Dekomposisi Matriks [PDF]

Citation preview

Dekomposisi Matriks Definisi Dekomposisi matriks adalah transformasi atau modifikasi matriks bujur sangkar menjadi matriks segitiga bawah, matriks segitiga atas, hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas.



Jika A adalah matriks bujur sangkar maka - dekomposisi matriks A menjadi matriks segitiga bawah dinotasikan dengan A(L) - dekomposisi matriks A menjadi matriks segitiga atas dinotasikan dengan A(u) - dekomposisi matriks A menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas dinotasikan dengan A(LU) Contoh 2  1  1 1. Matriks A  0  4 2  maka dekomposisi matriks A 6  3 0  2  1  1 menjadi matriks segitiga atas adalah A(U )  0  4 2  0 0 3  2.



2  1  1 Matriks A  0  4 2  maka dekomposisi matriks A 6  3 0 



menjadi A(L )



matriks



 4 0 0      6  3 0  0  4 2 



segitiga



bawah



adalah



3.



2  1  1  2  maka dekomposisi matriks A 6  3 0 



Matriks A  0  4



menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas adalah A(LU )



1 0 0 2  1  1     0 1 0 0  4 2  3 0 1 0 0 3 



Cat: perlu diketahui bahwa dekomposisi matriks menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas tidak selalu tunggal, kita dapat menemukan A( LU ) yang lain selain hasil dari contoh ini. Ada empat metode yang biasa digunakan dalam mendekomposisi matriks.



1.1 Metode Crout dan Metode Doolittle Kedua metode ini mendekomposisi matriks menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Oleh karena itu untuk mempelajari dua metode ini, diperlukan pemahaman tentang perkalian matriks.



1.1.1



Metode Crout



Metode Crout mendekomposisi matriks menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas, dimana hasil dari dekomposisi tersebut menghasilkan matriks segitiga atas yang elemen diagonal utamanya adalah bilangan 1 dan elemen lainnya bilangan sembarang. Misalkan  a11 a12  A  a21 a22 a31 a32



a13   a23  dekomposisi matriks A menjadi a33 



l11 0 0  1 u12 u13     A( LU )  L  U  l21 l22 0  0 1 u23  l31 l32 l33  0 0 1  Dimana A  L  U sehingga dapat ditulis;  a11 a12 a13  l11 0 0  1 u12 u13       a21 a22 a23   l21 l22 0  0 1 u23  a31 a32 a33  l31 l32 l33  0 0 1 



Karena yang akan dicari adalah lij dan uij maka kita dapat menggunakan rumus umum berikut ini. j 1



lij  aij   lik ukj



j  i , i  1,2 ,..., n



k 1



i 1



uij 



aij   lik ukj



i  j,



k 1



lii



j  2 ,..., n



Untuk memudahkan kita menggunakan rumus umum di atas maka diperlukan tahapan-tahapan berikut ini; Tahap 1: Carilah nilai lij pada kolom pertama matriks L Tahap 2: Carilah nilai uij pada baris pertama matriks U Tahap 3: Carilah nilai lij pada kolom kedua matriks L Tahap 4: Carilah nilai uij pada baris kedua matriks U Tahap 5: Carilah nilai lij pada kolom ketiga matriks L Tahapan ini berulang sampai semua lij dan uij ditemukan. Contoh Dekomposisi matriks A berikut menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. 3  1 2    A  1 2 3 2  2  1



Penyelesaian: l11 0 0  1 u12 u13  3  1 2       3 l21 l22 0  0 1 u23   1 2 l31 l32 l33  0 0 1  2  2  1



Tahap 1: l1 1  3 l2 1  1



l3 1  2



Tahap 2: l11u12  1 l11u13  2



Tahap 3



 



1 1  l11 3 2 2 u13   l11 3 u12 



1  1 7 l22  a22   l21u12  a22  l21u12  2  (1)    k 1  3 3 1 4  1 l32  a32   l31u12  a22  l31u12  (2)  (2)     k 1 3 3  



Tahap 4: 1



u2 3 



a2 3   l2 1u1 3 k 1



l2 2



a l u  23 21 13  l2 2



2 3  (1)  3 1 7     3



Tahap 5: 2 2  4 l33  a33   l3 k uk 3  a33  l31u13  l32u23   (1)  (2)     (1)  1 k 1 3  3



Sehingga diperoleh; A = L.U 3  1 2  3    3   1 1 2 2  2  1 2



1.1.2



0 7/3  4/3



0  1  0  0  1 0



 1/3 1 0



2/3   1  1 



Metode Doolittle



Metode Doolittle mendekomposisi matriks menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas, dimana hasil dari dekomposisi tersebut menghasilkan matriks segitiga bawah yang elemen diagonal utamanya adalah bilangan 1 dan elemen lainnya bilangan sembarang. Misalkan  a11 a12  A  a21 a22 a31 a32



a13   a23  dekomposisi matriks A menjadi a33 



 1 0 0 u11 u12 u13     A( LU )  L  U  l21 1 0  0 u22 u23  l31 l32 1  0 0 u33  Dimana A  L  U sehingga dapat ditulis;  a11 a12 a13   1 0 0 u11 u12 u13       a21 a22 a23   l21 1 0  0 u22 u23  a31 a32 a33  l31 l32 1  0 0 u33 



Karena yang akan dicari adalah lij dan uij maka kita dapat menggunakan rumus umum berikut ini. i 1



uij  aij   lik ukj



i  j,



k 1



j  1,2 ,..., n



j 1



lij 



aij   lik ukj



j  i , i  2 ,..., n



k 1



uii



Untuk memudahkan kita menggunakan rumus umum di atas maka diperlukan tahapan-tahapan berikut ini; Tahap 1: Carilah nilai uij pada baris pertama matriks U Tahap 2: Carilah nilai lij pada kolom pertama matriks L Tahap 3: Carilah nilai uij pada baris kedua matriks U Tahap 4: Carilah nilai lij pada kolom kedua matriks L Tahap 5: Carilah nilai uij pada baris ketiga matriks L Tahapan ini berulang sampai semua lij dan uij ditemukan. Contoh Dekomposisi matriks A berikut menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. 3  1 2    A  1 2 3 2  2  1



Penyelesaian:  1 0 0 u11 u12 u13  3  1 2       3 l21 1 0  0 u22 u23   1 2 l31 l32 1  0 0 u33  2  2  1



Tahap 1: u1 1  3 u1 2  1 u1 3  2



Tahap 2: l21u11  1







l31u11  2







Tahap 3



1 1  u11 3 2 2 l31   u11 3



l21 



1 7 1 u22  a22   l21u12  a22  l21u12  2    1  k 1 3 3 1 7 1 u23  a23   l21u13  a23  l21u13  (3)   (2)  k 1 3 3  



Tahap 4: 1



l32 



a32   l3 1u12 k 1



u 22



a l u  32 31 12  u22



2  2   ( 1) 3  4 /7 7   3



Tahap 5: 2 2  4  7  u33  a33   l3 k uk 3  a33  l31u13  l32u23   (1)   (2)       1 k 1 3  7  3 



Sehingga diperoleh; A = L.U 3  1 2   1    3    1/3 1 2 2  2  1  2/3



0 1  4/7



0  3  0 0 1 0



1 7/3 0



2   7/3   1 



1.2 Metode Cholesky Metode Cholesky mendekomposisi suatu matriks menjadi hasil kali antara matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas sedemikian sehingga kedua matriks hasil dekomposisi tersebut memiliki elemen-elemen diagonal utama yang bersesuaian sama. Oleh karena itu, metode ini hanya bisa digunakan mendekomposisi matriks simetris.  a11 a12 Misalkan A  a21 a22 a31 a32



a13   a23  a33 



dekomposisi matriks A menjadi A( LU )  L  U adalah  a11   a 21  a 31



a12 a 22 a 32



a13  l11 0 0  u11 u12 u13      a 23   l21 l22 0   0 u22 u23  a 33  l31 l32 l33   0 0 u33 



dimana Latihan 1.4 1. Gunakan rumus mencari invers matriks 2  2 untuk menemukan invers matriks-matriks berikut ini;