![Bahan Ajar ALjabar Linear Elementer [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/bahan-ajar-aljabar-linear-elementer.jpg)
9 0 390 KB
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Bab 1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Sistem Persamaan Linear dan Matriks, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut : 1.
2.
Sistem Persamaan Linear: a. Pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL). b. Contoh pemodelan menggunakan SPL. c. Operasi baris elementer (OBE) dan bentuk eselon baris tereduksi. d. Eliminasi Gauss-Jordan sebagai cara mencari penyelesaian SPL. Matriks : a. Pengertian matriks, jenis-jenis matriks dan komponen suatu matriks. b. Matriks elementer dan sifatnya. c. Operasi-operasi matriks dan sifat-sifatnya.
Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 4 minggu perkuliahan.
1
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
1.
Sistem Persamaan Linier a.
Persamaan Linier
Definisi (Persamaan linier secara umum) Suatu persamaan linear dalam n peubah
x 1 , x 2 , … , x n sebagai suatu
persamaan yang dapat disajikan dalam bentuk a1 x1 + a2 x 2 +…+ an x n=b ai
adalah bilangan-bilangan real,
i=1,2, … , n .
Dalam persaman linear (1.3) termuat n buah variabel yaitu
x1 , x2 , … , xn .
Dengan
dan
b
(1.3)
Yang dimaksud penyelesaian persamaan linear dengan n variabel adalah bilangan-bilangan
real
x 1=r 1 , x 2=r 2 , … , x n=r n
yang
memenuhi
persamaan linier tersebut. Himpunan semua penyelesaian persamaan tersebut disebut himpunan penyelesaian. Contoh : 1) 2) 3) 4) 5) 6)
x+ 3 y =7 x+ 3 y 2 =1 x 1+3 x 2−2 x 3+ x 4 =9 2 x + y −xz+z =3 y=sin x−1 y=2 x−3 z
Nomor 1, 3, 6 adalah contoh persamaan llinear, sedangkan nomor 2, 4, 5 adalah bukan contoh persamaan linear. b. Sistem Persamaan Linear Definisi
2
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Sistem persamaan linier adalah koleksi sebanyak berhingga persamaanpersamaan linier. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n variabel adalah sebagai berikut : a11 x 1+ a12 x 2 +…+ a1 n x n=b1
a21 x 1 +a 22 x 2+ …+a2 n x n=b2 ⋮
(1.4) am 1 x 1+ am 2 x 2 +…+ amn x n=bm
Yang dimaksud penyelesaian sistem persamaan linear dengan n variabel adalah bilangan-bilangan real
x 1=r 1 , x 2=r 2 , … , x n=r n
yang memenuhi
persamaan linier dalam sistem persamaan linier tersebut. Contoh : x+ y=2 1) 2 x +2 y=6 x− y + z=4 2) x+ y=0
Pada contoh a, merupakan sistem persamaan linear dengan 2 peubah, sedangkan contoh b, merupakan sistem persamaan linear dengan 3 peubah. Seperti sudah diketahui, persamaan
2 y+ x =3
dapat digambarkan
sebagai garis lurus pada bidang datar. Jika diberikan dua persamaan berikut : 2 y+ x =3
(1.1)
−y +3 x=6
(1.2)
maka untuk mencari penyelesaiannya secara geometris dapat dilakukan dengan cara mencari titik perpotongan dua garis tersebut. Faktanya, titik perpotongan tersebut tidak selalu ada, karena dua garis tersebut mungkin saja paralel. Atau bisa terjadi titik potongnya ada sebanyak tak hingga 3
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
banyak karena dua garis tersebut berimpit. Kemungkinan ketiga adalah titik potongnya tunggal, yaitu jika kedua garis tersebut berpotongan tepat di satu titik. Secara lebih jelas dapat dilihat pada diagram berikut:
Contoh 1.1 Dua persamaan dalam (1.1) dan (1.2) merupakan contoh sistem persamaan linier. Penyelesaian sistem persamaan (1.1) adalah x=¿ ,
y=¿
Contoh 1.2 Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan 3 persamaan dan 3 variabel berikut ini : x−z=2 −y +2 z=−2
−x + y=1 Dengan menggunakan substitusi variabel
x=2+ z
ke dalam persamaan
y−z=3 , sehingga sistem persamaan tersebut tereduksi
ketiga diperoleh menjadi : −y +2 z=−2
y−z=3 Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh
z=1 .
Selanjutnya dengan substitusi pada persamaan-persamaan linier tersebut diperoleh nilai x=3 ,
x=3
dan
y=4 dan dan
y=4 . Jadi penyelesaian yang dicari adalah z=1 .
Contoh : x+ y=2 1) 2 x +2 y=6 4
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Grafiknya
Grafik tersebut menunjukkan bahwa kedua garis sejajar sehingga tidak ada penyelesaian yang memenuhi sehingga disimpulkan bahwa SPL tidak konsisten. x+ y=2 2) x− y=2 grafiknya
Grafik tersebut menunjukkan bahwa himpunan penyelesaian dari SPL adalah titik potong antara
+ y=2
dan
x− y=2
Jadi penyelesaian dari SPL adalah tunggal yaitu
x
yaitu titik (2,0). = 2 dan
y
=
0. x+ y=2 3) 2 x +2 y=4 grafiknya
Grafik diatas bahwa
x+ y=2
dan
2 x +2 y=4
saling berhimpit
sehingga hanya terlihat seperti satu garis saja. Himpunan penyelesaian dari SPL semua titik yang terletak disepanjang garis tersebut. Misalkan 5
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
diambil
x
persamaan, jika memenuhi.
y=2
= 0 maka didapatkan x
Secara
= 1
maka nilai
matematis
dapat
y
yang memenuhi
= 1 adalah nilai yang dituliskan
sebagai
:
{ ( x , y ) ∨x=2− y , x ∈ R , y ∈ R } Untuk kasus sistem persamaan linear dengan menggunakan dua peubah, pembuatan grafik untuk menentukan himpunan penyelesaian seperti ini masih memungkinkan, hanya saja untukSPL dengan banyaknya peubah lebih dari dua hal ini sulit dilakukan. Berikut ini ada suatu cara untuk menyelesaiakn SPL jika banyaknya peubah lebih dari dua. c. Operasi Baris Elementer Ketika dihadapi masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear terutama yang menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah sistem persamaan linear yang ada ke dalam bentuk matriks. Adapun langkah-langkah dalam menyelesaiakan SPL dengan banyak peubah, yaitu: 1) Mengubah SPL ke dalam bentuk matriks diperbesar (augmented matrix) Untuk melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukkan berikut ini : Diketahui SPL dengan m buah persamaan linear dan n peubah a11 x 1+ a12 x 2 +…+ a1 n x n=b1
a21 x 1 +a 22 x 2+ …+a2 n x n=b2 ⋮ am 1 x 1+ am 2 x 2 +…+ amn x n=bm
6
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Sistem persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks AX =B
dengan
[
a 11 a12 ⋯ a 1n A= a 21 a22 ⋯ a 2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am 2 ⋯ amn
] [] [] ,
Matriks yang memiliki berukuran
x1 X = x2 ⋮ xn
n ×1
b1 B= b2 ⋮ bm
1× n biasa disebut
atau
vektor. Penulisan vector sedikit berbeda dengan penulisan matriks, yaitu menggunakan huruf kecil dengan cetak tebal atau digaris atasnya . Jadi matriks b
atau
x=b
X ´x
atau
B
diatas biasa dituliskan sebagai
b´
sehingga SPL dapat dituliskan sebagai
dan dan
´x =b´
x
dan
. Pada SPL yang berbentuk seperti ini , matriks A
juga biasa disebut sebagai matriks konstanta. Untuk menyelesaikan persamaan linear diatas maka dibuat matriks diperbesar dari
A
dan
gabungan elemen matriks
[ ( A|b ) ]
b A
yang elemen-elemen nya merupakan dan vektor
yang dinotasikan
, yaitu
[
a11 a 12 ⋯ a1 n [ ( A|b ) ] a21 a 22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am 1 a m 2 ⋯ a mn 2)
b
][ ] b1 b2 ⋮ bm
Mengubah bentuk matriks diperbesar menjadi bentuk matriks
eselon baris tereduksi melalui prosedur eliminasi Gauss – Jordan. Pada proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut Operasi Baris Elementer (OBE). Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan,yaitu: a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol 7
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
b. c.
Mempertukarkan dua buah baris Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya
Dengan menggunakan operasi baris elementer, maka matriks eselon baris tereduksi yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnyasehingga penyelesaian untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks diperbesar. Untuk menyelesaikan persamaan linear dengan eliminasi Gauss–Jordan dapat ditunjukkan dalam contoh berikut: Contoh 1.3 Dengan cara yang sama seperti Contoh (1.2) dapat dicari penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini: x 1−2 x 2 +3 x 3+ x 4 =−3
2 x 1−x 2 +3 x 3−x 4=0 Perhatikan langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari penyelesaian yang dimaksud. Berikut ini sistem persamaan linier tersebut disajikan bersamaan dengan matriks yang diperluas. x 1−2 x 2 +3 x 3+ x 4 =−3 2 x 1−x 2 +3 x 3−x 4=0
Pertama-tama variabel
[
1 −2 3 1 ¿ −3 2 −1 3 −1 ¿ 0
]
x 1 dieliminasi dari persamaan kedua dengan cara
mengurangi persamaan tersebut dengan 2 kali persamaan pertama. Hasilnya adalah sebagai berikut: x 1−2 x 2 +3 x 3+ x 4 =−3 3 x2 −3 x 3−3 x 4 =6
[ 8
1 −2 3 1 ¿ −3 0 3 −3 −3 ¿ 6
]
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
1 3
Selanjutnya persamaan kedua dikalikan dengan
sehingga diperoleh :
x 1−2 x 2 +3 x 3+ x 4 =−3 x 2−x 3−x 4=2
[
1 −2 3 1 ¿ −3 0 1 −1 −1 ¿ 2
]
Dengan demikian variabel
x2
pada persamaan pertama bisa dieliminasi
dengan cara menambah persamaan pertama dengan 2 kali persamaan kedua. x 1+ x 3−x 4 =1 x 2−x 3−x 4=2
[
1 0 1 −1 ¿ 1 0 1 −1 −1 ¿ 2
]
Sistem terakhir yang diperoleh bisa dengan mudah dicari penyelesaiannya. Dengan menagmbil misalnya
r
dan
x3 s
x4
dan
bilangan-bilangan real sebarang,
berturut-turut, maka x 1
dan
x2
dapat
ditentukan : x 1=1−r + s x 2=2+r + s Dalam Contoh 1.3 sistem persamaan linier tersebut mempunyai tak berhingga x3
banyak penyelesaian. Variabel-variabel sedangkan
x 1 dan
x2
dan
x4
disebut variabel bebas,
disebut variabel tak bebas.
Contoh 1.4 Sistem persamaan linier di bawah ini akan dicari penyelesaiannya menggunakan eliminasi Gauss. x 1+ x 2−x 3=1 3 x1 −x2 + x 3=0
x 1−3 x2 +3 x 3=−2
9
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Operasi baris elementer yang diterapkan pada matriks yang diperluas adalah sebagai berikut:
[
][
][
1 1 −1 ¿ 1 1 1 −1 ¿ 1 1 1 −1 ¿ 1 3 −1 1 ¿ 0 → 0−4 4 ¿ −3 → 0 −4 4 ¿ −3 1−3 3 ¿ −2 0−4 4 ¿ −3 0 0 0 ¿ 0
[ ][
1 1 1 1 −1 ¿ 10 0 ¿ 4 → 0 1 −1 ¿ 3 → 0 1 −1 ¿ 3 4 00 0 ¿ 00 0 ¿ 4 0 0
]
]
Dengan demikian sistem persamaan linier tersebut mempunyai 1 variabel bebas yaitu x 1=
1 4
x 3 . Penyelesaiannya adalah :
3 x 2= +t 4
,
,
x 3=t
Contoh : x+ 2 y +3 z=1 2 x +5 y +3 z=6 x+ 8 z =−6 Matriks diperbesar
[ ] 123¿ 1 6 1 0 8 ¿ −6
[ ( A|b ) ]= 2 5 3 ¿
Operasi baris elementer menghasilkan :
[ ] [ ] [
[
]
123¿ 1 1 2 3 ¿ 1 b 2−2 b 1 b 1−2 b 2 6 0 1 −3 ¿ 4 b 3−b 1 ¿ b 3+ 2b 2 1 0 8 ¿ −6 0 −2 5 ¿ −7
[ ( A|b ) ]= 2 5 3 ¿
1 0 9 ¿ −7 10 3 ¿ 7 −b 3 0 1 −3 ¿ 4 0 1 −3 ¿ 4 0 0 −1 ¿ 1 0 0 1 ¿ −1
] 10
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
¿ b 1−9 b 3 b 2+3 b 3 bentuk eselon baris tereduksi 100¿ 2 ¿ 010¿ 1 → 0 0 1 ¿ −1
[ ]
Dari bentuk eselon baris tereduksi maka dapat dibuat persamaannya, yaitu : Dari baris 1 (b1) → x +0 y +0 z=2 → x =2→ x=2 Dari baris 2 (b2) → 0 x + y +0 z=2 → x =1→ x=1 Dari baris 3 (b3) → 0 x +0 y + z=2 → x =−1 → x=−1 Jadi penyelesaian SPL diatas adalah tunggal yaitu :
[][ ] x 2 y= 1 z −1
d. Sistem Persamaan Linear Homogen Sistem persamaan linier disebut homogen jika suku yang memuat konstanta adalah nol. Jadi sistem persamaan yang terbentuk menjadi demikian: a11 x 1+ a12 x 2 +…+ a1 n x n=0 a21 x 1 +a 22 x 2+ …+a2 n x n=0
⋮ (1.5) am 1 x 1+ am 2 x 2 +…+ amn x n=0 Karena suku konstantanya nol semua, maka sistem persamaan linier homogen ini selalu mempunyai penyelesaian, yaitu x 1=x 2=…= xn =0
Sistem Persamaan Linear Homogen merupakan kasus khusus dari Sistem persamaan linear biasa A x=b
untuk kasus
b=0 . Karena bentuknya yang
demikian maka pastilah pada matriks diperbesar
[ ( A|b ) ]
setelah dilakukan
eliminasi Gauss–Jordan kolom terakhirnya akan selalu nol sehingga penyelesaian
11
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
dari SPL akan selalu ada. Ada dua macam penyelesaian dalam SPL homogen ini yaitu trivial (tak sejati) dan tak trivial (sejati). Penyelesaian trivial terjadi jika satu – satunya penyelesaian untuk SPL adalah x=0
hal ini terjadi jika semua kolom pada matriks diperbesar
[ ( A|b ) ]
(setelah dilakukan eliminasi Gauss– Jordan) memiliki satu utama kecuali untuk kolom yang terakhir atau dengan kata lain semua kolom pada matriks A memiliki satu utama. Jika hal yang sebaliknya terjadi yaitu tidak semua kolom pada matriks A (setelah dilakukan eliminasi Gauss–Jordan) memilki satu utama atau jika terdapat baris nol maka penyelesaian untuk SPL adalah penyelesaian tak trivial yaitu penyelesaian tak hingga banyak.
Pertanyaannya adalah apakah sistem persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian tak nol. Untuk menjawab pertanyaan ini, metode mencari penyelesaian sistem persamaan homogen bisa tetap diterapkan. Contoh 1.5 Carilah penyelesaian sistem persamaan linier homogen berikut ini : x 1+2 x 2+ x 3 −x 4 +3 x5 =0 x 1+2 x 2+ 2 x 3 + x 4 +2 x5 =0
2 x 1 +4 x2 +2 x 3−x 4 +7 x 5=0 Proses Eliminasi Gauss-Jordan bisa diterapkan dalam sistem persamaan ini. Berikut adalah langkah-langkahnya.
[
][
1 2 1−1 3 ¿ 0 1 2 1 −1 3 ¿ 0 1 2 2 1 2 ¿ 0 → 0 0 1 2 −1 ¿ 0 2 4 2−1 7 ¿ 0 000 1 1 ¿0
[
][
]
1 2 0 −3 4 ¿ 0 1200 7 ¿0 → 0 0 1 2 −1 ¿ 0 → 0 0 1 0 −3 ¿ 0 000 1 1 ¿ 0 0001 1 ¿0
]
12
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Dari bentuk eselon baris tereduksi yang dihasilkan, diperoleh x 1+2 x 2+ 7 x 5=0
x 3−3 x5 =0 x 4 + x 5=0
Dengan mengambil
x 2=t
dan
x 2=r
, maka diperoleh sistem
persamaan linier homogen tersebut mempunyai penyelesaian tak nol juga. Lengkapnya, penyelesaian yang dicari adalah: x 1=−2 t−7 r ,
x 2=t ,
x 3=3 r ,
x 4=−r ,
x 5=r
Contoh : diketahui persamaan linear homogen
[ ][ ] [ ] 1 2 0 x 0 −1 −2 1 y = 0 2 3 1 z 0
Penyelesaian dari SPL homogen diatas adalah :
[
1 2 0¿0 ([ A|b ) ]= −1−2 1 ¿ 0 2 3 1¿0
][ ][ ] 1 2 0¿0 0 0 1¿0 0 −1 1 ¿ 0
100¿0 010¿0 001¿0
Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks A memiliki satu utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu
[][]
x 0 y= 0 z 0 Contoh diketahui sistem persamaan linear homogen
[
][ ] [ ]
1 −1 2 −1 x 0 2 1 −2 −2 y = 0 0 −1 2−4 1 z 0 3 0 0 −3 w
Penyelesaian dari SPL homogen diatas adalah :
13
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[
1 −1 2 −1 ¿ 0 [ ( A|b ) ]= 2 1 −2 −2 ¿¿ 0 −1 2 −4 1 0 ¿ 3 0 0 −3 0
][
1 0 0 0
−1 2 3 −6 1 −2 3 −6
−1 ¿ 0 0 ¿0 0 ¿0 ¿ 0 0
][
1 0 0 0
0 0 −1 ¿ 0 1 −2 0 ¿ 0 0 0 0 ¿0 ¿ 0 0 0 0
]
Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa hanya dua kolom dari matriks A yang memiliki satu utama atau terdapat dua baris nol , ini berarti bahwa penyelesaian SPL adalah tak trivial yaitu penyelesaian banyak dengan dua parameter yaitu:
[][ ] [][ ] x w y = 2z z z w w
,jika diambil z=s dan w=t ;
S ,t ∈ R
maka
x t y = 2s z s w t
2.
Matriks dan Operasi Matriks a. Pengertian Matriks Matriks adalah sekumpulan angka, yang menyatakan bilangan-bilangan real, yang disusun menyerupai persegi panjang. Contoh matriks-matriks adalah sebagai berikut :
[ ]
1 −3 2 0 A= 0 2 −1 5 4 1 −2 7 1 3
,
[ ]
5 −10 6 B= 0 0 15 −12 −1 1
, C=[ 0 0 0 0 0 ]
Komponen yang penting dalam sebuah matriks adalah banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (vertikal). Jika A melambangkan suatu matriks dan matriks tersebut mempunyai baris sebanyak kolom sebanyak
m
dan
n , maka matriks A tersebut dikatakan mempunyai
ukuran atau order (ordo) m× n . 14
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom) adalah A m × n , Bm ×n dan seterusnya. Dari contoh di atas, matriks A mempunyai ukuran 3 ×4 , matriks B mempunyai ukuran 4 × 2 dan matriks C mempunyai ukuran 1× 5 . Matriks A selanjutnya bisa dinyatakan secara lebih rinci dengan mendata anggota-anggotanya sebagai berikut : A= [ aij ] Dengan
i=1,2, … , m
j=1,2,… , n . Adapun
m
menyatakan
banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom. Bentuk umum dari matriks
[
a11 a12 ⋯ a1 n a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am 1 a m2 ⋯ amn
A m × n adalah:
]
Contoh 2.1 Diberikan matriks A yang berukuran 3 ×3 berikut ini :
[ ]
1 2 −3 A= 4 8 −1 −2 1 −3 Maka
a11 =1 , a23=−1 ddan a31 =−2
b. Jenis-Jenis Matriks Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui yaitu: 1) Matriks Kolom dan Matriks Baris Matriks kolom adalah matriks hanya satu kolom (disebut juga vektor kolom). contoh matriks 2 × 1 adalah matiks kolom. 3 4 Matriks baris adalah matriks hanya satu baris (disebut juga vektor
[]
baris). Jadi pada 15
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
contoh matriks 1 × 4 adalah matiks baris. [ 3 −2 10 1 ] contoh matriks 1 × 1 adalah matirks kolom dan matriks baris. [ −6 ] 2) Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pada matriks persegi yang berukuran n × n, terdapat istilah diagonal utama. Elemen-elemen diagonal utama sebanyak n yaitu : a11 , a 22 , … , ann contoh : a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
[
]
elemen diagonal
a11 , a 22 , … , a33
3) Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol. Contoh : A= 1 0 0 3
[ ]
[ ]
B= 1 0 0 0
[ ]
C= 0 0 0 0
4) Matriks Segitiga Matriks segitiga adalah matriks persegi yang elemen – elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Ada 2 jenis matriks segitiga, yaitu: a)
Matriks Segitiga Atas adalah matriks yang elemen-elemen
di bawah diagonal utama bernilai nol. b) Matriks Segitiga Bawah adalah matriks yang elemenelemen di atas diagonal utama bernilai nol. Contoh : 1 0 1 10 0 0 1 0 0 A= 0 0 2 , B= 1 0 0 , C= 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2
[ ] [
] [ ]
16
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Matriks A adalah matriks segitiga atas, matriks B adalah matriks segitiga bawah dan matriks C adalah matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. 5) Matriks Identitas Matriks Identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1. Contoh :
[ ]
1 0 0 B= 0 1 0 0 0 1 6) Matriks Nol Yang dimaksud dengan matriks nol adalah matriks yang semua entrinya
[ ]
A= 1 0 0 1
adalah 0, antara lain
[]
0 0 [ 0 0 0 0 0] , , , [ 0] , 0 0 7) matriksBerbentuk Eselon Baris Suatu matriks dikatakan berbentuk eselon baris jika memenuhi syarat–
[ ] 000 000 000
syarat berikut : a) Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan tak nol pertama pada baris tersebut haruslah = 1 (1 disebut satu utama). b) Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas. c) Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks. Contoh :
17
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
8) Matriks Berbentuk Eselon Baris Tereduksi Suatu matriks dikatakan berbentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat–syarat berikut : a) Syarat 1 – 3 pada matriks berbentuk esselon baris b) Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya. Contoh :
c.
Operasi
Matriks 1)
Operasi
Pada
Penjumlahan Matriks Dua buah matriks dapat dioperasikan dengan cara menjumlahkan keduanya. Syarat agar penjumlahan ini dapat dilakukan adalah ukuran matriks-matriks tersebut harus sama. Lebih jelasnya diberikan dalam definisi berikut ini. Definisi 2.2 Jika diberikan matriks-matriks
A= [ aij ]
dan B=[ b ij ]
yang masing-masing berukuran m× n , maka A + B=[ aij + bij ] Hasil jumlahan dua matriks berukuran berukuran
m× n
m× n tersebut berupa matriks
dengan entri-entrinya merupakan penjumlahan
entri-entri matriks A dan B yang bersesuaian. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Contoh 2.2 Diberikan matriks-matriks A dan B yang masing-masing berukuran 4 × 2
[
A= 0 1 2 −3 4 −2 1 −3
18
]
,
[
B= 4 −2 1 −3 3 −4 8 −1
]
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Hasil jumlahan A dan B adalah A + B=
[
][
0+4 1+(−2) 2+ 1 −3+(−3) 4 −1 3 −6 = 4 +3 −2+(−4) 1+ 8 −3+(−1) 7 −6 9 −4
Dari suatu matriks −A=[ −aij ]
]
A= [ aij ] dapat dibentuk
Untuk A seperti pada Contoh (2.2) diperoleh
[
−A= 0 −1 −2 3 −4 2 −1 3
]
Karena penjumlahan matriks melibatkan penjumlahan bilanganbilangan real pada masing-masing entrinya, maka sifat-sifat operasi penjumlahan matriks juga dipengaruhi sifat-sifat operasi penjumlahan bilangan real. Proposisi 2.4 Jika A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sama, maka berlaku : 1) 2) 3) 4)
A + B=B+ A ( A + B ) +C= A+ ( B+C ) 0+ A=A +0=A A + (−A )=0
2) Perkalian Skalar Selain penjumlahan dua matriks, dikenal juga operasi antara skalar dengan matriks yang definisinya sebagai berikut : Definisi 2.5 Jika diberikan matriks-matriks m× n dan bilangan real k , maka kA=[ k aij ] Dengan kata lain, hasil kali matriks
A
A= [ aij ] berukuran
dan skalar
matriks yang entri-entrinya k -kali entri-entri matriks lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. 19
k
berupa
A . Untuk
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Contoh 2.3 Diberikan skalar
k =2
A
dan matriks
sebagai
berikut : Hasil kali A dan k adalah
[
8 −2 −1 0 A= 2 0 10 −12 4 −1 3 −6 Hasil kali
A
dan
] k
adalah :
[
][
2.8 2.(−2) 2.(−1) 2.(0) 16 −4 −2 0 kA=2 A= 2.2 2.(0) 2.(10) 2.(−12) = 4 0 20 −24 2.4 2.(−1) 2.(3) 2.(−6) 8 −2 6 −12
]
Untuk operasi perkalian matriks dan skalar ini diperoleh sifat-sifat sebagai berikut : Proposisi 2.7 Diberikan matriks A k
dan
h
dan
B
yang berukuran sama,
adalah bilangan bilangan real. Pernyataan berikut
berlaku : k ( A+ B )=kA+ kB ( k +h ) A=kA +h A k ( h A )= ( k h ) A 1 A=�
1) 2) 3) 4)
3) Jika diberikan A yaitu matriks berukuran
Transpos Matriks
m× n
diperoleh matriks lain, sebut saja B, yang berukuran
, maka dapat n ×m
dengan
cara merubah baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i matriks B. Matriks B ini dinamakan transpos matriks A, yang dinotasikan dengan t
A Jadi jika A= [ aij ] Maka A t =[ a ji ] Contoh 2.4 Diberikan matriks A berikut ini 20
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[
6 −4 −1 0 A= 5 7 22 20 −7 2 11 13
]
Transpos matriks tersebut adalah
[ ]
6 5 −7 −4 7 2 A= 1 22 11 0 20 13 t
Selanjutnya diberikan sifat-sifat yang diperoleh dari suatu transpos matriks terhadap operasi-operasi yang lain, yaitu jumlahan dan perkalian dengan skalar. Proposisi 2.9 Misalkan A dan B adalah matriks-matriks yang ukurannya sama, k adalah suatu bilangan real. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku : 1) 2) 3)
t
( At ) =A ( A + B )t =A t + Bt ( kA )t =k A t
3.
Perkalian Matriks Operasi Perkalian
a. Matriks
Jika suatu matriks mempunyai ukuran khusus yaitu
m× 1
1× n , maka disebut vektor. Matriks dengan ukuran m× 1
[] x1 x2 ⋮ xm
disebut vektor kolom, sedangkan matriks dengan ukuran 21
1× n
atau
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[ x1 x2 … xn ] disebut vektor baris. Definisi-definisi tersebut akan digunakan untuk membahas operasi perkalian dua buah matriks dalam bagian ini. A= [ aij ]
Diberikan matriks
dengan ukuran
m× n
dan matriks
B=[ b ij ] dengan ukuran n × p . Hasil kali matriks A dan B adalah AB=[ c ij ] Dengan n
c ij =∑ aik bkj k=1
c ij
Perhatikan bahwa
merupakan hasil kali entri-entri baris ke-i
matriks A dan kolom ke j matriks B. Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Diberikan matriksmatriks :
[
1 2 0 3 7 A= 5 −3 1 0 −3 0 1 0 −4 1
]
,
[ ]
0 1 9 1 0 −3 B= 0 −4 1 3 1 −5 8 6 −3
Akan dihitung hasil kali baris-baris di A dan kolom-kolom di B. Sebagai contoh, akan dihitung hasil kali vektor baris ke-2 dari matriks A dan vektor kolom ke-3 dari matriks B, yang nantinya akan menjadi entri baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matriks AB.
22
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[] 9 −3 1 −5 −3
c 23=[ 5−3 1 0−3 ]
¿ 5.9+ ( 3 ) (−3 )+ 1.1+ 0. (−5 ) + (−3 ) (−3 ) ¿ 45+ 9+1+0+9=64
Langkah-langkah tersebut dilakukan terus terhadap semua vektor-vektor baris matriks A dan vektor-vektor kolom matriks B, sehingga diperoleh hasil: AB=[ ¿ ] b.
Sifat-Sifat
Operasi
Perkalian Matriks Terkait dengan perkalian matriks, terdapat matriks khusus yang disebut matriks identitas, sebagai berikut :
[ ]
1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1
,
[ ]
I2 = 1 0 0 1
[ ]
1 I 4= 0 0 0
00 10 01 00
0 0 0 1
Berikut adalah sifat-sifat perkalian matriks yang dikaitkan dengan operasi-operasi yang lain, misalnya penjumlahan, perkalian dengan skalar dan transpos. Proposisi 3.1 Diberikan matriks A, B dan C dengan ukuran sedemikian sehingga berlaku operasi-operasi penjumlahan dan perkalian, k adalah skalar. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
IA= A dan BI =B ( AB ) C= A( BC ) A ( B+ C )= AB+ AC ( B+C ) A=BA+CA k ( AB )=( kA ) B=A ( kB ) ( AB )t =Bt At 23
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
7) Jika
AB =I
dan CA=I , maka B=C
Setelah dipelajari pada matriks-matriks bisa dilakukan operasi perkalian, sekarang akan ditinjau keterkaitannya dengan sistem persamaan linier. Perhatikan kembali persamaan 1.4. Sistem persamaan tersebut dapat dipandang sebagai perkalian matriks matriks berikut:
[
a 11 a12 ⋯ a 1n A= a 21 a22 ⋯ a 2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am 1 am 2 ⋯ amn
] [] [] ,
x1 x= x 2 ⋮ xn
b1 b= b 2 ⋮ bm
Matriks A disebut matriks koefisien,matriks x disebut matriks variabel dan matriks b disebut matriks konstanta. Perlu diingat kembali bahwa cara mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linear adalah menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan. Operasi baris elementer juga dapat dilakukan pada matriks identitas. Misalnya menukar letak dua buah baris:
[ ][ ]
1 0 0 0 0 1 I 3 = 0 1 0 → 0 1 0 =E 0 0 1 1 0 0 Matriks yang dihasilkan dari operasi baris elementer pada matriks identitas disebut matriks elementer, dengan notasi E. Contoh matriks elementer yang lain adalah :
[ ][ ] 2 0 0 1 0 0 0 1 0 , 0 1 3 0 0 1 0 0 1
Pada saat dilakukan suatu operasi baris elementer pada sebuah matriks, hal ini juga berarti matriks tersebut dikalikan dari kiri dengan suatu matriks elementer dari operasi baris elementer yang bersesuaian. 24
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Jika pada matriks A berikut dilakukan operasi baris elementer yaitu baris pertama ditukar letaknya dengan baris ketiga, maka diperoleh matriks A' di bawah ini:
[
][
]
5 0 2 −2 3 7 ' A= 0 3 −4 → 0 3 −4 = A −2 3 7 5 0 2
Matriks
A
'
juga dapat diperoleh dengan cara :
[ ][
][
0 0 1 5 0 2 −2 3 7 A =EA 0 1 0 = 0 3 −4 = 0 3 −4 1 0 0 −2 3 7 5 0 2 '
]
Dengan demikian sejumlah berhingga operasi baris elementer yang diterapkan pada suatu matriks sama artinya dengan mengalikan sebanyak berhingga matriks-matriks elementer yang bersesuaian dengan matriks tersebut. Jika bentuk yang dicari adalah bentuk eselon baris tereduksi B dari matriks A, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut: B=E k Ek −1 … E2 E 1 A c.
Matriks Invers
Diberikan matriks bujur sangkar A yang berukuran n ×n . Jika terdapat matriks bujursangkar C sehingga AC=CA =I
maka C disebut invers matriks A. Pada bab sebelumnya sudah dibahas tentang invers suatu matriks. Invers suatu matriks (misalkan invers A) dapat dihitung dengan menggunakan eliminasi Gauss–Jordan terhadap matriks diperbesar ukuran I sama dengan ukuran A. 25
[ A∨I ]
dimana
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Cara perhitungan seperti ini didasarkan dari sifat
−1 A A =I .Untuk
menentukan solusi dari SPL tersebut maka berdasarkan prosedur yang telah dipelajari sebelumnya, maka dapat dilakukan eliminasi Gauss – Jordan terhadap matriks memiliki invers maka matriks eselon baris
[ I ∨A−1 ]
tereduksinya akan berbentuk
. jika setelah melakukan
eliminasi Gauss–Jordan tidak diperoleh bentuk
[ I ∨A−1 ]
disimpulkan
bahwa matriks tersebut tidak memiliki invers. Contoh 2.5 Matriks berikut
[
A= 3 −7 −2 5
]
mempunyai invers karena dapat ditemukan matriks
[ ]
C= 5 7 2 3 Sehingga
[
][ ] [ ]
AC= 3 −7 5 7 = 1 0 −2 5 2 3 0 1
Tetapi pada umumnya tidak setiap matriks bujursangkar mempunyai invers. Berikut adalah contoh matriks yang tidak mempunyai invers. Contoh 2.6 Akan dibuktikan matriks berikut tidak mempunyai invers:
[ ]
A= 2 1 0 0
Andaikan terdapat matriks
[ ]
C= a b c d Sehingga
[ ][ ] [ ]
AC = 2 1 a b = 1 0 0 0 c d 0 1 Maka dipenuhi
26
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[
][ ]
2a+ c 2 b+d = 1 0 0 0 0 1
Hal ini menyebabkan kontradiksi karena pada entri baris ke-2 kolom ke-2 dari AC tidak sama dengan 1.
Contoh 2.7 Akan dicari invers matriks berikut:
[
1 −1 5 2
]
10 01 7 3 5 6
1 −1 5 1
1 ¿1 −1 ¿ 0 5 ¿0 ¿ 1 0
00 10 01 00
Jawab
[
1 −1 5 2
10 01 7 3 5 6
[
1 −1 1 ¿ 0 1 1 0¿ 1 0 1 0 ¿ −7 ¿ 0 3 −2 −5
1 → 0 0 0
[
1 → 0 0 0
00 10 01 00
][ ][
0 1 1 0 0 → 0 1 1 0 0 23 1 0 36
−1 0 1 0 −2 1 −3 0
1 ¿ 1 0 ¿ 1 0 ¿−5 ¿ −2 2
0 1 0 0 0 → 0 1 0 0 0 01 1 0 00
0 0 0 1
]
1 ¿ −7 −3 1 0 0 ¿ 8 3 −1 0 0 ¿ −7 −2 1 0 ¿ −2 16 3 −3 1
][
−7 −3 1 0 1¿ 1 00 8 3 −1 0 0¿ 0 10 −7 −2 1 0 → ¿ 0 0 01 ¿ −3 3 −1 1 −8 0 00 2 2 2
Jadi invers matriks yang dicari adalah
27
0 0 1 0 01 00
]
−3 −1 1 0¿ 2 2 2 0 ¿ 8 3 −1 0 0 ¿ −7 −2 1 0 ¿ 1 −3 3 −1 −8 2 2 2 1
]
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[ ] −3 −1 1 2 2 2 8 3 −1 0 −7 −2 1 0 −3 3 −1 −8 2 2 2 1
d.
Sifat-Sifat Matriks Invers
Sifat-sifat invers suatu matriks diberikan dalam proposisi berikut ini. Proposisi 4.4 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: 1)
Jika A mempunyai invers, maka
A
−1
juga mempunyai
invers; 2) Jika A dan B masing-masing mempunyai invers, maka AB juga mempunyai invers dan ( AB)−1=B−1 A−1 3) Jika A mempunyai invers, maka A t
juga mempunyai
invers dan ( At )−1=(A −1)t e.
Penilaian Penguasaan Materi
Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah: 1) 2) 3) 4) 5)
Menjelaskan pengertian SPL; Memodelkan masalah nyata menjadi SPL; Menjelaskan dan menggunakan OBE; Menjelaskan pengertian bentuk eselon baris suatu matriks; Menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan untuk
mencari penyelesaian suatu SPL; 6) Menjelaskan definisi dan jenis-jenis matriks serta komponen suatu matriks; 7) Menjelaskan keistimewaan matriks elementer;
28
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
8)
Menjelaskan operasi-operasi matriks dan membuktikan
sifat-sifatnya; 9) Menjelaskan definisi invers suatu matriks; 10) Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat invers suatu matriks; 11) Menghitung invers suatu matriks. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut: 1)
(a)
Berikan gambaran jika suatu matriks sama dengan
transposnya. Matriks demikian disebut matriks simetris. (b) Berikan gambaran jika suatu matriks sama dengan negatif transposnya. Matriks demikian disebut matriks simetris miring. 2) Diberikan matriks-matriks berikut :
[ ] 1
A= 3 3 4
0
1 2
−1 3
0
6
0
[ ] −2
A= 1 2 3 4
,
[ ]
1 2 8 1 3 −3 C= 2 −4 0 3 2 −1 4 2 3
1 2 −1 1 8
Hitunglah : A +B (a) (b) −3 A+ 2 B t (c) C 29
1 2
2
0
3
1 −3
,
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
t
(d)
(6 B) 3) Tentukan matriks A jika diketahui t 2 0 1 0 −2 2 A− = −3 4 4 7 3 0 8 4) Tentukan a, b, c dan d jika a b = b−c c (a) c d d 1
[
(b) 5) (a)
(b)
]
[ ]
[ ][ ] [] [][]
3 a −2 b = 1 b 0 4 Tentukan bentuk eselon baris dari matriks-matriks berikut : 1 −1 2 1 −3 2 0 1 −4 2 −2 7 −2 5 1
[
]
−1 1 −1 0 ¿ 0 0 −4 5 1 3 ¿ 0 −1 1 −1 ¿ 2 4 2 1 −6 0 ¿ ¿
[ ]
3 2 0 (c) 5 3 5 2 5 6 6) Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut: 3 x1 −2 x 2 +6 x 5=1 (a) −x 1 +3 x 2+ x 3 +4 x 4 +3 x5 =−2 x 1−3 x2 + 4 x 3−6 x 4 +2 x5 =4 3 x1 +2 x 2+2 x 3−5 x 4=2 (b) x 1+6 x 2−4 x 3−2 x 4=3 30
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
5 x1 +2 x 2−x3 −9 x 4=4
7)
Buktikan bahwa matriks berikut tidak mempunyai invers
untuk bilangan real manapun 0 a 00 0 b 0 c0 0 0 d 0e 0 0 0 f0 g 0 0 0h 0
[ ]
8)
f ( x )=a x 3 +b x 2 +cx +d
Jika kurva
( 0,10 ) , ( 1,7 ) ,(3,−11)
melalui titik-titik
dan tentukan koefisien-koefisien persamaan
kurva tersebut 9)
Diberikan
matriks
[
A= 1 0 −5 2
elementer E1 dan E2 sehingga 10) Jika diberikan 1 0 2 A−1= 1 2 1 3 5 −3
[
E2 E 1 A=I
]
(a) Tentukan matriks X sehingga 2 −1 AX = 1 0 0 −3 (b) Tentukan matriks X sehingga XA= 2 3 −1 −1 0 5
[ ]
11)
Tentukan
A
−1
[
2 5 5 A−1= −1 −1 0 2 4 3 jika ada !
Diketahui
31
]
]
tentukan
matriks
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Bab 2 DETERMINAN Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Invers Matriks dan Determinan, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut : 1. Invers Matriks: a. Pengertian invers matriks. b. Sifat invers matriks. c. Menghitung invers matriks menggunakan matriks elementer. 2. Determinan: a. Pengertian determinan matriks. b. Sifat determinan matriks. c. Menghitung determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 3 minggu perkuliahan.
32
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
1. Latar Belakang Sudah diketahui bahwa matriks bujursangkar A disebut matriks invertibel jika ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I dengan I adalah matriks identitas. Selain itu dapat ditunjukkan bahwa jika ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I, maka matriks B tersebut tunggal yang selanjutnya disebut matriks invers dari matriks A dan dinotasikan dengan
A−1
Matriks berukuran 2× 2 berikut A=
[
a11 a12 a21 a22
]
Mempunyai invers jika dan hanya jika a11 a 22 −a12 a21 ≠ 0 dan invers matriks A adalah A−1= Nilai
[[
1 a 22 −a 12 a11 a 22−a12 a21 −a21 a11
a11 a 22−a12 a21
]]
telah dikenal sebagai determinan matriks
A 2 ×2 .
Tentu saja timbul pertanyaan, apakah fakta pada matriks bertipe
2× 2
tersebut dapat diperluas pada sebarang matriks berukuran berukuran
n ×n
Pada bab ini akan dibahas tentang hal tersebut. 33
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
2. Determinan Matriks Bujur Sangkar 1. Definisi Determinan Misalkan A matriks persegi, fungsi determinan A sering dituliskan sebagai determinan (disingkat det (A) atau |A| didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jika A berukuran p × n, maka hasil kali elementer dari matriks A akan a1 p 1 ,
berbentuk:
a2 p 2 ,
, … , anpn
dimana
p1, p 2, … , pn
merupakan permutasi dari bilangan – bilangan1,2, …, . Tanda dari a2 p 2 ,
, … , anpn
a1 p 1 ,
sendiri ditentukan dari banyaknya bilangan bulat besar
yang mendahului bilangan yang lebih kecil (banyaknya invers) pada bilangan , jika banyaknya invers adalah ganjil maka tandanya negatif (–) danjika sebaliknya tandanya positif (+). contoh : diketahui :
[ ]
A= a b c d
Tentukan det ( A) ! Jawab : Banyaknya permutasi 1,2 ( karena A berukuran 2 × 2 ) = 2 yaitu 12 dan 21 Padabilangan 12 akan didapatkan banyaknya invers = 0 sehingga tanda untuk hasil kali elementer elementer
a12 . a21
a11 . a22
adalah (+), sedangkan untuk hasil kali
akan bertanda (–) karena pada bilangan 21 terdapat satu
angka bulat yang mendahului angka yang lebih kecil. Jadi det (A) = +a22−a12 . a21 =ad−bc
34
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Contoh : diletahui
[
a11 a12 a13 B= a21 a22 a23 a31 a32 a33
]
, tentukan det ( B ¿ !
Jawab : Untuk mempermudah, akan dibuat tabel berikut :
Untuk kasus matriks yang berukuran lebih dari 3x3 , tentunya penentuan nilai determinan dengan menggunakan definisi tersebut menjadi kurang efektif dan lebih
rumit.
Berdasarkan
definisi
dari
determinan
tersebut
maka
dikembangkan metode perhitungan determinan yang lebih cepat yang akan dibahas dibagian selanjutnya. 2. Metode perhitungan determinan a) Ekspansi kofaktor Pada metode ini dikenal beberapa istilah, antara lain: Minor elemen
aij (M ij )
yaitu determinan yang didapatkan dengan
menghilangkanbaris ke-i dan kolom ke-j matriks awalnya.
35
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
−¿ ¿ Kofaktor elemen ¿ aij ( Cij )=¿ Jika A matriks bujur sangkar berukuran n × n, maka dengan menggunakan metode ini perhitungan determinan dapat dilakukan dengan dua cara yang semuanya menghasilkan hasil yang sama yaitu: Ekspansi sepanjang baris i
(¿ A )=a i1 Ci 1 +a i2 Ci 2 +…+ a¿ C ¿ det ¿ Ekspansi sepanjang kolom j (¿ A )=a 1i C1 i +a 2i C2 i +…+ a¿ C ¿ det ¿
Contoh :
[ ] 1 2 3 2 2 1 4 3 1
, tentukan det (A) dengan menggunakan ekspansi
kofaktor! Jawab : Akan di coba menggunakan ekspansi baris 1 ntuk menghitung det (A)
Contoh : diketahui
[ ]
1 2 3 B= 2 2 1 4 3 1 36
, hitung det (B) !
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Jawab : Jika melihat sifat dari metode ini , maka perhitungan akan lebih cepat jika ada elemen
aij
yang bernilai 0. Jadi pemilihan baris/ kolom akan
sangat menetukan perhitungan. Dalam contoh ini terlihat bahwa baris/kolom yang mengandung banyak nilai 0 adalah kolom 2. Jadi det (B) akan dapat dihitung secara cepat menggunakan ekspansi terhadap kolom 2.
Contoh 2.8 Hitung determinan matriks berukuran 5 ×5 berikut
[
3 −7 8 9 0 2 −5 7 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 0 −2
−6 3 0 −1 0
]
Untuk matriks di atas, jelas perhitungan paling efisien apabila kita memilih ekspansi sepanjang kolom ke-1 atau ekspansi baris ke-4. Dengan ekspansi sepanjang kolom ke-1 akan diperoleh
[
2 det ( A)=3 det 0 0 0
]
−5 7 3 1 5 0 −0 C +0 C −0 C +−0 C 21 31 41 51 2 4 −1 0 −2 0
sehingga dengan menggunakan ekspansi kolom ke-1 lagi akan diperoleh
[
]
1 5 0 det ( A )=3.2 . det 2 4 −1 =−2 0 −2 0 Dari contoh sebelumnya diperoleh determinan 37
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[
]
1 5 0 det 2 4 −1 =−2 0 −2 0
Jadi diperoleh det ( A )=3.2 . (-2)=-12. b)
Reduksi Baris menggunakan Operasi Baris Elementer
Penggunaan metode ini sebenarnya tidak lepas dari metode ekspansi kofaktor yaitu pada kasus suatu kolom banyak mengandung elemen yang bernilai 0.Berdasarkan sifat ini maka matriks yang berbentuk eselon baris atau matriks segitiga akan lebih mudah
untuk dihitung nilai
determinannya karena hanya merupakan perkalian dari elemen diagonalnya. Reduksi baris dilakukan dengan mengubah kolom – kolom sehingga banyak memuat elemen 0. Biasanya bentuk metriks akhir yang ingin dicapai adalah bentuk eselon baris atau bentuk segitiga tetapi ini tidak mutlak. Jika bentuk eselon atau segitiga belum tercapai tetapi dianggap perhitungannya sudah cukup sederhana maka determinan bisa langsung dihitung. Dalam melakukan reduksi baris operasi yang digunakan adalah operasi baris elementer. Pada operasi baris elementer ada beberapa operasi yang berpengaruh terhadap nilai determinan awal, yaitu: Jika matriks B diperoleh dengan mempertukarkan dua baris pada matriks A maka det (B) = - det (A) Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan konstanta k ke salah satu baris matriks A maka det (B) = k det (A) Jika matriks B didapatkan dengan menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya, maka det (B) = det (A)
38
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Contoh 2.9 Hitung determinan matriks A berikut ini:
[
1 −4 2 det −2 8 −9 −1 7 0
]
Strateginya adalah dilakukan operasi baris elementer untuk membawa matriks A ke bentuk matriks segitiga atas.
[
1 −4 2 det ( A )=det −2 8 −9 −1 7 0
[ [ [
1 −4 2 ¿ det 0 0 −5 −1 7 0 1 −4 2 ¿ det 0 0 −5 0 3 2
1 −4 2 ¿ det 0 3 2 0 0 −5
]
]
] ]
¿ ( 1 )( 3 )(−5 )=15
Contoh 2.10. hitung determinan matriks
39
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[
2 −8 6 8 det 3 −9 5 10 −3 0 1 −2 1 −4 0 6
]
Untuk menyederhanakan perhitungan, terlebih dahulu dilakukan operasi baris elementer sedemikian hingga pada posisi (1,1) (baris pertama kolom pertama) entrinya bernilai 1, sehingga diperoleh
[
2 −8 6 8 det ( A )=det 3 −9 5 10 −3 0 1 −2 1 −4 0 6
[
] ]
1 −4 3 4 det ( A)=2 det 3 −9 5 10 −3 0 1 −2 1 −4 0 6
[ [ [
1 −4 3 4 ¿ 2 det 0 3 −4 −2 0 −12 10 10 0 0 −3 2
1 ¿ 2 det 0 0 0
−4 3 3 −4 0 −6 0 −3
4 −2 2 2
1 ¿ 2 det 0 0 0
−4 3 3 −4 0 −6 0 0
4 −2 2 1
]
] ]
¿ 2.1.3 . (−6 ) .1=−36 40
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
3. Beberapa Aplikasi Determinan a. Perhitungan Invers Matriks : Rumus Adjoint Determinan dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang sebarang baris yang dapat dinyatakan sebagai berikut. det ( A )=a 11 det A11 −a12 det A12 +…+ (−1 )1+n a1 n det A1 n det ( A )=−a21 det A21 +a22 det A22 +…+ (−1 )2+n a2 n det A 2n ⋮ ⋮⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ det ( A )=(−1 )n+1 an 1 det An 1 + (−1 )n+2 an 2 det A2 +…+ (−1 )n +n ann det A nn Dari formula tersebut akan diperoleh
[
][
][
n+1
det A 11 −det A 21 ⋯ (−1 ) det a11 a 12 ⋯ a1 n det A 0 ⋯ 0 n+2 −det A12 +det a22 0 det A … 0 = a21 a 22 … a2 n … (−1 ) det ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1+n 2+ n n+ n 0 0 … det A an 1 a n2 … a nn (−1 ) det A1 n (−1 ) det A 2 n … (−1 ) det
Dengan menotasikan matriks
[
]
det A11 −det A21 ⋯ (−1 )n +1 det A n 1 −det A 12 +det a 22 … (−1 )n +2 det A n 2 = Adj ( A ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1+ n 2+n (−1 ) det A 1 n (−1 ) det A2 n … (−1 )n+n det A nn
Akan diperoleh det ( A)I n ×n =A Adj ( A) dengan Adj berarti adjpint . Akhirnya diperoleh Rumus Adjoint yang disajikan dalam proposisi berikut ini. Proposisi 2.4.1 Jika A invertibel, maka A−1=
1 adj( A) det ( A)
dan untuk mempermudah penotasian komponen-komponen Adj(A), dinotasikan sebagai berikut:
41
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[
C11 C 21 ⋯ Cn 1 adj ( A )= C 12 C 22 … Cn 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a1 n C 2 n … C nn
]
Dengan (¿ A ij ) Cij =(−1)i+ j det ¿
Contoh 2.11. tentukan invers matriks A berikut :
[
2 1 3 A= 1 −1 1 1 4 −2
Untuk menghitung
A
]
−1
, terlebih dahulu dihitung masing-masing nilai
Cij
berikut
[
]
C11 =+det −1 1 =−2 4 −2
[ [
] ]
[
]
C12=−det 1 1 =3 1 −2
,
,
C13=+ det 1 −1 =−2 1 4 C21=−det 1 3 =14 4 −2
[ ] [ ]
[
]
C22=+ det 2 3 =−7 1 −2
,
,
C23=−det 2 1 =−7 1 4
[ ]
[
]
C31=+ det 1 3 =4 , C32=−det 2 3 =1 , C33=+ det 2 1 =−3 −1 1 1 1 1 −1
42
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Kemudian dibentuk
[
−2 14 4 Adjoint ( A )= 3 −7 1 5 −7 −3
]
Kemudian dengan rumus adjoint diperoleh
[ ]
−1 7 −2 14 4 1 −1 3 A = 3 −7 1 = 14 14 5 −7 −3 5 14
[
b. Jika
]
1
−1 2 −1 2
2 7 1 14 −3 14
Perhitungan Solusi Sistem Persamaan Linear aturan cramer A matriks invertibel maka sistem persamaan linear
A n × n X n × 1=b n× 1 akan mempunyai solusi tunggal yakni:
X n × 1=A−1 bn ×1 Dengan demikian akan diperoleh X n × 1=
1 adj( A )b n ×1 det( A)
Jika komponen x dan b dituliskan secara lengkap akan diperoleh
[]
x1 x 2 = 1 adj(A ) det( A) ⋮ xn
[] b1 b2 ⋮ bn
Yakni akan diperoleh
[] [ x1 x2 = 1 det( A) ⋮ xn
C11 C 21 ⋯ Cn 1 C12 C 22 … Cn 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1n C2 n … C nn
][ ]
Dengan demikian akan diperoleh 43
b1 b2 ⋮ bn
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
b1 C11 + b2 C 21 + …+b n C n 1 1 x1= ¿ det ( A) b1 C12 +b2 C22 +…+b n C n 2 1 x 2= ¿ det( A) ⋮⋮ ⋮⋮ ⋮ b1 C1 n +b 2 C 2n +…+ bn Cnn 1 x n= ¿ det ( A) Dari ekspresi diatas tampak bahwa ∆1 =det A1 dengan A 1 adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-1 dengan b, yakni b 1 a12 ⋯ a 1n A 1= b 2 a22 … a 2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ bn an 2 … ann
[
]
Secara analog ∆ 2=det A 2 dengan A 2
adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan
mengganti kolom ke-2 dengan b, yakni a11 b1 ⋯ a1 n a A 1= 21 b2 … a2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an 1 b n … ann
[
]
Dan ∆ n=det A n dengan A n
adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan
mengganti kolom ke-n dengan b, yakni a11 a 12 ⋯ b1 A 1= a21 a 22 … b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an 1 a n 2 … bn
[
]
44
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
Dari penjelasan di atas, akan diperoleh proposisi berikut, Proposisi 2.4.3 Jika A invertibel, maka sistem persamaan linear A n × n X n × 1=X n × 1 mempunyai penyelesaian tunggal
x 1=
det( A 1) det ( A )
x 2=
det( A 2) det ( A)
⋮⋮ x n=
det ( A n ) det ( A)
Contoh 2.12 Gunakan Aturan Cramer untuk menghitung solusi sistem persamaan linear 3 x1 −2 x 2=6 −5 x 1 +4 x 2=8
Sistem persamaan linear di atas dapat dituliskan dengan dengan bentuk Ax=b , dengan
[
A= 3 −2 −5 4 x=
]
[] x1 x2
[]
b= 6 8
Terlebih dahulu dihitung
det ( A) ,
det A 1
dan
berikut :
[
]
det ( A)=det 3 −2 =3.4− (−2 ) (−5 )=12−10=2 −5 4
45
det A 2
sebagai
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[ [
] ]
det ( A1 )=det 6 −2 =6.4−(−2 )( 8 )=24+16=30 8 4 det ( A2 )=det 3 6 =3.8−( 6 ) (−5 )=24+30=54 −5 8 Sehingga dengan aturan cramer diperoleh x 1=
30 =15 2
x 2=
54 =27 2
c. Penilaian Penguasaan Materi Kompetensi yang diharapkan dari
mahasiswa
setelah
mengikuti
perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah: 1) Menjelaskan definisi determinan matriks; 2) Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat determinan matriks dalam kaitannya dengan OBE; 3) Menghitung determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor; 4) Menghitung invers matriks menggunakan determinan. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut: 1) Diberikan matriks berikut 8 2 1 1 3 −4 −3 2 4 2 0 −1 2 3 −1 3 (a) Carilah semua minor matriks A (b) Carilah semua kofaktor matriks A (c) Hitunglah determinan matriks A (d) Hitunglah invers matriks A menggunakan determinannya 2) Dengan Aturan Cramer, hitunglah penyelesaian sistem persamaan
[
]
linear pada soal nomor 3b di Bab 1. 3) Buktikan matriks berikut
46
Aljabar Linear Elementer Eva Setya Rini, S.Si, M.Pd STKIP Dampal Selatan
[
cos θ sinθ 0 B= −s∈θ cos θ 0 0 0 1
]
mempunyai invers untuk semua nilai θ kemudian carilah B−1 . 4) Buktikan jika det(A) = 1 dan semua entri A adalah bilangan bulat, maka semua entri A−1 juga bilangan bulat 5) Diketahui determinan matriks berikut a b c det d e f =−6 g h i Tentukan d e f det g h i (a) a b c
[ ]
[ ] [
]
−3 a −3 b −3 c d e f g−4 d h−4 c i−4 f 6) Tentukan nilai k sehingga matriks berikut tidak mempunyai invers: A= k −3 −2 (a) −2 k −2
(b)
det
[
(b)
]
[ ]
1 2 4 A= 3 1 6 k 3 2
47
