9 0 388 KB
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Penyelesaian Persamaan Trigonometri Yang Sederhana sin x o sin o x k . 360 atau x (180 ) k . 360 cos x o cos x k . 360 atau x k . 360 tan x o tan x k . 180 dengan x R dan k B Jika dinyatakan dalam ukuran radian sin x sin A x A k . 2 atau x ( A) k . 2 cos x cos A x A k . 2 atau x A k . 2 tan x tan A x A k . dengan x R dan k B 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin 3x o sin 30 o dalam interval 0 x 360 .
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2 x o cos90 o dalam interval 0 x 360 .
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2 x o cos 45o dalam interval 0 x 360 .
Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin pxo a, cos pxo a, dan tan pxo a 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri 2 cos3x o 3 0 dalam interval 0 x 360 .
Professional Teacher at Your Home
1
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri 3 tan 3x o 3 0 dalam interval 0 x 360 .
3. a. Tunjukkan bahwa penyelesaian persamaan sin 2 x 2 sin 2 x cos 2 x 0 diperoleh dari pasangan sin 2 x 0 dan cos 2 x 1 . 2
b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pada soal a) di atas dalam interval 0 x 2 .
Penyelesaian Persamaan Trigonometri yang Memuat Jumlah atau Selisih Sinus atau Kosinus sin A sin B 2 sin 1 ( A B) cos 1 ( A B)
cos A cos B 2 cos 1 ( A B) cos 1 ( A B)
sin A sin B 2
cos A cos B 2
2 cos 1 ( A B) 2
sin
2 1 ( A B) 2
2 sin 1 ( A 2
B)
2 cos 1 ( A B ) 2
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
sin 5x o sin x o cos3x o 0, 0 x 180 .
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (3x o 45 o ) cos (3x o 15 o ) 1 3
dalam interval 0 x 360 .
2
3. a. Tunjukkan bahwa penyelesaian persamaan sin 4 x sin 2 x 2 sin 3x diperoleh dari pasangan persamaan sin 3x 0 dan cos x 1 . b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pada soal a) di atas dalam interval 0 x 2 .
Professional Teacher at Your Home
2
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, dan Tangens
Penyelesaian Persamaan Kuadrat dalam Sinus Bentuk umum dari persamaan kuadrat dalam sin x o adalah a sin 2 x o b sin x o c 0 , dengan a, b, dan c bilangan – bilangan real, serta a 0. Misalkan sin x o y , sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi : a y 2 b y c 0 . Syarat Perlu D b 2 4ac 0 Syarat Cukup 1 y 1 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
2 sin 2 x o 9 sin x o 4 0, 0 x 360 .
2. Tunjukkan bahwa penyelesaian persamaan
2 sin 2 x o 5 sin x o 3 0 diperoleh dari penyelesaian persamaan sin x o 1 . Kemudian, tentukan himpunan penyelsaian persamaan itu dalam interval 0 x 360 .
Penyelesaian Persamaan Kuadrat dalam Kosinus Bentuk umum dari persamaan kuadrat dalam cos x o adalah a cos2 x o b cos x o c 0 , dengan a, b, dan c bilangan – bilangan real, serta a 0. Misalkan cos x o y , sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi : a y 2 b y c 0 . Syarat Perlu D b 2 4ac 0 Syarat Cukup 1 y 1 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos2 x o 2 cos x o 3 0, 0 x 360 .
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
2 cos2 x o 7 cos x o 4 0, 0 x 360 .
Professional Teacher at Your Home
3
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA Penyelesaian Persamaan Kuadrat dalam Tangens Bentuk umum dari persamaan kuadrat dalam tan x o adalah a tan 2 x o b tan x o c 0 , dengan a, b, dan c bilangan – bilangan real, serta a 0. Misalkan tan x o y , sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi : a y 2 b y c 0 . Syarat Perlu D b 2 4ac 0 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
3 tan 2 x o 2 3 tan x o 3 0, 0 x 360 .
2. a. Tunjukkan bahwa penyelesaian
2 tan 2 x o 3 tan x o 2 0 diperoleh dari pasangan persamaan tan x o 1 dan 2
o
tan x 2 . b. Dalam interval 0 x , tunjukkan bahwa himpunan nilai sin x pada persamaan soal a) di atas adalah 1 5 , 2 5 .
5
5
Persamaan Trignometri yang Dapat Diubah Menjadi Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, atau Tangens Rumus Pythagoras i. sin 2 x o cos2 x o 1
ii. 1 tan 2 x o sec2 x o
iii.
1 cot2 x o cosec 2 x o Rumus – Rumus Sudut Rangkap a. sin 2 x o 2 sin x o cos x o b. cos 2 x o cos2 x o sin 2 x o 1 2 sin 2 x o 2 cos2 x o 1 c. tan 2 x o
2 tan x o 1 tan 2 x o
Professional Teacher at Your Home
4
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
2 cos 2 x o 5 sin x o 1 0, 0 x 360 .
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
2 tan 2 x o sec2 x o 4, 0 x 2 .
3. a. Nyatakan persamaan trigonometri
sin 2 2 x sin x cos x 0 menjadi persamaan kuadarat dalam sin 2x. b. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri pada soal a) dalam interval 0 x 2 . PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan trigonometri dapat ditentukan dengan dua cara yaitu : Sketsa grafik fungsi trigonometri Diagram garis bilangan 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri sin x o 1 3 0, 0 x 360 . 2
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri
cos 2 x o cos x o , 0 x 360 .
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri
tan x o 1, 0 x 360 .
Professional Teacher at Your Home
5
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA Bentuk a cos x o b sin x o
Mengubah Bentuk a cos x o b sin x o Menjadi Bentuk k cos ( x ) o a cos x o b sin x o k cos ( x ) o , berlaku hubungan : k a 2 b 2 dan tan o
b a
1. Ubahlah bentuk 2 cos x 2 3 sin x ke dalam bentuk k cos ( x ) , dengan x dan dalam radian.
2. Tunjukkan bahwa 3 cos x 3 sin x 3 2 cos ( x
7 ) 4
3. a. Nyatakan 2 sin 2 sin ( ) ke dalam 3 bentuk a cos b sin . Tentukan nilai a dan b. b. Dari soal a), nyatakan selanjutnya bentuk 2 sin 2 sin ( ) ke dalam bentuk 3 k cos ( ), ( k > 0, dan α dalam radian)
Penyelesaian Persamaan a cos x o b sin x o c Syarat agar persamaan a cos x o b sin x o c mempunyai penyelesaian adalah :
a 2 b 2 c a 2 b 2 atau c a 2 b 2 1. Tentukan nilai – nilai x ( 0o x 360o ) yang memenuhi persamaan trigonometri 3 sin x 0 cos x 0 1 0 .
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri 2 sin x cos x 3 cos 2 x 1 , jika x dalam radian dan 0 x 2 .
Professional Teacher at Your Home
6
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 3. a. Nyatakanlah cos 2 x 0 sin 2 x 0 ke dalam bentuk k cos (2 x ) 0 . b. Kemudian carilah nilai – nilai x yang memenuhi persamaan cos 2 x 0 sin 2 x 0 12 6 dalam interval 0 x 360 .
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi y f ( x) a cos x o b sin x o Fungsi trigonometri y f ( x) a cos x o b sin x o k cos ( x ) o , mempunyai nilai maksimum y maksimum a 2 b 2 untuk cos ( x ) o 1 , dan mempunyai nilai minimum y min imum a 2 b 2 untuk cos ( x ) o 1. 1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari setiap fungsi trigonometri y f ( x) 5 cos x 0 2 sin x 0 .
2. Tentukan titik stasioner dalam daerah asal 0 x 2 dari fungsi trigonometri
y f ( x) cos 2 x 3 sin 2 x . 3. Hitunglah nilai minimum dari F, jika 5a , a merupakan bilangan F 3 cos x 4 sin x real positif dan 0 x 2 .
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f ( x) a cos x o b sin x o c y maksimum k c a 2 b 2 c untuk cos ( x ) o 1 , dan y min imum k c a 2 b 2 c untuk cos ( x ) o 1 1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari setiap fungsi trigonometri y f ( x) 3 sin x 0 3 cos x 0 2 .
Professional Teacher at Your Home
7
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 2. Sebuah batang yang mempunyai panjang L bersandar pada tembok di titik tumpu A seperti pada gambar 1 di bawah. Batang L membentuk sudut αo terhadap dasar lantai. Jika tembok AB tegak lurus lantai CB dan keliling ABC sama dengan 8 cm, 8 a. tunjukkan bahwa L . 0 1 sin cos 0 b. hitunglah selanjutnya nilai minimum dari L. A
L C
a
B
Menggambar Grafik Fungsi y f ( x) a cos x o b sin x o Fungsi y f ( x) a cos x o b sin x o dinyatakan dalam bentuk y f ( x) k cos ( x ) o Tentukan titik – titik stasionernya. Tentukan titik – titik potong dengan sumbu koordinat. Titik – titik yang diperoleh dari kedua langkah di atas dilukiskan pada sebuah bidang Cartesius. Kemudian titik – titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga didapat sketsa grafik fungsi y f ( x) k cos ( x ) o .
Menggambar Grafik Fungsi y f ( x) a cos x o b sin x o c Grafik fungsi y f ( x) a cos x o b sin x o ditranslasi vertikal sejauh : c satuan ke atas, jika c positif c satuan ke bawah, jika c negatif.
Professional Teacher at Your Home
8
Bank Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 11 SMA 1. Gambarlah sketsa grafik dari fungsi y f ( x) cos x 0 3 sin x 0 dalam interval 0 x 360 .
2. Gambarlah sketsa grafik dari fungsi y f ( x) 3 cos 2 x 0 4 sin 2 x 0 1 dalam interval 0 x 360 .
Professional Teacher at Your Home
9