![4 Fungsi Dua Peubah [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/4-fungsi-dua-peubah.jpg)
11 0 2 MB
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Fungsi Dua Peubah
[MA1124] KALKULUS II
Sistem Koordinat z
y
Kuadran II
Kuadran I P(x,y,z)
P(x,y)
x y
x Kuadran III
Oktan 1
y
Kuadran IV x R3(Ruang)
R2(Bidang)
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
2
Permukaan di Ruang (R3) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : •Bola, mempunyai bentuk umum :
x 2 y2 z 2 a 2 , a 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 x 2 y 2 2 2 Jejak di bidang XOZ, y = 0 x z 2 2 y z Jejak di bidang YOZ, x = 0
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
a,2 berupa lingkaran a,2 berupa lingkaran a ,2 berupa lingkaran
3
Gambar Bola Z
y
x
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
4
Permukaan di Ruang
Elipsoida, mempunyai bentuk umum x2 y2 z2 2 2 1 , a, b, c > 0 2 a b c 2 2 x y Jejak di bidang XOY, z = 0 2 1 , berupa Ellips 2 a b 2 2 x z Jejak di bidang XOZ, y = 0 2 1 , berupa Ellips 2 a c
z2 y2 2 1 , berupa Ellips Jejak di bidang YOZ, x = 0 2 c b
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
5
Gambar Ellipsoida
Z
y
x
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
6
Permukaan di R3
Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum: x2 y2 z2 2 2 1 , a, b, c > 0 2 a b c
2 2 x y Jejak di bidang XOY, z = 0 2 1 , berupa Ellips 2 a b 2 2 x z Jejak di bidang XOZ, y = 0 2 1 , berupa Hiperbolik 2 a c 2 2 y z Jejak di bidang YOZ, x = 0 2 1 , berupa Hiperbolik 2 b c
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
7
Gambar Hiperbolik Berdaun Satu
Z
y
x
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
8
Permukaan di R3
Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum: x2 y2 z2 2 2 1 , a, b, c > 0 2 a b c
y2 z2 x2 2 2 1 , maka terdefinisi saat x - a atau x a 2 b c a
2 2 x y Jejak di bidang XOY, z = 0 2 1 , berupa Hiperbolik 2 a b 2 2 x z Jejak di bidang XOZ, y = 0 2 1 , berupa Hiperbolik 2 a c 2 2 y z Jejak di bidang YOZ, x = 0 2 1, tidak ada jejak 2 b c
Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
9
Gambar Hiperbolik Berdaun Dua
Z
y x
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
10
Permukaan di R3 •
Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum: x2 y2 z , a, b, c > 0 2 2 a b c Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum: x2 y2 z , a, b, c > 0 2 2 a b c Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum: x 2 y2 z2 2 2 0 2 a b c Bidang , mempunyai bentuk umum:
A x By Cz D 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
11
Gambar Z
Z
y
y
x
Paraboloida Eliptik z
x
Paraboloida Hiperbolik z
y
x
x
Kerucut Eliptik 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
y Bidang 12
Latihan: Gambarkan 1.
2. 3. 4. 5. 6.
x 2 + y2 = 4 y = x2 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 36 z =4 x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z = 3
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
13
Fungsi Dua Peubah •
Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y) Notasi : f : A R ( A C R2) (x,y) z = f(x,y) Contoh: 1. f(x,y) = x2 + 4 y2 2.
3.
1/17/2017
f(x,y) = f(x,y) =
1 36 9x 2 4y 2 3 2y x 2
x 2 y 2
2
[MA 1124] KALKULUS II
14
Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)
f (x, y) (x, y) D
Df (x, y) R 2 f (x, y) R
Rf
f
Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari 1. f(x,y) = x2 + 4 y2
1 36 9x 2 4 y 2 3 3. f (x, y) x(1 y)
2. f ( x, y)
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
15
Contoh (Jawab) 1. Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}
y
= {(x,y) R2} x
1 2. Df (x, y ) R2 36 9x 2 4y 2 R 3 = {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2 0}
y 3
= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36} 2 2 x y 2 (x, y ) R 1 4 9
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
2
x 16
Contoh (Jawab)
3. Df (x, y ) R2
x(1 y ) R
= {(x,y) R2| x(1 – y) 0} = {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)0 atau x0 dan (1–y)0} = {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x0 dan y 1}
y
x
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
17
Latihan Tentukan dan Gambarkan Df dari 1.
f(x,y) =
2.
f(x,y) =
3.
f(x,y) =
1/17/2017
2y x 2
x y 2 2
x 1 y y 2 x
2
16 x 2 y 2 ln( x y)
4.
f(x,y) =
5.
ln( x y 1) f(x,y) = y x 1
[MA 1124] KALKULUS II
18
Grafik Fungsi Dua Peubah •
Grafiknya berupa permukaan di ruang z Z=f(x,y)
y D f x
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
19
Contoh Gambarkan Grafik 1. f(x,y) = 2 x2+ 3y2
Z
z = 2 x2+ 3y2 z
2
2
x y 1 1 2 3
y
Paraboloida eliptik
x
Z
3
2.
f(x,y) = 3 – x2 – y2 z = 3 – x2 – y2
3
y
x
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
20
Contoh 1 36 9x 2 4y 2 3. f(x,y) = 3 9z2 = 36 – 9x2 – 4y2
Z
2
9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 x2 y 2 z2 1 Elipsoida 4 9 4 4. f(x,y) =
3
y
2
x
Z
16 x 2 y 2
4
z2 = 16 –x2 –y2
x2 + y2 + z2 = 16
4
Bola 1/17/2017
x
[MA 1124] KALKULUS II
y
4
21
Kurva Ketinggian z = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4 2. f(x,y) = 2x – y2 , k = -2, 0, 2, 4
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
22
Contoh (Jawab) 1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4 Untuk k = 0
Untuk k = 1 Untuk k = 2 Untuk k = 4
1/17/2017
x2 +2 y2 = 0 x = 0, y = 0
x2 +2 y2 = 1
titik (0, 0)
x2 y2 1 1 1 2
elips
x2 y2 1 2
elips
x y 1 4 2
y
.
x2 +2 y2 = 2
x22 +2 2y2 = 4
k=1
k=0
x
k=2 k=4
[MA 1124] KALKULUS II
elips
23
Contoh (Jawab) 2. f(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4 Untuk k = -2 x – y2 = -2 x = y2 – 2
Untuk k = 0
Untuk k = 4
1/17/2017
parabola
x – y2 = 0 x = y2
Untuk k = 2
y
parabola
x – y2 = 2 x = y2 + 2
parabola
x – y2 = 4 x = y2 + 4
parabola
[MA 1124] KALKULUS II
k=0
x
k=2 k=4
k=-2
24
Latihan Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. 2. 3.
4.
1/17/2017
f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y)
= = = =
x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4 x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9 xy , k = -4, -1, 0, 1, 4 y2 – x2 , k = 1, 2, 3, 4
[MA 1124] KALKULUS II
25
Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis lim
( x , y )( a , b )
f ( x, y) L
x a 2 y b2
Jika ε > 0 > 0 0 f ( x, y) L
z
berlaku
Z =f(x,y)
L+ε L L–ε y (a,b) x 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
26
Catatan lim
( x , y )( a , b )
f ( x, y) L ada jika lim f ( x, y) L ( x , y )( a , b )
untuk sembarang
kurva yang melalui (a,b).
Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui (a,b) dengan nilai
lim
( x , y )( a , b )
f ( x, y) berbeda untuk masing-masing
kurva, maka dikatakan lim
( x , y )( a , b )
f ( x, y) tidak ada.
. (a,b)
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
27
Contoh Buktikan bahwa limit
Jawab f ( x, y )
xy lim ( x , y )(0,0) x 2 y 2 berikut tidak ada
xy 2 – {(0,0)} terdefinisi di D = R f x2 y2
Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah x.0 f (x,0) 2 0 2 x 0 Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah x.0 lim f (x,0) lim 0 ( x ,0)(0,0) ( x ,0)(0,0) x 2 02
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
28
Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah x.x 1 f ( x, x ) 2 2 2 x x Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah x.x 1 lim f (x, x) lim ( x , x )(0,0) ( x , x )(0,0) x 2 x 2 2
Karena lim
( x ,0)(0,0)
f (x,0)
lim
( x , x )(0,0)
f (x, x) maka
xy tidak ada ( x , y )(0,0) x 2 y 2 lim
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
29
Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada x 2 y2 1. lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x2y 2. lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 4 y 2
1/17/2017
x 3 y4 3. lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 6
[MA 1124] KALKULUS II
30
Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. lim f (x, y) ada ( x , y )( a , b )
iii.
lim
( x , y )( a , b )
f (x, y) f (a, b)
Teorema: 1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm 2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada Df asal q(x,y)≠0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y)) 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
31
Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 2 x 3y 1. f(x,y) = 2 ( y 4x )
Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x 2 2 2. f(x,y) = cos(x 4xy y )
Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom) g kontinu dimanamana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
32
Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut
f ( x h , y ) f ( x , y) f x ( x, y) lim h 0 h 2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f ( x , y h ) f ( x , y) h 0 h
f y ( x, y) lim
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
33
Contoh: Tentukan fx dan fy 1. f (x, y) x y 4xy 3
y
3. f ( x, y) ln sin t dt
2
x
Jawab
Jawab
fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2
fx(x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx)
fy(x,y) = x3 + 8 xy 2. f (x, y) y cos(x 2 y 2 )
fx(x,y) = – ln(sinx) fy(x,y)=1. ln(siny)–0. ln(sinx)
fy(x,y) = ln(siny)
Jawab fx(x,y) = –2xy sin(x2 + y2)
fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2)
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
34
Latihan Tentukan fx dan fy 3 1. f (x, y) x cos(x y) y sin2xy
f (x, y )
2.
y
x
ecos t dt
3 3. f ( x, y) x sin( x y) y cos(2 xy )
Tentukan fx, fy dan fz 1. f (x, y, z) xy y 2 z 3xz
2.
f (x, y, z) x cos(y z) 2xy
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
35
Turunan Parsial Kedua f 2f fxx (x, y ) x x x 2 fyy (x, y ) y
f 2f 2 y y
fxy (x, y ) y
2f f x yx
f 2f fyx (x, y ) x y xy
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
36
Contoh Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx
1. f(x,y)= x y3 + y3x2 Jawab fx(x,y) = y3 + 2xy3 fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2
fxx(x,y) = 2y3 fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2 fyy(x,y) = 6xy + 6x2y fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
37
Contoh 2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3) Jawab fx(x,y) = y sin(x2+2xy+y3) + xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3) fy(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)
fxx(x,y) =y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3) – xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3) fxy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) +(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) fyy(x,y) =(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3) –xy(2x+3y2)2 sin(x2+2xy+y3) fyx(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3) +(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
38
Latihan Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y 2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3) 3. f(x,y) = tan-1(y2/x)
4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2) 5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
39
Arti Geometri Turunan Parsial
z
s
y (a, b) x
1/17/2017
Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x.
[MA 1124] KALKULUS II
40
Arti Geometri Turunan Pertama (2)
z
s
(a, b)
x
1/17/2017
y
Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y.
[MA 1124] KALKULUS II
41
Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 1.36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah z 1 fy ( x , y ) y y 2 z Sehingga didapat fy (3,2) 1 . Bilangan ini adalah y menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
42
Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 2. 2z =(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2))
Jawab: Turunan parsial terhadap x adalah z 18x 9x f x ( x, y ) x 4 9x 2 9y 2 36 2 9x 2 9y 2 36 z Sehingga didapat f x (2,1) 3 . Bilangan ini adalah
x
menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
43
Latihan Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 1. 2.
3z =(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, (11/3)) 4z =5(16-x2) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5(3/2))
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
44
Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2 • Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagai
ˆi , ˆj
f (x, y) f x (x, y)ˆi f y (x, y)ˆj
adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif
Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)
Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah
f (x, y, z) f x (x, y, z)ˆi f y (x, y, z)ˆj f z (x, y, z)kˆ ˆi , ˆj, kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
45
Contoh Tentukan f (x, y ) dan f (1,1) dari f (x, y) x e xy Jawab fx (x, y) e xy xye
xy
fy (x, y) x 2e xy
fx (1,1) e e 2e fy (1,1) e
Sehingga diperoleh: f (x, y) e xy xye xy ˆ i x 2e xy ˆ j f (1,1) 2e ˆ i eˆ j
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
46
Latihan I. Tentukan f dari x 2y 1. f (x, y ) xy
3. f (x, y) sin3 x 2y
2 2 2. f (x, y) ln x y
4. f (x, y) xy ln(x y)
5. f (x, y, z) x 2y e x z 6.
f ( x, y, z ) x e 2 y sec z
II. Tentukan f di titik yang diberikan 1. f (x, y) x 2y xy 2
di P (– 2,3)
3 2 3 2. f (x, y) ln(x xy 4y ) di P (– 3, 3)
x2 3. f (x, y ) y 1/17/2017
di P (2, –1) [MA 1124] KALKULUS II
47
Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai dz z x z y dt x t y t
Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka dz z x z y i ds x s y s dz z x z y ii dt x t y t
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
48
Contoh 1. Misalkan w =
x2
y3
dengan x =
t3
dan y =
t2,
Jawab:
dw tentukan dt
dw w x w y dt x t y t
= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t) = 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t) = 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t = 6t11+6 t11 = 12 t11
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
49
Contoh 2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, dz dz tentukan dan dt ds Jawab: dz z x z y dt x t y t = 6x. 7 + (–2y) 5 s = 42 (2s +7t) – 50 s2t dz z x z y ds x s y s
= 6x. 2 + (–2y) 5 t = 12 (2s +7t) – 50 s t2 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
50
Latihan dw (dalam t) 1. Tentukan dt
a. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t b. w = ex siny – eysin x ; x = 3t, y = 2t c. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =t dw (dalam t dan s) 2. Tentukan dt a. w = x2 – y lnx ; x = s/t, y = s2 t b. w =
1/17/2017
e
x2 y 2
; x = s sin t, y = t sin s
[MA 1124] KALKULUS II
51
Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u u1ˆi u 2ˆj adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : Du f (p) f (p) u atau D u f(a, b) = fx (a, b)u1 + fy (a, b)u2 Perhatikan bahwa
Du f ( p) f ( p) u f ( p) u cos f ( p) cos
Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum (=0)jika
f ( p ) u f ( p ) f (p) Sebaliknya akan minimum jika u f (p) 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
52
Contoh 1. Tentukan
turunan berarah dari f(x,y) = 4x3y pada titik P(2,1) dalam arah vektor a 4 ˆ i 3ˆ j
Jawab: Du f (2,1) fx (2,1) u1 fy (2,1) u2 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a a 4ˆ i 3ˆ j 4ˆ 3 ˆ u i j 5 5 5 a fx (x,y)= 12 x2 y fx (2, 1)= 12.22.1 =48 fy (x,y)= 4 x3 fy (2, 1)= 4.23 =32 Sehingga Du f (2,1) fx (2,1) u1 fy (2,1) u2
=48 . (4/5) + 32 . (3/5) = 288/5 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
53
Contoh 2.
Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada ˆ titik P(1,2, /2) dalam arah vektor a ˆ i 2ˆ j 2k Jawab:
Du f (1, 2, ) fx (1, 2, ) u1 fy (1, 2, ) u2 fz (1, 2, ) u3 2 2 2 2 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a ˆ 1 ˆ a i 2ˆ j 2k 2ˆ 2ˆ ˆ u i j k 3 3 3 a 9 fx (x,y,z)= y sinz fy (x,y,z)= x sinz fz (x,y,z)= xy cosz 1/17/2017
fx (1,2,/2)= 2 sin(/2) =2 fx (1,2, /2)= 1.sin(/2) =1 fz (1,2, /2)= 1.2 cos(/2) =0 [MA 1124] KALKULUS II
54
Contoh (Lanjutan) Sehingga
Du f (1, 2, ) fx (1, 2, ) u1 fy (1, 2, ) u2 fz (1, 2, ) u3 2 2 2 2 =2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3) = 4/3
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
55
Latihan 1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a a. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(x,y) = xey – yex , P(0, 0), a = 5 i – 2 j c. f(x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + 3 j d. f(x,y) = x/(x – y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(x,y,z) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3) 2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(x,y) = x3 – y5 , P(2, –1) d. f(x,y) = 1–x2–y2 , P(–1,2) b. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0) c. f(x,y) = 4x3y2 , P(–1,1) 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
56
Latihan (lanjutan) y .Tentukan u sehingga Du f (2, 3) 0 3. Misal f (x, y ) xy ˆ ˆ 4. Jika f (x0 , y0 ) i 2 j ,Tentukan u sehingga Du f (x0 , y0 ) 2 3 4ˆ ˆ 5. Diketahui Du f (1, 2) 5 jika u i j dan 5 5 4 3ˆ Dv f (1, 2) 10 jika v ˆ i j 5 5 a. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2) b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
57
Bidang Singgung
Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada f (a, b, c) Teorema: Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : Fx(a,b,c) (x–a) + Fy(a,b,c) (y–b) + Fz(a,b,c) (z–c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z – f(a,b) = fx(a,b) (x – a) + fy(a,b) (y – b) 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
58
Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)
Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2 ˆ f (x, y, z) 2x ˆ i 2y ˆ j 4z k ˆ f (1, 2, 3) 2 ˆ i 4ˆ j 12 k Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah 2(x – 1) + 4(y – 2) + 12 (z – 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
59
Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal
x 1 y 2 z 3 2 4 12
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
60
Contoh 2. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan z = f(x,y)=x2+2xy-3xy2 +2 di titik (1, 2, -5) Jawab:
fx (x, y) 2x 2y 3y 2
fy (x, y) 2x 6xy
fx (1,2) 2 4 12 6
fy (1,2) 2 12 10
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah (z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2) 6x + 10y + z = 21
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
61
Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+6t, y = 2 + 10t , z = –5 + t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal
x 1 y 2 z 5 6 10 1
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
62
Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = ex cos z di titik (1, e, 0) c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1) 2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x2–2xy–y2–8x+4y dimana bidang singgungnya mendatar 3. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2+2y2+3z2=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 – 6t 1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
63
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Definisi Misalkan (x0,y0) Df, maka f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0).
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
64
Di mana nilai ekstrim muncul?
Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis
Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas Df Titik Stasioner Titik Singular
1/17/2017
[MA 1124] KALKULUS II
65
Uji Nilai Ekstrim
Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: Misalkan f(x,y) mempunyaiturunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0), f (x 0 , y0 ) 0 dan
D D(x 0 , y0 ) f xx (x 0 , y0 ) . f yy (x 0 , y0 ) f xy (x 0 , y0 )
2
maka 1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f xx (x 0 , y0 ) 0 2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan f xx (x 0 , y0 ) 0 3. Jika D
