equation) untuk matriks A. Akar-akar dari polinom karakteristik adalah nilai eigen dari A. Jika dihitung akar menurut kelipatannya, maka polinom karakteristik pasti akan mempunyai n akar. Jadi, A akan mempunyai n nilai eigen, di mana beberapa di



antaranya kemungkinan akan berulang dan beberapa nilai eigen lainnya kemungkinan berupa bilangan kompleks. Untuk mengatasi kasus terakhir, medan skalar



diperluas



menjadi



bilangan



kompleks



serta



memperbolehkan



dipergunakannya entri-entri kompleks untu vektor dan matriks. (Steven Leon) Bentuk persamaan karakteristik secara lebih lengkap dapat digambarkan melalui matriks



dapat dijabarkan sebagai



[



]



Determinan dari matriks adalah jumlah dari perkalian n suku dari matriknya, sehingga pangkat tertinggi yang mungkin untuk



adalah n. Yaitu diperoleh dari



perkalian suku dari diagonal matriks. Oleh karena itu, persamaan karakteristik untuk matriks berukuran n x n mempunyai bentuk (



)



Karena kita bekerja dengan bilangan real, persamaan polinomial ini tidak selalu mempunyai akar. Sebagai contoh, persmaan



tidak mempunyai akar di



bilangan real. Tetapi dalam hal mempunyai akar, persamaan polinomial pangkat n mempunyai akar paling banyak n buah. (Wono Setya)



Kata vektor eigen adalah ramuan bahasa Jerman dan Inggris. Dalam bahasa Jerman eigen dapat diterjemahkan sebagai sebenarnya atau karakteristik. Oleh karena itu, nilai eigen dapat juga kita namakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik. (Howard Anton)



Masalah penentuan nilai eigen dan vektor eigen bagi suatu matriks A dapat diringkas menjadi tia langkah 1. Tentukan polinom ciri ( )



(



)



2. Tentukan nilai-nilai eigen matriks A dengan cara menemukan akar-akar dari persamaan ciri ( ) 3. Untuk setiap nilai eigen, tentukan vektor eigen kaitannya dengan cara memecahkan sistem homogen (



)



Contoh Tentukan nilai eigen dan vektor eigen bagi [



]



Langkah 1. Polinom ciri bagi A adalah (



)



([



( [



]



[



[



(



[



])



])



]



[ (



]



]



[



) )



Langkah 2 : berdasarkan pemfaktoran



]



[



]



(



)



(



)(



)(



)



Dengan mudah kita lihat bahwa akar-akar bagi persamaan ciri (charles Cullen)