![Contoh Soal Dan Penyelesaian Kalkulus Peubah Banyak [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/contoh-soal-dan-penyelesaian-kalkulus-peubah-banyak.jpg)
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TUGAS MATA KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK
Dosen :Dr.Ade Mirza, M.Pd Dikerjakan oleh: Nama
:Wardahnia
NIM
: F1041181031
Kelas
: A2
Semester : 5 (LIMA)
PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP) UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK Tahun 2020/2021
Soal-soal 16.2 Hitung integral lipat (kerjakan soal bernomor ganjil) 2 3
1.
∫∫ x 2 y dy dx 0 1
jawab : 2 3
2
∫∫ x 2 y dy dx=∫ 0 1
0
[
3
1 2 2 x y dx 2 1
2
¿∫ 0 2
]
( 12 x (3) )−( 12 x (1) ) dx 2
2
2
2
¿ ∫ 4 x2 dx 0
2
4 3 x 3 0 4 4 ¿ (2)3− ( 0)3 3 3 32 ¿ ≈ 10,666 3 ¿
[ ]
2 3
3.
∫∫ ( xy + y 2 ) dx dy 1 0
jawab : 2 3
2
1 0
1
3
∫∫ ( xy + y 2 ) dx dy=∫ 1 x 2 y+ x y 2 dy
[
]
2
2
0
¿∫
( 12 (3) y +( 3) y )−( 12 (0) y +(0) y ) dy
¿∫
9 y +3 y 2 dy 2
1 2 1
¿
[
2
9 2 3 y +y 4
2
2
2
]
1
( 94 ( 2) +( 2) )−( 94 (1 ) +( 1) ) 9 ¿ ( 9+8 )−( +1) 4 2
¿
¿ 17− ¿
3
13 4
55 =13,75 4
2
3
2
π 1
5.
∫∫ x sin y dx dy 0 0
jawab : π 1
π
∫∫ x sin y dx dy=∫ 0 0
0
[
1
1 2 x sin y dy 2 0
]
π
¿∫ 0 π
( 12 (1) sin y)−( 12 (0) sin y ) dy 2
2
1 ¿ ∫ sin y dy 0 2 π
1 ¿ ∫ sin y dy 20 1 π ¿ [ −cos y ] 0 2 1 ¿ (−cos π −(−cos 0 ) ) 2 1 ¿ (−(−1 ) −(−1 ) ) 2 1 ¿ ( 2) 2 ¿1 π /2 1
7.
∫ ∫ x sin xy dy dx 0
0
jawab : Misalkan u=xy
maka du=x dy
∫ x sin xy dy =¿∫ sin u du=−cos u+c=−cos xy +c ¿ π /2 1
π /2
1
∫ ∫ x sin xy dy dx= ∫ [ −cos xy ]0 dx 0
0
0
π /2
¿ ∫ (−cos x(1) )−( −cos x (0) ) dx 0 π /2
¿ ∫ (−cos x +cos 0 ) dx 0 π /2
¿ ∫ ( 1−cos x ) dx 0
π 2 0
¿ [ x−cos x ] π π ¿ −cos −( 0−cos 0 ) 2 2 π ¿ −0 −( 0−1 ) 2 π ¿ +1 2 ≈ 0,708
( (
)
)
3 1
9.
∫∫ 2 x √ x 2+ y dx dy 0 0
jawab : Misalkan u=x2 + y ,
maka du=2 x dx 1
3
3
∫ 2 x √ x 2+ y dx=∫ u 2 du= 23 u 2 +c= 23 ( x 2+ y)2 +c 3 1
3
3 1
[
2 2 (x + y) 2 dy 3 0
¿∫
(
2 ((1)2 + y )2 −¿ ¿ 3
¿∫
2 ( 1+ y ) 2 − y 2 dy 3
2
∫∫ 2 x √ x + y dx dy=∫ 0 0
0
3
0 3 0
]
3
)
3
(
3
3
3
)
3
2 ¿ ∫ ( 1+ y ) 2 − y 2 dy 30 Misalkan u=1+ y ,
maka du=dy 3
3
3
3
3
3
5
5
(
5
5
)
∫ ( 1+ y ) 2 − y 2 dy=¿∫ ( 1+ y ) 2 dy−∫ y 2 dy=∫ u 2 du−∫ y 2 dy = 25 ( 1+ y ) 2 − 25 y 2 = 25 ( 1+ y ) 2 − y 2 + c ¿ 3
3
3
5
[( [(
3
5
)]
2 2 2 ( 1+ y ) 2 − y 2 dy= (1+ y )2 − y 2 ∫ 30 3 5 ¿
5 2
0
5 2
5
5
2 2 2 ( 1+3 ) −3 − (1+ 0 ) 2 −0 2 3 5 5
[(
5
5
4 ¿ 4 2 −3 2 −1 15
)
) (
]
)]
¿
ln 3 1
11.
4 ( 32−9 √2 ) 15 ≈ 4,1097
2
∫ ∫ xye x y dy dx 0
0
Jawab: Misalkan u= x y 2 ,
maka du=2 xy dy 1
2
1
1
2
∫ xye x y dy=¿ 2 ∫ e u du=¿ 2 e u +c= 2 e x y +c ¿¿ ln 3 1
ln 3
2
∫ ∫ xye x y dy dx =∫ 0
0
0
1
1 xy e dx 2 0
[ ] 2
ln 3
1 x ( 1) 1 e − e x ( 0) dx 2 2
¿∫
(
¿∫
1 x 1 e − dx 2 2
0 ln 3 0
2
)(
2
)
ln 3
1 ∫ e x−1 dx 2 0 ln 3 1 ¿ [ e x −x ] 0 2 1 ¿ ( ( eln 3−ln 3 )−( e0 −0 ) ) 2 1 ≈ ¿ 2 ¿
Hitung integral ganda dua yang ditunjukan atas R 13.
∫∫ x y 3 dA ; R= {( x , y ) :0 ≤ x ≤ 1 ,−1 ≤ y ≤1 } R Jawab: 1
1
3
∫∫ x y dA=∫ ∫ x y 3 dx dy R
−1 0 1
¿∫ −1 1
¿∫ −1 1
¿∫ −1
[
1
1 2 3 x y dy 2 0
]
( 12 (1) y )−( 12 (0) y ) dy 2
1 3 y dy 2
3
2
3
1
1 ¿ y4 8 −1 1 4 1 4 ¿ ( 1 ) − (−1 ) 8 8 ¿0
[ ]
( )(
15.
)
∫∫ sin ( x+ y) dA ; R= ( x , y ) :0 ≤ x ≤ π2 ,0 ≤ y ≤ π2
{
R
Jawab: π π 2 2
∫∫ sin ( x + y ) dA=¿∫∫ sin ( x + y ) dy dx ¿ 0 0
π 2
R
π 2 0
¿ ∫ [−cos ( x + y ) ] dx 0 π 2
( π2 )+cos x dx ¿ −sin ( x+ )+sin x [ π2 ] π π π π ¿ ( −sin ( + ) +sin )−( −sin ( ) +sin 0 ) 2 2 2 2 ¿ ∫ −cos x+ 0
π 2
0
¿ 1−(−1 ) ¿2
Soal-soal 16.3 Hitung integral lipat (kerjakan soal bernomor ganjil) 1 3x
1.
∫∫ x2 dy dx 0 0
jawab 1 3x
1
3x
∫∫ x2 dy dx=∫ [ x 2 y ]0 dx 0 0
0
1
¿ ∫ ( x 2 (3 x) ) −( x 2( 0) ) dx 0 1
¿ ∫ 3 x3 dx 0
¿
3 4 x 4
1
[ ]
0
}
¿
( 34 (1) )−( 34 (0) )
¿
3 4
4
4
3 3y
3.
∫ ∫ ( x 2 + y 2 ) dx dy −1 0
jawab 3 3y
3
∫ ∫ ( x 2 + y 2 ) dx dy =∫ 1 x 3 + xy 2 −1 0
−1 3
¿∫ −1
[
3
]
3y 0
( 13 (3 y ) +(3 y ) y )−( 13 (0) +( 0) y )dy 3
2
3
3
¿ ∫ 9 y 3 +3 y 3 dy −1 3
¿ ∫ 12 y 3 dy −1 3
¿ [ 4 y 4 ]−1 ¿ ( 3( 3) 4 )−( 3(−1)4 ) ¿ 243−3 ¿ 240 3 2y
5.
3
∫ ∫ x e y dx dy 1 −y
jawab 3 2y
3
3
∫ ∫ x e y dx dy =¿∫ 1 −y
1
3
¿∫ 1
(
[
1 2 y x e 2
3
2y
]
dy ¿
−y
1 1 (2 y)2 e y − (− y )2 e y dy 2 2 3
3
)(
3
¿∫
4 2 y 1 2 y y e − y e dy 2 2
¿∫
3 2 y y e dy 2
3
1 3
)
3
3
1
Misalkan u= y 3 Maka du=3 y 2 dy
3
3
1
1
1
3
∫ 2 y 2 e y dy =¿ 2 ∫ eu du= 2 eu + c= 2 e y + c ¿ 3
3
∫ 32 y 2 e y dy = 12 e y 1 1 1 1 ¿ e3 − e1 2 2 3
[ ] 3
( )( ) 3
3
2
1 ¿ ( e 27−e ) ≈ 2,660× 1011 2 1 2x
7.
∫∫ cos ( π x 2 ) dy dx 1 0 2
jawab : 1 2x
1
2x
2
∫∫ cos ( π x ) dy dx=∫ [ cos ( π x 2 ) y ]0 1 0 2
dx
1 2
1
¿ ∫ ( cos ( π x 2 ) (2 x) ) −( cos ( π x 2 ) (0) ) dx 1 2 1
¿ ∫ cos ( π x 2) 2 x dx 1 2
Misalkanu=π x 2
maka du=2 πx dx 1
1
1
∫ cos ( π x 2 ) 2 x dx= π ∫ cos u du=¿ π sin u+ c= π sin ( π x 2 ) +c ¿ 1
∫ cos ( π x 2 ) 2 x dx= 1 2
[
1 sin ( π x2 ) π ¿
]
1 1 2
1 1 1 ( sin ( π ) )− sin π π π 4
( ( ))
1 ( 0 )− 1 √ 2 π π 2 2 ¿− √ ≈−0,2251 2π
( )
¿
π /9 3 r
9.
∫ ∫ sec 2 θ dθ dr 0 π/4
Jawab: π 9 3r
π 9
3r
∫∫ sec 2 θ dθ dr=∫ [ tan θ ] π dr 0 π 4
0
4
π 9
¿ ∫ tan3 r −tan 0
π dr 4
π 9
¿ ∫ tan3 r −1dr 0
−1 ¿ ln|cos 3 r|−r 3 ¿
¿
π 9
[ ] ( | | )( | ( () )( () ) 0
−1 π π −1 ln cos 3 − − ln cos 3.0|−0 3 9 9 3
)
−1 1 π −1 ln − − ln 1 −0 3 2 9 3
≈ 0,23−0,345=−0,1180 2
11.
√ 4 −x 2
∫∫ 0
(x + y ) dy dx
0
Jawab: 2
√ 4 −x 2
∫∫ 0
0
2
(x + y ) dy dx=¿∫ 0
[
2
√ 4−x 1 xy+ y 2 dx ¿ 2 0
]
2
(
¿ ∫ x √ 4−x 2+ 0 2
2 1( 1 4−x 2 ) − x .0+ (0)2 dx √ 2 2
¿ ∫ x √ 4−x 2 +2− 0
)(
)
x2 dx 2 2
−1 ( 4−x2 ) √ 4−x 2 +2 x − 1 x 3 3 6 0 −1 ¿ ( 4−22 ) √ 4−22 +2.2− 1 23 − −1 ( 4−0 ) √ 4−02+ 20− 1 03 3 6 3 6 4 −8 ¿ 4− − 3 3 16 1 ¿ =5 3 3 ¿
[
]
(
)(
( )
)
