Chapter 4 Tugas [PDF]

Citation preview

e



R



4



MAKSIMALISASI UTILITAS DAN PILIHAN



Dalam bab ini kita akan mengkaji model dasar pilihan yang digunakan para ekonom untuk menjelaskan perilaku individu. Model itu mengasumsikan bahwa individu yang dibatasi oleh pendapatan terbatas akan berperilaku seolah-olah mereka menggunakan daya belinya sedemikian rupa untuk mencapai utilitas setinggi mungkin. Artinya, individu diasumsikan berperilaku seolah-olah mereka memaksimalkan utilitas tunduk pada kendala anggaran. Meskipun aplikasi spesifik dari model ini cukup beragam, seperti yang akan kami tunjukkan, semuanya didasarkan pada model matematika dasar yang sama, dan semuanya sampai pada kesimpulan umum yang sama: Untuk memaksimalkan utilitas, individu akan memilih kumpulan dari komoditas yang tingkat pertukaran antara dua barang (theMRS) sama dengan rasio harga pasar barang. Harga pasar menyampaikan informasi tentang biaya peluang kepada individu, dan informasi ini memainkan peran penting dalam mempengaruhi pilihan tindakan.dibuat secara tual.



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan92



Maksimalisasi Utilitas dan Perhitungan Petir



Sebelum memulai studi formal tentang teori pilihan, mungkin tepat untuk membuang dua keluhan yang sering dibuat nonekonom tentang pendekatan yang akan kita ambil. Pertama adalah tuduhan bahwa tidak ada orang sungguhan yang dapat membuat jenis "perhitungan kilat" yang diperlukan untuk memaksimalkan utilitas. Menurut keluhan ini, saat menyusuri lorong supermarket, orang hanya mengambil apa yang tersedia tanpa pola atau tujuan nyata dari tindakan mereka. Ekonom tidak terbujuk oleh keluhan ini. Mereka ragu bahwa orang-orang berperilaku acak (bagaimanapun juga, semua orang terikat oleh semacam batasan anggaran), dan mereka memandang biaya perhitungan kilat salah tempat. Ingat, sekali lagi, pemain biliar Friedman. Dia juga tidak dapat membuat perhitungan kilat yang diperlukan untuk merencanakan tembakan menurut hukum fisika, tetapi undang-undang tersebut masih memprediksi perilaku pemain. Demikian pula, seperti yang akan kita lihat, model maksimalisasi utilitas memprediksi banyak aspek perilaku meskipun tidak ada orang yang membawa-bawa komputer dengan fungsi utilitasnya yang diprogram ke dalamnya. Tepatnya, para ekonom berasumsi bahwa orang berperilaku seolah-olah mereka membuat perhitungan seperti itu, sehingga keluhan bahwa perhitungan tidak mungkin dilakukan tidak relevan. Altruisme dan Keegoisan



Keluhan kedua terhadap model pilihan kita adalah bahwa model itu tampak sangat egois—menurut keluhan ini, tidak seorang pun memiliki tujuan yang hanya berpusat pada diri sendiri. Meskipun para ekonom mungkin lebih siap untuk menerima kepentingan pribadi sebagai kekuatan pendorong daripada yang lain, lebih banyak pemikir utopis (Adam Smith mengamati, "Kami tidak siap untuk mencurigai siapa pun yang kekurangan keegoisan"), tuduhan ini adalah juga salah tempat. Tidak ada dalam model maksimalisasi utilitas yang mencegah individu memperoleh kepuasan dari filantropi atau secara umum "berbuat baik". Kegiatan ini juga dapat diasumsikan memberikan utilitas. Memang, para ekonom telah menggunakan model maksimalisasi utilitas secara ekstensif untuk mempelajari isu-isu seperti menyumbangkan waktu dan uang untuk amal, memberikan warisan kepada anakanak, atau bahkan memberikan darah.



Survei Awal Hasil umum pemeriksaan kami tentang maksimalisasi utilitas dapat dinyatakan secara ringkas:



Pemaksimalan utilitasUntuk memaksimalkan utilitas, dengan jumlah pendapatan yang tetap untuk dibelanjakan, seorang individu akan membeli jumlah barang yang menghabiskan total pendapatannya dan untuk itu tingkat pertukaran psikis antara dua barang (MRS) sama dengan tingkat di mana barang dapat diperdagangkan satu sama lain di pasar.



Adam Smith, Teori Sentimen Moral (1759; cetak ulang, New Rochelle, NY: Arlington House, 1969), hal. 446.



1



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan93



Bahwa membelanjakan seluruh pendapatan seseorang diperlukan untuk memaksimalkan utilitas sudah jelas. Karena barang tambahan memberikan utilitas tambahan (tidak ada kekenyangan) dan karena tidak ada kegunaan lain untuk pendapatan, membiarkan barang yang tidak terpakai berarti gagal memaksimalkan utilitas. Membuang uang bukanlah kegiatan yang memaksimalkan manfaat. Kondisi yang menentukan kesetaraan tingkat trade-off membutuhkan penjelasan lebih lanjut. Karena tingkat di mana satu barang dapat diperdagangkan untuk yang lain di pasar diberikan oleh rasio harga mereka, hasil ini dapat disajikan kembali untuk mengatakan bahwa individu akan menyamakan MRS (dari X untuk Y) dengan rasio harga X ke harga Y (PX/PY). Menyamakan tingkat trade-off pribadi dengan tingkat trade-off yang ditentukan pasar adalah hasil yang umum untuk semua masalah maksimalisasi utilitas individu (dan untuk banyak jenis masalah maksimalisasi lainnya). Itu akan terjadi berulang kali di seluruh teks ini.



Ilustrasi Numerik



Untuk melihat alasan intuitif di balik hasil ini, asumsikan bahwa tidak benar seseorang telah menyamakan MRS dengan rasio harga barang. Secara khusus, asumsikan bahwa MRS individu sama dengan 1, bahwa dia bersedia untuk memperdagangkan 1 unit X untuk 1 unit Y dan tetap berkecukupan. Asumsikan juga bahwa harga X adalah $2 per unit dan harga Y adalah $1 per unit. Mudah untuk menunjukkan dalam kasus ini bahwa individu dapat dibuat lebih baik. Serahkan 1 unit X dan tukarkan di pasar untuk 2 unit Y. Hanya 1 unit ekstra Y yang diperlukan untuk membuat individu tetap bahagia seperti sebelum melakukan perdagangan— unit kedua Y adalah tambahan bersih untuk kesejahteraan . Oleh karena itu, pengeluaran individu tidak dapat dialokasikan secara optimal sejak awal. Metode penalaran serupa dapat digunakan kapan pun MRS dan rasio harga PX/PY berbeda.



Kasus Dua-Baik: Analisis Grafis Diskusi ini tampaknya sangat masuk akal, tetapi hampir tidak bisa disebut sebagai bukti. Sebaliknya, kita sekarang harus menunjukkan hasilnya dengan cara yang ketat dan, pada saat yang sama, mengilustrasikan beberapa atribut penting lainnya dari proses maksimalisasi. Pertama kita mengambil analisis grafis. Kemudian kami mengambil pendekatan yang lebih matematis.



Batasan biaya



Asumsikan bahwa individu memiliki I dolar untuk dialokasikan antara barang X dan barang Y. Jika PX adalah harga barang X dan PY adalah harga barang Y, maka individu dibatasi oleh PXX+ PYY ≤ I.



(4.1)



Artinya, tidak lebih dari yang dapat saya keluarkan untuk dua barang yang dimaksud. Kendala anggaran ini ditunjukkan secara grafis pada Gambar 4.1. Individu hanya mampu memilih kombinasi X dan Y dalam segitiga yang diarsir dari gambar tersebut. Jika semua I dihabiskan untuk barang X, ia akan membeli unit I/PX dari X. Demikian pula, jika semua dihabiskan untuk Y, ia akan membeli unit I/PY dari Y. Kemiringan kendala mudah dilihat sebagai — PX/PY.



Bab4 GAMBAR 4.1



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan94



Kendala Anggaran Individu untuk Dua Barang



Kombinasi X dan Y yang dapat dibeli individu tersebut ditunjukkan dalam segitiga yang diarsir. Jika, seperti yang biasanya kita asumsikan, individu lebih memilih lebih banyak daripada kurang dari setiap barang, batas luar segitiga ini adalah kendala yang relevan di mana semua dana yang tersedia dibelanjakan pada X atau pada Y. Kemiringan garis lurus ini batas diberikan oleh —PX/PY.



Jumlah Y



S A



SAYA=PXX+P Y



JumlahX S A



Kondisi Orde Pertama untuk Maksimum



Kendala anggaran ini dapat dikenakan pada peta kurva indiferen individu untuk menunjukkan proses maksimalisasi utilitas. Gambar 4.2 mengilustrasikan prosedur ini. Individu akan menjadi tidak rasional jika memilih titik seperti A—ia dapat mencapai tingkat utilitas yang lebih tinggi hanya dengan membelanjakan sebagian dari porsi pendapatan yang tidak terpakai. Asumsi ketidakpuasan menyiratkan bahwa seseorang harus membelanjakan seluruh pendapatannya untuk menerima utilitas maksimum darinya. Demikian pula, dengan merealokasi pengeluaran, individu dapat melakukan lebih baik daripada poin B. Poin D tidak mungkin karena pendapatan tidak cukup besar untuk membeli D. Jelas bahwa posisi utilitas maksimum berada di titik C, di mana kombinasi X*, Y* dipilih. Ini adalah satu-satunya titik pada kurva indiferen U2 yang dapat dibeli dengan I dolar; tidak ada tingkat utilitas yang lebih tinggi yang dapat dibeli. C adalah titik singgung antara kendala anggaran dan kurva indiferen. Oleh karena itu di C, kemiringan kendala anggaran —— = −PX = kemiringan kurva indiferen PY



at au



=—— dY AS= dX konstan



|



PX dY | —= − — P dX AS= Y konstan



(4.2)



= MRS (dari X untuk Y ). (4.3)



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan95



Demonstrasi Grafis Maksimalisasi Utilitas



GAMBAR 4.2



Titik C mewakili tingkat utilitas tertinggi yang dapat dicapai oleh individu, dengan batasan anggaran. Oleh karena itu, kombinasi X*, Y* adalah cara rasional bagi individu untuk mengalokasikan daya beli. Hanya untuk kombinasi barang ini akan berlaku dua syarat: Semua dana yang tersedia akan digunakan; dan psychic rate of trade-off (MRS) individu akan sama dengan tingkat di mana barang dapat diperdagangkan di pasar (PX/PY).



Jumlah Y



B



SAYA=PXX+P Y



Y* A



AS3



X*



A S



AS2 JumlahX



Hasil intuitif kami terbukti—untuk utilitas maksimum, semua pendapatan harus dibelanjakan dan MRS harus sama dengan rasio harga barang. Jelas dari diagram bahwa jika kondisi ini tidak terpenuhi, individu tersebut dapat menjadi lebih baik dengan merealokasi pengeluaran. Kondisi Orde Kedua untuk Maksimum



Aturan garis singgung hanyalah kondisi yang diperlukan untuk maksimum. Untuk melihat bahwa ini bukan kondisi yang cukup, perhatikan peta kurva indiferen yang ditunjukkan pada Gambar 4.3. Di sini titik singgung (C) lebih rendah daripada titik nontangensi (B). Memang, maksimum sebenarnya ada di titik singgung lain (A). Kegagalan kondisi singgung untuk menghasilkan maksimum yang jelas dapat dikaitkan dengan bentuk kurva indiferen pada Gambar 4.3. Jika kurva indiferen berbentuk seperti pada Gambar 4.2, masalah seperti itu tidak akan muncul. Tapi kami telah menunjukkan bahwa kurva indiferen berbentuk "normal" dihasilkan dari asumsi MRS yang semakin berkurang. Oleh karena itu, jika MRS diasumsikan menurun, kondisi tangensial merupakan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk maksimum. Dalam istilah matematika, karena asumsi MRS yang menurun setara dengan asumsi quasi-concavity, kondisi yang diperlukan untuk subjek maksimum pada kendala linier juga cukup, seperti yang kami tunjukkan di Bab 2.



2



Bab4 GAMBAR 4.3



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan96



Contoh Peta Kurva Indiferen yang Kondisi Tangensinya Tidak Menjamin Maksimum



Jika kurva indiferen tidak memenuhi asumsi MRS yang semakin berkurang, tidak semua titik singgung (titik di mana MRS = PX/PY) mungkin benar-benar menjadi poin utilitas maksimum. Dalam contoh ini titik singgung C lebih rendah dari banyak titik lain yang juga dapat dibeli dengan dana yang tersedia. Agar kondisi yang diperlukan untuk maksimum (yaitu, kondisi tangensial) juga mencukupi, biasanya diasumsikan bahwa MRS semakin berkurang; yaitu, fungsi utilitas sangat kuasi-cekung.



Jumlah Y AS1AS2AS3



A



SAYA=PXX+P Y



A S B AS1 JumlahX



Solusi Sudut



Masalah maksimalisasi utilitas yang diilustrasikan pada Gambar 4.2 menghasilkan maksimum "interior", di mana jumlah positif dari kedua barang dikonsumsi. Dalam beberapa situasi preferensi individu mungkin sedemikian rupa sehingga mereka dapat memperoleh utilitas maksimum dengan memilih untuk mengkonsumsi barang dalam jumlah berapa pun. Jika seseorang tidak terlalu menyukai hamburger, tidak ada alasan untuk mengalokasikan pendapatan apa pun untuk pembelian mereka. Kemungkinan ini tercermin dalam Gambar 4.4. Di sana utilitas dimaksimalkan pada E, di mana X = X* dan Y = 0—setiap titik pada batasan anggaran di mana jumlah positif Y dikonsumsi menghasilkan utilitas yang lebih rendah daripada titik E. Perhatikan bahwa pada E batasan anggaran tidak persis bersinggungan dengan kurva indiferen U2. Sebaliknya, pada titik optimal kendala anggaran lebih datar dari U2, menunjukkan bahwa tingkat di mana X dapat diperdagangkan untuk Y di pasar lebih rendah daripada tingkat trade-off psikis individu (MRS). Pada harga pasar yang berlaku individu lebih dari bersedia untuk memperdagangkan Y untuk mendapatkan tambahan X. Karena tidak mungkin dalam masalah ini untuk mengkonsumsi jumlah Y yang negatif, bagaimanapun, batas fisik untuk proses ini adalah sumbu X, sepanjang dimana pembelian Y adalah 0. Oleh karena itu, seperti yang dijelaskan dalam diskusi ini, perlu untuk mengubah kondisi orde pertama untuk utilitas maksimum sedikit untuk memungkinkan sudut



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan97



Solusi Sudut untuk Maksimalisasi Utilitas



GAMBAR 4.4



Dengan preferensi yang diwakili oleh rangkaian kurva indiferen ini, maksimalisasi utilitas terjadi pada E, di mana 0 jumlah barang Ydikonsumsi. Kondisi orde pertama untuk maksimum harus sedikit dimodifikasi untuk mengakomodasi kemungkinan ini.



Jumlah Y AS1 AS2



A



e X*



JumlahX



solusi dari jenis yang ditunjukkan pada Gambar 4.4. Berikut pembahasan kami tentang jenderal tersebut Nkasus -baik, kami akan menunjukkan bagaimana hal ini dapat dicapai.



Kasus n-Bagus Hasil yang diturunkan secara grafis dalam kasus dua barang dibawa langsung ke kasus n barang. Sekali lagi dapat ditunjukkan bahwa untuk utilitas maksimum interior, MRS antara dua barang harus sama dengan rasio harga barang-barang tersebut. Namun, untuk mempelajari kasus yang lebih umum ini, yang terbaik adalah menggunakan matematika. Kondisi Orde Pertama



Dengan n barang, tujuan individu adalah memaksimalkan utilitas dari n barang ini: utilitas = U(X1, X2, . . . , Xn),



(4.4)



tunduk pada kendala anggaran:3 SAYA= P1X1 + P2X 2 + . . . + Pn Xn



(4.5)



SAYA− P1X1 − P2X 2 − . . . − Pn Xn = 0.



(4.6)



atau



Sekali lagi, kendala anggaran telah ditulis sebagai persamaan di sini karena, mengingat asumsi ketidakpuasan, jelas bahwa individu akan membelanjakan semua pendapatan yang tersedia.



3



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan98



Mengikuti teknik yang dikembangkan di Bab 2 untuk memaksimalkan fungsi yang tunduk pada kendala, kami menyiapkan ekspresi Lagrangian L= U(X1, X 2, . . . , Xn) +H(I − P1X1 − P2 X 2 − . . − Pn Xn).



(4.7)



Atur turunan parsial dari L (terhadap X1, X2, . . , Xn dan λ) sama dengan 0 menghasilkan persamaan n + 1 yang mewakili kondisi yang diperlukan untuk maksimum interior: ∂L ∂U —=—−hP1 = 0 (4.8) ∂X1 ∂X1 ∂L ∂U —=—−hP2 = 0 ∂X ∂X2 2



. ∂L



∂U



—=—−hPn= 0 ∂Xn ∂X n ∂L —= I−P1X1−P2X2− ∂h



...



− Pn Xn = 0.



Persamaan n + 1 ini biasanya dapat diselesaikan untuk X1, X2, . . . , Xn dan untuk λ(lihat Contoh 4.1 untuk meyakinkan bahwa solusi semacam itu mungkin). Persamaan 4.8 diperlukan tetapi tidak cukup untuk maksimum. Kondisi orde kedua yang memastikan maksimum relatif kompleks dan harus dinyatakan dalam bentuk matriks (lihat Lampiran Bab 2). Namun, asumsi quasi-concavity yang ketat (MRS yang berkurang dalam kasus dua-baik) cukup untuk memastikan bahwa setiap titik yang mengikuti Persamaan 4.8 sebenarnya adalah maksimum yang sebenarnya. Implikasi Orde PertamaKondisi



Kondisi orde pertama yang diwakili oleh Persamaan 4.8 dapat ditulis ulang dalam berbagai cara yang menarik. Misalnya, untuk dua barang apa pun, Xi dan Xj, kita punya ∂U/∂Xi PSaya —=— . (4.9) ∂U/∂Xj PJ Tetapi di Bab 3 kami menunjukkan bahwa rasio utilitas marjinal dua barang sama dengan tingkat substitusi marjinal di antara mereka. Oleh karena itu, kondisi untuk alokasi pendapatan yang optimal menjadi MR (X untuk X) = P — Saya J Pj



Saya



.



(4.10)



Ini adalah persis hasil yang diperoleh sebelumnya dalam bab ini; untuk memaksimalkan utilitas, individu harus menyamakan tingkat pertukaran psikis dengan tingkat pertukaran pasar. Menafsirkan Lagrangian Multiplier



Hasil lain dapat diturunkan dengan menyelesaikan Persamaan 4.8 untuk λ: H=∂U/∂X1 =∂U/∂X2 = . . . =∂U/∂Xn



(4.11)



—Bab4— Maksimalisasi — Utilitas dan Pilihan99 P1 P2 Pn



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan100



atau MUx MUx X . H = —= — =. . . = MU — P2 Pn P1 1



N



2



Persamaan ini menyatakan bahwa pada titik maksimalisasi utilitas, setiap barang yang dibeli harus menghasilkan utilitas marjinal yang sama per dolar yang dibelanjakan untuk barang tersebut. Oleh karena itu, setiap barang harus memiliki rasio manfaat (marginal) terhadap biaya (marginal) yang identik. Jika ini tidak benar, satu barang akan menjanjikan lebih banyak “kenikmatan marjinal per dolar” daripada barang lainnya, dan dana tidak akan dialokasikan secara optimal. Meskipun pembaca sekali lagi diperingatkan untuk tidak berbicara dengan sangat percaya diri tentang utilitas marjinal, apa yang dikatakan Persamaan 4.11 adalah bahwa satu dolar ekstra harus menghasilkan "utilitas tambahan" yang sama tidak peduli barang apa yang dibelanjakan. Nilai bersama untuk utilitas ekstra ini diberikan oleh pengali Lagrangian untuk batasan anggaran konsumen (yaitu, dengan λ). Konsekuensinya, λ dapat dianggap sebagai utilitas marjinal dari dolar ekstra pengeluaran konsumsi (utilitas marjinal dari “pendapatan”). Salah satu cara terakhir untuk menulis ulang kondisi yang diperlukan untuk maksimum adalah P=



MUx



Saya



(4.12)



Saya —



H



untuk setiap barang i yang dibeli. Persamaan ini mengatakan bahwa untuk setiap barang yang dibeli individu, harga barang tersebut mewakili evaluasinya terhadap kegunaan unit terakhir yang dikonsumsi. Harganya jelas mewakili berapa banyak individu bersedia membayar untuk unit terakhir itu. Dalam Bab 5 (dan di tempat lain) kita akan menggunakan hasil ini dengan sangat baik ketika membahas nilai suatu barang bagi konsumen dan “surplus konsumen” yang diterima oleh beberapa pembeli ketika mereka mampu membeli barang dengan harga kurang dari jumlah maksimum yang mereka beli. akan bersedia membayar.



∂L ∂U —=—−λPi≤ 0 (i = 1 . . .n), ∂Xi ∂Xi



(4.13)



dan jika ∂L ∂U —=—−hpi< 0, ∂xi ∂Xi



(4.14)



Kemudian Xi= 0.



(4.15)



Secara formal, kondisi ini disebut kondisi “Kuhn-Tucker” untuk pemrograman nonlinear.Untuk sebuahpenjelasan lebih lengkap lihat AK Dixit, Optimalisasi dalam Teori Ekonomi, 2nd ed. (New York: Oxford University Press, 1990).



4



本页已使用福昕阅读器进行编辑。 福昕软件(C)2005-2009，版权所有 ，仅供试用。 Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan101



Untuk menafsirkan kondisi ini, kita dapat menulis ulang Persamaan 4.14 sebagai ∂U —— ∂X MUX Pi> i = —. —



(4.16)



Saya



H



H



Oleh karena itu, kondisi optimal adalah seperti sebelumnya, kecuali bahwa setiap barang yang harganya (Pi) melebihi nilai marjinalnya bagi konsumen (MUx /λ) tidak akan dibeli (Xi = 0). Dengan demikian, hasil matematis sesuai dengan gagasan akal sehat bahwa individu tidak akan membeli barang yang mereka yakini tidak bernilai uang. Meskipun solusi sudut tidak memberikan fokus utama untuk analisis kami dalam buku ini, pembaca harus mengingat kemungkinan munculnya solusi tersebut dan interpretasi ekonomi yang dapat dilampirkan pada kondisi optimal dalam kasus tersebut. S a y a



CONTOH 4.1



Fungsi Permintaan Cobb-Douglas



Seperti yang kami tunjukkan di Bab 3, fungsi utilitas Cobb-Douglas diberikan oleh AS(X, Y ) = XαYβ,



(4.17)



di mana, untuk kemudahan,5 kita asumsikan α + β = 1. Sekarang kita dapat memecahkan utilitas-memaksimalkan nilai X dan Y untuk setiap harga (PX, PY) dan pendapatan (I). Menyiapkan ekspresi Lagrangian L= XαYβ+H(Saya − PX X − PYY )



(4.18)



menghasilkan kondisi orde pertama ∂L —=αXα−1Yβ−hPX=0 ∂X



(4.19)



∂L —=βXαYβ−1−hPY= 0 ∂Y ∂L —= I − PX X − PYY = 0. ∂h Mengambil rasio dari dua istilah pertama menunjukkan bahwa αY PX —=— βX PY atau



(4.20)



β α PY= P X= 1 - P X, —X —X Y α α



(4.21)



di mana persamaan akhir mengikuti karena α + β = 1. Substitusi kondisi orde pertama pada Persamaan 4.21 ke dalam kendala anggaran memberikan 1-α — P X= P X 1 + SAYA= X P X+ Y PY = X P α X+



(



X



X



1 -α



)=



— α



1 PX; — α



(4.22)



X



Perhatikan bahwa eksponen dalam fungsi utilitas Cobb-Douglas selalu dapat dinormalisasi menjadi satu karena U1/(α+β)adalah transformasi monoton.



5



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan102



pemecahan untuk hasil X αI X* = — ; PX dan serangkaian manipulasi serupa akan diberikan βI Y* = — . PY



(4.23)



(4.24)



Hasil ini menunjukkan bahwa individu yang fungsi utilitasnya diberikan oleh Persamaan 4.17 akan selalu memilih untuk mengalokasikan α persendari pendapatannya untuk membeli barang X (yaitu, PX X/I = α) dan β persen untuk membeli barang Y (PYY/I = β). Meskipun fitur fungsi Cobb-Douglas ini sering membuatnya sangat mudah untuk menyelesaikan masalah sederhana, ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki keterbatasan dalam kemampuannya untuk menjelaskan perilaku konsumsi yang sebenarnya. Karena bagian pendapatan yang dikhususkan untuk barang-barang tertentu sering berubah secara signifikan sebagai respons terhadap perubahan kondisi ekonomi, bentuk fungsional yang lebih umum dapat memberikan wawasan yang tidak disediakan oleh fungsi Cobb-Douglas. Kami mengilustrasikan beberapa kemungkinan dalam Contoh 4.2. Contoh Numerik.Namun, pertama-tama, mari kita lihat contoh numerik khusus untuk



kasus Cobb-Douglas. Misalkan X menjual seharga $0,25 dan Y menjual seharga $1,00 dan pendapatan totalnya adalah $2,00. Singkatnya, asumsikan bahwa PX = 0,25, PY = 1, I = 2. Misalkan juga α = β = 0,5 sehingga individu tersebut membagi pendapatannya secara merata di antara kedua barang tersebut. Sekarang persamaan permintaan 4.23 dan 4.24 menyiratkan X* =αI/PX = .5I/PX = .5(2)/.25 = 4



(4.25)



Y* =βI/PY = .5I/PY = .5(2)/1 = 1 dan, pada pilihan optimal ini, Utilitas = X.5Y.5 = (4).5(1).5 = 2.



(4.26)



Perhatikan juga bahwa kita dapat menghitung nilai Lagrangian Multiplier yang terkait dengan alokasi pendapatan ini dengan menggunakan Persamaan 4.19: H=αXα—1Yβ/PX = 0,5(4)—.5(1).5/.25 = 1.



(4.27)



Nilai ini mengimplikasikan bahwa perubahan kecil dalam pendapatan menghasilkan perubahan utilitas yang besarnya kira-kira sama. Misalnya, jika pendapatan naik menjadi I = 2.1 (dengan PX dan PY tidak berubah), Persamaan 4.23 dan 4.24 memprediksi bahwa X* = 4.2, Y * = 1.05 dan tingkat utilitas yang baru adalah Utilitas = (4.2).5(1.05).5 = 2,10,



(4.28)



yang diprediksi oleh fakta bahwa λ = 1. PERTANYAAN:Apakah perubahan PY akan mempengaruhi jumlah X yang diminta



pada Persamaan 4.23? Jelaskan jawabanmu secara matematis. Juga kembangkan penjelasan intuitif berdasarkan gagasan bahwa bagian pendapatan yang dikhususkan untuk barang Y adalah konstanta yang diberikan oleh parameter fungsi utilitas, β.



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan103



CONTOH 4.2



Permintaan CES



Untuk mengilustrasikan kasus di mana bagian anggaran responsif terhadap keadaan ekonomi, mari kita lihat dua contoh spesifik dari fungsi CES. Pertama, asumsikan ∂ = 0,5 dalam fungsi CES. Kemudian utilitas diberikan oleh AS(X, Y)= X.5+ Y.5.



(4.29)



Menyiapkan ekspresi Lagrangian L= X.5 + Y.5 +H(Saya − PXX − PYY )



(4.30)



menghasilkan kondisi orde pertama berikut untuk maksimum: ∂L/∂X= 0,5X—.5 −hPX= 0



(4.31)



∂L/∂Y= 0,5Y −hPY= 0 —.5



∂L/∂h= I − PXX − PYY = 0. Pembagian dari dua yang pertama menunjukkan bahwa (Y/X ).5=PX/PY.



(4.32)



Dengan mensubstitusikan ini ke dalam kendala anggaran dan menggunakan beberapa manipulasi aljabar, cukup mudah untuk menurunkan fungsi permintaan yang terkait dengan fungsi utilitas ini: X* = I/PX [1 + (PX /PY)]



(4.33)



Y* = I/PY [1 + (PY/PX)].



(4.34)



Responsif Harga.Dalam fungsi permintaan ini, perhatikan bahwa bagian pendapatan



yang dibelanjakan, katakanlah, barang X—yaitu, PXX/I = 1/[1 + (PX/PY)]—tidak konstan, bergantung pada rasio harga PX/PY . Semakin tinggi harga relatif X, semakin kecil bagian pendapatan yang dibelanjakan untuk barang tersebut. Dengan kata lain, permintaan X sangat responsif terhadap harganya sendiri sehingga kenaikan harga mengurangi pengeluaran total untuk X. Bahwa permintaan X sangat responsif terhadap harga juga dapat diilustrasikan dengan membandingkan eksponen pada PX dalam fungsi permintaan diberikan oleh Persamaan 4.33 (—2) ke Persamaan 4.23 (—1). Dalam Bab 7 kita akan membahas pengamatan ini lebih lengkap ketika kita mempelajari konsep elastisitas secara rinci. Fungsi CES dengan Lebih Sedikit Substitusi.Alternatifnya, mari kita lihat fungsi



permintaan dengan substitusi yang lebih sedikit6 dibandingkan Cobb-Douglas. Jika ∂ = —1, fungsi utilitas diberikan oleh AS(X, Y ) = −X−1 − Y−1,



(4.35)



dan mudah untuk menunjukkan bahwa kondisi orde pertama untuk kebutuhan maksimum Y/X = (PX/PY).5.



(4.36)



Salah satu cara untuk mengukur substitusi adalah dengan elastisitas substitusi, yang untuk fungsi CES diberikan oleh σ = 1/(1 — ∂). Di sini ∂ = 0,5 menyiratkan σ = 2, ∂ = 0 (Cobb-Douglas) menyiratkan σ = 1, dan ∂= —1 menyiratkanσ= 0,5. Lihat juga pembahasan fungsi CES dalam kaitannya dengan teori produksi pada Bab 11.



6



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan104



Sekali lagi, substitusi kondisi ini ke dalam batasan anggaran, bersama dengan beberapa aljabar, menghasilkan fungsi permintaan X* = I/PX [1 + (PY/PX).5]



(4.37)



Y* = I/PY [1 + (PX/PY) ]. .5



Bahwa fungsi permintaan ini kurang responsif terhadap harga dapat dilihat dalam dua cara. Pertama, sekarang bagian pendapatan yang dibelanjakan untuk barang X— PXX I = 1/[1 + (PY/PX).5]—merespon secara positif peningkatan PX. Ketika harga X naik, individu ini hanya mengurangi sedikit pada barang X, jadi pengeluaran total untuk barang itu naik. Bahwa fungsi permintaan dalam Persamaan 4.37 kurang responsif terhadap harga daripada Cobb-Douglas juga diilustrasikan oleh eksponen yang relatif kecil dari harga masing-masing barang (-.5) dalam Persamaan 4.37. Secara keseluruhan, fungsi CES memungkinkan kita untuk mengilustrasikan berbagai kemungkinan hubungan antara dua barang.7 PERTANYAAN:Apakah perubahan pendapatan memengaruhi bagian pengeluaran di



salah satu fungsi CES yang dibahas di sini? Bagaimana perilaku bagian pengeluaran terkait dengan sifat homotetik dari fungsi ini?



Fungsi Utilitas Tidak Langsung Contoh 4.1 dan 4.2 mengilustrasikan prinsip bahwa seringkali dimungkinkan untuk memanipulasi kondisi orde pertama untuk masalah maksimalisasi utilitas terbatas untuk memecahkan nilai optimal X1, X2, . . . , Xn. Nilai optimal ini pada umumnya akan bergantung pada harga semua barang dan pada pendapatan individu. Itu adalah, X*1 =X1(P1, P2,. . . , Pn, saya )



(4.38)



X*2 = X2(P1, P2,. . . , Pn, saya ) . X*N = Xn(P1, P2,. . . , Pn, I ). Dalam bab-bab selanjutnya kita akan menganalisis secara lebih terperinci himpunan fungsi permintaan ini, yang menunjukkan ketergantungan kuantitas setiap Xi yang diminta pada P1, P2, . . . , Pn dan I. Di sini kita menggunakan nilai optimal Xs dari Persamaan 4.38 untuk menggantikan fungsi utilitas asli untuk menghasilkan maksimum kegunaan =AS(X*1,X*2,. . . , X*n) =AS[X*1(P1, P2,. . . , Pn, saya ), X*2(P1, P2,. . . , Pn, saya ), .. . X*n(P1, P2, . . , Pn, I )] = V(P1, P2, . . , Pn, I ).



Hubungan untuk fungsi CES ini dijelaskan lebih detail di Soal 4.9 dan di Ekstensi E4.3.



7



(4.39)



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan105



Dengan kata lain, karena keinginan individu untuk memaksimalkan utilitas, mengingat batasan anggaran, tingkat utilitas optimal yang diperoleh akan bergantung secara tidak langsung pada harga barang yang dibeli dan pada pendapatan individu. Ketergantungan ini direfleksikan oleh fungsi utilitas tidak langsung V. Jika harga atau pendapatan berubah, tingkat utilitas yang dapat dicapai juga akan terpengaruh. Kadang-kadang, baik dalam teori konsumen maupun dalam banyak konteks lainnya, adalah mungkin untuk menggunakan pendekatan tidak langsung ini untuk mempelajari bagaimana perubahan keadaan ekonomi mempengaruhi berbagai macam hasil, seperti utilitas atau (nanti dalam buku ini) biaya perusahaan. .



CONTOH 4.3



Utilitas Tidak Langsung di Cobb-Douglas



Dalam ilustrasi numerik Contoh 4.1 kami menemukan (Persamaan 4.25) SAY X* = A — 2P Y* = X SAY A — . 2P Y



(4.40)



Mengganti ini ke dalam fungsi utilitas memberi utilitas maksimum = U(X*, Y*) = (X*) .5(Y*).5 SAY A =— 2P X SA YA



S A Y A — 2P Y



(4.41)



( )( ) .5



.5



= — .5 . .5



(4.42)



2P XPY Dengan I = 2, PX = .25 dan PY = 1, Persamaan 4.42 menunjukkan bahwa utilitas maksimum dapat dihitung secara tidak langsung sebagai 2 utilitas maksimum = — .5 = 2, — 2(0,25)(1). 5



(4.43)



yang merupakan nilai yang sama dengan yang kita peroleh dari fungsi utilitas langsung. Secara lebih umum, perhatikan Persamaan 4.42 bahwa kenaikan pendapatan meningkatkan utilitas (tidak langsung), sedangkan kenaikan salah satu harga menyebabkan utilitas turun. Dengan menyatakan utilitas sebagai fungsi dari "kekuatan luar" seperti harga dan pendapatan, adalah mungkin untuk mempelajari secara eksplisit efek kekuatan ini pada kesejahteraan. Prinsip Lump Sum.Konsep utilitas tidak langsung sangat berguna untuk mempelajari



dampak pajak pada utilitas individu. Sebagai contoh, sangat mudah untuk



Bab4bahwa pajak Maksimalisasi Utilitas danmengurangi Pilihan106 mengilustrasikan prinsip “sekaligus” pendapatan umum utilitas ke tingkat yang lebih kecil daripada pajak komoditas tunggal yang menghasilkan pendapatan yang sama kepada pemerintah. Dalam kasus ini, misalkan pemerintah mengadopsi pajak pendapatan sebesar $0,50. Persamaan 4.43 menunjukkan bahwa ini akan mengurangi utilitas tidak langsung individu dari 2,00 menjadi 1,50. Pajak atas barang X sebesar $0,25 akan menaikkan pendapatan yang sama, karena Persamaan 4.25 menunjukkan bahwa ketika PX naik dari $0,25 menjadi $0,50, pembelian turun



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan107



sampai 2. Oleh karena itu, pungutan pajak adalah $0,50. Dengan pajak penjualan, utilitas tidak langsung individu sekarang utilitas maksimum =



SAY = A .5 — .5



2 — —.5



2P XPY



2(0,50) (1)



.5



= 1,41,



(4.44)



yang jatuh pendek utilitas di bawah pajak penghasilan. Alasannya adalah pajak penjualan mengubah pilihan individu dalam dua cara—dengan mengurangi daya beli dan dengan mengubah harga relatif. Pajak penghasilan hanya memiliki efek pertama dan karena itu kurang berbahaya. Materi tambahan terkait prinsip lump sum dibahas pada Soal 4.7 dan 4.8. PERTANYAAN:Utilitas tidak langsungfungsi dalam Persamaan 4.42 menunjukkan



bahwa penggandaandatang dan semua harga membuat utilitas tidak berubah. Jelaskan mengapa itu adalah sifat umum dari semua fungsi utilitas tidak langsung.



Minimalisasi Pengeluaran Dalam Bab 2 kami menunjukkan bahwa banyak masalah maksimum terkendala telah mengasosiasikan masalah minimum "ganda" yang terkendala. Untuk kasus maksimisasi utilitas, masalah minimisasi ganda terkait menyangkut pengalokasian pendapatan sedemikian rupa untuk mencapai tingkat utilitas tertentu dengan pengeluaran minimal. Masalah ini jelas analog dengan masalah pemaksimalan utilitas utama, tetapi tujuan dan batasan masalah telah dibalik. Gambar 4.5 mengilustrasikan masalah minimisasi pengeluaran ganda ini. Di sana individu harus mencapai tingkat utilitas U2—sekarang ini adalah kendala dalam masalah. Tiga jumlah pengeluaran yang mungkin (E1, E2, dan E3) ditunjukkan sebagai tiga garis “kendala anggaran” pada gambar. Tingkat pengeluaran E1 jelas terlalu kecil untuk mencapai U2, sehingga tidak dapat menyelesaikan masalah ganda. Dengan pengeluaran yang diberikan oleh E3, individu dapat mencapai U2 (di salah satu dari dua titik B atau C), tetapi ini bukanlah tingkat pengeluaran minimal yang diperlukan. Sebaliknya, E2 dengan jelas memberikan total pengeluaran yang cukup untuk mencapai U2 (pada titik A), dan ini sebenarnya adalah solusi untuk masalah ganda. Dengan membandingkan Gambar 4.2 dan 4.5, jelaslah bahwa baik pendekatan pemaksimalan utilitas utama maupun pendekatan peminimalan pengeluaran ganda menghasilkan solusi yang sama (X*, Y*)—keduanya hanyalah cara alternatif untuk melihat proses yang sama. Seringkali pendekatan minimalisasi-pengeluaran lebih bermanfaat, karena pengeluaran dapat diamati secara langsung, sedangkan utilitas tidak. dan ini sebenarnya adalah solusi untuk masalah ganda. Dengan membandingkan Gambar 4.2 dan 4.5, jelaslah bahwa baik pendekatan pemaksimalan utilitas utama maupun pendekatan peminimalan pengeluaran ganda menghasilkan solusi yang sama (X*, Y*)—keduanya hanyalah cara alternatif untuk melihat proses yang sama. Seringkali pendekatan minimalisasi-pengeluaran lebih bermanfaat, karena pengeluaran dapat diamati secara langsung, sedangkan utilitas tidak. dan ini sebenarnya adalah solusi untuk masalah ganda. Dengan membandingkan Gambar 4.2 dan 4.5, jelaslah bahwa baik pendekatan pemaksimalan utilitas utama maupun pendekatan peminimalan pengeluaran ganda menghasilkan solusi yang sama (X*, Y*)—keduanya hanyalah cara alternatif untuk melihat proses yang sama. Seringkali pendekatan minimalisasi-pengeluaran lebih bermanfaat, karena pengeluaran dapat diamati secara langsung, sedangkan utilitas tidak. Pernyataan Matematika



Bab4 Maksimalisasiganda Utilitasindividu dan Pilihan108 Secara lebih formal, masalah minimalisasi pengeluaran adalah memilih X1, X2, . . . , Xn sehingga meminimalkan total pengeluaran = E = P1X1 + P2X2 + . . . + PnXn,



(4.45)



tunduk pada kendala utilitas = U2 = U(X1, X2, . . . , Xn).



(4.46)



Bab4 GAMBAR 4.5



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan109



Masalah Minimisasi Pengeluaran Ganda Individu



Dual dari masalah maksimalisasi utilitas individu adalah untuk mencapai tingkat utilitas tertentu (U 2) dengan pengeluaran minimal. Tingkat pengeluaran E1tidak mengizinkan U2dicapai, sedangkan E3memberikan lebih banyak daya beli daripada yang benar-benar diperlukan. Dengan pengeluaranE2individu hanya dapat mencapai U2dengan mengkonsumsi X* dan Y*.



Jumlah Y



B e3



e2 Y*



A



e1



A S



X*



JumlahX



Jumlah optimal X1, X2, . . . , Xn yang dipilih dalam soal ini akan bergantung pada harga berbagai barang (P1, P2, . . , Pn) dan pada tingkat utilitas U2 yang dibutuhkan. Jika ada harga yang berubah atau jika individu memiliki “target” utilitas yang berbeda, bundel komoditas lainnya akan optimal. Ketergantungan ini dapat diringkas dengan fungsi pengeluaran.



Fungsi PengeluaranFungsi pengeluaran individu menunjukkan pengeluaran minimal yang diperlukan untuk mencapai tingkat utilitas tertentu untuk seperangkat harga tertentu. Itu adalah, pengeluaran minimal = E(P1, P2, . . . , Pn, U ).



(4.47)



Definisi ini menunjukkan bahwa fungsi pengeluaran dan fungsi utilitas tidak langsung merupakan fungsi invers satu sama lain (bandingkan Persamaan 4.39 dan 4.47). Keduanya bergantung pada harga pasar tetapi melibatkan kendala yang berbeda (pendapatan atau utilitas). Pada bab selanjutnya kita akan melihat bagaimana hubungan ini cukup berguna untuk memungkinkan kita mengkaji teori tentang bagaimana individu menanggapi perubahan harga.



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan110



CONTOH 4.4



Fungsi Pengeluaran dari Cobb-Douglas



Kembali lagi ke fungsi utilitas Cobb-Douglas, masalah ganda individu adalah meminimalkan e= PXX + PYY



(4.48)



tunduk pada kegunaan =AS¯ =X.5Y .5,



(4.49)



Di manaAS¯ adalah itu kegunaantarget. Ekspresi Lagrangian untuk masalah ini adalah L = PX X + PYY + H(U¯ −X.5Y .5),



(4.50)



dan kondisi orde pertama untuk minimum adalah ∂L —= PX− .5hX−.5Y.5= 0 ∂X ∂L —= PY− .5hX ∂Y



(4.51)



Y −.5= 0



.5



∂L — =AS¯ − X .5Y.5 = 0. ∂h Ini sekali lagi dapat diselesaikan dengan memindahkan suku-suku dalam λ ke kanan dan membaginya: .5hX.5Y−.5 PY —=——=— .5hX−.5Y.5 PX



X Y



(4.52)



atau PX X= PYY,



(4.53)



yang persis sama dengan kondisi orde pertama yang kita miliki sebelumnya (lihat Persamaan 4.21 dengan α = β = .5). Sekarang, bagaimanapun, kita ingin menyelesaikan pengeluaran sebagai fungsi dari PX, PY, dan U—yaitu, kita ingin mengeliminasi X dan Y dari Persamaan 4.48. Ini akan memberi kita jenis fungsi pengeluaran yang kita definisikan sebelumnya di bagian ini. Meskipun aljabar di sini tidak sulit, penting untuk mengingat tujuan ini karena mudah menjadi bingung apakah Anda telah menemukan solusinya. Mengganti Persamaan 4.53 ke dalam fungsi pengeluaran menghasilkan e= PX X* + PYY* = 2PX X*



(4.54)



e X* = — 2P X



(4.55)



Jadi



Dan,demikian pula,



e Y* = —



2PY



Bab4 .



(4.56)



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan111



Bab4 Tapi, target utilitas membutuhkan



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan112



A S ¯ = (X*).5(Y*).5,



(4.57)



Jadi A S ¯=



Oleh karena itu, kami memiliki fungsi



( )( ) e .5 e — — 2PX 2P Y



.5



e = — .5.5 2P XPY



e = 2UP .5P .5 XY



.



(4.58)



(4.59)



sebagai itu minimum pengeluaran diperlukan untuk mencapai U¯. Jika, seperti sebelumnya, U¯ = 2, PX = 0,25, dan PY = 1, kita memiliki pengeluaran yang diperlukan sebesar e= 2(2)(0,25).5(1).5 = 2.



(4.60)



Perhatikan ini adalah nilai asli pendapatan yang kita gunakan untuk memulai masalah ini. Kita tahu bahwa tingkat pendapatan ini memang cukup untuk mencapai tingkat utilitas 2. Tentu saja, seperti yang ditunjukkan oleh fungsi pengeluaran pada Persamaan 4.59, target utilitas yang lebih tinggi akan membutuhkan pengeluaran yang lebih besar. Demikian pula, peningkatan PX atau PY juga akan membutuhkan pengeluaran yang lebih besar untuk mencapai target utilitas tertentu. Tanpa pengeluaran tambahan seperti itu, target utilitas harus dikurangi—keadaan individu akan menjadi lebih buruk. Dilihat dengan cara lain, fungsi pengeluaran menunjukkan berapa banyak daya beli ekstra yang dibutuhkan orang ini untuk mengkompensasi kenaikan harga barang. Dalam bab selanjutnya kita akan menggunakan beberapa properti fungsi ini. PERTANYAAN: Penggandaan PX dan PY dalam Persamaan 4.59 justru akan



menggandakan pengeluarandiperlukan untuk mencapai U¯. Secara teknis, fungsi ini “homogen derajat satu” dalam harga dua barang (lihat catatan kaki 1 di Bab 5). Apakah ini properti dari semua fungsi pengeluaran?



Ringkasan Dalam bab ini kita menguji model ekonomi dasar dari maksimalisasi utilitas yang tunduk pada kendala anggaran. Meskipun kami mendekati masalah ini dengan berbagai cara, semua pendekatan ini mengarah pada hasil dasar yang sama: • Untuk mencapai maksimum yang dibatasi, seorang individu harus membelanjakan semua pendapatan yang tersedia dan harus memilih kumpulan komoditas sedemikian rupa sehingga MRS antara dua barang sama dengan rasio harga pasar barang tersebut. Garis singgung dasar ini akan mengakibatkan individu menyamakan rasio utilitas marjinal dengan harga pasar untuk setiap barang yang benar-benar dikonsumsi. Hasil seperti itu biasa terjadi pada sebagian besar masalah pengoptimalan terbatas. • Namun, kondisi tangensi hanyalah kondisi orde pertama untuk maksimum terkendala. Untuk memastikan bahwa kondisi ini juga mencukupi, peta kurva indiferensi individu harus menunjukkan MRS yang semakin berkurang. Dalam istilah formal, fungsi utilitas harus benar-benar setengah cekung. • Kondisi singgung juga harus dimodifikasi untuk memungkinkan solusi sudut di mana tingkat konsumsi optimal beberapa barang adalah nol. Dalam hal ini,



Bab4



•



•



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan113



rasio utilitas marjinal terhadap harga untuk barang semacam itu akan berada di bawah rasio manfaat marjinal-biaya marjinal umum untuk barang yang benarbenar dibeli. Konsekuensi dari asumsi maksimisasi utilitas terbatas adalah bahwa pilihan optimal individu akan bergantung secara implisit pada parameter kendala anggarannya. Artinya, pilihan yang diamati akan menjadi fungsi implisit dari semua harga dan pendapatan. Oleh karena itu utilitas juga akan menjadi fungsi tidak langsung dari parameter ini. Dual dari masalah maksimalisasi utilitas terbatas adalah meminimalkan pengeluaran yang diperlukan untuk mencapai target utilitas tertentu. Meskipun pendekatan ganda ini menghasilkan solusi optimal yang sama dengan masalah maksimum terkendala primal, ini juga menghasilkan wawasan tambahan ke dalam teori pilihan. Secara khusus, pendekatan ini mengarah pada fungsi pengeluaran di mana pengeluaran yang diperlukan untuk mencapai target utilitas tertentu bergantung pada harga pasar barang.



Masalah 4.1 Setiap hari Paul, yang duduk di kelas tiga, makan siang di sekolah. Dia hanya menyukai Twinkies (T ) dan Orange Slice (S), dan ini memberinya kegunaan utilitasy =U(T,S) = √¯TS. a. b.



Jika Twinkies masing-masing berharga $0,10 dan Slice seharga $0,25 per cangkir, bagaimana seharusnya Paul membelanjakan $1 yang diberikan ibunya untuk memaksimalkan kegunaannya? Jika sekolah mencoba untuk mencegah konsumsi Twinkie dengan menaikkan harga menjadi $0,40, berapa banyak ibu Paul harus menaikkan tunjangan makan siangnya untuk memberinya tingkat utilitas yang sama seperti yang dia terima di bagian (a)? Berapa banyak Twinkies dan cangkir Slice yang akan dia beli sekarang (dengan asumsi bahwa kedua barang ini dapat dibeli dalam jumlah pecahan)?



4.2 a. Seorang ahli muda memiliki $300 untuk dibelanjakan untuk membangun gudang anggur kecil. Dia menikmati dua minuman anggur khususnya: French Bordeaux (WF) tahun 1987 yang mahal dengan harga $20 per botol dan anggur varietas California (WC) tahun 1993 yang lebih murah dengan harga $4. Berapa banyak dari setiap anggur yang harus dia beli jika utilitasnya dicirikan oleh fungsi berikut? AS(WF , WC) = W2/3W1/3. F



b.



C



Ketika dia tiba di toko anggur, ahli oenologi muda kami menemukan bahwa harga Bordeaux Prancis tahun 1987 telah turun menjadi $10 per botol karena penurunan nilai franc. Jika harga anggur California tetap stabil pada $4 per botol, berapa banyak dari setiap anggur yang harus dibeli teman kita untuk memaksimalkan utilitas dalam kondisi yang berubah ini?



4.3 a. Pada malam tertentu JP menikmati konsumsi cerutu (C ) dan brandy (B) sesuai fungsinya AS(C, B) = 20C − C2+18B−3B2.



b.



Berapa banyak cerutu dan gelas brendi yang dia konsumsi pada malam hari? (Biaya bukan masalah bagi JP) Namun akhir-akhir ini, JP disarankan oleh dokternya untuk membatasi jumlah brendi dan cerutu yang dikonsumsi menjadi 5. Berapa gelas brendi dan cerutu yang akan dia konsumsi dalam keadaan ini?



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan114



4.4 a. Tuan Odde Ball menikmati komoditi X dan Y sesuai dengan fungsi utilitasnya AS(X, Y ) = √X¯2 +Y¯2.



b.



Maksimalkan kegunaan Mr. Balljika PX = $3, PY = $4, dan dia memiliki $50 untuk dibelanjakan. Petunjuk:Mungkin lebih mudah di sini untuk memaksimalkan U2daripada U. Mengapa ini tidak mengubah hasil Anda? Grafik kurva indiferen Mr. Ball dan titik singgungnya dengan batasan anggarannya. Apa yang dikatakan grafik tentang perilaku Tn. Ball? Sudahkah Anda menemukan maksimum yang sebenarnya?



4.5 Tuan A memperoleh utilitas dari martini (M ) sebanding dengan jumlah yang dia minum: AS(M) = M . Tuan A sangat khusus tentang martininya, namun: Dia hanya menikmatinya dibuat dalam proporsi yang tepat dari dua bagian gin (G ) dengan satu bagian vermouth (V ). Oleh karena itu, kita dapat menulis ulang fungsi utilitas Tn. A sebagai G AS(M) = U(G, V ) = min— , V . 2



(



a. b. c. d.



)



Grafik kurva indiferen Mr. A dalam bentuk G dan V untuk berbagai tingkat utilitas. Tunjukkan bahwa terlepas dari harga kedua bahan tersebut, Tn. A tidak akan pernah mengubah cara dia mencampur martini. Hitung fungsi permintaan untuk G dan V. Dengan menggunakan hasil dari bagian (b), apakah fungsi utilitas tidak langsung Tn. A? Hitung fungsi pengeluaran Tn. A; untuk setiap tingkat utilitas, tunjukkan pengeluaran sebagai fungsi dari PG dan PV. Petunjuk:Karena masalah ini melibatkan fungsi utilitas proporsi tetap, Anda tidak dapat menyelesaikan keputusan memaksimalkan utilitas dengan menggunakan kalkulus.



4.6 A.Misalkan seorang pecandu makanan cepat saji memperoleh utilitas dari tiga barang: minuman ringan (X), hamburger (Y), dan es krim sundae (Z) menurut fungsi utilitas CobbDouglas AS(X, Y, Z) = X.5Y.5(1 + Z).5. Misalkan juga harga barang-barang ini diberikan oleh PX = 0,25, PY = 1, dan PZ = 2 dan pendapatan konsumen ini diberikan oleh I = 2. a. Tunjukkan bahwa untuk Z = 0, maksimalisasi utilitas menghasilkan pilihan optimal yang sama seperti pada Contoh 4.1. Tunjukkan juga bahwa setiap pilihan yang menghasilkan Z > 0 (bahkan untuk pecahan Z) mengurangi utilitas dari optimum ini. b. Bagaimana Anda menjelaskan fakta bahwa Z = 0 optimal di sini? (Petunjuk: Pikirkan tentang rasio MUz/Pz.) c. Seberapa tinggi pendapatan individu ini agar Z dapat dibeli? 4.7 Dalam Contoh 4.3 kami menggunakan fungsi utilitas tidak langsung tertentu untuk mengilustrasikan prinsip lump sum bahwa pajak penghasilan mengurangi utilitas ke tingkat yang lebih rendah daripada pajak penjualan yang menghasilkan pendapatan yang sama. Di sini Anda diminta untuk: a. Perlihatkan hasil ini secara grafis untuk kasus dua kebaikan dengan menunjukkan kendala anggaran yang harus ada di bawah setiap pajak. (Petunjuk: Pertama-tama gambarkan kasus pajak penjualan. Kemudian tunjukkan bahwa batasan anggaran untuk pajak penghasilan yang mengumpulkan pendapatan yang sama harus melewati titik yang dipilih di bawah pajak penjualan tetapi akan menawarkan opsi yang lebih disukai individu.) b. Tunjukkan bahwa jika seseorang mengkonsumsi dua barang dalam proporsi tetap, prinsip lump sum tidak berlaku karena kedua pajak mengurangi utilitas dengan jumlah yang sama. c. Diskusikan apakah prinsip lump sum berlaku untuk banyak kasus juga.



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan115



4.8 Prinsip lump sum yang dibahas dalam Contoh 4.3 juga dapat diterapkan pada transfer, tetapi dalam kasus ini akan lebih mudah menggunakan fungsi pengeluaran. a. Pertimbangkan fungsi pengeluaran yang diberikan oleh Persamaan 4.59 pada Contoh 4.4. Berapa biaya yang harus dikeluarkan pemerintah (dalam hal pengeluaran ekstra untuk orang ini) untuk meningkatkan utilitas dari 2,0 menjadi 2,5 dengan harga yang tidak berubah? Jika pemerintah ingin mengizinkan individu untuk mencapai target utilitas yang sama dengan mensubsidi harga hamburger, berapa subsidi hamburgernya? Berapa biaya subsidi semacam itu bagi pemerintah? b. Jelaskan secara intuitif dan dengan grafik mengapa transfer pendapatan pada bagian (a) terbukti sebagai cara yang lebih murah untuk meningkatkan utilitas daripada subsidi hamburger. c. Apakah biaya transfer lump sum yang lebih rendah merupakan hasil umum yang juga berlaku untuk banyak kasus? 4.9 Fungsi utilitas CES umum diberikan oleh X∂ Y∂ AS(X, Y ) =—+— . ∂ ∂ a.



Tunjukkan bahwa kondisi orde pertama untuk utilitas maksimum yang dibatasi dengan fungsi ini mengharuskan individu untuk memilih barang dalam proporsi X PX 1



( )



b. c.



— . Y = — P Y Tunjukkan bahwa hasil pada bagian (a) mengimplikasikan bahwa individu akan mengalokasikan dana mereka secara merata antara X dan Y untuk kasus Cobb-Douglas (∂ = 0), seperti yang telah kami tunjukkan sebelumnya dalam beberapa soal. Bagaimana rasio PXX/PYY bergantung pada nilai ∂? Jelaskan hasil Anda secara intuitif. (Untuk perincian lebih lanjut tentang fungsi ini, lihat Ekstensi E4.3.) ∂−1



4.10 Misalkan individu membutuhkan tingkat makanan tertentu (X) untuk tetap hidup. Biarkan jumlah ini diberikan oleh X0. Setelah X0 dibeli, individu memperoleh utilitas dari makanan dan barang lain (Y) dalam bentuk tersebut AS(X, Y ) = (X − X 0)αYβ di mana α + β = 1. a. Tunjukkan bahwa jika I > PXX0 individu akan memaksimumkan utilitas dengan membelanjakan α(I — PXX0) + PXX0 pada barang X dan β(I — PXX0) pada barang Y. b. Bagaimana rasio PXX/I dan PYY/I berubah ketika pendapatan meningkat dalam soal ini? (Lihat juga Ekstensi E4.2.)



Bacaan yang Disarankan Barten, AP, dan Volker Bohm. "Teori Konsumen." Dalam KJ Arrow dan MD Intriligator, eds., Handbook of Mathematical Economics. Vol. II. Amsterdam: Belanda Utara, 1982. Bagian 10 dan 11 memiliki ringkasan padat dari banyak konsep yang tercakup dalam bab ini. Deaton, A., dan J. Muelbauer. Ekonomi dan Perilaku Konsumen. Cambridge: Cambridge University Press, 1980. Bagian 2.5 memberikan perlakuan geometris yang bagus untuk konsep dualitas. Dixit, Optimasi AK dalam Teori Ekonomi. Oxford: Oxford University Press, 1990. Bab 2 menyajikan beberapa analisis Lagrangian yang berfokuspada fungsi utilitas Cobb-Douglas. Hicks, Nilai JRdan Modal.Oxford: Clarendon Press, 1946. Bab II dan Lampiran Matematika memberikan beberapa saran awal tentang pentingnya pengeluaranfungsi.



Mas-Colell, A., MD Whinston, dan JR Green. Teori Ekonomi Mikro. Oxford: Oxford University Press, 1995. Bab 3 berisi analisis menyeluruh tentang utilitas dan fungsi pengeluaran. Samuelson, Paul A. Yayasan Analisis Ekonomi. Cambridge: Harvard University Press, 1947. Bab V dan Apendiks A memberikan analisis singkat tentang kondisi orde pertama untuk utilitas maksimum. Itulampiran memberikan cakupan yang baik dari kondisi orde kedua. Silberberg, E. StrukturEkonomi: Analisis Matematika.edisi ke-2. New York: McGraw-Hill, 1990. Bermanfaat,meskipun cukup sulit, pengobatan dualitas dalam teori konsumen. Theil, H. Teoridan Pengukuran Permintaan Konsumen.Amsterdam: Belanda Utara, 1975. Ringkasan yang baik dari teori dasar permintaan bersama dengan implikasi untuk estimasi empiris. Varian, Analisis Ekonomi Mikro SDM. edisi ke-3. New York: WW Norton, 1992. Bagian 7.3–7.4 merangkum hubungan antara fungsi utilitas dan fungsi pengeluaran.



Bab4



Maksimalisasi Utilitas dan Pilihan 113



EKSTENSI



Fungsi Utilitas dan Bagian Anggaran Karena data tentang pembagian anggaran sudah tersedia dari studi tentang pola konsumsi individu, data tersebut dapat digunakan untuk memperjelas preferensi yang mendasarinya. Di sini kita melihat tiga fungsi utilitas khusus dan menunjukkan bahwa mereka telah digunakan untuk mempelajari bagian anggaran. Sepanjang diskusi kita, kita hanya akan mempertimbangkan kasus dua barang (X dan Y), meskipun sebagian besar hasil mudah digeneralisasikan ke banyak barang. Mengikuti notasi biasa, bagian pendapatan yang diabdikan untuk barang X(PXX/I) akan dilambangkan dengan sX dan sY = 1 — sX. Sebelum memulai, hubungan antara pembagian anggaran dan preferensi homotetik harus disebutkan. Dalam Bab 3 kami menunjukkan bahwa untuk fungsi utilitas homotetik, MRS hanya bergantung pada rasio Y/X, bukan pada tingkat absolut barang. Karena maksimisasi utilitas mensyaratkan MRS = PX/PY untuk fungsi homotetik, rasio harga akan menentukan rasio Y/X. Oleh karena itu, bagian anggaran itu sendiri akan ditentukan semata-mata oleh harga relatif. Jika harga relatif tidak berubah, bagian anggaran tidak akan berubah meskipun pendapatan berfluktuasi. Contoh fungsi homotetis kami (Cobb-Douglas dan CES) mengilustrasikan hasil ini, sedangkan Sistem Pengeluaran Linier menunjukkan mengapa fungsi nonhomotetik mungkin lebih disukai dalam beberapa keadaan. E4.1 Utilitas Cobb-Douglas Jika fungsi utilitas memiliki bentuk Cobb-Douglas U(X, Y ) = XαYβ, (S



aya) maka Contoh 4.2 permintaan adalah



menunjukkan X=αI/PX



bahwa



fungsi (ii)



Y=βI/PY. Karena itu,



sX= PXX/L =α (ak u aku aku) sy= PYY/I =β



dan bagian anggaran konstan untuk semua kemungkinan harga relatif. Meskipun fitur CobbDouglas ini merupakan salah satu alasan popularitasnya dalam studi produksi (lihat Bab 11), ia membatasi kesesuaiannya untuk studi konsumsi. Pangsa anggaran dalam konsumsi tampaknya tidak konstan di bawah keadaan ekonomi yang berubah. Makanan Sejak studi perintis Ernst Engel pada pertengahan abad ke-19, para ekonom telah



tertarik pada bagian pendapatan yang dicurahkan konsumen untuk pembelian makanan. Secara harfiah, ribuan penelitian telah menegaskan bahwa bagian ini memang dipengaruhi oleh keadaan. Data pembagian makanan tidak hanya menunjukkan Hukum Engel (∂sX /∂I < 0), tetapi juga menjelaskan banyak aspek lain dari perilaku konsumen. Sebagai contoh, Hayashi (1995) menunjukkan bahwa bagian pendapatan yang dikhususkan untuk makanan yang disukai oleh orang tua secara signifikan lebih besar di rumah tangga dua generasi di Jepang daripada rumah tangga satu generasi. Altruisme tampaknya menjadi fitur penting dari keluarga besar di Jepang. Ekonom pembangunan terkadang membuat perbedaan antara bagian pendapatan yang dikhususkan untuk makanan dan bagian pendapatan yang dikhususkan untuk nutrisi. Pada prinsipnya, bagian pendapatan nutrisi mungkin atau mungkin tidak mengikuti Hukum Engel untuk orang termiskin di negara maju. Jika individu memilih makanan yang semakin kaya nutrisi saat pendapatan mereka meningkat, pada margin porsi nutrisi akan melebihi porsi makanan dalam total pendapatan. Di sisi lain, jika individu memilih makanan yang miskin nutrisi saat pendapatan meningkat, situasinya akan terbalik. Behrman (1989) menyajikan bukti bahwa permintaan individu akan variasi makanan yang meningkat saat pendapatan meningkat dapat mengganggu kemampuan perbaikan ekonomi secara umum untuk meningkatkan asupan gizi segmen termiskin dari populasi. E4.2 Sistem Pengeluaran Linear Generalisasi fungsi Cobb-Douglas yang menggabungkan gagasan bahwa jumlah minimal tertentu dari setiap barang harus dibeli oleh individu (X0, Y0) adalah fungsi utilitas AS(X, Y ) = (X − X0)α(Y − Y0)β



(iv)



untuk nilai X ≥ X0 dan Y ≥ Y0 dan lagi α + β = 1. Fungsi permintaan dapat diturunkan dari utilitas ini fungsi dengan cara yang analog dengan kasus CobbDouglas dengan memperkenalkan konsep pendapatan supernumerary (I*), yang mewakili jumlah daya beli yang tersisa setelah membeli bundel minimum SAYA* = I−PXX0−PYY0.



(v)



Dengan menggunakan notasi ini, maka fungsi permintaannya adalah X = (PXX0 + αI*)/PX (vi) Y= (PYY0 +βI*)/PY . Dalam hal ini, individu membelanjakan sebagian kecil pendapatan supernumerary secara konstan untuk setiap barang satu kali



114B a g i a n I I



Pilihan dan Permintaan



bundel minimum telah dibeli. Manipulasi Persamaan vi menghasilkan persamaan pembagian: sX=α+ (βPXX0 −αPYY0)/SAYA



(vii)



sy=β+ (αPYY0 −βPXX0)/SAYA, yang menunjukkan bahwa sistem permintaan ini tidak homotetis. Inspeksi Persamaan vii menunjukkan hasil yang mengejutkan bahwa porsi anggaran suatu barang berhubungan positif dengan jumlah minimal barang yang dibutuhkan dan berhubungan negatif dengan jumlah minimal barang lain yang dibutuhkan. Karena gagasan pembelian yang diperlukan tampaknya sesuai dengan pengamatan dunia nyata, sistem pengeluaran linier (LES) ini, yang pertama kali dikembangkan oleh Stone (1954), digunakan secara luas dalam studi empiris. Pembelian Tradisional Salah satu penggunaan LES yang paling menarik adalah untuk menguji bagaimana gagasannya tentang pembelian yang diperlukan berubah ketika kondisi berubah. Sebagai contoh, Oczkowski dan Philip (1994) mempelajari bagaimana akses ke barang-barang konsumen modern dapat mempengaruhi bagian pendapatan yang dicurahkan individu dalam ekonomi transisi untuk barang-barang lokal tradisional. Mereka menunjukkan bahwa penduduk desa Papua Nugini mengurangi bagian tersebut secara signifikan karena barang dari luar semakin mudah diakses. Oleh karena itu, perbaikan seperti jalan yang lebih baik untuk memindahkan barang merupakan salah satu jalur utama yang melemahkan praktik budaya tradisional.



Y∂



AS(X, Y) =—+—



∂



(viii)



∂



untuk ∂ ≤ 1, ∂ 0. Penggunaan utama inifungsinya adalah untuk mengilustrasikan kemungkinan substitusi alternatif (sebagaimana tercermin dalam nilai parameter ∂). Bagian anggaran yang tersirat oleh fungsi utilitas ini memberikan sejumlah wawasan semacam itu. Manipulasi kondisi orde pertama untuk utilitas maksimum yang dibatasi dengan fungsi CES menghasilkan persamaan pembagian sX= 1/[1 + PY/PX) K]



(ix)



sy= 1/[1+ (PX/PY)K] di mana K = ∂/(∂ — 1). Sifat homotetik dari fungsi CES ditunjukkan oleh fakta bahwa ekspresi pembagian ini bergantung hanya pada rasio harga, PX/PY. Perilaku saham di



Amerika UtaraPerdagangan bebas Fungsi permintaan CES paling sering digunakan dalam model komputer skala besar ekuilibrium umum (lihat Bab 16) yang digunakan para ekonom untuk mengevaluasi dampak perubahan ekonomi besar. Karena model CES menekankan bahwa saham merespons perubahan harga relatif, sangat tepat untuk melihat inovasi seperti perubahan kebijakan pajak atau pembatasan perdagangan internasional di mana perubahan harga relatif sangat mungkin terjadi. Salah satu bidang penelitian penting baru-baru ini adalah tentang dampak Perjanjian Perdagangan Bebas Amerika Utara untuk Kanada, Meksiko, dan Amerika Serikat. Secara umum, model-model ini menemukan bahwa semua negara yang terlibat mungkin diharapkan memperoleh keuntungan dari kesepakatan tersebut, tetapi keuntungan Meksiko mungkin yang terbesar karena mengalami perubahan terbesar dalam harga relatif.8 Referensi Behrman, Jere R. “Apakah Variasi adalah Bumbu Kehidupan? Implikasi untuk Asupan Kalori. Kajian Ekonomi dan Statistik (Novem-



E4.3 Utilitas CES Di Bab 3 kami memperkenalkan fungsi utilitas CES



X∂



contoh zaman. Ketika ∂ > 0, pengganti kemungkinanbesar dan K < 0. Dalam hal ini Persamaan ix menunjukkan bahwasXdan PX/PY bergerak berlawanan arah. Jika PX/PY naik, individu mengganti Y dengan X sedemikian rupa sehingga sX turun. Alternatifnya, jika ∂ < 0, kemungkinan substitusi terbatas, K > 0, dan sX dan PX/PY bergerak ke arah yang sama. Dalam hal ini peningkatan PX/PY hanya menyebabkan substitusi kecil dari Y untuk X, dan sX sebenarnya naik karena harga barang X yang relatif lebih tinggi.



ber 1989): 666–672. Hijau, Teori Konsumen HA. London: Macmillan Press, 1976. Hyasi, Fumio. “Apakah Keluarga Besar Jepang Terhubung Secara Altruistis? Ujian Berdasarkan Kurva Engel.” Jurnal Ekonomi Politik (Juni 1995): 661–674. Kehoe, Patrick J., dan Timothy J. Kehoe. Pemodelan Integrasi Ekonomi Amerika Utara. London: Penerbit Akademik Klower, 1995. Oczkowski, E., dan NE Philip. “Pola Pengeluaran Rumah Tangga dan Akses Barang Konsumsi dalam Perekonomian Transisi.” Jurnal Pembangunan Ekonomi (Juni 1994): 165– 183. Stone, R. “Sistem Pengeluaran Linear dan Analisis Permintaan.” Jurnal Ekonomi (September 1954): 511–527.



respons terhadap perubahan harga relatif bergantung pada nilai parameter K. Untuk kasus CobbDouglas, ∂ = 0SHai K = 0sebuahDSX =SY =1⁄2,ASwememilikieditemukanDSayaNsev-