![Bidang Singgung Dan Aproksimasi [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/bidang-singgung-dan-aproksimasi.jpg)
5 0 286 KB
BIDANG SINGGUNG DAN APROKSIMASI A. Bidang Singgung
Bukti Pernyataan pertama adalah langsung dan yang kedua menyusul darinya dengan meninjau F(x, y, z) = f(x, y) – z. Jika z fungsi x dan y, katakanlah z = f(x, y), maka dari bagian kedua Teorema A, kita dapat menuliskan persamaan bidang singgung sebagai z – f(x0, y0) = fx(x0, y0)(x – x0) + fy(x0, y0)(y – y0) dengan membiarkan p = (x, y) dan p0 = (x0, y0), kita lihat bahwa persamaan bidang singgung adalah z = f(x0, y0) + {fx(x0, y0), fy(x0, y0)} · {x – x0, y – y0}
= f(p0) + ∇f(p0) · (p – p0) Contoh Soal 2
𝑥 4
1. Carilah persamaan bidang singgung terhadap 𝑧 =
2
+
𝑦 4
di titik P(2, 2, 2)
Penyelesaian : Langkah 1 Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑧 = 2
𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0) =
𝑥 4
𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) =
𝑥 4
2
+
𝑦 4
+
𝑦 4
2
=
1 2
𝑥
=
1 2
𝑦
2
2
𝑥 4
2
+
𝑦 4
Langkah 2 Karena berada di titik (2, 2, 2) kemudian titik P kita substitusikan ke dalam hasil turunan pertama 𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0) =
1 2
𝑥
𝐹𝑥(2, 2)
=
1 2
×2 = 1
𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) =
1 2
𝑦
𝐹𝑦(2, 2)
1 2
×2 = 1
=
Langkah 3 Substitusikan hasil dari langkah 1 dan langkah 2 ke dalam rumus persamaan bidang singgung z – z0 = fx(x0, y0)(x – x0) + fy(x0, y0)(y – y0) z-2
= fx(2, 2)(x – 2) + fy(2, 2)(y – 2)
z-2
=1(𝑥 − 2) + 1(𝑦 − 2) =𝑥 − 2 + 𝑦 − 2 + 2
z
=𝑥 + 𝑦 +2 − 2+ 2
z
=x + y
− 𝑥 − 𝑦+ 𝑧 = 0
2. Carilah persamaan bidang singgung terhadap 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 di titik P(1, 4, 3) Penyelesaian :
Langkah 1 1
1
Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 1 2
1 2
𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 𝑥 + 𝑦 = 1 2
1 2
𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 𝑥 + 𝑦 =
1 2
1
𝑥
1 2
−2
1
−2
𝑦
Langkah 2 Karena berada di titik (1, 4, 3) kemudian titik P kita substitusikan ke dalam hasil turunan pertama 𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 𝐹𝑥(1, 4)
=
𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 𝐹𝑦(1, 4)
=
1 2
1
𝑥
1 2 1 2
−2
1
−2
×1
=
1 2
1
−2
𝑦
1 2
1
−2
4
=
1 4
Langkah 3 Substitusikan hasil dari langkah 1 dan langkah 2 ke dalam rumus persamaan bidang singgung 𝑧 − 𝑧0 = 𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)
𝑧 − 3 = 𝐹𝑥(1, 4)(𝑥 − 1) + 𝐹𝑦(1, 4)(𝑦 − 4) 𝑧 − 3=
1 2
(𝑥 − 1) +
𝑧 − 3=
1 2
𝑥 −
1 2
+
𝑧 − 3=
1 2
𝑥 +
1 4
𝑦−
1 4
𝑧
=
1 2
𝑥 +
1 4
𝑦−
𝑧
=
1 2
𝑥 +
1 4
𝑦 −
𝑧
=
1 2
𝑥 +
1 4
𝑦+
−
1 2
𝑥 −
1 4
𝑦+ 𝑧 =
1 4
(𝑦 − 4)
𝑦− 1 3 2 3 2 3 2
+ 3 +
6 2
3 2
3 2
B. Diferensial dan Aproksimasi
Contoh soal 2 3
1. Misalkan 𝑧 = 2𝑥 𝑦 . Hitunglah ∆z dan dz ketika (x, y) bergerak dari P(1, 1) ke Q(0,99, 1,02) Penyelesaian :
Langkah 1 2 3
Substitusikan titik P dan Q ke dalam persamaan 𝑧 = 2𝑥 𝑦 ∆𝑧 = 𝑧𝑄 − 𝑧𝑃 2
3
2
3
∆𝑧 = {(2)(0, 99) (1, 02) } − {(2)(1) (1) } ∆𝑧 = {(2)(0, 98)(1, 06)} − {(2)(1)(1)} ∆𝑧 = (2, 08) − (2) ∆𝑧 = 0, 08
Langkah 2 2 3
Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑧 = 2𝑥 𝑦 2 3
3
2 3
2 2
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 𝑦 = 4𝑥𝑦
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 𝑦 = 6𝑥 𝑦
Langkah 3 Substitusikan hasil turunan pertama ke dalam rumus diferensial 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)∆𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)∆𝑦 3
2 2
𝑑𝑧 = 4𝑥𝑦 (𝑥𝑞 − 𝑥𝑝) + 6𝑥 𝑦 (𝑦𝑞 − 𝑦𝑝) 3
2
2
𝑑𝑧 = {4(1)(1) (0, 99 − 1) + 6(1) (1) (1, 02 − 1)} 𝑑𝑧 = 4(− 0, 01) + 6(0, 02) 𝑑𝑧 =− 0, 04 + 0, 12 𝑑𝑧 = 0, 08
2
2. Misalkan 𝑧 = 𝑥 − 5𝑥𝑦 + 𝑦. Hitunglah ∆𝑧 dan 𝑑𝑧 ketikan (𝑥, 𝑦) bergerak dari P(2, 3) ke Q(2,03, 2,98) Penyelesaian :
Langkah 1 2
Substitusikan titik P dan Q ke dalam persamaan 𝑧 = 𝑥 − 5𝑥𝑦 + 𝑦 ∆𝑧 = 𝑧𝑄 − 𝑧𝑃 2
2
∆𝑧 = {(2, 03) − 5(2, 03)(2, 98) + 2, 98} − (2 − 5(2)(3) + 3) ∆𝑧 = (4, 12 − 30, 25 + 2, 98) − (4 − 30 + 3) ∆𝑧 =− 23, 15 − (− 23) ∆𝑧 =− 23, 15 + 23 ∆𝑧 =− 0, 15
Langkah 2 2
Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑧 = 𝑥 − 5𝑥𝑦 + 𝑦 2
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 5𝑥𝑦 + 𝑦 = 2𝑥 − 5𝑦 2
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 5𝑥𝑦 + 𝑦 =− 5𝑥 + 1
Langkah 3 Substitusikan hasil turunan pertama ke dalam rumus diferensial 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)∆𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)∆𝑦 𝑑𝑧 = (2𝑥 − 5𝑦)(𝑥𝑞 − 𝑥𝑝) + (− 5𝑥 + 1)(𝑦𝑞 − 𝑦𝑝) 𝑑𝑧 = (2×2 − 5×3)(2, 03 − 2) + (− 5×2 + 1)(2, 98 − 3)
𝑑𝑧 = (4 − 15)(0, 03) + (− 10 + 1)(− 0, 02) 𝑑𝑧 = (− 11)(0, 03) + (− 9)(− 0, 02) 𝑑𝑧 =− 0, 33 + 0, 18 𝑑𝑧 =− 0, 15
−1
3. Misalkan 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑦. Hitunglah ∆z dan dz ketika (x, y) bergerak dari P(-2, -0,5) ke Q(-2,03, -0,51) Langkah 1 −1
Substitusikan titik P dan Q ke dalam persamaan 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑦. ∆𝑧 = 𝑧𝑄 − 𝑧𝑃 −1
−1
= 𝑡𝑎𝑛 (− 2, 03)∙(− 0, 51) − 𝑡𝑎𝑛 (− 2)∙(− 0, 5) −1
−1
= 𝑡𝑎𝑛 (1, 035) − 𝑡𝑎𝑛 (1) = 45, 98 − 45 = 0, 98
Langkah 2 −1
Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑦 −1
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑦 = −1
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑦 =
1 2
∙𝑦
2
∙𝑥
1+𝑥 1
1+𝑦
Langkah 3 Substitusikan hasil turunan pertama ke dalam rumus diferensial
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)∆𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)∆𝑦 = = =
1 2
1+𝑥
∙𝑦(𝑥𝑞 − 𝑥𝑝) +
1 2
1+(−2) 1 5
1 2
1+𝑦
∙𝑥(𝑦𝑞 − 𝑦𝑝)
∙(− 0, 5)(− 2, 03 − (− 2)) +
∙(− 0, 5)(− 0, 03) +
1 1,25
1 2
1+(−0,5)
∙(− 2)(− 0, 51 − (− 0, 5)
(− 2)(− 0, 01)
= (− 0, 1)(− 0, 03) + (− 1, 6)(− 0, 01) = 0, 003 + 0, 016 = 0, 019
C. Polinomial Taylor untuk Fungsi Dua Variabel atau Lebih Polinomial orde satu dan dua adalah '
𝑃1(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓 (𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) '
𝑃2(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓 (𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) +
1 2
''
2
𝑓 (𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)
Yang pertama adalah garis singgung di titik (𝑥0, 𝑓(𝑥0)). Besaran – besaran analog untuk fungsi dua-variabel 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah 𝑃2(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)] Yang tentu saja berupa bidang singgung di (𝑥0, 𝑦0, 𝑓(𝑥0, 𝑦0)), dan 2
𝑃2(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)] +
1 2
[𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0)
𝑃2(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)] +
1 2
[𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 2𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0
2
Contoh Soal : 2
2
1. Carilah polinom Taylor orde pertama terhadap fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦 ) di (0,0). Penyelesaian : Langkah 1 2
2
Substitusikan titik (𝑥, 𝑦) ke dalam persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦 ) 2
2
𝑓(0, 0) = 𝑐𝑜𝑠 (0 + 0 ) = 𝑐𝑜𝑠 0° = 1
Langkah 2 2
2
Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦 ) 2
2
2
2
2
2
2
2
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦 ) =− 2𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦 ) 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦 ) =− 2𝑦𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦 )
Langkah 3 Substitusikan titik (𝑥, 𝑦) ke dalam hasil turunan pertama 2
2
2
2
2
2
2
2
𝑓𝑥(0, 0) =− 2𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦 ) =− 2∙0∙𝑠𝑖𝑛(0 + 0 ) 𝑓𝑦(0, 0) =− 2𝑦𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦 ) =− 2∙0∙𝑠𝑖𝑛(0 + 0 )
= 0 = 0
Langkah 4 Substitusikan hasil dari langkah 1, 2 dan 3 ke dalam rumus polynomial orde pertama 𝑃1(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)] = 𝑓(0, 0) + [𝑓𝑥(0, 0)(𝑥 − 0) + 𝑓𝑦(0, 0)(𝑦 − 0)] = 1 + (0(𝑥 − 0) + 0(𝑦 − 0) = 1 + 0𝑥 + 0𝑦 = 1
−𝑥𝑦
2. Carilah polinom Taylor orde kedua terhadap fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒
di (1,1) !
Penyelesaian : Langkah 1 −𝑥𝑦
Substitusikan titik (𝑥, 𝑦) ke dalam persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −1∙1
𝑓(1, 1) = 𝑒
.
−1
=𝑒
Langkah 2 −𝑥𝑦
Carilah turunan pertama dan turunan kedua dari persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −𝑥𝑦
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒
−𝑥𝑦
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑒
−𝑥𝑦
=− 𝑦𝑒
−𝑥𝑦
𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒
−𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑒
−𝑥𝑦
𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑒
−𝑥𝑦
=− 𝑥𝑒
2 −𝑥𝑦
=− 𝑦 𝑒
2 −𝑥𝑦
=− 𝑥 𝑒 −𝑥𝑦
=− 𝑒
.
Langkah 3 Substitusikan titik (𝑥, 𝑦) ke dalam hasil turunan pertama dan turunan kedua −1∙1
−1
𝑓𝑥(1, 1) =− 1𝑒
=− 𝑒
−1∙1
−1
𝑓𝑦(1, 1) =− 1𝑒
=− 𝑒
2 −1∙1
𝑓𝑥𝑥(1, 1) = (− 1) 𝑒
2 −1∙1
𝑓𝑦𝑦(1, 1) = (− 1) 𝑒 −1∙1
𝑓𝑥𝑦(1, 1) =− 𝑒
−1
=𝑒
−1
=𝑒 −1
=− 𝑒
Langkah 4 Substitusikan hasil dari langkah 1, 2 dan 3 ke dalam rumus polynomial orde kedua 1 2
𝑃2(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)] +
−1
=𝑒
−1
=𝑒
−1
=𝑒
−1
−1
+ (− 𝑒 )(𝑥 − 1) + (− 𝑒 )(𝑦 − 1) + −1
−1
+ (− 𝑥𝑒 −1
− 𝑥𝑒 2 −1
=
1 2
𝑥𝑒
=
1 2
𝑥𝑒
2 −1
−1
+𝑒
2 −1
+𝑦 𝑒
2 −1
+𝑦 𝑒
LATIHAN SOAL
−1
+ 𝑒 ) + (− 𝑦𝑒 −1
− 𝑦𝑒
−1
− 2𝑥𝑒
−1
+𝑒
−1
− 𝑦𝑒
−1
− 2𝑥𝑦𝑒
+
1 2
2 −1
𝑥𝑒
+
5 2
−1
𝑒
[𝑓𝑥𝑥(1, 1)(𝑥 − 1) + 2𝑓𝑥𝑦(1, 1)(𝑥 − 1)(
−1
2
−1
1 2
(𝑒 )(𝑥 − 2𝑥 + 1) + 2(− 𝑒 )(𝑥 − 1)(𝑦 −
1 2
(𝑥 𝑒
2 −1
−1
− 𝑥𝑒
−1
1
+ 3 2𝑒
−1
− 𝑦𝑒
−1
+𝑒 ) +
2
1 2
= 𝑓(1, 1) + [𝑓𝑥(1, 1)(𝑥 − 1) + 𝑓𝑦(1, 1)(𝑦 − 1)] +
2
[𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 2𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0
+ −1
− 2𝑥𝑦𝑒
−1
− 2𝑥𝑒 1 2
−1
𝑒
−1
−1
+ 𝑒 ) + 2(− 𝑒 )(𝑥𝑦 − 𝑥 − −1
+ 2(− 𝑥𝑦𝑒 −1
+ 2𝑥𝑒
−1
+ 2𝑦𝑒
−1
+ 𝑥𝑒
−1
− 2𝑒
−1
+ 𝑦𝑒
−1
− 2𝑦𝑒
−𝑒
+𝑒
2
2
2
1.
Carilah persamaan bidang singgung terhadap 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 =− 4 di titik P(2, 1, 1) !
2.
Misalkan 𝑧 = 𝑙𝑛(𝑥 ) + 𝑙𝑛(𝑦 ). Hitunglah ∆z dan dz ketika (x, y) bergerak dari P(-2,
2
2
-0,5) ke Q(-2,03, -0,51) 3.
Carilah Polinomial Taylor orde pertama dan orde kedua terhadap fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) =
4.
2
2
𝑥 + 𝑦 berdasarkan pada titik (𝑥, 𝑦) = (3, 4) ! 𝑥
Carilah persamaan bidang singgung terhadap 𝑧 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑦 di titik 𝑃(0,
π 4
, 1)
Kunci jawaban 1. Langkah 1 2
2
2
Ubahlah persamaan 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 =− 4 dalam bentuk z 2
2
2
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 =− 4 −𝑧 𝑧 𝑧 𝑧
2
2
2
2
=− 𝑥 − 𝑦 − 4 2
2
=𝑥 +𝑦 + 4 =
2
2
𝑥 +𝑦 + 4 2
2
= (𝑥 + 𝑦 + 4)
1 2
Langkah 2 2
2
Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 4) 2
1 2
2
𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0) = (𝑥 + 𝑦 + 4) = 2
1 2
2
𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) = (𝑥 + 𝑦 + 4) =
1 2
1
1 2
2
2
(𝑥 + 𝑦 + 4)
−2
∙2𝑥 =
𝑥 2
2
𝑥 +𝑦 +4 1
1 2
2
2
(𝑥 + 𝑦 + 4)
−2
∙2𝑦 =
𝑦 2
2
𝑥 +𝑦 +4
Langkah 3 Karena berada di titik (2, 1, 1) kemudian titik P kita substitusikan ke dalam hasil turunan pertama 𝑥
𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 𝐹𝑥(2, 1) = 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) =
2
2
𝑥 +𝑦 +4 2 2
=
2
2 +1 +4 𝑥 2
2
𝑥 +𝑦 +4
2 4+1+4
=
2 9
=
2 3
1
𝐹𝑦(2, 1) =
2
1
=
2
4+1+4
2 +1 +4
=
1 9
=
1 3
Langkah 4 Substitusikan hasil dari langkah 2 dan langkah 3 ke dalam rumus persamaan bidang singgung 𝑧 − 𝑧0 = 𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) 𝑧 − 1 = 𝐹𝑥(2, 1)(𝑥 − 2) + 𝐹𝑦(2, 1)(𝑦 − 1) 𝑧 − 1 =
2 3
(𝑥 − 2) +
𝑧 − 1 =
2 3
𝑥−
4 3
+
1 3
1 3
𝑦 −
𝑧 =
2 3
𝑥+
1 3
𝑦 −
5 3
+1
𝑧 =
2 3
𝑥+
1 3
𝑦 −
5 3
+
𝑧 =
2 3
𝑥+
1 3
𝑦 −
2 3
−
2 3
𝑥−
1 3
𝑦 + 𝑧 =−
(𝑦 − 1) 1 3
3 3
2 3
2. Langkah 1 2
2
Substitusikan titik P dan Q ke dalam persamaan 𝑧 = 𝑙𝑛 (𝑥 ) + 𝑙𝑛 (𝑦 ) ∆𝑧 = 𝑧𝑄 − 𝑧𝑃 2
2
2
2
∆𝑧 = (𝑙𝑛 ((− 2, 03) ) + 𝑙𝑛 ((− 0, 51) ) ) − (𝑙𝑛 ((− 2) ) + 𝑙𝑛 ((− 0, 5) ) ) ∆𝑧 = 𝑙𝑛 (4, 12) + 𝑙𝑛 (0, 26) − 𝑙𝑛 (4) − 𝑙𝑛 (0, 25)
∆𝑧 = 14, 15 + 1, 35 − 10, 15 − 1, 39 ∆𝑧 = 3, 96
Langkah 2 2
2
Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑧 = 𝑙𝑛 (𝑥 ) + 𝑙𝑛 (𝑦 ) 2
2
2𝑥
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 (𝑥 ) + 𝑙𝑛(𝑦 ) = 2
2
2
𝑥
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 (𝑥 ) + 𝑙𝑛 (𝑦 ) =
2𝑦 2
𝑦
Langkah 3 Substitusikan hasil turunan pertama ke dalam rumus diferensial 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)∆𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)∆𝑦 𝑑𝑧 = (
2𝑥 2
𝑥
)(𝑥𝑞 − 𝑥𝑝) + (
𝑑𝑧 =
2(−2,03)
𝑑𝑧 =
2 (−2,03)
(− 0, 03) +
𝑑𝑧 =
(−0,06) (−2,03)
+
2𝑦 2
𝑦
)(𝑦𝑞 − 𝑦𝑝)
(− 2, 03 + 2) +
2
(−2,03)
2 (−0,51)
2(−0,51) 2
(−0,51)
(− 0, 51 + 0, 5)
(− 0, 01)
(−0,02) (−0,51)
𝑑𝑧 = 0, 029 + 0, 039 𝑑𝑧 = 0, 07
3. Langkah 1 Substitusikan titik (𝑥, 𝑦) ke dalam persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(3, 4) =
2
2
𝑥 +𝑦 =
2
2
𝑥 +𝑦
2
2
3 + 4 = 25 = 5
Langkah 2 Carilah turunan pertama dan turunan kedua dari persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) =
2
𝑥 +𝑦
2
2
2
1 2
2
2
1 2
1
1 2
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 ) =
2
2 −2
2
2 −2
(𝑥 + 𝑦 )
∙2𝑥
1
1 2
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 ) = 2
2
1 2
2
2
1 2
2
2
1 2
(𝑥 + 𝑦 )
∙2𝑦 3
1 4
𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 ) =−
2
2 −2
2
2 −2
(𝑥 + 𝑦 )
∙2𝑥∙2
3
1 4
𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 ) =−
(𝑥 + 𝑦 )
∙2𝑦∙2
1
𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 ) =
2 −2
2
1 2
(𝑥 + 𝑦 )
1
2
2 −2
∙4𝑥𝑦 = (𝑥 + 𝑦 )
∙2𝑥𝑦
Langkah 3 Substitusikan titik (𝑥, 𝑦) ke dalam hasil turunan pertama dan turunan kedua 1
𝑓𝑥(3, 4) =
1 2
=
1 2
(3 + 4 )
∙2∙3
1
(9 + 16) 1 2
=
2 −2
2
25
∙6 =
−2
1 2
∙6
∙6 =
5
1 2
∙
1 5
∙6 =
6 10
=
3 5
1 2
∙
1 5
∙8 =
8 10
=
4 5
1
2 −2
2
𝑓𝑦(3, 4) =
1 2
(3 + 4 )
=
1 2
(9 + 16)
=
∙2∙4
1
1 2
25
∙8 =
1 2
5
−2
∙8
∙8 = 3
𝑓𝑥𝑥(3, 4) =−
1 4
=−
1 4
2
2 −2
(3 + 4 )
∙2∙3∙2
3
−2
(9 + 16)
∙12
1
1
−4
=
−4
∙12 =
3
25
1 4
∙12 =−
125
∙
1 125
∙12 =− 3∙
1 125
=−
3 125
3
𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) =−
(3 + 4 )
(9 + 16)
1
−2
∙16
1
−4
=
∙2∙4∙2
3
1 4
=−
2 −2
2
1 4
3
−4
∙16 =
125
25
∙16 =−
1 4
∙
1 125
∙16 =− 4∙
1 125
=−
4 125
1
2 −2
2
𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = (3 + 4 )
∙2∙3∙4
1
= (9 + 16) 24
=
25
−2
∙24
24 5
=
Langkah 4 Substitusikan hasil dari langkah 1, 2 dan 3 ke dalam rumus polynomial orde pertama 𝑃1(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)] = 𝑓(3, 4) + [𝑓𝑥(3, 4)(𝑥 − 3) + 𝑓𝑦(3, 4)(𝑦 − 4)] 3
= 5 + [ 5 (𝑥 − 3) + 3
9 5
+
3
4 5
𝑦 −
= 5 + (5 𝑥 − = 5 + (5 𝑥 + 3
4 5
= (5 𝑥 + =
3 5
𝑥+
4 5
25 5
𝑦 +
𝑦−
2 5
4 5
4 5
−
(𝑦 − 4)]
𝑦− 27 5
)
27 5
)
16 5
)
Langkah 5 Substitusikan hasil dari langkah 1, 2 dan 3 ke dalam rumus polynomial orde kedua 𝑃2(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)] + 1 2
= 𝑓(3, 4) + [𝑓𝑥(3, 4)(𝑥 − 3) + 𝑓𝑦(3, 4)(𝑦 − 4)] + 3
4 5
= 5 + [ 5 (𝑥 − 3) + 3
9 5
= 5 + (5 𝑥 − = 5+
3 5
𝑥+
4 5
+
𝑦 −
4 5
(𝑦 − 4)] +
𝑦−
27 5
−
16 5 3 250
) + 2
𝑥 +
1 2
1 2
[−
(− 18 250
3 125
3 125
2
[𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 2𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0 2
[𝑓𝑥𝑥(3, 4)(𝑥 − 3) + 2𝑓𝑥𝑦(3, 4)(𝑥 − 3)(
2
(𝑥 − 6𝑥 + 9) + 2∙
2
𝑥 +
𝑦 −
1 2
27 250
18 125
+
𝑦 −
48 5
27 125
𝑥𝑦 −
)+
192 5
24 5 48 5
𝑥−
(𝑥 − 3)(𝑦 − 4) + (−
(𝑥𝑦 − 4𝑥 − 3𝑦 + 12) + 144 5
𝑦+
576 5
2
=
1250+150𝑥+200𝑦−1350−3𝑥 +18𝑦−27+48𝑥𝑦−9600𝑥−7200𝑦+28800 250
=
3𝑥 −9450𝑥−6982𝑦+48𝑥𝑦+28673 250
2
4. Langkah 1 𝑥
Carilah turunan pertama dari persamaan 𝑧 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑥
𝑥
𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑦 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑥
𝑥
𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑦 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦
Langkah 2 Karena berada di titik (1, 4, 3) kemudian titik P kita substitusikan ke dalam hasil turunan pertama 𝑥
𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝐹𝑥(0,
π 4
)
0
= 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑥
π 4
𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦
= 1∙
2 2
=
2 2
1
𝐹𝑦(0,
π 4
0
)
= 𝑒 𝑐𝑜𝑠
π 4
= 1∙
2 2
2 2
=
Langkah 3 Substitusikan hasil dari langkah 1 dan langkah 2 ke dalam rumus persamaan bidang singgung 𝑧 − 𝑧0 = 𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) 𝑧 − 1 = 𝐹𝑥(0,
π 4
)(𝑥 − 0) + 𝐹𝑦(0,
𝑧 − 1 =
2 2
(𝑥) +
𝑧 − 1 =
2 2
𝑥+
2 2
2 2
(𝑦 −
𝑦−
π 4
=
2 2
𝑥+
2 2
𝑦−
2 2 4
𝑧
=
2 2
𝑥+
2 2
𝑦−
2 2+4 4
2 2
𝑥−
2 2
𝑦 +𝑧 =
)(𝑦 −
)
2 2−π 4
𝑧
−
π 4
−
2 2+4−π 4
π 4
−
+ π 4
4 4
π 4
)
