Bab II Distribusi Sampling [PDF]

Citation preview

BAB I



DISTRIBUSI SAMPLING



PENDAHULUAN



Distribusi sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu: a) b) c) d) e)



Distribusi sampling rataan Z Distribusi sampling rataan T Distribusi sampling proporsi Distribusi sampling proporsi 2 populasi Distribusi sampling variansi TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM



Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung berdasarkan macam-macam distribusi sampling. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS



1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar distribusi sampling 2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam distribusi sampling 1…………. 2…………. 3…………. 4………….



SKENARIO PEMBELAJARAN



Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut: 1. Perkuliahan 2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK) 3. Tes pendahuluan 4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab 5. Tes akhir



6. Evaluasi pencapaian 7. Penutup RINGKASAN MATERI



Bidang statistika sering membahas mengenai generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/ peramalan dari suatu kasus atau penelitian terhadap suatu populasi. Tetapi Generalisasi dan prediksi tersebut sangat jarang melibatkan populasi karena keterbatasan kemampuan penelitian dan begitu besarnya jumlah populasi, sehingga lebih sering menggunakan sampel dari populasi tersebut. Sebagai contoh, suatu mesin pelayanan minuman yang diatur rata-rata mengeluarkan 250 ml minuman per gelasnya. Kemudian seorang karyawan menghitung rataan 40 gelas minuman yang dikeluarkan dari mesin tadi dan memperoleh



= 246 ml, dan berdasarkan hasil ini



diberikan kesimpulan bahwa mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan rata-rata isi



=



250 ml. ke 40 gelas minuman tadi merupakan sampel dari populasi minuman yang tak terhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin tadi. Kesimpulan ini mungkin diambil karena karyawan tadi tahu dari teori sampling bahwa nilai sampel seperti itu kemungkinan munculnya besar. Tetapi apabila nilai



yang didapat nantinya berbeda jauh dari



250 ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan memperbaiki mesin tersebut. Hal ini dikarenakan statistik merupakan peubah acak yang tergantung hanya pada sampel yang diamati, maka tentulah ada distribusi peluangnya. Distribusi peluang suatu statistik disebut dengan distribusi sampel.



I.1



DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z



Misalkan sampel acak n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan variansi σ2. Tiap pengamatan



dan



, i = 1,2,…,n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi



i



normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya. Jadi, berdasarkan sifat merambat distribusi normal, dapat disimpulkan bahwa



Berdistribusi normal dengan rataan



Dan variansi



Bila populasi yang diambil sampelnya dan tidak diketahui distirbusinya, berhingga atau tidak, maka distribusi sampel



masih akan berdistribusi hampir normal dengan rataan



dan variansi



σ2/n, asalakan ukuran sampelnya besar (n > 30). Hal ini dikenal dengan Teorema Limit Pusat, yaitu bila



rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi dengan rataan



variansi σ2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi



bila n



, adalah distribusi normal baku n(z;0,1)



dan



Hampiran normal untuk



umumnya cukup baik jika menggunakan sampel ukuran besar



(n > 30), terlepas dari bentuk populasi. Bila menggunakan sampel ukuran kecil (n < 30), hampirannya hanya akan baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal. Bila populasinya normal, maka distribusi sampel



akan tepat berdistribusi normal, dan ukuran



sampelnya tidak menjadi masalah.



Contoh : Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangnya bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam.



Jawab : Secara hampiran, distribusi sampel akan normal dengan = 800 dan = 40 / = 10. Peluang yang dicari diberikan oleh luas daerah yang dihitami pada Gambar 1.1. Nilai z yang berpadanan dengan = 775 adalah



Sehingga P( < 775) = P( < -2,5) = 0,0062



Gambar 1.1



Sekarang misalkan ada dua populasi, yang pertama dengan rataan yang kedua dengan rataan



2



dan variansi σ22. Misalkanlah statistik



acak ukuran n1 yang diambil dari populasi pertama, dan statistik



1



2



1



dan variansi σ21, dan



menyatakan rataan sampel menyatakan rataan sampel



acak ukuran n2 yang diambil dari populasi kedua, dan kedua sampel bebas satu sama lain. Maka



distribusi sampel dari selisih rataan,



, berdistribusi hampir normal dengan rataan dan



variansi :



Sehingga



Contoh : Suatu sampel berukuran n1 = 5 diambil secara acak dari populasi yang berdistribusi normal dengan rataan 1 = 50 dan variansi σ21 = 9, dan rataan sampel 1 dihitung. Sampel acak kedua berukuran n2 = 4 diambil, bebas dari yang pertama, dari populasi lain yang juga berdistribusi normal, dengan rataan2 = 40 dan variansi σ22 = 4, dan rataan sampel 2 dihitung. Cari nilai P( < 8,2)! Secara hampiran merupakan peubah normal baku. Jika (n1 dan n2 > 30), maka hampiran normal untuk distribusi



sangat baik tidak



tergantung dari bentuk kedua populasi. Tetapi, bila (n1 dan n2 < 30), maka hampiran normal lumayan baik kecuali bila kedua populasi agak jauh dari normal. Tentu saja bila kedua populasi normal, maka



berdistribusi normal terlepas dari ukuran n1 dan n2.



Jawab : Dari distribusi sampel kita tahu bahwa distribusinya normal dengan : Rataan : Variansi : Peluang yang dicari dinyatakan oleh luas daerah yang dihitami di Gambar 1.2. berpadanan dengan nilai = 8,2, diperoleh



Sehingga P( < 8,2)



= P( < ) = 0,1401



Gambar 1.2 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN T



Untuk ukuran sampel besar (n > 30), taksiran σ2 yang baik dapat diperoleh dengan menghitung nilai S2. Bila ukuran sampelnya kecil (n < 30), nilai S2 akan berubah cukup besar



dari sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah acak (



) menyimpang cukup jauh dari



distribusi normal baku. Dalam hal ini kita menghadapi distribusi statistic yang dinamakan distribusi t, dengan



Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v. bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila



Diberikan oleh



Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v. Dalam menurunkan distribusi sampel T, akan kita misalkan bahwa sampel acaknya berasal dari populasi normal. Selanjutnya :



Dengan



Berdistribusi normal baku, dan



Berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n – 1. Jika sampel berasal dari populasi normal maka dapat dibuktikan bahwa



dan



bebas, oleh karena itu Z dan V juga bebas.



Sekarang akan kita turunkan distribusi T. Distribusi T mirip dengan distribusi Z, keduanya setangkup terhadap rataan nol. Keduanya berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbeda satu sama lain karena nilai T tergantung pada dua besaran yang berubah-ubah,



dan



, sedangkan nilai Z hanya tergantung pada perubahan



dari sampel ke sampel lainnya. Distribusi T dan Z berbeda karena variansi T bergantung pada ukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran sampel, n



,



kedua distribusi menjadi sama. Gambar 1.3 di bawah memperlihatkan hubungan antara distribusi V=



normal baku (v =



) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2 dan 5.



V=5 V=2



Gambar 1.3 Kurva distribusi t Distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka kanannya



, atau luas sebelah kirinya



kanannya



0



, yaitu nilai t yang luas sebelah



, sama dengan minus nilai t yang luas bagian



Contoh : Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500 jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila nilai t yang dihitung



terletak antara



-t0,05 dan t0,05 0,05 0,05



maka



pengusaha



pabrik



tadi



akan mempertahankan keyakinannya. Kesimpulan apakah yang seharusnya dia ambil dari sampel dengan rataan = 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam ? Anggap bahwa distribusi waktu menyala ,secara hampiran,normal. Jawab : Dari tabel t, diperoleh t0,05 = 1,711 untuk derajat 0,05 kebebasan v = 25 – 1 = 24. Jadi pengusaha tadi akan puas dengan keyakinannya bila sampel 25 bola lampu memberikan nilai t antara -1,711 dan 1,711. Bila memang = 500, maka :



Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t, dengan derajat kebebasan v = 24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara hampiran adalah 0,02. Bila > 500, nilai t hasil perhitungan dari sampel tadi akan terasa lebih wajar. Jadi pengusaha tadi kemungkinan besar akan menyimpulkan bahwa produksinya lebih baik daripada yang didudaganya semula.



I.2



DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI



Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi x/n dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai :



1. Rata-rata 2. Simpangan baku



3. Variabel random



Contoh : Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Bandung memakai detergen A untuk mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 : a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang memakai detergen A! b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang memakai detergen A, tentuka probabilitasnya! Jawab: a. Rata-rata = 0,1



b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15



P(Z>1,67) = 0,5-0,4525 = 0,0475 I.3



DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI



Terdiri dari 2 populasi. Populasi 1 berukuran



terdapat jenis



dengan proporsi



Populasi 2 berukuran



terdapat jenis



dengan proporsi



Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran jenis berukuran



dengan proposi



maka sampel ini akan mengandung



. Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak



maka sampel ini juga akan mengandung jenis



dengan proporsi



Smapel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi. Distribusinya mempunyai : a) Rata-rata b) Simpangan baku



c) Variabe random



Contoh : 5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di gudang barat sebanyak 10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200 barang dari gudang timur dan 300 barang dari gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang barat 2% lebih banyak disbanding gudang timur! Jawab : Gudang barat :



Gudang timur:



= proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel



= proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampel



=



Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timur maka > 0,02 sehingga diperoleh :



Jadi probabilitasnya adalah P



= P (Z > -1,3) = 0,5 + 0,4032 = 0,9032 = 90,32



% I.4



DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI



Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic akan digunakan sebagai taksiran titik untuk



Taksiran selang untuk



, dan variansi sampel



. Variansi sampel hasil perhitungan ini



. Karena itu statistic



disebut penaksir



.



dapat diturunkan dengan menggunakan statistic.



Contoh Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterai akan tahan rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1,9; 2,4; 3,0; 3,5 dan 4,2 tahun, apakah pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai tersebut 1 tahun?



Jawab Mula-mula dihitung variansi sampel :



= 0,815



Kemudian



Merupakan suatu nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 4. Karena 95% nilai dengan derajat kebebasan 4 terletak antara 0,484 dan 11.143, nilai perhitungan dengan menggunakan



= 1 masih wajar,sehingga tidak ada alasan bagi pembuatnya untuk mencurigai



bahwa simpangan baku baterainya bukan 1 tahun



SOAL – SOAL 1. Sebuah populasi berukuran 80 mempunyai rata-rata 69,7 dan varians 3,50. Dengan sampling pengambilan diambil 1000 buah sampel acak yang masing-masing berukuran 5. Untuk tiap sampel dihitung rata-rata dan variansnya. Berapa nilai yang kita harapkan untuk : a) rata-rata ke 1000 rata-rata? b) varians ke 1000 rata-rata? c) rata-rata ke 1000 varians? 2. Misalkan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa Indonesia 162 cm dengan simpangan baku 6,5 cm. Sebuah sampel acak akan diambil dengan syarat bahwa galat baku rata-rata maksimum 0,5 cm. a) Berapa paling sedikit mahasiswa perlu diambil sebagai sampel? Dengan ukuran sampel yang terkecil, tentukan peluang rata-rata tinggi mahasiswa : a) Paling sedikit 155 cm b) Paling besar 175 cm c) Antara 158 cm dan 172 cm d) Kurang dari 160 cm 3. Lihat soal nomer 2 diatas. Misalkan populasinya berdistribusi normal. Ada berapa buah sampel diharapkan akan mempunyai rata-rata : a) antara 62 dan 72 b) paling sedikit 72,5 c) kurang dari 67 4. Diberikan dua buah populasi dengan: data populasi I: 3,2,3,5,4,8. data populasi II: 10,12,15,10. a) Dari populasi I diambil semua sampel acak berukuran 3 dan dari populasi II semua yang berukuran 2. Tulislah semua sampelnya lalu : b) Hitung rata-rata kedua populasi. c) Hitung rata-rata distribusi sampling rata-rata dari kedua populasi itu. Sebut ini µ x dan µy. d) Hitung µx - µy dan bandingkan dengan selisih rata-rata populasi I dan populasi II. Apa yang nampak? e) Bagaimana untuk µx + µy ? 5. Macam lampu A rata-rata menyala 1.400 jam dan macam lampu B menyala 1.300 jam. simpangan bakunya masing-masing 160 jam dan 125 jam. dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak yang berukuran 85 dari sampel lampu A dan 100 dari sampel lampu B. Tentukan peluang rata-rata menyala lampu dalam sampel dari A paling sedikit akan 50 jam lebihnya dari rata-rata menyala lampu dalam sampel dari B.



6. Besi baja yang diproduksi perush A mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs. Sedangkan yang diproduksi perush. B mempunyai ratarata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi 90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak n1= 50 diambil dari perush. B . Berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs? 7. Berikut adalah harga saham dari 5 perusahaan dalam Industri pertanian di BEJ 12 Januari 2004. Perusahaan



Harga persaham



PT Rajawali



275



PT Bukaka Plantindo



280



PT London



500



PT Inti Boga



350



PT Surya Nusantara



Pangan



575



Apabila diambil sampel berukuran 2 untuk mengetahui kinerjanya, hitunglah rata-rata hitung dan standar deviasi sampel serta populasi, dan berapa probabilitas perusahaan dengan harga diatas 400 terpilih sebagai sampel?



8. Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana untuk tahun 2003 Perusahaan



Hasil Investasi (%/tahun)



Nikko



17



Investa



15



GTF Tunai



10



Dana Investa



11



Phinis Dana Kas



14



Seorang investor ingin menanamkan modal di reksadana dengan mencoba survei pada 3 perusahaan reksadana. Hitunglah berapa nilai rata-rata dan standar deviasi dari distribusi sampel rata-rata. Berapa peluang terpilihnya perusahaan untuk disurvey dengan harapan perusahaan tersebut mempunyai hasil investasi di atas 13%.



9. PT Caraka Bumi merencanakan akan memergerkan dua perusahaan yaitu PT Indah Karya dan PT Dharma Raya. PT Caraka Bumi juga merencanakan PHK dalam rangka efisiensi yaitu pada PT Indah Karya sekitar 10% dan PT. Dharma Raya 15% dari total karyawan yang ada. Untuk keperluan tersebut, dipanggil 100 karyawan dari PT Indah Karya dan 200 dari PT Dharma Raya untuk wawancara. Berapa probabilitas beda persentase tentang PHK di PT Indah Karya 5% akan lebih kecil dari PT Dharma Raya? 10. PT PSK Jaya mempunyai dua anak perusahaan yaitu PT AYU yang bergerak dalam konveksi dan PT NANI ABADI yang bergerak dalam realestate. Kedua diharapkan mempunyai kinerja yang sama baiknya. Pengamatan selama 30 bulan PT AYU. menunjukan keuntungan rata-rata 500 juta dengan standar deviasi 75 juta. Sedangkan pengamatan terhadap PT NANI ABADI selama 50 bulan menunjukkan keuntungan ratarata 300 juta dengan standar deviasi 52 juta. Apabila PT PSK menginginkan selisih dari kedua perusahaan kurang dari 150 juta, berapa peluang keinginan tersebut tercapai? 11. Hitunglah peluang bahwa suatu sampel acak ukuran 25 pengamatan, diambil dari populasi normal dengan variansi



= 6, akan mempunyai variansi



a) Lebih besar dari 9,1; b) Antara 3,462 dan 10,745 c) Misalkan bahwa variansi sampel merupakan pengukuran yang kontinu. 12. Ada anggapan bahwa peluang usaha di Jawa untuk relatif berhasil lebih besar dibandingkan dengan di luar Jawa. Sebuah survey menunjukkan bahwa 200 UKM di Jawa, 45%-nya berhasil dan 100 UKM di luar Jawa, 30%-nya berhasil. Apabila pemerintah menginginkan perbedaan di Jawa dan Luar Jawa hanya 5%, berapa peluang keinginan tersebut tercapai. 13. Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan elektroniknya akan tahan rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai ini, 16 baterai diuji setipa bulan. Bila diperoleh nilai



berada antara



dan



maka perusahaan puas



dengan pernyataannya. Kesimpulan apa yang seharusnya diambil perusahaan dari sampel



acak yang mempunyai



= 27,5 jam dengan simpangan baku



= 5 jam? Anggap baterai



berdistribusi hampiran normal.



14. Suatu perusahaan rokok mengatakan bahwa rata-rata kadar nikotin rokoknya 1,83 mg. Apakah anda setuju dengan pendapat pengusaha rokok tersebut bila suatu sampel ukuran 8 rokok dari perusahaan tersebut mengandung kadar nikotin 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0, dan 1.6 mg? 15. Dari sekelompok pegawai yang terdiri atas 40.000 orang telah diambil sekelompok kecil sebanyak 100 orang . Yang menjadi perhatian disini ialah penghasilan pegawai tiap bulan. Apabila ditaksir bahwa keseluruhan pegawai pukul rata mempunyai pendapatan Rp. 27500 dengan simpangan baku Rp. 1000 maka: a) Untuk kelompok kecil tadi , berapa rata-rata upahnya akan antara Rp.25000 dan Rp.30.000? b) Seperti di a tapi paling rendah Rp. 20.000? c) Apabila dikehendaki perbedaan rata-rata upah untuk tiap kelompok paling besar Rp. 500, maka setiap kelompok itu paling sedikit harus terdiri atas berapa orang pegawai yang perlu diambil secara acak? 16. Dalam setiap pengiriman gelas minum , biasanya 95% diterima dalam keadaan baik. Pada suatu waktu telah dikirimkan 100.000. buah gelas. Berapa peluangnya untuk pemeriksaan yang terdiri dari 60 buah gelas dari pengiriman itu, akan berisikan gelas yang baik: a) Antara 90% dan 98%? b) Paling sedikit 97,5%? 17. A dan B menghasilkan dua macam kabel, yang daya tahannya masing-masing pukul rata 4000 dan 4500 kg dengan simpangan baku berturut-turut 300 dan 200 kg. Jika dari kabel yang dihasilkan oleh A diuji 100 potong sedangkan dari yang dihasilkan B diuji 50 potong, maka tentukanlah peluangnya pukul rata daya tahan kabel B akan: a) Paling sedikit 600 kg lebih daripada daya tahan kabel A? b) Paling banyak 450 kg lebih daripada daya tahan kabel A? 18. Pengalaman memperlihatkan bahwa dikota A sekitar 65% dari para ibu ternyata lebih menyenangi sabun mandi XYZ bila dibandingkan dengan sabun-sabun mandi merk lain. Tentukanlah berapa peluangnya bahwa dua buah sampel acak yang terdiri atas para ibu dikota itu, tiap sampel terdiri atas 200 ibu, akan memperlihatkan perbedaan lebih dari 10% yang menyenangi sabun mandi XYZ. 19. Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang :



3 f ( x)  ( )(2 / 5) x (3 / 5) 3 x x



x=0,1,2,3 = 0 untuk lainnya



Carilah distribusi peluang peubah acak Y = X 2 20. Misalkan



adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 12 dari distribusi uniform dengan



interval (0,1) . Hitunglah P(1/2 ≤



≤ 2/3)



21. Diketahui Y = x1 + x2 +....+x15 adalah jumlah dari sampel acak dengan ukuran 15 dari distribusi yang pdf nya f(x) =3/2 x2; -1< x < 1. Hitunglah P(-0,3≤Y



22. Diketahui



adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 36 dari distribusi exponensial



dengan rata-rata 3. Hitunglah P(2,5 ≤



23. Hitunglah P(39,75



≤ 4)



) dimana



adalah rata-rata dari sampel acak ukuran



32 dari distribusi dengan rata-rata µ = 40 dan var.



=8



24. Sample acak ukurann n = 18 diambil dari distribusi dengan pdf f(x) = {1-x/2 ; 0≤ x≤2 ; 0 untuk yang lainnya a) Hitung µ dan b) Hitung P(2/3



)