Barisan Aritmetika Bertingkat [PDF]

Citation preview

Barisan Aritmetika Bertingkat - Bukan Sekedar Rumus, Mari Pahami Konsepnya Posted by Denih Handayani » Materi » Sunday, 30 July 2017



Sebagai pengantar, perhatikan beberapa contoh barisan bilangan berikut: 



1. 2. 3. 4.



7,10,13,16,19,⋯7,10,13,16,19,⋯ 2,4,8,16,32,⋯2,4,8,16,32,⋯ 0,3,8,15,24,⋯0,3,8,15,24,⋯ 1,3,11,31,69,131,⋯1,3,11,31,69,131,⋯



Dari keempat contoh barisan bilangan di atas,  bisakah kalian menyebutkan satu persatu jenis barisan bilangan tersebut? oke jawabannya tepat sekali, contoh pertama merupakan barisan aritmetika, dan contoh kedua adalah barisan geometri, lalu contoh yang ketiga dan keempat?



Barisan bilangan pada contoh ketiga dan keempat merupakan contoh barisan aritmetika bertingkat sebab selisih setiap suku barisan tersebut membentuk barisan aritmetika. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:



Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Satu



selisih setiap suku berurutan (Un−Un−1)(Un−Un−1) bernilai tetap (konsatan), barisan bilangan ini merupakan barisan aritmetika bertingkat satu, atau cukup kita sebut sebagai barisan aritmetika.



Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Dua



Pada barisan ini selisih tetap (konstan) tidak kita peroleh dari selisih suku-sukunya, namun diperoleh pada "tingkatan kedua", oleh karena itu, barisan seperti ini disebut sebagai barisan aritmetika bertingkat dua. Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Tiga



Pada barisan ini selisih tetap (konstan) tidak kita peroleh dari selisih suku-sukunya, namun diperoleh pada "tingkatan ketiga", oleh karena itu, barisan seperti ini disebut sebagai barisan aritmetika bertingkat tiga.



Saya rasa tiga contoh di atas sudah cukup. Namun jangan disimpulkan bahwa barisan aritmetika hanya sampai tingkat tiga, sebenarnya masih bisa kita teruskan barisan aritmetika bertingkat empat, lima, enam dan seterusnya. Intinya, contoh-contoh di atas saya sajikan hanya untuk memberi "gambaran" seperti apa barisan aritmetika bertingkat itu. Jika sudah paham, mari kita lanjutkan materinya



Hubungan Fungsi Polinomial dengan Barisan Aritmetika Bertingkat Misal saya berikan beberapa fungsi UnUn yang menyatakan suku ke nn dari suatu barisan bilangan (dalam variabel nn), dengan derajat (pangkat tertinggi) berbeda-beda sebagai berikut:



Un=4n−1Un=4n−1 Un=4n−1Un=4n−1 merupakan fungsi bentuk polinomial substitusi nn dengan bilangan asli berurutan, maka kita peroleh: U1=4(1)−1=4−1=3U1=4(1)−1=4−1=3 U2=4(2)−1=8−1=7U2=4(2)−1=8−1=7 U3=4(3)−1=12−1=11U3=4(3)−1=12−1=11 U4=4(4)−1=16−1=15U4=4(4)−1=16−1=15 U5=4(5)−1=21−1=19U5=4(5)−1=21−1=19



berderajat



1,



jika



kita



dan seterusnya.



perhatikan hasilnya, ternyata memiliki selisih yang tetap (membentuk barisan aritmetika).



Un=2n2−n+4Un=2n2−n+4 Un=2n2−n+4Un=2n2−n+4 merupakan fungsi bentuk polinomial berderajat 2, jika kita substitusi nn dengan bilangan asli berurutan, maka kita peroleh: U1=2(1)2−1+4=5U1=2(1)2−1+4=5 U2=2(2)2−2+4=10U2=2(2)2−2+4=10 U3=2(3)2−3+4=19U3=2(3)2−3+4=19 U4=2(4)2−4+4=32U4=2(4)2−4+4=32 U5=2(5)2−5+4=49U5=2(5)2−5+4=49



atau bisa kita tulis:



Perhatikan, ternyata untuk fungsi polinomial berderajat 2, menghasilkan barisan bilangan berderajat 2 juga.



Un=n3−3n2+4n−1Un=n3−3n2+4n−1 Dengan cara yang sama dengan dua contoh sebelumnya, maka kita peroleh:



dari



ketiga



contoh



di



atas,



bisa



kita



tarik



kesimpulan:



Suku ke nn barisan aritmetika bertingkat satu akan berbentuk fungsi polinomial berderajat satu, suku ke nn barisan aritmetika bertingkat dua akan berbentuk fungsi polinomial berderajat dua dan suku ke nn barisan aritmetika bertingkat tiga akan berbentuk fungsi polinomial berderajat tiga, atau secara umum bisa kita tulis:



Jika UnUn menyatakan suku ke nn suatu barisan bilangan Un=f(n)Un=f(n) dengan ffadalah fungsi berbentuk polinomial dalam variabel nn dengan derajat (pangkat tertinggi) kk, maka UnUn adalah barisan aritmetika berderajat kk



Menentukan Rumus UnUn Barisan Aritmetika Bertingkat ■◼ Barisan



Aritmetika Tingkat Satu Kita telah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke- nn dari barisan aritmetika tingkat satu akan berupa fungsi polinomial berderajat satu, kita misalkan fungsi tersebut adalah :



Un=an+bUn=an+b Jika kita substitusi n=1,2,3,⋯n=1,2,3,⋯ ke Un=an+bUn=an+b maka kita peroleh:



Contoh Penggunaan: Tentukan suku ke 20 dari barisan bilangan 5,9,13,17,21,⋯5,9,13,17,21,⋯



Jawab:



Perhatikan bagian yang saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat a=4a=4 dan a+b=5⇒4+b=5⇒b=1a+b=5⇒4+b=5⇒b=1 kemudian substitusikan a=4a=4 dan b=1b=1 ke Un=an+bUn=an+b, maka kita peroleh: Un=4n+1Un=4n+1 maka suku ke 20 adalah U20=4(20)+1=81U20=4(20)+1=81



■◼ Barisan



Aritmetika Tingkat Dua Kita telah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke- nn dari barisan aritmetika tingkat satu akan berupa fungsi polinomial berderajat dua, kita misalkan fungsi tersebut adalah :



Un=an2+bn+cUn=an2+bn+c Jika kita peroleh:



substitusi n=1,2,3,⋯n=1,2,3,⋯ ke Un=an2+bn+cUn=an2+bn+c maka



kita



Contoh Penggunaan: Tentukan suku ke-1010 dari barisan bilangan 4,12,26,46,72,104,⋯4,12,26,46,72,104,⋯ Jawab:



Perhatikan bagian yang saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat:



2a=6⇒a=32a=6⇒a=3 3a+b=8⇒3(3)+b=8⇒b=23a+b=8⇒3(3)+b=8⇒b=2 a+b+c=4⇒3+2+c=4⇒c=−1a+b+c=4⇒3+2+c=4⇒c=−1 Kemudian kita substitusi a=3a=3, b=2b=2 dan c=−1c=−1 ke persamaan Un=an2+bn+cUn=an2+bn+c, maka kita peroleh: Un=3n2+2n−1Un=3n2+2n−1 dengan demikian suku ke 1010 adalah: U10=3(10)2+2(10)−1=319U10=3(10)2+2(10)−1=319



■◼ Barisan Aritmetika Tingkat Tiga



Kita telah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke- nn dari barisan aritmetika tingkat tiga akan berupa fungsi polinomial berderajat tiga, kita misalkan fungsi tersebut adalah :



Un=an3+bn2+cn+dUn=an3+bn2+cn+d Jika kita peroleh:



Contoh Tentukan



substitusi n=1,2,3,⋯n=1,2,3,⋯ ke Un=an2+bn+cUn=an2+bn+c maka



rumus



suku



kita



Penggunaan: ke-nn dari 1,3,11,31,69,131,⋯1,3,11,31,69,131,⋯



Jawab:



Perhatikan bagian yang saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat: 6a=6⇒a=16a=6⇒a=1



12a+2b=6⇒12(1)+2b=6⇒b=−312a+2b=6⇒12(1)+2b=6⇒b=−3 7a+3b+c=2⇒7(1)+3(−3)+c=2⇒c=47a+3b+c=2⇒7(1)+3(−3)+c=2⇒c=4 a+b+c+d=1⇒1+(−3)+4+d=1⇒d=−1a+b+c+d=1⇒1+(−3)+4+d=1⇒d=−1 selanjutnya, kita substitusikan a=1a=1, b=−3b=−3, c=4c=4 dan d=−1d=−1 ke persamaan Un=an3+bn2+cn+dUn=an3+bn2+cn+d maka kita peroleh: Un=n3−3n2+4n−1Un=n3−3n2+4n−1



Oke, kita sudahi dulu materinya sampai sini 😊, tapi materi ini belum selesai, pada postingan berikutnya insya Alloh saya akan membahas bagaimana cara menurunkan suatu rumus umum barisan aritmetika bertingkat. Jadi, kunjungi terus blog ini. Untuk



latihan



kalian



bisa



coba



soal



berikut:



Carilah



1. 2. 3.



rumus



suku



ke-nn dari



setiap



barisan



9,16,27,42,61,⋯9,16,27,42,61,⋯ 5,5,11,29,65,125,215,⋯5,5,11,29,65,125,215,⋯ 5,13,55,179,457,985,⋯5,13,55,179,457,985,⋯



semoga bermanfaat.



aritmetika



bertingkat



berikut: