Arah Cosinus Dan Cosinus Sudut Antara Dua Vektor [PDF]

Citation preview

Cosinus Arah Suatu Vektor Cosinus arah dari vektor tak nol adalah cosinus arah dari setiap ruas wakil dari vektor. Jadi cosinus arah dari vektor u = [u1, u2, u3] adalah



l=



u1 |u|



m=



u2



|u|



u3 |u|



n=



komponen skalar dari vektor satuan juga arahnya cosinus sama dengan vektor aslinya Contoh : Tentukan cosinus arah dari u = [-1, 2,-3]! jawab:



|u|=√ −12+ 22+−32=√ 14 jadi cosinus arah u adalah



l=



−1 √ 14



m= n=



2 √ 14



−3 √14



Cosinus Sudut antara 2 Vektor O merupakan pusat dari bola, dan merupakan titik awal ruas yang mewakili vektor bukan nol u dan v.



P1 dan P 2 merupakan titik dimana ruas garis mewakili dari vektor-vektor yang memotong bola. Koordinat P1 adalahl 1 , m 1 ,n1 yang merupakan cosinus arah dari u Koordinat P2 adalahl 2 , m 2 ,n 2 yang merupakan cosinus arah dari v



θ adalah sudut antara ruas arah OP 1 dan OP 2 Dengan aturan cosinus diperoleh : 2



2



2



OP1| +|⃗ OP 2| −|⃗ P1 P2| |⃗ cos θ= 2 2 2|⃗ OP 1| |⃗ OP2|



OP 1|=|⃗ OP 2|=1 dimana |⃗ 2



P1 P 2| =(l 2 −l1 )2+(m 2−m 1 )2+(n2−n1)2 |⃗ sehingga diperoleh : 2



2



2



OP1| +|⃗ OP 2| −|⃗ P1 P2| |⃗ cos θ= = 2 2 2|⃗ OP 1| |⃗ OP2|



1+ 1−[ ( l 2−l 1 )2 + ( m2−m1 )2 + ( n 2−n1 )2 ] 2.1 .1



2−[ l 22−2 l 1 l 2 +l 12 +m22−2 m1 m2 +m12+ n22−2 n1 n 2+ n12 ] ¿ 2



¿



2−[ l 22+ l 12 +m22 +m12 +n 22 +n 12 −2l 1 l 2−2 m1 m2−2 n1 n 2 ] 2− [ l 12 +m12+ n12+l 22 +m22+ n22−2 l1 l 2−2 m1 m2−2 n1 n2 ] = 2 2



Ingat cosinus arah suatu vektor jika dijumlah = 1 (Definisi cosinus arah vektor materi sebelumnya)



l 12 +m 12 +n12=1 sehingga diperoleh: =



2−[ 1+1−2l 1 l 2−2 m1 m 2−2 n1 n 2 ] 2 ¿



=



2−[ 2−2 l 1 l 2−2 m 1 m 2−2 n1 n2 ] 2



=



2−2+ 2l 1 l 2 +2 m 1 m 2 +2 n1 n 2 2



2l 1 l 2 +2 m 1 m2 +2 n1 n 2 2[l 1 l 2 +m 1 m 2 +n1 n2 ] = =l 1 l 2 +m 1 m2 +n1 n2 2 2



Jadi,



cos θ=l 1 l 2 +m 1 m 2 +n1 n2 Aturan : cosinus sudut θ antara dua vektor sama dengan jumlahhasil kali dari cosinus arah yang sesuai dari dua vektor Ingat : u = [u1, u2, u3] adalah



l=



u1



|u|



m=



u2 |u|



n=



u3



|u|



v = [v1, v2, v3] adalah



l=



v1



|v|



m= n=



v2 |v| v3



|v|



Jika u = [ u1 ,u 2 , u3 ] dan v =[ v1 , v 2 , v 3 ] maka



cos θ=l 1 l 2 +m 1 m 2 +n1 n2 cos θ=



u 1 v 1 u2 v 2 u3 v 3 u1 v 1 u2 v 2 u 3 v 3 + + = + + |u| |v| |u| |v| |u| |v| |u||v| |u||v| |u||v|



cos θ=



u1 v 1+u 2 v 2+u 3 v 3 |u||v|



u1 v 1 +u2 v 2 +u3 v 3 bisa kita sebut perkalian skalar atau hasil perkalian vektor u dan v yang selanjutnya dapat kita tulis menjadi :



u . v=u 1 v1 +u 2 v 2 +u3 v 3 sehingga



cos θ=



u1 v 1+u 2 v 2+u 3 v 3 |u||v|



cos θ=



u.v |u||v| dan



u . v=|u||v|cos θ Contoh : Tentukan cosinus sudut antara dua vektor u =[-3,1,-2] dan v = [4,1,-2]! jawab:



u1 v 1+u 2 v 2+u 3 v 3



cos θ=



|u||v| −3.4+1.1+(−2.−2)



cos θ= cos θ=



√−3 2+12 +−22 . √ 42 +12 +−22 −12+ 1+ 4 7 7 = = =6 √ 6 √ 14 . √ 21 √ 294 7 √ 6



Kita definisikan dua vektor saling tegak lurus ketika hasil kali skalarnya adalah 0 Jika u.v = 0 maka u tegak lurus v Jadi, vektor nol tegak lurus terhadap setiap vektor. jika u atau v adalah vektor nol, maka syarat bahwa u.v = 0 , menyiratkan bahwa



θ=900 atau 2700 Dua vektor bukan-nol u dan v akan didefinisikan sejajar dalam arah yang sama atau dalam arti sebaliknya ketika komponen skalar dari u sebanding dengan komponen skalar dari v. Jika:



u1=kv 1 , u2=kv 2 ,u3 =kv 3 atau jika



v1 =k ' u1 , v 2=k ' u2 , v 3=k ' u3 dimana k atau k ' ≠ 0 kita dapat mendefinisikan u sejajar v Jika k atau k ' >0 maka vektor sejajar dengan arah yang sama Jika k atau k ' 0 dan semua vektor sejajar mempunyai arah yang sama sebaliknya, jika kita asumsikan u1=kv 1 , u2=kv 2 ,u3 =kv 3 dimana k > 0. jika kita kuadratkan dan tambahkan untuk k yang kita peroleh : 2 1



2 2



2 3



2 1



2 2



2 3



√ u + u + u =|u| k= √ v + v +v |v| oleh karena itu



u1 v1 u2 v2 u3 v3 = , = , = |u| |v| |u| |v| |u| |v|



Contoh : 1. Tentukan nilai dari k jika vektor u = [-1, 3, k] tegak lurus dengan v = [2, 1, 3]! Jawab: karena u tegak lurus v maka sesuai definisi berlaku : u.v = 0 -1.2 + 3.1 + k.3 = 0 -2 + 3 +3k = 0 1 +3k = 0 3k = -1 k=



−1 3



2. Jika ruas garis dari



P1=( 3 , 1 ,−1 ) ke P2=(−1 , 2, 1) tegak lurus dengan ruas garis



P3=(−3,2,4 ) ke P2=(x ,−2 ,3). Tentukan nilai x! P1 P2 yaitu : Kita cari ⃗ ⃗ P1 P2 = [-1-3, 2-1, 1-(-1)] = [-4, 1,2] P3 P 4 yaitu : Kita cari ⃗ ⃗ P3 P 4= [x-(-3), -2-2, 3-4] = [x+3, -4, -1] Karena 2 ruas garis tegak lurus maka berlaku:



⃗ P1 P2 .⃗ P3 P 4=0 -4(x+3) + 1.-4 + 2.(-1) = 0 -4x – 12 – 4 – 2 = 0 -4x -18 = 0 -18 = 4x



−18 =x 4 −9 =x 2



3. Tentukan nilai x dan y dari P1=( 1 ,−3 , 2 ) , P 2=( x , y , 3 ) ,dan P3=(−1,2,1) kolinear (segaris)! Jawab:



P1 P2 sejajar dengan ⃗ P1 P3 Kita tahu bahwa karena segaris maka ⃗ ⃗ P1 P2 = [x-1, y-(-3), 3-2] = [x-1, y+3, 1] ⃗ P1 P3 = [-1-1, 2-(-3), 1-2] = [-2, 5,-1] ⃗ P1 P2 sejajar dengan ⃗ P1 P3 maka u1=kv 1 , u2=kv 2 ,u3 =kv 3 x−1=k .(−2)



y+3 =k.5



x −1 = -2k



y+3 = 5k



x -1 = -2.(-1)



y+3 = 5.(-1)



x-1 = 2



y+3 = -5



x=3



y = -8



1 = -1.k -1 = k