Fungsi Gamma Dan Beta [PDF]

Citation preview

Fungsi Gamma dan Beta



A. Fungsi Gamma 1. Definisi Fungsi Gamma Secara umum fungsi gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar dengan bentuk umum sebagai berikut. ∞



Γ(𝑥) = ∫ 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 0



∞



Γ(𝑥) = lim ∫ 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑏→0



0



2. Sifat-sifat Fungsi Gamma Berikut adalah sifat-sifat yang dimiliki fungsi gamma: a) Γ(𝑥) = (𝑥 − 1). Γ(𝑥 − 1) Bukti ∞



Γ(𝑥) = lim ∫0 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑏→0



Dengan menggunakan integral parsial, maka : 𝑏



Γ(𝑥) = lim



[−𝑏 𝑥−1 𝑒 −𝑏 − ∫ − (𝑥 − 1)𝑒 𝑡 . 𝑡 𝑥−2 𝑑𝑡] 0



𝑏→∞



∞



= − lim (𝑏 𝑥−1 𝑒 −𝑏 ) + (𝑥 + 1) ∫0 𝑡 𝑥−2 . 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 𝑏→∞



= 0 + (𝑥 − 1)[Γ(𝑥 − 1)] Γ(𝑥) = (𝑥 − 1). Γ(𝑥 − 1)



b) Γ(x + 1) = 𝑥 . Γ(𝑥) Sifat ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama pada sifat (a), yaitu: 𝑏



Γ(𝑥 + 1) = lim ∫ 𝑡 𝑥 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑏→∞ 0



𝑏



= lim [−𝑏 𝑥−1 𝑒 −𝑏 − ∫0 𝑥𝑡 𝑥−1 . (−𝑒 −𝑡 )𝑑𝑡] 𝑏→∞



∞



= lim [𝑏 𝑥 𝑒 −𝑏 ] + 𝑥 ∫0 𝑡 𝑥−1 . 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑏→∞



= 0 + 𝑥 . Γ(𝑥) → Γ(x + 1) = 𝑥 . Γ(𝑥)



c) Γ(1) = 1 Bukti 𝑏



Γ(1) = lim ∫ 𝑡. 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑏→∞ 0



∞



= lim [𝑡(−𝑒 −𝑡 ) − ∫0 −𝑒 −𝑡 𝑑𝑡] 𝑏→∞



= − lim 𝑒 −𝑡 . 𝑡 + (−𝑒 −𝑡 )|∞ 0 𝑏→∞



= 0 + lim [−𝑒 −𝑏 + 𝑒 0 ] 𝑏→∞



= 0 + lim (−𝑒 −𝑏 ) + 1 𝑏→∞



=0+0+1 =1 Γ(1) = 1



d) Γ(x) =



𝑟 (𝑥+1) 𝑥



Sifat ini diperoleh dari manipulasi sifat (b) dan berlaku untuk x ≠ 0, -1 < x < 0. Hal ini menunjukkan bahwa untuk x < 0, Г(x) juga mempunyai nilai. Kejadian ini akan dibahas pada mata kuliah yang lebih lanjut. e) Γ(x + 1) = 𝑥. Γ(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1) … (𝑥 − 𝑘)Γ(𝑥 − 𝑘) Bukti Berdasarkan sifat (b) => Γ(x + 1) = 𝑥 . Γ(𝑥) Karena Γ(𝑥) = (𝑥 − 1)Γ(𝑥 − 1), Γ(𝑥 − 1) = (𝑥 − 2)Γ(𝑥 − 2), Γ(𝑥 − 2) = (𝑥 − 3)Γ(𝑥 − 3) dan seterusnya sampai Γ(𝑥 − (𝑘 + 1)) = (𝑥 − 𝑘)Γ(𝑥 − 𝑘) yang diperoleh melalui reduksi sifat (b), maka : Γ(x + 1) = 𝑥. Γ(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1) … (𝑥 − 𝑘)Γ(𝑥 − 𝑘), 𝑘𝜖𝑧



f)



Γ(x + 1) = 𝑥!, Sifat tersebut merupakan ciri utama dari fungsi gamma. Jelas bahwa sifat tersebut merupakan hasil reduksi dari sifat (e). Jika dipilih 𝑘 = 𝑥 − 1 maka,



Γ(𝑥 + 1) = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) … (𝑥 − (𝑥 − 1)Γ(𝑥 − (𝑥 − 1)) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) … (1)Γ(1) = 𝑥! .1 Γ(𝑥 + 1) = 𝑥!



Dengan memeriksa sifat/definisi dari notasi faktorial (!), maka x haruslah bilangan bulat positif. Jadi, sifat ini hanya berlaku untuk 𝑥𝜖𝑧 + . Kemudian, untuk x yang nilai faktorialnya akan sulit dihitung. Dengan menggunakan rumus trirling, yaitu : √2𝜋. 𝑛𝑛+1 𝑒 −𝑛 =1 𝑛 →∞ 𝑛! lim



Kita dapat mengetahui bahwa 𝑥! ≈ Γ(𝑥 + 1) ≈ √2𝜋. 𝑥 𝑥+1 . 𝑒 −𝑥 Dengan menggunakan pendekatan Gauss fungsi gamma yaitu x!, dapat dihitung. 𝑛(𝑛 + 1) … (𝑛 + 𝑘) 𝑛! = 1.2.3.4.5. … 𝑛. (𝑛 + 1) … (𝑛 + 𝑘) Untuk nilai k yang membesar sampai apapun, hasilnya akan tetap sama yaitu n!. Sehingga, persamaan di atas dapat ditulis 𝑛! = lim 𝑛! 𝑘→∞



𝑛(𝑛 + 1) … (𝑛 + 𝑘) (𝑛 + 1) … (𝑛 + 𝑘)



(𝑛+𝑘) 𝑘→∞ (𝑛+1)…(𝑛+𝑘)



= lim



Sebab (n+k)! = (k+n)!, maka (𝑘 + 𝑛) 𝑛! = lim 𝑘→∞ (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) … (𝑛 + 𝑘) 𝑘!.(𝑘+1)(𝑘+2)…(𝑘+𝑛) 𝑘→∞ (𝑛+1)(𝑛+2)…(𝑛+𝑘) (𝑘+1)(𝑘+2)…(𝑘+𝑛) 𝑘!𝑘 𝑛 lim [(𝑛+1)(𝑛+2)…(𝑛+𝑘)]. lim 𝑘𝑛 𝑘→∞ 𝑘→∞



= lim =



Pertama, Kita akan mencari nilai dari lim



𝑘→∞



(𝑘+1)(𝑘+2)…(𝑘+𝑛) 𝑘𝑛



(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) … (𝑘 + 𝑛) 𝑘+1 𝑘+2 𝑘+𝑛 lim = lim lim … lim [ ] [ ] [ ] 𝑘→∞ 𝑘→∞ 𝑘→∞ 𝑘𝑛 𝑘 𝑘→∞ 𝑘 𝑘 1 2 𝑛 = lim (1 + 𝑘) lim (1 + 𝑘) … lim (1 + 𝑘 ) 𝑘→∞



Karena lim



𝑎



𝑛→∞ 𝑛



𝑘→∞



𝑘→∞



=0



(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) … (𝑘 + 𝑛) 1 2 𝑛 = lim (1 + ) lim (1 + ) … lim (1 + ) 𝑛 𝑘→∞ 𝑘→∞ 𝑘→∞ 𝑘 𝑘 𝑘→∞ 𝑘 𝑘 = (1)(1)(1)(1) … (1) =1 lim



Karena lim



𝑘→∞



(𝑘+1)(𝑘+2)…(𝑘+𝑛) 𝑘𝑛



= 1, maka



𝑛! = lim [ 𝑘→∞



𝑘! 𝑘 𝑛 ] .1 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) … (𝑛 + 𝑘)



𝑘!𝑘 𝑛 𝑘→∞ (𝑛+1)(𝑛+2)…(𝑛+𝑘)



= lim



= lim 𝜋 (𝑛, 𝑘) 𝑘→∞



Jadi, Γ(𝑥 + 1) = 𝑥! = lim 𝜋 (𝑥, 𝑘), 𝑥𝜖𝑧 + 𝑘→∞



3. Contoh Soal Tentukan nilai dari



  



Γ(6) 2Γ(3) ∞ ∫0 𝑥 3 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 ∞ ∫0 𝑥 6 𝑒 2𝑥 𝑑𝑡



Jawab  



Γ(6)



=



5!



=



2Γ(3) 2.2! ∞ 3 −𝑡 ∫0 𝑥 𝑒 𝑑𝑡



2!3!4!5!



≡



= 30



2.2! ∞ ∫0 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡



 𝑥=4 Jadi, ∞



∫ 𝑥 3 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = Γ(4) = 3! = 6 0







∞



∞



∫0 𝑥 6 𝑒 2𝑥 𝑑𝑡 ≢ ∫0 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 Misal, 2𝑥 = 𝑦 𝑑𝑥 =



1 𝑑𝑦 2



∞



∞



𝑦 6 1 ∫ 𝑥 6 𝑒 2𝑥 𝑑𝑡 = ∫ ( ) 𝑒 −𝑦 ( 𝑑𝑦) 2 2 0



0



=



1 27



∞



 𝑥=7



= =



1 27 1 27



∞



∫0 𝑦 6 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 ≡ ∫0 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 ∞



∫0 𝑦 6 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 Γ(7)



∞



∫0 𝑥 6 𝑒 2𝑥 𝑑𝑡 =



1 128



6! = 5,625



B. Fungsi Beta 1. Definisi Fungsi Beta Fungsi Beta sering disimbolkan dengan β(x,y). Bentuk umum fungsi beta adalah 1



𝛽(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑡 𝑥−1 (1 − 𝑡) 𝑦−1 𝑑𝑡 0



dimana 𝛽(𝑥, 𝑦) konvergen untuk 𝑥, 𝑦 > 0 2. Sifat Fungsi Beta Sifat fungsi beta adalah simetris, yaitu: 𝛽(𝑢, 𝑣) = 𝛽(𝑣, 𝑢) Bukti 1



𝛽(𝑢, 𝑣) = ∫ 𝑥 𝑢−1 (1 − 𝑥)𝑣−1 𝑑𝑥 0



Dengan menggunakan transformasi 𝑥 = 1 − 𝑦, maka diperoleh : 1



𝛽(𝑢, 𝑣) = ∫(1 − 𝑦)𝑢−1 (𝑦)𝑣−1 𝑑𝑦 0 1



= ∫0 𝑦 𝑣−1 (1 − 𝑦)𝑢−1 𝑑𝑦 𝛽(𝑢, 𝑣) = 𝛽(𝑣, 𝑢) 3. Hubungan Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Hubungan fungsi gamma dan fungsi beta adalah bahwa fungsi beta dapat dinyatakan dalam fungsi gamma. Persamaanya adalah sebagai berikut : Γ(𝑚)Γ(𝑛) 𝛽(𝑚, 𝑛) = Γ(𝑚 + 𝑛) Untuk 𝑚, 𝑛 > 0, yang merupakan syarat agar Γ(𝑚) dan Γ(𝑛) konvergen. Persamaan di atas dapat ditunjukkan transformasi kordat polar 4. Bentuk Integral yang dapat dinyatakan dalam Gamma dan Beta Berikut adalah integral spesial yang dinyatakan dalam fungsi gamma dan fungsi beta : 𝑥



a) ∫02(𝑠𝑖𝑛2𝑥−1 𝜃)(𝑐𝑜𝑠 2𝑦−1 𝜃)𝑑𝜃 = Bukti :



1 2



𝛽(𝑥, 𝑦) =



1 Γ(𝑚)Γ(𝑛) 2



( Γ(𝑚+𝑛) )



1



𝛽(𝑢, 𝑣) = ∫ 𝑥 𝑢−1 (1 − 𝑥)𝑣−1 𝑑𝑥 0



𝜋/2



((𝑠𝑖𝑛2 𝜃)𝑢−1 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑣−1 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃



= ∫0



𝜋/2



= 2 ∫0



(𝑠𝑖𝑛2𝑢−1 𝜃)(𝑐𝑜𝑠 2𝑣−1 𝜃)𝑑𝜃



𝜋/2 1 𝛽(𝑢, 𝑣) = ∫ (𝑠𝑖𝑛2𝑢−1 𝜃)(𝑐𝑜𝑠 2𝑣−1 𝜃)𝑑𝜃 2 0



b)



∞ 𝑥 𝑝+1 ∫0 1+𝑥



𝑑𝑥 =



𝜋 sin 𝑝 𝜋



= Γ(𝑝)Γ(1 − 𝑝) = 𝛽 (𝑝, 1 − 𝑝)



5. Contoh Soal Tentukan nilai dari : 𝛽(3,4)







𝛽(5,2) 1 ∫0 𝑥 4 (1 −







𝑥)3 𝑑𝑥



Jawab:



𝛽(3,4)







𝛽(5,2)







=



Γ(3)Γ(4) Γ(3+4) Γ(3)Γ(2) Γ(3+2)



1



=



2!4! 3!5!



=



2 5



1



∫0 𝑥 4 (1 − 𝑥)3 𝑑𝑥 =∫0 𝑥 𝑢−1 (1 − 𝑥)𝑣−1 𝑑𝑡  𝑢 = 3, 𝑣 = 2 1



∫0 𝑥 4 (1 − 𝑥)3 𝑑𝑥 = 𝛽(3,2)



= =



Γ(3)Γ(2) Γ(3+2) 3!1! 5!



1



= 60