Jawaban Analisis Real 2.4 [PDF]

Citation preview

Pembahasan 2.4 4. Misalkan S   , S terbatas di R . a.



a  0 dan aS : as : s  S 



inf  aS  = a inf S Bukti : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum. Misalkan v  inf S , maka v adalah batas bawah S . Jadi v  s, s  S .



a  0 dan v  s , maka av  as, s  S . Jadi av batas bawah aS ...........................................(1) Misalkan t sebarang batas bawah aS , adit : t  av . t sebarang batas bawah aS , berarti t  as, s  S . t a  0 dan t  as , maka  s, s  S . a t Jadi batas bawah S . a t t v  inf S dan batas bawah S , maka menurut definisi  v . a a Karena a  0 , maka t  av ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi inf  aS  = av = a inf S Jadi inf  aS  = av = a inf S . 



sup  aS  = a sup S Bukti : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum. Misalkan u  sup S , maka u adalah batas atas S . Jadi s  u, s  S .



a  0 dan s  u , maka as  au, s  S . Jadi au batas atas aS ...........................................(1) Misalkan t sebarang batas atas aS , adit : au  t . t sebarang batas bawah aS , berarti as  t , s  S . t a  0 dan as  t , maka s  , s  S . a t Jadi batas atas S . a t t u  sup S dan batas atas S , maka menurut definisi u  . a a Karena a  0 , maka au  t ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi sup  aS  = au = a sup S Jadi sup  aS  = au = a sup S .



b. b  0 dan bS : bs : s  S 



inf  bS  = b sup S Bukti : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum. Misalkan u  sup S , maka u adalah batas atas S . Jadi s  u, s  S .



b  0 dan s  u , maka bs  bu, s  S . Jadi bu batas bawah bS ...........................................(1) Misalkan t sebarang batas bawah bS , adit : t  bu . t sebarang batas bawah bS , berarti t  bs, s  S . t b  0 dan t  bs , maka  s, s  S . b t Jadi batas atas S . b t t u  sup S dan batas atas S , maka menurut definisi u  . b b Karena b  0 , maka t  bu ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi inf  bS  = bu = b sup S Jadi inf  bS  = bu = b sup S . 



sup  bS  = b inf S Bukti : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum. Misalkan v  inf S , maka v adalah batas bawah S . Jadi v  s, s  S .



b  0 dan v  s , maka bs  bv, s  S . Jadi bv batas atas bS ...........................................(1) Misalkan t sebarang batas atas bS , adit : bv  t . t sebarang batas atas bS , berarti bs  t , s  S . t b  0 dan bs  t , maka s  , s  S . b t Jadi batas bawah S . b t t v  inf S dan batas bawah S , maka menurut definisi  v . b b Karena b  0 , maka bv  t ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi sup  bS  = bv = b inf S . Jadi sup  bS  = bv = b inf S .



6. Misalkan A   , B   , A, B  R dan A, B terbatas di R . Misalkan A  B : a  b : a  A, b  B . Buktikan : a. Sup  A  B   sup A + sup B b. Inf  A  B   inf A + inf B Bukti :



A, B terbatas di R , berarti A dan B mempunyai batas atas dan batas bawah.



A dan B mempunyai batas atas dan batas bawah, berarti A dan B mempunyai suprimum dan infimum. a. Misalkan u  sup A , berarti u batas atas A . Jadi a  u, a  A .......................................(1) Misalkan v  sup B , berarti v batas atas B . Jadi b  v, b  B .......................................(2) Dari (1) dan (2) diperoleh a  b  u  v, a  A, b  B . Jadi u  v adalah batas atas A  B ......................................................................(*) Misalkan t adalah sebarang batas atas A  B . Adit : u  v  t . t adalah sebarang batas atas A  B , berarti a  b  t , a  A, b  B .



a  b  t ekuivalen dengan a  t  b, a  A Jadi t  b batas atas A . u  sup A dan t  b batas atas A , maka menurut definisi u  t  b . u  t  b ekuivalen dengan b  t  u, b  B . Jadi t  u batas atas B . v  sup B dan t  u batas atas B , maka menurut definisi v  t  u . v  t  u ekuivalen dengan u  v  t . Jadi u  v  t untuk t adalah sebarang batas atas A  B ...........................................(**) Dari (*) dan (**), maka menurut definisi suprimum, Sup  A  B   u  v = sup A + sup B Jadi Sup  A  B   sup A + sup B . b. Misalkan u '  inf A , berarti u ' batas bawah A . Jadi a  u ', a  A .......................................(1) Misalkan v '  inf B , berarti v ' batas bawah B . Jadi b  v ', b  B .......................................(2) Dari (1) dan (2) diperoleh a  b  u ' v ', a  A, b  B . Jadi u ' v ' adalah batas bawah A  B ......................................................................(*) Misalkan t ' adalah sebarang batas bawah A  B . Adit : u ' v '  t ' . t ' adalah sebarang batas bawah A  B , berarti a  b  t ', a  A, b  B .



a  b  t ' ekuivalen dengan a  t ' b, a  A Jadi t ' b batas bawah A . u '  inf A dan t ' b batas bawah A , maka menurut definisi u '  t ' b .



u '  t ' b ekuivalen dengan b  t ' u ', b  B . Jadi t ' u ' batas bawah B . v '  inf B dan t ' u ' batas bawah B , maka menurut definisi v '  t ' u ' . v '  t ' u ' ekuivalen dengan u ' v '  t ' . Jadi u ' v '  t ' untuk t ' adalah sebarang batas bawah A  B ...........................................(**) Dari (*) dan (**), maka menurut definisi infimum, inf  A  B   u ' v ' = inf A + inf B Jadi inf  A  B   inf A + inf B .



 



1. Tunjukkan sup 1 



1  : n N 1 n 



Jawab :



 1   1  : n  N  , maka akan ditunjukkan sup 1  : n  N   1  sup S  1  n   n 



Misalkan S    Karena 



1 1 1   (1) , kita misalkan S *   : n  N  . n n n 



Berdasarkan Corollary 2.4.4. inf S *  0 .



1  0 , maka menurut soal 4.b, sup S =  1 inf  S *    1 .0  0



Jadi sup S  0 .



 



Berdasarkan contoh 2.4.1, sup 1 



1  : n  N   1  sup S  1  0  1 n 



 1   sup 1  : n  N   1  n 



1 n



2. Jika S :  



1  : n, m  N  , tentukan inf S dan sup S ! m 



Jawab :



1 n



 



 1  1  : m  N  dan S m*   : m  N   m  m 



Misalkan S n   : n  N  , S m  



Berdasarkan Corollary 2.4.4, maka inf S n  0 dan inf S m*  0 Berdasarkan soal 2.3 no. 3, maka sup S n  S m*  1 . Berdasarkan soal no. 4, Inf S m  (1).sup S m*  ( 1).1  1 Jadi inf S m  1 . Berdasarkan soal no. 4, sup S m  (1).inf S m*  (1).0  0 Jadi sup Sm  0 . Berdasarkan soal no. 6, maka inf S = inf S n + inf Sm  0  (1)  1 .



1 n



Jadi inf S :  



1  : n, m  N   1 m 



Berdasarkan soal no. 6, maka sup S = sup S n + sup Sm  1  0  1 .



1 n



Jadi sup S :  



1  : n, m  N   1 m 



3. Misalkan S   dan S  R . Buktikan jika u  R memenuhi kondisi : (i) u 



S , n  N (ii) u 



1 bukan batas atas n



1 batas atas S , n  N , maka u  sup S . n



Bukti :  Andaikan u bukan batas atas S , berarti s  S ,  u  s . Akibatnya s  u  0 . Berdasarkan Corollary 2.4.5, maka ns u  N , 



1  su . ns u



1 1  s  u ekuivalen dengan u   s , untuk suatu s  S . ns u ns u Jadi u 



1 untuk suatu ns u  N , bukan batas atas dari S . ns u



1 batas atas S , n  N n Jadi pengandaian u bukan batas atas S salah. Jadi u batas atas S . Kontradiksi dengan u 







Misalkan   0 , maka menurut Corollary 2.4.5, n  N ,  Karena 1  0 dan u  R , maka u  Jadi S  u 



1  . n



1  u   untuk suatu n  N . n



1 1  S sehingga u    S  u   S . n n



Maka menurut lemma 2.3.4. u  sup S . 5. Misalkan X   dan f : X  R memiliki range yang terbatas di R . Jika a  R , buktikan : a.



supa  f  x  : x  X   a  sup f  x  : x  X 















b. inf a  f  x  : x  X  a  inf f  x  : x  X







Bukti :



 f  x : x  X  terbatas di R maka  f  x : x  X  mempunyai batas atas , berarti B  R sehingga f  x   B, x  X .



 f  x : x  X  terbatas di R maka  f  x : x  X  mempunyai batas bawah , berarti C  R sehingga f  x   C, x  X .



 f  x : x  X  mempunyai batas atas dan batas bawah, maka menurut sifat kelengkapan , R  f  x  : x  X  mempunyai suprimum dan infimum. Karena











a. Misalkan B  sup f  x  : x  X , berarti B batas atas f  x  . Jadi f  x   B, x  X . Karena a  R dan f  x   B maka a  f  x   a  B, x  X . Jadi a  B batas atas a  f  x  ............................................(i) Misalkan B ' adalah sebarang batas atas a  f  x  , Adit : a  B  B ' .



B ' adalah batas atas a  f  x  , berarti a  f  x   B ', x  X . Karena a  R dan a  f  x   B ' maka f  x   B ' a, x  X . Jadi B ' a adalah batas atas f  x  .



B  sup f  x  : x  X  dan B ' a adalah batas atas f  x  maka menurut definisi



B  B ' a yang ekuivalen dengan a  B  B ' . Jadi a  B  B ' untuk B ' sebarang batas atas a  f  x  ............(ii)



















Berdasarkan (i) dan (ii) maka sup a  f  x  : x  X  a  B  a  sup f  x  : x  X .



















Jadi sup a  f  x  : x  X  a  sup f  x  : x  X .











b. Misalkan C  inf f  x  : x  X , berarti B batas bawah f  x  . Jadi f  x   C, x  X . Karena a  R dan f  x   C maka a  f  x   a  C, x  X . Jadi a  C batas bawah a  f  x  ............................................(i) Misalkan C ' adalah sebarang batas bawah a  f  x  , Adit : C '  a  C .



C ' adalah batas bawah a  f  x  , berarti a  f  x   C ', x  X . Karena a  R dan a  f  x   C ' maka f  x   C ' a, x  X . Jadi C ' a adalah batas bawah f  x  .



C  inf  f  x  : x  X  dan C ' a adalah batas bawah f  x  maka menurut definisi



C ' a  C yang ekuivalen dengan C '  a  C . Jadi C '  a  C untuk C ' sebarang batas bawah a  f  x  ............(ii)







 Jadi inf a  f  x  : x  X   a  inf  f  x  : x  X  .











Berdasarkan (i) dan (ii) maka inf a  f  x  : x  X  a  C  a  inf f  x  : x  X . 7. Misalkan X   , f dan g fungsi yang didefinisikan di X yang terbatas di R . Buktikan : a.



sup f  x   g  x  : x  X   sup f  x  : x  X   sup g  x  : x  X 























b. inf f  x  : x  X  inf g  x  : x  X  inf f  x   g  x  : x  X Bukti :







8.