16 0 272 KB
Geometri Young Aksioma 1: terdapat minimal satu garis Aksioma 2: terdapat tepat tiga titik pada setiap garis Aksioma 3: tidak semua titik segaris Aksioma 4: terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda Aksioma 5: Untuk setiap garis
l
dan titik tidak pada
l
terdapat tepat l garis yang melalui
G dan tidak memuat titik pada l
Teorema 1 Young: Di setiap titik terdapat minimal 4 garis. Bukti: Menurut aksioma -1: ada minimal satu garis, sebut garis itu . Menurut aksioma -2: ada tepat 3 titik pada setiap garis. Berarti di l ada 3 titik, sebut titik itu D , E , dan
F .
Menurut aksioma -3: tidak semua titik segaris. Berarti ada titik lain yang tidak tidak pada garis , sebut sembarang titik tersebut adalah G . Menurut aksioma -4: ada tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Jadi ada minimal 3 garis melalui sebarang titik G ke 3 titik yang berada di garis l . Menurut aksioma -5: terletak pada titik garis
G
l . Jadi ada satu garis lagi yang terbentuk oleh
berada di garis l . Terbukti: Jadi ada minimal 4 garis di G .
Teorema 2 Young Terdapat tepat 9 titik. Bukti:
sebuah garis yang tidak memuat setiap titik pada G
di titik lain selain 3 titik yang
l1
Berdasarkan aksioma 1 dan 2 garis
tepat memiliki 3 titik.
sedang menurut aksioma 3 tidak semua titik segaris, berarti ada minimal 1 titik yang tidak pada l1
, sebut titik G .
sehingga ada minimal 4 titik. Aksioma -4 menyatakan setiap 2 titik menentukan garis. l Berarti G dan titik-titik pada 1
menentukan garis, yaitu
l2
,
l3
, dan
l4
.
Di setiap garis ini ada tepat 3 titik (aksioma 2). 3 titik ini pasti bukan 4 titik tadi karena untuk setiap 2 titik ada tepat
l
garis, sehingga
minimal ada 7 titik. Menurut teorema 1: di P ada minimal 4 garis. l5
Menurut aksioma 5:
Menurut aksioma 2: di
tidak memotong l5
l1
.
ada tepat 3 titik. Jadi ada minimal 9 titik.
Andai ada titik ke -10 yaitu Q . Menurut aksioma 4: karena kalau Q Sehingga di
G
G
pada l
dan
Q
menentukan 1 garis. Titik
berarti di l
ada lebih dari
l
Teorema 3 Young Terdapat tepat 12 garis.
pasti tidak pada
l ,
ada lebih dari 3 titik. Kontradiksi dengan aksioma 2.
garis yang tidak memuat titik pada
dengan aksioma 5. Jadi tidak ada titik yang ke 10. Terbukti ada tepat 9 titik.
Q
l . kontradiksi
Bukti: Menurut teorema -2 ada tepat 9 titik. Untuk memudahkan kita sebut saja titik-titik itu A , B , C , D , E , F ,G , H , I
berdasarkan aksioma 4 terdapat tepat satu garis pada sebarang dua
titik berbeda Jadi di dapat:
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
G
H
B
D
E
E
D
F
F
E
D
E
H
F
C
G
I
H
I
G
I
G
H
F
I
A
l1
l2
l3
l4
l5
l6
l7
Terdapat tepat 12 garis,
l8
l9
l 10
l 11
l 12