Deret Fourier - Fungsi Ganjil Genap [PDF]

Citation preview

DERET FOURIER BAGI FUNGSI GENAP DAN GANJIL MA2074 Matematika Rekayasa IIA K01 Dr. Dewi Handayani



Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil • DEFINISI: Fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan fungsi genap jika 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 dan dikatakan fungsi ganjil jika 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥. • Akibatnya grafik fungsi genap akan simetri terhadap sumbu-𝑦 dan grafik fungsi ganjil akan simetri terhadap titik pusat. • Contoh fungsi genap 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 dan fungsi ganjil 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 𝑦 = cos 𝑥



𝑦 = sin 𝑥



Sifat Kesimetrian Untuk Integral • Jika 𝑓(𝑥) fungsi genap, maka 𝑎



𝑎



න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −𝑎



0



• Jika 𝑓(𝑥) fungsi ganjil, maka



𝑎



න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 −𝑎



• Perhatikan deret Fourier untuk fungsi berperiode 𝑝 = 2𝐿 dan kontinu bagian demi bagian ∞



𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + ෍ 𝑎𝑛 cos + 𝑏𝑛 sin 𝐿 𝐿 𝑛=1



Dengan koefisien deret sebagai berikut 1 𝐿 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎0 = 2𝐿 −𝐿 1 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑎𝑛 = න 𝑓 𝑥 cos 𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝐿 1 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = න 𝑓 𝑥 sin 𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝐿 Catatan: batas −𝐿, 𝐿 dapat diubah asalkan Panjang selang 2𝐿



Deret Fourier untuk Fungsi Genap (1) • Diketahui 𝑓(𝑥) fungsi genap, berperiode p = 2𝐿, kontinu bagian demi bagian. Deret Fourier 𝑓(𝑥) akan memiliki koefisien: 𝐿 1 𝐿 1 1 𝐿 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎0 = 2 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 2𝐿 −𝐿 2𝐿 0 𝐿 0 1 𝐿 𝑛𝜋𝑥 2 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑎𝑛 = න 𝑓 𝑥 cos 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 cos 𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝐿 𝐿 0 𝐿 1 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = න 𝑓 𝑥 sin 𝑑𝑥 = 0 𝐿 −𝐿 𝐿 Karena sinus adalah fungsi ganjil.



Deret Fourier untuk Fungsi Genap (2) • Dengan demikian, diperoleh deret Fourier fungsi genap adalah: ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + ෍ 𝑎𝑛 cos 𝐿 𝑛=1



dengan



1 𝐿 𝑎0 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐿 0 2 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑎𝑛 = න 𝑓 𝑥 cos 𝑑𝑥 𝐿 0 𝐿 Deret Fourier untuk fungsi genap disebut sebagai Deret Fourier Cosinus



Deret Fourier untuk Fungsi Ganjil (1) • Diketahui 𝑓(𝑥) fungsi ganjil, berperiode p = 2𝐿, kontinu bagian demi bagian. Deret Fourier 𝑓(𝑥) akan memiliki koefisien: 1 𝐿 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 𝑎0 = 2𝐿 −𝐿 1 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑎𝑛 = න 𝑓 𝑥 cos 𝑑𝑥 = 0 𝐿 −𝐿 𝐿 Karena 𝑓 fungsi ganjil dan cosinus fungsi genap 1 𝐿 𝑛𝜋𝑥 2 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = න 𝑓 𝑥 sin 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 sin 𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝐿 𝐿 0 𝐿



Deret Fourier untuk Fungsi Ganjil (2) • Dengan demikian, diperoleh deret Fourier fungsi ganjil adalah: ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑓 𝑥 = ෍ 𝑏𝑛 sin 𝐿 𝑛=1



dengan



2 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = න 𝑓 𝑥 sin 𝑑𝑥 𝐿 0 𝐿 Deret Fourier untuk fungsi ganjil sering disebut sebagai Deret Fourier Sinus



CONTOH • Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥, −𝐿 < 𝑥 < 𝐿 fungsi berperiode p = 2𝐿. Tentukan deret Fourier 𝑓(𝑥) • Fungsi 𝑓(𝑥) dapat digambarkan sebagai berikut sehingga merupakan fungsi ganjil



• Deret Fourier mempunyai koefisien: 𝑎0 = 0, 𝑎𝑛 = 0 2 𝐿 𝑛𝜋𝑥 2 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = න 𝑓 𝑥 sin 𝑑𝑥 = න 𝑥 sin 𝑑𝑥 𝐿 0 𝐿 𝐿 0 𝐿 2𝐿 2𝐿 2𝐿 𝑛 =− cos 𝑛𝜋 = − −1 = −1 𝑛+1 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 untuk 𝑛 = 1,2,3, … • Dengan demikian diperoleh deret Fourier ∞ 2𝐿 1 𝑛𝜋𝑥 𝑛+1 𝑓 𝑥 = ෍ −1 sin 𝜋 𝑛 𝐿 𝑛=1 2𝐿 𝜋𝑥 1 2𝜋𝑥 1 3𝜋𝑥 = sin − sin + sin −⋯ 𝜋 𝐿 2 𝐿 3 𝐿



• Jika diambil 𝑛 = 9, maka hampiran fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥, −𝐿 < 𝑥 < 𝐿 oleh deret Fourier adalah sebagai berikut



Perluasan Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil • Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 dengan 0 < 𝑥 < 𝐿 sebagai berikut:



• 𝑓(𝑥) dapat diperluas menjadi fungsi genap atau fungsi ganjil berperiode 2𝐿, kemudian menjabarkan deret Fourier nya



• Perhatikan sketsa perluasan 𝑓(𝑥) menjadi fungsi ganjil berperiode 𝑝 = 2𝐿 seperti gambar • Deret Fourier bagi 𝑓(𝑥) adalah deret Fourier Sinus ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑓 𝑥 = ෍ 𝑏𝑛 sin 𝐿



Simetri thd titik pusat



𝑛=1



• Perhatikan sketsa perluasan 𝑓(𝑥) menjadi fungsi genap berperiode 𝑝 = 2𝐿 seperti gambar • Deret Fourier bagi 𝑓(𝑥) adalah deret Fourier Cosinus ∞ 𝑛𝜋𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + ෍ 𝑎𝑛 cos 𝐿 𝑛=1



Simetri thd sumbu-y



CONTOH • Diketahui fungsi sebagai berikut 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥, 0 < 𝑥 < 1 • Perluasan 𝑓 menjadi fungsi genap berperiode 𝑝 = 2𝐿 = 2



• Diperoleh deret Fourier Cosinus 𝑓(𝑥) sebagai berikut: ∞



𝑓 𝑥 = 𝑎0 + ෍ 𝑎𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑛=1



• Dengan 1



1 𝑎0 = න (1 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 2 0 1



𝑎𝑛 = 2 න 1 − 𝑥 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 0



4 − 2 2 , 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 =ቐ 𝑛 𝜋 0, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 Untuk 𝑛 = 1,2,3, … . Jadi diperoleh ∞ 1 4 1 𝑓 𝑥 = − 2 ෍ cos 𝑛𝜋𝑥 2 2 𝜋 𝑛 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 1 4 1 = − 2 cos 𝜋𝑥 + cos 3𝜋𝑥 + ⋯ 2 𝜋 9



Deret Fourier n=3



CONTOH • Diketahui fungsi sebagai berikut 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥, 0 < 𝑥 < 1 • Perluasan 𝑓 menjadi fungsi ganjil berperiode 𝑝 = 2𝐿 = 2



• Diperoleh deret Fourier Sinus 𝑓(𝑥) sebagai berikut: ∞



𝑓 𝑥 = ෍ 𝑏𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑛=1



• Dengan



1



2 𝑏𝑛 = 2 න 1 − 𝑥 sin 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛𝜋 0 Untuk 𝑛 = 1,2,3, … Jadi diperoleh ∞ 2 1 𝑓 𝑥 = ෍ sin 𝑛𝜋𝑥 𝜋 𝑛 𝑛=1 2 1 = sin 𝜋𝑥 + sin 2𝜋𝑥 + ⋯ 𝜋 2



Deret Fourier n=2