Bank Soal Persamaan Dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 6 [PDF]

Citation preview

Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA



PERSAMAAN TRIGONOMETRI



Penyelesaian Persamaan Trigonometri Yang Sederhana sin x o  sin  o  x    k . 360 atau x  (180   )  k . 360 cos x o  cos  x    k . 360 atau x    k . 360 tan x o  tan   x    k . 180 dengan x  R dan k  B Jika dinyatakan dalam ukuran radian sin x  sin A  x  A  k . 2 atau x  (  A)  k . 2 cos x  cos A  x  A  k . 2 atau x   A  k . 2 tan x  tan A  x  A  k . dengan x  R dan k  B 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin 3x o  sin 30 o dalam interval 0  x  360 .



2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2 x o  cos90 o dalam interval 0  x  360 .



3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2 x o  cos 45o dalam interval 0  x  360 .



Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin pxo  a, cos pxo  a, dan tan pxo  a 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri 2 cos3x o  3  0 dalam interval 0  x  360 .



Professional Teacher at Your Home



1



Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri 3 tan 3x o  3  0 dalam interval 0  x  360 .



3. a. Tunjukkan bahwa penyelesaian persamaan sin 2 x  2 sin 2 x cos 2 x  0 diperoleh dari pasangan sin 2 x  0 dan cos 2 x  1 . 2



b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pada soal a) di atas dalam interval 0  x  2 .



Penyelesaian Persamaan Trigonometri yang Memuat Jumlah atau Selisih Sinus atau Kosinus sin A  sin B  2 sin 1 ( A  B) cos 1 ( A  B)



cos A  cos B  2 cos 1 ( A  B) cos 1 ( A  B)



sin A  sin B  2



cos A  cos B  2



2 cos 1 ( A  B) 2



sin



2 1 ( A  B) 2



2 sin 1 ( A  2



B)



2 cos 1 ( A  B ) 2



1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri



sin 5x o  sin x o  cos3x o  0, 0  x  180 .



2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (3x o  45 o )  cos (3x o  15 o )   1 3



dalam interval 0  x  360 .



2



3. a. Tunjukkan bahwa penyelesaian persamaan sin 4 x  sin 2 x  2 sin 3x diperoleh dari pasangan persamaan sin 3x  0 dan cos x  1 . b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pada soal a) di atas dalam interval 0  x  2 .



Professional Teacher at Your Home



2



Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, dan Tangens



Penyelesaian Persamaan Kuadrat dalam Sinus Bentuk umum dari persamaan kuadrat dalam sin x o adalah a sin 2 x o  b sin x o  c  0 , dengan a, b, dan c bilangan – bilangan real, serta a  0. Misalkan sin x o  y , sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi : a y 2  b y  c  0 .  Syarat Perlu  D  b 2  4ac  0  Syarat Cukup   1  y  1 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri



2 sin 2 x o  9 sin x o  4  0, 0  x  360 .



2. Tunjukkan bahwa penyelesaian persamaan



2 sin 2 x o  5 sin x o  3  0 diperoleh dari penyelesaian persamaan sin x o  1 . Kemudian, tentukan himpunan penyelsaian persamaan itu dalam interval 0  x  360 .



Penyelesaian Persamaan Kuadrat dalam Kosinus Bentuk umum dari persamaan kuadrat dalam cos x o adalah a cos2 x o  b cos x o  c  0 , dengan a, b, dan c bilangan – bilangan real, serta a  0. Misalkan cos x o  y , sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi : a y 2  b y  c  0 .  Syarat Perlu  D  b 2  4ac  0  Syarat Cukup   1  y  1 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos2 x o  2 cos x o  3  0, 0  x  360 .



2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri



2 cos2 x o  7 cos x o  4  0, 0  x  360 .



Professional Teacher at Your Home



3



Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA Penyelesaian Persamaan Kuadrat dalam Tangens Bentuk umum dari persamaan kuadrat dalam tan x o adalah a tan 2 x o  b tan x o  c  0 , dengan a, b, dan c bilangan – bilangan real, serta a  0. Misalkan tan x o  y , sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi : a y 2  b y  c  0 .  Syarat Perlu  D  b 2  4ac  0 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri



3 tan 2 x o  2 3 tan x o  3  0, 0  x  360 .



2. a. Tunjukkan bahwa penyelesaian



2 tan 2 x o  3 tan x o  2  0 diperoleh dari pasangan persamaan tan x o  1 dan 2



o



tan x  2 . b. Dalam interval 0  x   , tunjukkan bahwa himpunan nilai sin x pada persamaan soal a) di atas adalah 1 5 , 2 5 .



5



5







Persamaan Trignometri yang Dapat Diubah Menjadi Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, atau Tangens  Rumus Pythagoras i. sin 2 x o  cos2 x o  1



ii. 1  tan 2 x o  sec2 x o



iii.



1  cot2 x o  cosec 2 x o  Rumus – Rumus Sudut Rangkap a. sin 2 x o  2 sin x o cos x o b. cos 2 x o  cos2 x o  sin 2 x o  1  2 sin 2 x o  2 cos2 x o  1 c. tan 2 x o 



2 tan x o 1  tan 2 x o



Professional Teacher at Your Home



4



Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri



2 cos 2 x o  5 sin x o  1  0, 0  x  360 .



2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri



2 tan 2 x o  sec2 x o  4, 0  x  2 .



3. a. Nyatakan persamaan trigonometri



sin 2 2 x  sin x cos x  0 menjadi persamaan kuadarat dalam sin 2x. b. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri pada soal a) dalam interval 0  x  2 . PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan trigonometri dapat ditentukan dengan dua cara yaitu :  Sketsa grafik fungsi trigonometri  Diagram garis bilangan 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri sin x o  1 3  0, 0  x  360 . 2



2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri



cos 2 x o  cos x o , 0  x  360 .



3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri



tan x o  1, 0  x  360 .



Professional Teacher at Your Home



5



Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA Bentuk a cos x o  b sin x o



Mengubah Bentuk a cos x o  b sin x o Menjadi Bentuk k cos ( x   ) o a cos x o  b sin x o  k cos ( x   ) o , berlaku hubungan : k  a 2  b 2 dan tan  o 



b a



1. Ubahlah bentuk 2 cos x  2 3 sin x ke dalam bentuk k cos ( x   ) , dengan x dan  dalam radian.



2. Tunjukkan bahwa 3 cos x  3 sin x  3 2 cos ( x 



7 ) 4



 3. a. Nyatakan 2 sin   2 sin (  ) ke dalam 3 bentuk a cos   b sin  . Tentukan nilai a dan b. b. Dari soal a), nyatakan selanjutnya bentuk  2 sin   2 sin (  ) ke dalam bentuk 3 k cos (  ), ( k > 0,  dan α dalam radian)



Penyelesaian Persamaan a cos x o  b sin x o  c Syarat agar persamaan a cos x o  b sin x o  c mempunyai penyelesaian adalah :



 a 2  b 2  c  a 2  b 2 atau c  a 2  b 2 1. Tentukan nilai – nilai x ( 0o  x  360o ) yang memenuhi persamaan trigonometri 3 sin x 0  cos x 0  1  0 .



2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri 2 sin x cos x  3 cos 2 x  1 , jika x dalam radian dan 0  x  2 .



Professional Teacher at Your Home



6



Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 3. a. Nyatakanlah cos 2 x 0  sin 2 x 0 ke dalam bentuk k cos (2 x  ) 0 . b. Kemudian carilah nilai – nilai x yang memenuhi persamaan cos 2 x 0  sin 2 x 0  12 6 dalam interval 0  x  360 .



Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi y  f ( x)  a cos x o  b sin x o Fungsi trigonometri y  f ( x)  a cos x o  b sin x o  k cos ( x   ) o ,  mempunyai nilai maksimum y maksimum  a 2  b 2 untuk cos ( x   ) o  1 , dan  mempunyai nilai minimum y min imum   a 2  b 2 untuk cos ( x   ) o  1. 1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari setiap fungsi trigonometri y  f ( x)  5 cos x 0  2 sin x 0 .



2. Tentukan titik stasioner dalam daerah asal 0  x  2 dari fungsi trigonometri



y  f ( x)  cos 2 x  3 sin 2 x . 3. Hitunglah nilai minimum dari F, jika 5a , a merupakan bilangan F 3 cos x  4 sin x real positif dan 0  x  2 .



Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f ( x)  a cos x o  b sin x o  c  y maksimum  k  c  a 2  b 2  c untuk cos ( x   ) o  1 , dan  y min imum  k  c   a 2  b 2  c untuk cos ( x   ) o  1 1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari setiap fungsi trigonometri y  f ( x)   3 sin x 0  3 cos x 0  2 .



Professional Teacher at Your Home



7



Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 2. Sebuah batang yang mempunyai panjang L bersandar pada tembok di titik tumpu A seperti pada gambar 1 di bawah. Batang L membentuk sudut αo terhadap dasar lantai. Jika tembok AB tegak lurus lantai CB dan keliling ABC sama dengan 8 cm, 8 a. tunjukkan bahwa L  . 0 1  sin   cos  0 b. hitunglah selanjutnya nilai minimum dari L. A



L C



a



B



Menggambar Grafik Fungsi y  f ( x)  a cos x o  b sin x o Fungsi y  f ( x)  a cos x o  b sin x o dinyatakan dalam bentuk y  f ( x)  k cos ( x   ) o  Tentukan titik – titik stasionernya.  Tentukan titik – titik potong dengan sumbu koordinat.  Titik – titik yang diperoleh dari kedua langkah di atas dilukiskan pada sebuah bidang Cartesius. Kemudian titik – titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga didapat sketsa grafik fungsi y  f ( x)  k cos ( x   ) o .



Menggambar Grafik Fungsi y  f ( x)  a cos x o  b sin x o  c Grafik fungsi y  f ( x)  a cos x o  b sin x o ditranslasi vertikal sejauh :  c satuan ke atas, jika c positif  c satuan ke bawah, jika c negatif.



Professional Teacher at Your Home



8



Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 1. Gambarlah sketsa grafik dari fungsi y  f ( x)  cos x 0  3 sin x 0 dalam interval 0  x  360 .



2. Gambarlah sketsa grafik dari fungsi y  f ( x)  3 cos 2 x 0  4 sin 2 x 0  1 dalam interval 0  x  360 .



Professional Teacher at Your Home



9