Makalah Kalkulus Lanjut Integral Lipat [PDF]

Citation preview

MATA KULIAH Kalkulus Multivariabel



DOSEN PENGAMPU Hasby Assidiqi, S.Pd, M.Si



MAKALAH Integral Lipat Dua Perhitungan Integral Lipat Dua dan Integral Berulang



Oleh: Kelompok 2 Nur Rizqi Abdiah : 220101040066 Syahidah Raihanah : 220101040129 Lira Andriani



: 220101040214



Norlaila Fitriah



: 220101040440



M. Rahmatullah



: 220101040768



UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ANTASARI BANJARMASIN FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 2023



KATA PENGANTAR



‫الرحيــم‬ ّ ‫الرحمن‬ ّ ‫بــسم هللا‬ Segala puji hanyalah bagi Allah SWT, atas segala limpahan karunia, nikmat, dan petunjuk-Nya sehingga pada akhirnya makalah ini dapat selesai. Shalawat serta salam selalu kita haturkan kepada panutan kita, Nabi Besar Muhammad Saw, keluarga, sahabat, dan para pengikut beliau hingga akhir zaman. Alhamduillah atas izin-Nya dan atas kerja sama yang baik dari teman-teman yang telah memberikan ide-idenya, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas penulisan makalah yang berjudul ”Integral lipat dua dan integral berulang dengan tepat waktu, sesuai dengan jadwal yang telah ditentukan. Kami sampaikan terima kasih banyak kepada Hasby Ashidiqi S.Pd, S.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Kalkulus multivariable yang telah mempercayakan kepada kami untuk menyelesaikan makalah ini dengan sebaikbaiknya. Juga kepada kedua orang tua serta teman-teman sekalian yang selalu memberikan dukungan kepada kami. Harapan kami, semoga makalah ini mampu memberikan manfaat dalam meningkatkann pengetahuan sekaligus wawasan kepada kita semua.Penulis berharap kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan makalah ini. Banjarmasin, 21 November 2023



Penulis



ii



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii A. Latar Belakang Masalah .............................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 1 C. Tujuan Penulisan Makalah .......................................................................... 1 BAB II PEMBAHASAN .........................................................................................2 A. Integral Lipat Dua ....................................................................................... 2 B. Perhitungan integral lipat dua dan integral berulang................................... 9 BAB III PENUTUP ...............................................................................................19 A. Simpulan.................................................................................................... 19 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................20



iii



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Masalah Integral lipat dan integral berulang adalah konsep matematika yang muncul sebagai perkembangan dari integral biasa. Integral lipat digunakan untuk menghitung luas, volume, atau massa dalam dimensi yang lebih tinggi, sangat penting dalam bidang fisika, ekonomi, dan teknik. Sementara integral berulang, yang melibatkan integral tunggal berulang kali, digunakan untuk pemodelan fenomena fisika yang melibatkan lebih dari satu variabel independen. Pemahaman konsep ini memungkinkan pengaplikasian matematika dalam analisis dan pemodelan situasi yang kompleks, serta berperan penting dalam pengembangan



teori



matematika



dan



penerapannya



dalam



ilmu



pengetahuan dan teknologi. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, rumusan masalah pada makalah ini adalah sebagai berikut. 1. Apakah itu integral lipat dan integral berulang ? 2. Bagaimana penggunaan integral lipat dan integral berulang?



C. Tujuan Penulisan Makalah Penulisan makalah ini bertujuan untuk, 1. Untuk mengetahui penggunaan integral lipat 2. Untuk mengetahui penggunaan integral



1



BAB II PEMBAHASAN A. Integral Lipat Dua Integral tertentu suatu fungsi dengan satu peubah dapat diperluas ke suatu fungsi dengan beberapa peubah. Integral suatu fungsi dengan satu peubah dinamakan integral tunggal untuk membedakannya dari integral lipat yang melibatkan suatu fungsi dengan beberapa peubah. Dalam pembahasan integral tunggal dapat ditinjau suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu selang tertutup di dalam himpunan bilangan real R. Untuk integral lipat dua dari suatu fungsi dengan dua perubahan memerlukan fungsi yang didefinisikan pada suatu daerah tertutup di R². Daerah tertutup adalah suatu daerah yang memuat batasnya. Apabila menunjuk suatu daerah, maka yang dimaksud adalah daerah tertutup. Daerah tertutup yang paling sederhana di R² adalah daerah empat panjang tertutup yang akan didefinisikan. Tinjaulah dua titik yang berbeda A(a₁, a₂) dan B(b₁, b₂) dengan a₁ ≤ b₁ dan a₂ ≤ b₂. Kedua titik ini menentukan suatu empat persegi panjang yang sisi-sisinya sejajar dengan sumbusumbu koordinat. Kedua titik ini bersama dengan titik (b₁,a₂) dan (a₁, b₂) dinamakan titik sudut empat persegi panjang itu. Potongan garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berdampingan dinamakan rusuk empat persegi panjang. Himpunan semua titik yang terletak di bagian dalam empat persegi panjang dinamakan daerah empat persegi panjang terbuka dan himpunan semua titik pada daerah empat persegi panjang terbuka bersama dengan semua titik pada rusuknya dinamakan daerah siku empat tertutup. Misalkan daerah empat persegi panjang tertutup pada Gambar 17.1.1 dinyatakan dengan R, dan misalkan ƒ suatu fungsi yang didefinisikan pada R. Daerah R dapat dipan- dang sebagai daerah integrasi. Langkah pertama adalah mendefinisikan suatu partisi ∆ dari R.Ditarik garis-garis yang sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat untuk memperoleh suatu jaringan daerah bagian berbentuk empat persegi panjang yang meliputi R. Norm partisi ini, yang dinyatakan dengan ||∆||, ditentukan oleh panjang diagonal daerah empat persegi panjang yang terpanjang pada partisi . Panjang diagonal dipilih karena mewakili jarak terbesar di antara dua titik sebarang pada suatu daerah bagian. Nomorilah semua daerah bagian secara sebarang, dan misalkan jumlahnya adalah n. Nyatakanlah lebar daerah bagian ke-1 dengan ∆𝑖 𝑥 satuan dan tingginya dengan ∆𝑖 y satuan. Jika ∆𝑖 A satuan luas adalah luas daerah bagian empat persegi panjang ke-i, maka



2



∆𝑖 𝐴 = ∆𝑖 𝑥∆𝑖 𝑦



(1)



Misalkan (𝜉𝑖 𝑦𝑖 ) titik sebarang di dalam daerah bagian ke-i dan misalkan f(𝜉𝑖 𝑦𝑖 ) nilai fungsi di titik itu. Tinjaulah hasil kali f(𝜉𝑖 𝑦𝑖 ) Kaitkanlah setiap daerah bagian denganhasil kali seperti itu jumlahnya adalah 𝑛



∑ 𝑓(𝜉𝑖 𝛾𝑖 )Δ𝑖 A 𝑖=1



(1)



Banyak sekali jumlah berbentuk (1) karena norm partisi itudapat mengambil sebaran nilai real dan setiap titik (𝜉𝑖,𝑦𝑖 ) dapat berupa sebarang titik di dalam daerah bagian ke-i.Jika semua jumlah seperti itu dapat dibuat sedekat mungkin ke suatu bilangan & dengan mengambil partisi dengan norm yang cukup kecil, maka L didefinisikan sebagai limit dari semua jumlah ini bila norm partisi dari R mendekati nol. Kita memperoleh definisi berikut.



17. 1. 1 DEFINISI Misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu daerah empat persegi Panjang tertutup R. Bilangan L dinamakan limit dari jumlah berbentuk ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝜉𝑖 𝛾𝑖 )Δ𝑖 A jika L memenuhi sifat bahwa untuk sebarang 𝜖 > 0 ada suatu 𝛿 > 0 sehigga untuk setiap partisi Δ yang memenuhi ‖Δ‖ < 𝛿 dan untuk setiap pilihan titik (𝜉𝑖 𝛾𝑖 ) dalam empat persegi Panjang ke-i, i = 1, 2,……,n berlaku 𝑛



|∑ 𝑓(𝜉𝑖 𝛾𝑖 )Δ𝑖 A − 𝐿| < 𝜖 𝑖=1



Jika bilangan L seperti itu ada, maka kita tuliskan 𝑛



lim ∑(𝜉𝑖 𝛾𝑖 )Δ𝑖 A = 𝐿



‖Δ‖→0



𝑖=1



3



Jika ada suatu bilangan L yang memenuhi definisi 17.1.1, dapat di perlihatkan bahwa limit itu tunggal. Buktinya serupa dengan bukti teorema ( 1.2.2) mengenai ketunggalan limit suatu fungsi.



17. 1. 2 DEFINISI Suatu fungsi f dengan dua perubah dikatakan dapat diintegralkan (terintegral) pada suatu daerah empat persegi panjang tertutup R dan bilangan L pada Definisi17. 1. 1 ada. Bilangan L dinamakan integral lipat dua dari f pada R, dan dapat dituliskan. 𝑛



lim ∑(𝜉𝑖 𝛾𝑖 )Δ𝑖 A = ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑 𝐴



‖∆→0‖



𝑖=1



(2)



𝑅



ll Lambang lain untuk integral lipat dua dalam (2) adalah ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑎𝑛 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅



𝑅



Teorema berikut yang dikatakan tanpa bukti, memberikan suatu syarat yang cukup agar suatu fungsi dengan dua peubah adalah terintegral. 17.1.3 TEOREMA Jika suatu fungsi dengan dua peubah kontinu pada suatu derah empat persegi panjang tertutup R, maka suatu fungsi itu terintegral pada R.



CONTOH 1 Carilah nilai hampiran untuk integral lipat dua ∬(2𝑥 2 − 3𝑦)𝑑𝐴 𝑅



di mana R adalah daerah empat persegi panjang dengan titik-titik sudut (-1, 1) dan (2, 3), Ambillah partisi dari R yang dibentuk oleh garis x = 0 , x = 1 , dan y = 2 dan ambillah (𝜉𝑖, 𝑦𝑖 ) di titik pusat daerah bagian ke-i. PENYELESAIAN Rujuklah Gambar 17.1.2, yang memperlihatkan daerah R yang dibagi menjadi enam daerah bagian berbentuk bujursangkar dengan panjang sisi satu satuan. Jadi untuk setiap i Δ𝑖 A =



4



1 . Dalam setiap daerah bagian titik (𝜉𝑖,𝑦𝑖 ) berimpit dengan pusat bujur sangkar. Dengan f(x - y) = 2x ² - 3y , suatu nilai hampiran untuk integral lipat dua itu diberikan oleh



1 3 1 3 3 3 ∬(2𝑥 2 − 3𝑦)𝑑𝐴 ≈ 𝑓 (− , ) . 1 + 𝑓 ( , ) . 1 + 𝑓 ( , ) . 1 2 2 2 2 2 2 𝑅



3 5 1 5 1 5 +𝑓 ( , ) . 1 + 𝑓 ( , ) . 1 + 𝑓 (− , ) . 1 2 2 2 2 2 2 = −4. 1 −4. 1 + 0. 1− 3. 1− 7. 1 − 7. 1 = −25



Nilai eksak integral lipat dua dalam Contoh 1 adalah -25, seperti yang akan diperlihatkan dalam contoh 1 Pasal 17. 2 Sekarang ditinjau integral lipat dua dari suatu fungsi meliputi daerah yang lebih umum. Dalam Definisi 5.5.2 fungsi licin didefinisikan sebagai suatu fungsi yang mempunyai turunan yang kontinu, dan kurva licin adalah grafik fungsi licin. Misalkan R suatu daerah tertutup yang batasnya terdiri atas sejumlah berhingga busur kurvanya licin yang dihubungkan sehingga membentuk suatu kurva tertutup. Seperti yang dilakukan dengan daerah empat persegi panjang, tariklah garis-garis yang sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat yang memberikan suatu partisi empat persegi panjang dari daerah R. Buanglah daerah bagian yang memuat titik di luar R, dan tinjaulah daerah bagian yang terkandung dalam R saja (daerah ini diarsir dalam Gambar 17.1.3). Misalkan jumlah daerah bagian yang diarsir ini adalah n dan lakukanlah seperti prosedur untuk daerah empat persegi panjang. Definisi 17.1.1 dan 17.1.2 dapat diterapkan bila R merupakan daerah yang lebih 5



umum dari yang diberikan di atas. Secara intuitif bahwa n membesar tanpa batas dan luas daerah yang dihilangkan (yaitu empat persegi panjang yang dibuang) mendekati nol, bila norm partisi mendekati nol. Memang dapat dibuktikan bahwa, jika suatu fungsi terintegral pada suatu daerah R, maka limit jumlah hampiran berbentuk (1) adalah sama bagaimanapun cara kita membagi R, asalkan setiap daerah bagian mem- punyai bentuk sehingga luasnya dapat ditentukan. Seperti halnya dengan integral suatu fungsi dengan satu perubah ditafsirkan secara ilmu ukur sebagai luas daerah datar, maka integral lipat dua dapat ditafsirkan secara ilmu ukur sebagai isi benda berdimensi tiga. Misalkan fungsi ƒ kontinu pada suatu daerah tertutup R dalam R². Selanjutnya demi penyederhanaan pembahasan misalkan f(x, y) tak negatif pada R. Grafik persamaan z = f(x, y) adalah suatu permukaan yang terletak di atas bidang xy, seperti terlihat dalam Gambar 17.1.4. Gambar itu memperlihatkan suatu daerah bagian empat persegi panjang tertentu dari R yang mempunyai ukuran Δ𝑖 x dan Δ𝑖 y. Gambar itu juga memperlihatkan suatu balok empat persegi panjang dengan daerah bagian itu sebagai alasnya dan f(𝜉𝑖, 𝛾𝑖 ) sebagai tingginya, di mana (𝜉𝑖, 𝛾𝑖 ) suatu titik di dalam daerah bagian kei. Isi balok empat persegi panjang ini ditentukan oleh ∆𝑖 V = f(𝜉𝑖, 𝛾𝑖 ) ∆𝑖 A = f(𝜉𝑖, 𝛾𝑖 ) ∆𝑖 x∆𝑖 y



Bilangan yang diberikan dalam (3) adalah ukuran isi balok empat persegi panjang tipis yang diperlihatkan dalam Gambar 17.1.4 jadi jumlah yang diberikan dalam (1) adalah jumlah isi n balok n seperti itu. Jumlah ini mendekati ukuran isi benda berdimensi tiga yang diperlihatkan dalam Gambar 17.1.4. Benda itu dibatasi di sebelah atas oleh grafik ƒ dan di



6



bawah oleh daerah R di bidang xy. Jumlah dalam (1) juga mendekati bilangan yang diberikan oleh integral lipat dua



∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅



Dapat diperlihatkan bahwa isi benda berdimensi tiga dalam Gambar 17. 1. 4 adalah nilai integral lipat dua. Kenyataan ini diungkapkan dalam teorema berikut,sedangkan buktinya secara formal tidak diberikan. 17. 1. 4 TEOREMA Misalkan f suatu fungsi dengan dua perubah yang kontinu pada suatu daerah tertutup R di bidang xy dan f(x,y) ≥ 0 untuk semua (x,y) di R. Jika V adalah isi benda S dengan daerah R sebagai alasnya dan f(x,y) sebagai tingginya di titik (x,y) di R, maka 𝑛



𝑉 = lim ∑ 𝑓(𝜉𝑖 𝛾𝑖 )Δ𝑖 A ‖∆→0‖



𝑖=1



= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅



CONTOH 2 Tentukanlah nilai hampiran untuk isi benda yang dibatasi oleh permukaan 1



1



f(x, y) = 4 - 9 x ² - 16 y ² bidang x = 3, y = 2 dan ketiga bidang koordinat. Untuk memperoleh nilai hampiran untuk integral lipat dua ambillah partisi daerah pada bidang xy dengan menarik garis x = 1, x = 2 , dan y = =1, dan (𝜉𝑖 𝛾𝑖 ) pusat daerah bagian ke-i. PENYELESAIAN Benda itu diperlihatkan dalam Gambar 17.1.5. Daerah empat persegi panjang R di bidang xy dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat, garis x = 3 dan y = 2 Dari Teorema 17.1.4, jika V satuan kubik adalah isi benda, maka



7



𝑉 = ∬ (4 − 𝑅



1 1 2 𝑥²− 𝑦 ) 9 16



Gambar 17.1. 5 memperlihatkan pembagaian daerah R menjadi enam daerah bagian berbentuk bujursangkar dengan panjang sisi satu satuan. Karena itu untuk setiap i, 𝛥𝑖 A = 1. Titik (𝜉𝑖, 𝛾𝑖 ) adalah pusat bujursangkar. Maka nilai lampiran untuk V diberikan oleh nilai hampiran untuk integral lipat dua itu. Karena itu 1 1



3 1



5 1



1 3



3 3



5 3



V ≈ 𝑓 (2 , 2). 1 + 𝑓 (2 , 2). 1 + 𝑓 (2 , 2). 1 + 𝑓 (2 , 2). 1 + 𝑓 (2 , 2). 1 + 𝑓 (2 , 2). 25



17



409



97



25



481



= (4 − 576) + (4 − 64) + (4 − 576) + (4 − 576) + (4 − 64)+ (4 − 576) 695



= 24 − 288 ≈ 21, 59 Jadi, nilai lampiran isi adalah 21,59 satuan kubik. 17. 1. 5 17. 1. 5 TEOREMA Jika c bilangan tetap dan fungsi f terintegral pada suatu daerah tertutup R, maka cf juga terintegral pada R, dan



∬ 𝑐𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = 𝑐 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅



𝑅



17. 1. 6 TEOREMA Jika fungsi f dan g terintegral pada daerah R, maka fungsi f + g terintegral pada R, dan 8



∬[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)] 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅



𝑅



𝑅



Hasil 17. 1. 6 dapat diperluas ke sejumlah berhingga fungsi yang masing-masing terintegral. Bukti Teorea 17. 1. 5 dan 17. 1. 6 mengikut langsung dari definisi integral lipat dua. 17. 1. 7 TEOREMA Jika fungsi f dan g terintegral pada daerah tertutup R dan selanjutnya f (x,y) ≥ g (x,y) untuk semua (x,y) di R , maka ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 ≥ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅



𝑅



17.1 . 8 TEOREMA Misalkan fungsi f terintegral pada suatu daerah tertutup R, m dan M dua bilangan real sehingga m ≤ f(x,y) dA ≤ 𝑀 untuk semua (x,y) di R . Jika A adalah luas daerah R, maka



𝑚𝐴 ≤ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 ≤ 𝑀𝐴 𝑅



17. 1. 9 TEOREMA Misalkan fungsi f kontinu pada daerah tertutup R, m dan daerah R terdirii atas dua daerah bagian 𝑅1 dan 𝑅2 yang tak mempunyai titik persekutuan kecuali titik-titik pada sebagian dari batasnya. Maka



∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, , 𝑦)𝑑𝐴 𝑅



𝑅



𝑅



B. Perhitungan integral lipat dua dan integral berulang Suatu metode yang sesuai untuk menghitung integral lipat dua yang melibatkan integral tunggal berurutan. Pengembangan metode ini secara ketatmerupakan bagian dari kuliah kalkulus lanjut. Pembahasan ini bersifat intuitif, dan menggunakan tafsiran ilmu ukur integral lipat dua sebagai ukuran isi. Pertama kembangkan metode untuk integral lipat dua pada daerah empat persegi panjang. Misalkan ƒ suatu fungsi yang diberikan dan terintegral pada suatu daerah empat persegipanjang tertutup R pada bidang xy, yang dibatasi oleh garis x = a₁, x = b₁ , y = a₂, dan y = b₂. Misalkan f(x, y) > 0 untuk semua (x, y) di R. Rujuklah Gambar 17.2.1 yang menunjukkan



9



sketsa grafik persamaan z = f(x, y) bila (x, y) di R. Bilangan yang menyatakannilai integral lipat dua adalah isi benda di antara permukaan dan daerah R.



∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅



Misalkan y suatu bilangan di [a₂, b₂]. Tinjaulah bidang yang sejajar dengan bidang xz melalui titik (0,y,0). Misalkan A(y) adalah luas daerah bidang persekutuan antara bidang ini dengan benda itu. Dengan metode irisan sejajar, ukuran isi benda dinyatakan oleh 𝑏2



∫ 𝐴(𝑦)𝑑𝑦 𝑎2



Karena isi benda juga ditentukan dengan integral lipat dua, maka 𝑏2



∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ 𝐴(𝑦)𝑑𝑦 𝑎2



𝑅



(1)



Dengan menggunakan (1) kita dapat mencari nilai integral lipat dua dari fungsi ƒ pada R dengan menghitung integral tunggal dari A(y). Sekarang kita harus mencari A(y) bila A(y) diberikan. Karena A(y) adalah luas suatu daerah datar, maka kita dapat mencarinya dengan pengintegralan. Dalam Gambar 17.2.1, perhatikan bahwa batas atas daerah datar itu adalah grafik persamaan z 𝑏



= f(x, y) bila x di [a1 , b1 ]. Karena itu A(y) =∫𝑎 1 𝑓(𝑥, 𝑦) dx. Substitusi persamaan ini ke dalam 1



(1)menghasilkan 𝑏2



𝑏1



∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥] 𝑑 𝑅



𝑎2



𝑎1



10



(2)



Integral pada ruas kanan (2) dinamakan integral berulang. Biasanya tanda kurung dihilangkan ketika menuliskan suatu integral berulang. Jadi (2) dapat dituliskan sebagai



𝑏2



𝑏1



∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎2



𝑅



𝑎1



(3)



Ketika menghitung "integral sebelah dalam" dalam (3), ingatlah bahwa x suatu perubah integrasi dan y dipandang sebagai bilangan tetap. Keadaan ini dapat dibandingkan dengan memandang y sebagai bilangan tetap ketika mencari turunan parsial dari f(x, y) menurut x. Dengan meninjau irisan bidang yang sejajar dengan bidang yz memperoleh suatu integral berulang yang mengubah urutan pengintegralan, 𝑏1



𝑏2



∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎1



𝑅



𝑎2



(4)



Suatu syarat cukup agar (3) dan (4) berlaku adalah kekontinuan fungsi pada daerah siku empat persegi panjang R. CONTOH 1 Hitunglah integral lipat dua



∬(2𝑥 2 − 3𝑦)𝑑𝐴 𝑅



jika R adalah daerah yang terdiri atas semua titk (x,y) yang memenuhi -1≤ x ≤ 2 dan 1≤ y ≤ 3 PENYELESAIAN a𝟏 = -1, b𝟏 = 2, a𝟐 = 1, dan b𝟐 = 3. Jadi dari (3) 3



2



∬(2𝑥 2 − 3𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ (2𝑥 2 − 3𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅



1 3



−1 2



= ∫ [∫ (2𝑥 2 − 3) 𝑑𝑥] 𝑑𝑦 1



−1



11



2 2 3 = ∫ [ 𝑥 − 3𝑥𝑦] 𝑑𝑦 −1 1 3 3



3



= ∫ (6 − 9𝑦)𝑑𝑦 1



= −24 CONTOH 2 Carilah isi benda yang dibatasi oleh permukaan 1



1



f(x,y) = 4 − 9 𝑥 2 − 16 𝑦 2 bidang x = 3 dan y = 2, dan ketiga bidang-bidang koordinat. PENYELESAIAN Gambar 17. 2. 2 memperlihatkan grafik persamaan z = f(x,y) di kuadran pertama dan benda yang diberikan. Jika V satuan kubik adalah isi benda, maka dari Teorema 17. 1. 4, 𝑛



𝑉 = lim ∑ 𝑓(𝜉𝑖 𝛾𝑖 )Δ𝑖 A ‖∆→0‖



𝑖=1



= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅 3 2 1 1 2 = ∫ ∫ (4 − 𝑥 2 − 𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑥 9 16 0 0 3



=∫ 0



1 2 1 3 2 [4𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑦 ] 𝑑𝑥 9 48 0



3 47 2 = ∫ ( − 𝑥 2 )) 𝑑𝑥 6 9 0



47 2 3 3 = 𝑥− 𝑥 ] 6 27 0 = 21. 5



12



Karena itu isinya adalah 21. 5 satuan kubik.



Di dalam Contoh 2 Pasal 17. 1 diperoleh suatu nilai lampiran untuk isi benda dalam Contoh 2 sebesar 21. 59 satuan kubik. Misalkan sekarang bahwa R adalah suatu daerah di dalam bidang xy yang dibatasi oleh garis x = a dan x = b, dimana a < b, dan oleh kurva y = 𝜙1 (𝑥) ≤ 𝜙2 (𝑥) bila a ≤ b (lihat Gambar 17. 2. 3). Misalkan ∆ suatu partisi dari selang[𝑎, 𝑏] yang didefinisikan oleh ∆∶ a 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < …< 𝑥𝑛 = b. Tinjaulah daerah R pada Gambar 17. 2. 3 yang dibagi menjadi lajur – lajur tegak dengan lebar Δ𝑖 𝑥. Suatu lajur tertentu diperlihatkan dalam gambar itu. Perpotongan antara permukaan z = f (x,y) dan bidang x = 𝜉𝑖 , dimana 𝑥𝑖−1 ≤ 𝜉𝑖 ≤ 𝑥𝑖 , adalah suatu kurva. Suatu potongan kurva ini terletak di atas lajur ke-i. Daerah yang terletak di bawah potongan kurva ini dan di atas bidang xy diperlihatkan dalam Gambar 17. 2. 4, dan luas daerah ini diberikan oleh 𝜙2(𝜉𝑖 )



∫



𝑓(𝜉𝑖 , 𝑦)𝑑𝑦



𝜙1(𝜉𝑖 )



Isi benda yang dibatasi di atas oleh permukaan z = f (x,y) dan di bawah oleh lajur ke-i kira-kira sama dengan 𝜙2(𝜉𝑖)



[∫



𝑓(𝜉𝑖, 𝑦)𝑑𝑦] Δ𝑖𝑥



𝜙1(𝜉𝑖



13



Jika mengambil limitjumlah isi n lajur dari R dari x = a ke x = b, bila norm∆ mendekati nol,diperoleh isi benda yang dibatasi di atas oleh permukaan z = f(x,y) dan di bawah oleh daerah R di dalam xy. Lihat Gambar 17. 2. 5. Isi ini adalah integral lipat dua dari f pada R, jadi 𝑛



𝜙2(𝜉𝑖)



lim ∑ [∫



‖∆‖→0



𝑖=1



𝑏



𝜙2(𝑥)



𝑓(𝜉𝑖 , 𝑦)𝑑𝑦] Δ𝑖 𝑥 = ∫ ∫



𝜙1(𝜉𝑖)



𝑎



𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝜙1(𝑥)



= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅



Syarat cukup agar (5) berlaku adalah kekontinuan f pada daerah R dan 𝜙1 dan 𝜙2 adalah fungsi licin.



CONTOH 3 Nyatakanlah sebagai suatu integral lipat dua dan integral berulang, isi benda yang terletak di atas bidang xy, dan dibatasi oleh paraboloida eliptik z=𝑥 2 +4y² dan silinder 𝑥 2 +4y²=4, Hitunglah integral berulang untuk mencari isi benda itu.



14



PENYELESAIAN Benda itu diperlihatkan dalam Gambar 17.2.6.mencari isi bagian benda di oktan pertama, yang karena sifat simetrinya, adalah seperempat isi benda yang ditanyakan. Daerah R di bidang xy dibatasi oleh sumbu x dan sumbu y dan elips 𝑥 2 +4𝑦 2 = 4. Daerah ini diperlihatkan dalam Gambar 17.2.7. yang juga memperlihatkan daerah bagian ke-i.



dari partisi empat persegi panjang R, di mana (𝜉𝑖,𝛾𝑖 ) adalah titik sebarang dalam daerah bagian ke-i . Jika satuan kubik adalah ini benda yang diberikan, maka menurut Teorema 17.1.4. 𝑛



𝑉 = lim ∑(𝜉𝑖 2 +𝛾𝐼2 )Δ𝑖 A ‖∆‖→0



𝑖=1



= 4 ∬(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝐴 𝑅



Untuk menyatakan ukuran isi sebagai suatu integral suatu integral berulang,bagi daerah R menjadi n lajur tegak. Gambar 17.2.8 memperlihatkan daerah R dan lajur tegak ke-i dengan 1



lebar Δ𝑖 x satuan dan panjang √4 − 𝜉𝑖 2 satuan dimana 𝑥𝑖−1 ≤ 𝜉𝑖 ≤ 𝑥𝑖 . 2



15



Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva x = 𝜆1 (y) , x =𝜆2 (y), garis y = c, dan y = d, di mana c