08 - Osilator Harmonik - 2013 PDF [PDF]

Citation preview

Gerak Osilator Harmonik Sederhana Fisika Dasar I Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga 2013



OUTLINE



Hk Hooke: Gaya pulih (potensial) pegas saat ia disimpangkan sejauh x adalah



Fx  kx k = konstanta pegas



Tanda “ – “ berarti berlawanan dengan perpindahannya Samakan Hk Hooke dengan Hk II Newton untuk massa konstan:



d 2x Fx  ma  m 2 dt Syarat Gerak Harmonik Sederhana



d 2x k a 2  x dt m Percepatan sebanding dengan perpindahan tetapi berlawanan arah



d 2x k a 2  x dt m



d 2x k  x0 2 dt m



k  m



d 2x 2   x0 2 dt



Pers. Gerak Harmonik Sederhana Solusinya:



x  A cost    A = amplitudo (simpangan maksimum) t     fase   beda fase  konstanta fase



2 k   2f   T m 1 f  2



Frekuensi=jumlah osilasi per sekon



k m



1 f  T



m T  2 k



x  A cost   



Dari solusi pers GHS



  v  dx dt   A sin t   2 2 dv a  dt   A cost      x



Kecepatan GHS Percepatan GHS



Pada to = 0, x = xo dan v= vo



x0  A cos 



sin   



Amplitudo



v0



x0 



2



dan



v0 tan    x0



v



2 0



v0   A sin 



cos  



x0  v0  2 A  x0    cos   



x0



x0 



2



2



v



2 0







x0  v0  2 x0     



2



Jika konstanta (beda) fase = 0 maka x  A cos t



v



dx dt



 A sin t



a



dv dt



  A cos t 2



y



y=cos(x)



y=sin(x)



1



π/2



π 3π/2



2π 5π/2



-1 2π



3π 7π/2



4π 9π/2



5π



x



Bayangkan Anda sedang berada di atas perahu boat yang berayun naik turun di atas ombak lautan. Gerakan osilasi naik turun boat diberikan oleh persamaan:  t  y  1,2m  cos    2s 6  (a) Tentukan amplitudo, frekuensi sudut, konstanta fase, frekuensi dan periode geraknya. (b) Berapa jarak yang ditempuh selama 1 s? (c) Tentukan kecepatan dan percepatannya pada setiap saat t. (d) Tentukan posisi, kecepatan, dan percepatan awalnya. SOLUSI:  t  (a) Bandingkan pers. y  1,2m cos   dengan y  A cost     2s 6  diperoleh: A  1,2 m   1 2 rad/s    6 rad f   2  0,0796 Hz T  1 f  12,6 s 1s      0,624 m 2 s 6 



(b) Masukkan t = 1s ke dalam persamaan, diperoleh: y  1,2mcos



(c) Kecepatan dan percepatan diperoleh dengan penurunan posisi terhadap waktu:  t  v y  0,6m/s sin    2s 6 



 t  a y   0,3 m/s 2 cos    2s 6 











(d) Masukkan t = 0 ke dalam persamaan-2 pada jawaban (b) dan (c), diperoleh:    2 2 y  1,2m  cos  1,04 m v y 0  0,6 m/s sin  0,300 m/s a y 0  0,3 m/s cos  0,206 m/s 6 6



6



Dua buah pegas serupa masingmasing diberi beban bermassa sama, disimpangkan masing-masing 5 cm dan 10 cm dan kemudian dilepaskan bersamaan. Manakah dari kedua objek itu yang mencapai titik setimbang Titik setimbang terlebih dulu? Karena frekuensi dan periode tidak bergantung pada amplitudo, hanya bergantung pada konstanta pegas dan massa beban maka kedua sistem akan mencapai kesetimbangan secara bersamaan. Lintasan yang ditempuh objek-2 memang 2x lintasan objek-1, tapi kecepatan objek-2 juga 2x kecepatan objek-1



Objek 2 Objek 1



Amplitudo objek-2 = 2x amplitudo objek-1



Objek 2 Objek 1



GHS dan Gerak Melingkar Bayangkan suatu partikel bergerak melingkar dengan kecepatan v, membentuk jari-jari r. Pergeseran sudut relatif terhadap sumbu-X adalah:



 = Pergeseran sudut saat t = 0.  = v/A = kecepatan sudut Komponen X psosisinya:



x  A cos   A cost   



Komponen Y psosisinya:



y  A sint     A cost     2



Jika suatu partikel bergerak dengan kecepatan konstan dalam lingkaran maka projeksinya pada diameter lingkaran itu merupakan GHS.



(Sama dengan pers. GHS)



Pegas – Osilasi – Gerak Melingkar



Periode T



Periode T



Gerak GHS



Energi Kinetik dan Potensial selalu berubah Energi Total Konstan E  K  U  Konstan



Energi Potensial U  12 kx2  12 kA2 cos 2 t     12 m 2 A2 cos 2 t    Energi Kinetik



K  12 mv2  12 m 2 A2 sin 2 t     12 kA2 sin 2 t   



Energi Total



E  K  U  12 m 2 A2 sin 2 t     cos 2 t      











1



 12 m 2 A  12 kA2 Energi total GHS sebanding dengan kuadrat amplitudonya Catatan: Hubungan Gaya dengan Energi Potensial Energi Potensial



F 



dU dx



U   Fdx    kxdx  12 kx2



Plot U dan K terhadap waktu



U  12 Etot



U  K  12 Etotal U = energi potensial rerata K = energi kinetik rerata



K  12 Etot



Plot U terhadap x



Sebuah benda bermassa 3 kg yang terikat pada pegas mengalami osilasi dengan amplitudo 4 cm dan periode 2s. (a) berapa energi totalnya? (b) Berapa laju maksimum benda itu? (c) Dimana posisinya saat lajunya sama dengan setengah laju maksimumnya?



SOLUSI: (a) Energi totalnya



E  12 kA2  12 m 2 A  12 3 12  4 102   2,37 102 J 2



2



(b) Laju maksimum



vmaks











2E 2 2,37 102    0,126 m/s m 3



(c) Posisi saat lajunya setengah laju maksimum E  12 mv2  12 kx2  12 m 12 vmaks   12 kx2  14 2



1 2



1 2



2



kx2  34 E  34



1 2



2 maks



E



E  E  kx 1 4



mv







1 2



kA2







x  12 A 3  12 4 3  3,46 m



1 2



kx2



Benda pada Pegas Vertikal Bandul Sederhana Posisi setimbang tanpa massa



Bandul Fisis Sumbu Osilasi



Posisi setimbang dg massa m



Benda berosilasi sekitar Posisi setimbang



OSILASI PEGAS



Benda pada Pegas Vertikal Ada gaya berat W = mg ke bawah Pilih arah ke bawah positif Gaya pegas pada benda Fp = - ky Hk II Newton memberikan: d2y m 2  ky  mg dt Misal: y  y  y0



dengan: y0  mg k Substitusi 2 pers terakhir, diperoleh



Posisi setimbang tanpa massa



Posisi setimbang dg massa m



Benda berosilasi sekitar Posisi setimbang



d 2  y   y0  m  k  y  y0   mg  ky  ky0  mg 2  dt  mg 2  d y GHS Solusinya: y  A cost    m 2  ky dt Posisi setimbang:: y  0 y0 = mg/k k Frekuensi sudut:   Sama dengan horisontal m



U  U p Ug



Energi Potensial sistem



Energi Potensial pegas Pada titik setimbang



Energi Potensial total pada y  0



1 2 U p  ky0 2



Energi Potensial gravitasi dan



U  U p Ug 



U g  mgy0 1 2 ky 2



U 0



Model mekanik konfigurasi atom dalam molekul



Buktikan Aku ini ya...



(1) Sebuah benda bermassa 3 kg merenggangkan sebuah pegas sejauh 16 cm tatkala ia digantungkan pada pegas secara vertikal. Kemudian pegas disimpangkan dari keadaan setimbang barunya dengan menarik benda kemudian dilepaskan. (a) Tentukan konstanta pegas (b) Tentukan frekuensi geraknya (c) Tentukan frekuensi itu jika massa benda diganti dengan 6 kg. (d) Jika simpangan maksimum pegas saat osilasi 5 cm hitung energi total dan energi potensialnya. SOLUSI: m g 3kg  9,8N/kg (a) ky0  m1 g k 1   184 N/m



y0



0,16m



(b)



f1 



1 2



k 1  m1 2



g  1,25Hz y0



(c)



f2 



1 2



k 1  m2 2



k 1 1,25Hz  f1   0,884Hz 2m1 2 2



(d) E  U tot  12 kA2  12 184  0,052  0,23 J U p  U tot  U g  0,23 J   m1 gA  1,70 J



(2) Sebuah balok terlentang di atas pegas dan berosilasi vertikal dengan frekuensi 4 Hz dan amplitudo 7 cm. Sebuah bijih tasbih kecil diletakkan di atas balok yang sedang berosilasi ketika balok mencapai titik terendah (lihat gambar). Asumsikan bahwa bijih tasbih tidak berpengaruh pada osilasi. (a) Pada jarak berapa dari posisi setimbang balok, bijih tasbih lepas kontak dengan balok? (b) Berapa laju bijih tasbih saat ia meninggalkan balok? SOLUSI: (a) Ambil y' positif ke atas dengan y' = 0 pada posisi kesetimbangan balok. Persamaan gerak balok:



y' = - A cos ωt



Percepatan balok sama dengan – g : a = – ω2 y' = ω2 A cos ωt = – g



A = 0.07m



dan



ω =2πƒ = 8π



cos ωt = – g/ω2 A



y' = - A cos ωt = g/ω2 = 1,55 cm. (b) Laju bijih tasbih lepas dari balok sama dengan laju balok saat itu v = dy' /dt = ω A sin ωt = ω A (1–cos2 ωt) cos ωt = – y' /A = – 0,221



v = (8π rad/s) . (0,07m). (1–0,2212) = 1,72 m/s



Analisis bandul: Gaya yang bekerja: Gaya berat bandul dan tegangan tali Bandul disimpangkan sejauh  Gaya pulih pada bandul: mg sin  ke arah berkurangnya  Panjang lintasan Bandul s = 



Hk II Newton:



d 2s d 2  mg sin   m 2  m 2 dt dt



Untuk  kecil berlaku sin    T  2



 g



d 2 g  sin   0 dt 2  d 2 g   0 2 dt  g     0 cost   



d 2 2    0 2 dt



Solusi



Untuk 0 tidak kecil



Bukan ayunan sederhana



Periode bergantung pada 0 2   1 1 3   2 4  T  T0 1  2 sin 0  2   sin   ...  2  2 4  



Grafik T/T0 terhadap 0



dengan



T0  2



 g



Nilai posisi, kecepatan, percepatan, energi kinetik, dan energi potensial pada saat-saat khusus pada pegas atau ayunan sederhana



Bandul Fisis



Poros (Sumbu Osilasi)



Benda tegar diberi poros tidak pada pusat massanya kemudian disimpangkan dari posisi setimbang Jarak poros ke pusat massa: D Sudut simpangan :     MgD sin  Torsi terhadap poros:  d 2 Hk II Newton untuk rotasi:   I  I dt2 I Untuk  kecil berlaku sin   



Periode osilasi:



T  2



I MgD



d 2 d 2



 MgD sin   0 d 2 d 2







MgD I







 0



MgD I



d 2   2  0 2 dt



I = MK2



Momen inersia benda dapat dinyatakan sebagai K = jari-jari (radius) girasi benda



Bergantung bentuk benda dan letak porosnya Contoh: Bola pejal berputar terhadap sumbu utama I  52 MR 2



K



2 5



R



Periode osilasi bandul fisis dalam radius girasi: I MK 2 1 T  2  2  2K MgD MgD gD



Periode osilasi tidak bergantung massa



Contoh: Cincin beradius R diputar terhadap sumbu Z pada tepi cincin Z



Jarak poros dari pusat massa: D = R Momen inersia : I = 2MR3



Periode osilasi cincin



Radius Girasi: K  2 R



K2 2R 2 2R T  2  2  2 gD gR g



Bandul Puntir Benda digantung dengan kawat disangkutkan pada titik tetap Jika dipuntir hingga sudut , kawat   akan mengerjakan gaya pemulih   







Hk II Newton :     I



I



d 2 dt 2







κ = konstanta puntir



d 2 dt 2



   0



d 2 2    0 2 dt



Periode osilasi:







 I



T  2



I







Osilasi Teredam Gaya gesek diperhatikan



Energi mekanik osilasi tidak kekal, berkurang



Fd  bv Hk II Newton :



Solusi umum persamaan: Frekuensi sudut osilasi:



Jika gaya hambat jauh lebih kecil ketimbang gaya pulih maka gerak osilasi tetap dipertahankan, namun amplitudo berkurang terhadap waktu, hingga akhirnya berhenti



Osilator Teredam Amplop kurva osilator



Berkurang secara eksponensial terhadap waktu



Energi osilator berkurang terhadap waktu



E  E0e b m t  E0e t  m    konstanta waktu b Waktu yang diperlukan energi untuk berkurang sebesar faktor 1/e Untuk



t  T  1 periode



E b  T E m



Dalam 1 periode kehilangan energi E Faktor kualitas = Faktor Q didefinikan sebagai Q  2



E m   2  2 E bT T



Penerapan Penyerap kejutan (shock) digunakan untuk meredam osilasi mobil atau kendaraan lain



Osilasi Terpaksa Jika ada gaya luar (gaya paksa) yang berubah terhadap waktu Feks  F0 cos t



 F  kx  bv  F0 cos t  m



dv dt



d 2x dx m 2  b  m02 x  F0 cos t dt dt Solusi keadaan Tunak, tidak bergantung keadaan awal:



x  A cost    F0 m A







2











2 2 0



 b    m  



2



Tugas di luar kelas (Dikumpulkan 7 hari setelah menerima materi ini)



1) Sebuah bandul matematis tersusun atas sebuah massa titik dan tali sepanjang L. Tali harus diperpanjang atau diperpendekkah jika periode bandul ingin diperkecil menjadi 90% semula? Berapa % pertambahan atau pengurangan panjang tali tersebut? Jelaskan dengan bukti perhitungannya. 2) Bandul jam gadang tersusun atas sebuah batang tipis bermassa m = 0,8 kg yang panjangnya L = 2m dan cakram berjejari R = 0,15 m dan bermassa M = 1,2 kg. Jam dikonstruksi agar menunjukkan waktu yang tepat dengan periode bandul 3,5s. (a) Berapa jarak d agar periode bandul menjadi 2,5s? (b) Anggaplah, jika waktu yang ditunjukkan jam terlambat 5 menit per hari, bagaimanakah cakram harus di geser (ke arah mana dan sejauh berapa)? 3) Sebuah benda 2 kg berosilasi dengan amplitudo awal 3 cm pada pegas yang berkonstanta pegas k = 400N/m. Tentukan (a) periode (b) energi awal (c) jika energi berkutang sebesar 1 % per periode hitung konstanta redaman b dan faktor Q.