Bab 1 Statistik Deskriptif [PDF]

Citation preview

Statistika Deskriptif



Pengertian Statistik Statistika berasal dari kata Statistics yang diartikan sebagai metode ilmiah yang digunakan



untuk



mengumpulkan,



mengorganisasikan,



meringkas



dan



menganalisis data.Tujuannya agar kita dapat memperoleh gambaran terperinci mengenai karakteristik data itu sehingga berguna bagi penarikan kesimpulan. Sedang statistik dari kata Statistic yang hanya merupakanhasil dari proses statistika. Sehingga istilah statistik dapat dibedakan dalam 2 pengertian : 1)



Statistik sebagai gambaran tentang perincian data yang sudah disajikan dalam bentuk angka, tabel, grafik maupun berupa gambar-gembar. Contoh : statistik penduduk, statistik harga, dll.



2)



Statistik sebagai koofisien karakteristik sampel. x Contoh: , s2, p. Dan Koofisien karakteristik populasi. Contoh: 2, , P.



Statistik dapat dibedalan menjadi 2 macam : 1.



Statistik deskriptif (statistik deduktif) : adalah kegiatan – kegiatan mengumpulkan data, mengolah data kemudian menyajikannya dalam bentuk tabel, gambaran / grafik yang sesuai dengan fakata yang ada.



2.



Statistik inferensia : dari statistik deskriptif dianalisis untuk penarikan kesimpulan tentang populasi dengan menggunakan data sampel.



Macam – macam Data Data bedasarkan sumbernya dibedakan menjadi 2 : 1.



Data primer : data yang diperoleh secara langsung oleh pemakai (peneliti). Contoh : hasil pengamatan, survey lapangan dll.



2.



Data sekunder : data yang digunakan untuk analisa tapi berasal dari pihak lain.



0



Contoh : data dari penelitian orang lain, data dari BPS, dll. Data berdasarkan skalanya dibagi 4 : 1.



data nominal : data yang diperoleh dengan kategorisasi / klaifikasi. Contoh : jenis pekerjaan (PN = 1, PS = 2, Wiraswasta = 3). Ciri – ciri data nominal : -



posisi sementara



-



tidak bisa digantikan operasi aritmatika



2.



data ordinat : diperoleh dengan cara kategorisasi, tapi diantara data ada hubungan. Contoh : kepuasan pelanggan Ciri – ciri data ordinat : -



posisi tidak sementara



-



tidak bisa digantikan operasi aritmatika



3.



data interval : data yang diperoleh dengan cara pengukuran, dimana jarak – jarak titik pada skala sudah diketahui. Contoh : suhu ruangan bisa diukur dengan derajat celcius / farenheith yang masing – masing punya skala sendiri = celcius 0 – 100 derajat, farenheith 32 – 212 derajat. Ciri – ciri data interval : -



tidak ada kategorisasi



-



bisa dioperasikan matematika



-



tidak ada nol mutlak



4.



data rasio : data diperoleh dengan pengukuran, dimana jarak 2 titik pada skala sudah diketahui dan mempunyai titik nol yang mutlak. Contoh : jika 5 artinya ada 5 buku jika 0 artinya tidak ada. Ciri – ciri data rasio : -



tidak ada kategorisasi



-



bisa dioperasikan matematika



-



mempunya nol mutlak



Distribusi Frekuensi



1



Apabila data berukuran besar, maka untuk memudahkan analisis deskriptif data tersebut dapat diringkas menjadi distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Menyusun Tabel Frekuensi Distribusi frekuensi kuantitatif adalah penyusunan data yang dikelompokkan menurut besarnya data. Langkah – langkah menyusun distibusi frekuensi : 1.



menentukan range (R) : sekisih data tertinggi dengan data terendah.



2.



menentukan banyaknya kelas (k). Banyaknya kelas yang baik antara 5 – 15. pendekatan mencari kelas “k = 1+3,3 log n; n = banyakanya data”.



3.



menentukan lebar interval kelas (i)



=R/k



4.



menentukan batas – batas kelas.



5.



menentukan titik tengah kelas (TT).



6.



menghitung banyaknya data yang termasuk dalam tiap – tiap kelas.



7.



menghitung frekuensi kumulatif tiap-tiap kelas.



Contoh Soal Angka berikut menunjukkan hasil survei curah hujan tahunan pada suatu wilayah (dalam mm) selama 30 tahun antara tahun 1960 – 1990 . 123 117 83



140



97



110 117 86



116



79



130 63



119



84



136 87



107 122 74



80



90



82



125



105 95



103 98



91



98



97 Penyelesaian Dari data tersebut dapat dibuat tabel frekuensi dengan langkah – langkah sebagai berikut. 1.



Range: 140 – 63 = 77



2.



k = 1 + 3,3 log 30 = 5,8745 ≈ 6



2



3.



i = 77 / 6 = 12,8 ≈ 13 Interval kelas : 63 – 75, 76 – 88, 89 – 101, 102 – 114, 115 – 127, 128 – 140.



4.



Batas kelasnya : 62,5 75,5



88,5



101,5 114,5 127,5 140,5



5.



menetapkan turus, yaitu menandai setiap data (angka / nilai pengamatan) dalam suatu interval kelas tertentu.



6.



menentukan frekuensi dan frekuensi kumulatif



Frekuensi adalah banyaknya data yang termasuk pada masing – masing selang interval (misalselang interval 89 – 101 sebanyak 7). Tabel Frekuensi Curah Hujan Kelas 1 2 3 4 5 6



Interval 63 – 75 76 – 88 89 – 101 102 – 114 115 – 127 128 – 140 jumlah



Titik



Turus



Frekuensi



Fre. Kum.



tengah 69 82 95 108 121 134



|| ||||| || ||||| || |||| ||||| || |||



2 7 7 4 7 3 30



2 9 16 20 27 30



1.1 Ukuran Pemusatan Data Nilai sentral atau nilai tengah sekumpulan data (distribusi) adalah nilai yang dipandang dapat menggambarkan ukuran pemusatan data yang berkaitan dengan letak (lokasi). Misalnya rata-rata, median, modus, kuartil, dan pesentil. a. Mean 



Data tunggal Didefinisikan sebagai jumlah semua data yang sibagi dengan banyaknya data. Apabila terdapat n data yang dinyatakan dengan x1, x2, x3, ................ , xn maka rata-ratanya adalah : n



x



= ∑ xi / n



i=1



3



Contoh Soal Berikut ini hasil pencatatan 10 hari kecepatan angin maksimum setiap hari di suatu kota tertentu (dalam km per jam, kpm). 78,2 75,8 81,8 85,2 75,9 78,2 72,3 69,3 76,1 74,8 Dapatkan mean dari data tsb.



Penyelesaian x = 78,2 + 75,8 + 81,8 + 85,2 + 75,9 + 78,2 + 72,3 + 69,3 + 76,1 + 74,8 10



x = 767.2 / 2 = 76.72 



Data Kelompok Untuk data kelompok dalam interval kelas maka meannya adalah : m



∑ mifi



x



= i=1 m



∑ fi i=1



dimana : k



: banyaknya kelas



mi



: nilai kelas ke-i



fi



: frekuensi kelas ke-i



b. Median Median adalah suatu nilai yang membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama. Frkuensi data yang di bawah median sama dengan data di atas median .



4







Data Tunggal Jika terdapat n data yang dinyatakan dengan x1, x2, x3, ................ , xn maka median adalah nilai x yang sedemikian hingga nilai x tersebut tepat berada di tengah-tengah barisan data yang telah disusun dari kecil ke besar atau sebaliknya. Untuk n ganjil, median = Xk dimana k = n + 1 2 Untuk n genap, median = Xk + [Xk + 1] dimana k = n 2



2



Contoh Soal Berikut ini hasil pencatatan 10 hari kecepatan angin maksimum setiap hari di suatu kota tertentu (dalam km per jam, kpm). 78,2 75,8 81,8 85,2 75,9 78,2 72,3 69,3 76,1 74,8 Dapatkan median dari data tsb. Penyelesaian n = 10 urutan data diatas : 69,3 72,3 74,8 75,9 76,1 75,8 75,9 78,2 81,8 85,2 Sehingga median = 76,1 + 75,8 2 median = 151,9 / 2 = 75,95 



Data Kelompok Apabila data dikelompokkan dalam interval kelas maka mediannya adalah : i(n / 2 - ∑fj) Median = Imed +



j



f med



5



dimana : Imed



: batas bawah dari interval yang memuat median



i



: lebar interval



n



: banyaknya data



∑fj



: jumlah frekuensi dari semua interval kelas (frekuensi kumulatif) sebelum median.



j



f med



: frekuensi interval kelas yang memuat median



Modus Modus adalah nilai yang sering muncul ( frekuensi terbesar )  Data Tunggal Modus dari n data dengan x1, x2, x3, …, xn adalah nilai x yang sering muncul.



Untuk n ganjil, median = Xk dimana k = n + 1 2 Untuk n genap, median = Xk + [Xk + 1] dimana k = n 2



2



Contoh Soal Dari contoh 2.6 dengan n = 10 ( genap ), setelah data diurutkan didapatkan letak posisi median berada pada data urutan ke-5 dan ke-6, yaitu : 69,3



72,3



74,8



75,9 75,9



76,10



75,8



75,9



78,2



81,8



6



75,90 + 76,10 Sehingga: Median =



2



= 76,00 kph



 Data Kelompok Apabila data dikelompokkan dalam interval kelas maka mediannya adalah : d1 Mo = ℓMo + i ( d1 + d2 ) Dimana: ℓMo



= Batas bawah klas menurut modus



d1



= Selisih frekuensi klas yang memuat modus dengan klas sebelumnya



d2



= Selisih frekuensi klas yang memuat modus dengan klas sesudahnya



i



= Lebar kelas



Kuartil  Data Tunggal titik atau nilai yang membagi seluruh distribusi data menjadi 4 bagian yang sama, setelah data diurutkan.  Data Kelompok Terdapatkan 3 buah kuartil. Yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), kuartil atas (Q3). Rumus kuartil data kelompok: n Q1



= ℓQ1 + i ( 4



- ∑fj) fQ1



7



n Q2



- ∑fj)



= ℓQ2 + i ( 2



fQ2 3n Q3



= ℓQ3 + i ( 4



- ∑fj) fQ3



Dimana: ℓQ



= Batas bawah dari klas yang memuat kuartil



i



= Interval klas



n



= Banyak data



∑fj



= Jumlah frekuensi dari semua klas (frek. komulatif) sebelum klas yang memuat kuartil



fQ



= frek klas yang memuat kuartil



1.2 UKURAN PENYEBARAN DATA Nilai sentral kurang bermanfaat apabila tidak diketahui/disertai disperse (pemencaran) penyimpangan tiap datanya terhadap nilai tengah. Jika nilai deviasi tiap datanya terhadap nilai sentralnya sangat besar, maka nilai tengah itu kurang berguna bagi indicator tunggal yang menggambarakan keadaan data. Bberapa ukuran penyebaranmeliputi : range (penyebaran), variasi dan deviasi standart, interkuartil.



8



o Range Range adalah nilai deviasi yang paling sederhana, yang didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai yang tertinggi dan yang terendah dari sekumpulan angka (distribusi). Range memberikan gambaran seberapa jauh data itu memencar, tetapi tidak menunjukkan variasi datanya. Range dirumuskan dalam bentuk persamaan 2.9 berikut : R = data max – data min o Variasi dan standart deviasi Variansi (S²) adalah nilai deviasi yang memperhitungkan deviasi tiap data terhadap mean dibagi (n-1). Sedangkan deviasi standart (S) adalah akar dari variasi. Secara umum dirumuskan : ∑ (xi –x )² S² = ------------------------n-1 Sedangkan secara sederhana S² dalam dapat ditulis sebagai berikut: ∑ X i2 – n x ² S² = ---------------------n–1 Contoh soal: Dari contoh 2.6 diperoleh varian (S²) : S² = (59103,24 . 58920,98) / (10 - 1) = 20,25 Sehingga di dapatkan standartdeviasi sebesar 4,50 Sedangkan untuk data tang telah dikelompokkan dalam interval kelas maka variannya didefinisikan dalam bentuk :



9



∑ fimi² - n x ² S² = -----------------------∑ fi – 1 o Kemencengan (skewness) Ukuran kemencengan adalah nilai yang menunjukkan seberapa jauhkah distribusi itu menyimpang dari simetris. Apabila suatu distribusi itu simetrik dan bermodus satu maka harga rata-rata, median dan modus berhimpit (sama besarnya). Untuk distribusi yang tidak simetrik, ketiga nilai tengah tersebut berbeda/tidak sama. Oleh karena itu kemencengan ini dapat dinyatakan dengan : Rata-rata - Modus Sk = -------------------------



……(2.13)



SD Dimana : SD: Standart Deviasi Karena rata-rata sangat dipengaruhi oleh harga yang terlalu besar (atau terlalu kecil), maka harga rata-rata ini cenderung untuk bergeser ke arah harga-harga yang terlalu besar (atau terlalu kesil). Dengan demikian jarak antara rata-rata dan modus ini dapat digunakan sebagai harga yang mengukur kemencengan distribusi. Bila Sk = 0 maka dikatakan dis tribusi simetris Bila Sk > 0 (positif) yaitu rata-rata lebih besar dari modus distribusi dinamakan menceng ke kanan. Bila Sk < 0 (negative) yaitu rata-rata lebih kecil dari modus maka distribusi dinamakan menceng ke kiri



10



Positif



Q1



Med



Negatif



Q1 Med Q3



Q3



Latihan Soal: 1. Diberikan data sebagai berikut : 2



4



5



3



7



9



8



6



1



Cari mean, median, modus, dan variansinya. 2. Tabel di bawah ini adalah hasil pengukuran berat badan siswa di suatu kelas Berat badan (kg) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69



Jumlah Siswa 3 15 14 21 5 2



Carilah mean dan median dari data tersebut! 3. Tentukan mean, median dan simpangan baku dari data di bawah ini a. 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27, 81 b. 9, 5, 6, 7, 4 c. 6, 5, 5, 4, 4, 6, 7, 7, 9, 9 4. Nilai rata-rata I = 8,5 dan nilairata-rata kelompok II = 6,5. jika perbandingan jumlah kelompok I & II = 5 : 4. Tentukan nilai rata-raa kelompok I & II. 5. Nilai 11 buah bilangan sama dengan 13, nilai rata-rata 13 bilangan lainnya sama dengan 11. Tentukan nilai rata-rata 24 bilangan tersebut. 6. Suatu penelitian yang bertuan untuk memprediksi jumlah pengguna jalan yang akan terdistribusi lewat jalan tol lingkar luar timur Surabaya. Data yang



11



dikumpulkan antara tahun 1991 – 1993 meliputi jumlah penduduk, jumlah murid sekolah dan perguruan tinggi, jumlah anakatan kerja di sector industri, jumlah aneka industri, pajak bumi dan bangunan, kepadatan penduduk, adapun data jumlah penduduk yang terbagi atas daerah studi adalah: Hitung rata-rata (mean) S2 standart deviasi, range masing-masing daerah studi. 7. untuk melakukan perancangan teknis konstruksi dam dan spilway waduk pidekso di wonogiri dilakukan pengumpulan data temperatur udara rata-rata bulanan maksimum ( 0C ) oleh stasiun baturetno. Adapun data yang diperoleh adalah : Thn 1979 1980 1981 1982



Bulan Mar Apr Mei Jun Jul 32,4 33 33 32,1 30,7 33,5 33,5 34,2 34,4 34,5 34,5 34,5 32,5 34,6 34,9 32,5 34 33,2 35,2 34,2



JanPeb 31,8 32 33,5 33 34,7 34 33,1 33



Agst 31,8 34,1 34,5 34,5



Sep 34,8 34,5 32,4 33,2



Okt 34,4 34,4 32,2 34,2



Nov 34,4 33,3 33,4 35,2



Des 34,7 35,2 31,2 34,5



a.



Susunlah tabelfrekwensi dari data yang telah dikumpulkan.



b.



Hitung rata-rata, median, modus, modus dari temperature udara



maksimum. c.



Hitung range, varians,standart deviasi dari data tersebut



d. Hitung kuartil pertama, kuartil kedua, kuartil ketiga, dan persentil ke-60 dari data tersebut.



12