Bab1 Bentuk Pangkat Akar Logaritma [PDF]

Citation preview

BAB 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Standar Kompetensi: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi Dasar:  Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.  Melakukan manipulasi aljabar dalam hitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma.



1-1 BENTUK PANGKAT NEGATIF Perkalian bilangan-bilangan yang sama disebut sebagai perkalian berulang. Contoh: 2 × 2 × 2 = 23 5 x 5 x 5 = 53 9 x 9 x 9 = 93



A.Pangkat Bulat Positif Definisi Jika a adalah bilangan real (a2  R) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a pangkat n (ditulis an) adalah perkalian n buah bilangan a.



an



= a × a × a × . . . × a × a × a



perkalian n buah bilangan



Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan bulat positif. a disebut bilangan pokok atau basis n (bilangan asli 1) disebut pangkat atau eksponen



Catatan:



• Jika n = 1 maka an = a1 = a. • Jika n = 0 maka: • untuk a  0, maka a0 = 1, • untuk a = 0, maka 00 tidak terdefinisi.



Contoh a4 = a×a×a×a a3 a×a×a Jadi, a4 = a a3



= a



ap : aq = ap-q dengan a  R, p dan q adalah bilangan-bilangan bulat positif.



B. Pangkat Bulat Negatif Definisi Misalkan a  R dan a  0, maka a-n adalah kebalikan dari an atau sebaliknya. 1 an = a-n = 1 atau an a-n Contoh: Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk pangkat bulat positif! a)



3 × 5-2= 3 × 1 52



=



3 52



b)



3 = 4b6 b-6



1-2 BENTUK AKAR DAN PANGKAT PECAHAN 1-2-1 Bentuk Akar Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Contoh: a)



b)



bukan bentuk akar, sebab rasional)



bukan bentuk akar sebab (bilangan rasional)



= 3 (bilangan



= 0,5



Menyederhanakan Bentuk Akar Untuk setiap a dan b bilangan positif, maka berlaku:



(a  b  a  b Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.



Contoh: a.



108  (36  3)  36  3  6 3



b.



4a b  3



 4a



2



 ab







4a  ab  2a ab 2



1-2-2 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan



a c  b c  ( a  b) c dan



a c  b c  ( a  b) c Contoh:



3 3  5 3  2 3  (3  5  2) 3  6 3



A. Perkalian Bentuk Akar



a  b  ( a  b) a dan b masing-masing bilangan positif Contoh:



6  8  6  8  48  4 3



B. Menarik Akar Kuadrat Menarik akar kuadrat dapat dilakukan dengan bentuk:



(a  b)  2 ab  ( a  b ) atau



(a  b)  2 ab  ( a  b ) Contoh: a.



5  2 6  (3  2)  2 3.2  3  2



b.



5  2 6  (3  2)  2 3.2  3  2



1-2-3 Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan A. Pecahan Berbentuk



a a   b b



a b



b a b  b b



Contoh:



6 6 3 6 3 3   2 3 3 b 3 3



B. Pecahan Berbentuk



c a b



atau



c a b c c a  b c(a  b ) c Pecahan diubah menjadi    a2  b a b a b a b a b



c c a  b c(a  b ) c Pecahan diubah menjadi    a2  b a b a b a b a b



Contoh: 2 2 2 1 2( 2 1)     2( 2 1) 2 1 2 1 2  1 2 1 3 3 32 3 ( 3  2)      (3  2 3 ) 3 4 32 32 32



C. Pecahan Berbentuk



c a b



Penyebut pecahan yang berbentuk cara:



atau



c a b



c dapat dirasionalkan dengan a b



a. Pecahan



c pembilang dan penyebut dikalikan dengan ( a  b ) a b



c c a  b c( a  b ) menjadi    a b a b a b a b



Contoh:



3 3 3  2 3( 3  2 )     3( 3  2 ) 3 2 3 2 3 2 3 2



b. Pecahan



c pembilang dan penyebut dikalikan dengan ( a  b ) a b



c c a  b c( a  b ) menjadi    a b a b a b a b



Contoh:



5 5 5 3 5( 5  3) 1     (5  15 ) 53 2 5 3 5 3 5 3



1-2-4 Pangkat Pecahan Pangkat Pecahan Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan-bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a.



b  ab  n a n



1. Jika a  0 maka



n



a  0.



2. - Jika a  0 dan n ganjil, maka



n



a  0.



- Jika a  0 dan n genap, maka nbukan a bilangan real.



Definisi Pangkat Pecahan a



1 n



Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan 1 positif, maka pangkat pecahan a n sama akar pangkat n dari bilangan a. 1 n n



a 



a



n



a merupakan bilangan real. Contoh: 1 2



16  16  16  4  4 2



2



Definisi Pangkat Pecahan a



m n



Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan asli ≥ 2, maka pangkat pecahan a dari bilangan a. m



a  n



n



a



m amerupakan bilangan real.



Contoh: 1 6



n



16  6 64  6 ( 2) 6  2



m n



m



sama akar pangkat n



1-3 Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilangan bulat positif, maka berlaku: a)



a p  a q  a pq



b)



a p : a q  a pq



c)



(a p ) q  a p  q



d)



( a  b) n  a n  b n



dengan p  q



n



e) f)



n a a      n b  b 0n  0



dengan b  0



1-3-2 Sifat-sifat Pangkat Rasional Jika a dan b  R (a ≠ 0), p dan q bilangan rasional, maka berlaku: a)



a p  a q  a pq



b)



a p : a q  a pq



c)



( a  b) p  a p  b p



p q pq ( a )  a d)



e)



 a    b



p



ap  p b



Pengertian Logaritma Logaritma merupakan invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. Misalkan a bilangan positif (a > 0) dan g bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1)



log a = x jika dan hanya jika gx = a



g



dengan: • g disebut bilangan pokok atau basis logaritma • a disebut numerus • x disebut hasil logaritma



Sifat-sifat Logaritma 1. gLog gn = n 2. glog g = 1 3. glog 1 = 0 Contoh: a) 52  25  5 log 25  2



1 1 6 b) 6   log 2 36 36 2



Sifat 1 log (a  b) = glog a + glog b



g



Contoh: 1. 2 log 4 + 2 log 8 = 2 log (4  8) = 2 log 32 = 5



2.



5



log



+1 5 log 8 = 5 log ( 2 = 5 log 25 =2



1 50) 2



Sifat 2 log (a ) = glog a  glog b b



g



Contoh: 1. 7log 217 + 7log 31 = 7log ( 217 ) 31



= 7log 7 = 1 2. log 0,04  log 4 = log ( 0,04 ) 4



= log 0,01 = -2



Sifat 3 log an = n  glog a



g



Contoh: 2



log 25  3log 5 + log 20



= log 252  log 53 + log 20 252



=(



) + log 20 52



= log (



252 52



= log 100 = 2



 20)



Sifat 4 Mengubah bilangan pokok logaritma: log a log a = p log g p



g



Jika p = a, sifat logaritma di atas menjadi: g log a = a 1 log g Contoh: a.



8



log 3 log 3 1 log 3 1 2 1 log 3     log 3  a 3 log 8 log 2 3 log 2 3 3



b. 3 log 2 



1 1  2 log 3 a



Sifat 5 log a  a log b  g log b



i)



g



ii)



gn



log a m 



iii)



gn



log a n  g log a



m g log a n



Contoh: a.



2



log 5  log 64  log 64  log 2  6 5



2



2



b. i) 4 log 81  2 log 34  ii) log 27  8



23



2



42 log 3  2a 2



log 33  2 log 3  a



6



Sifat 6



g Contoh: a) b) c)



2



log 5



5



5



5



log10



10



7



7



log 25



 25



2



g



log a



a