Jawaban Uas Analisis Real [PDF]

Citation preview

JAWABAN SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO Mata Kuliah : Analisis Real Waktu : 90 menit Hari, tanggal : Sifat : Boleh buka buku Dosen : Dr. Julan HERNADI 1. Diberikan fungsi 𝑓: [0,2] → ℝ yang didefinisikan sebagai 𝑓(𝑥) = 2 jika 0 ≤ 𝑥 < 1, 𝑓(1) = 3 dan 𝑓(𝑥) = 1 jika 1 < 𝑥 ≤ 2. Anda diminta untuk membuktikan bahwa fungsi 𝑓 terintegral pada [0, 2] dengan melengkapi langkah-langkah berikut Bukti : a. Gambarkan dulu grafik fungsi ini (untuk memudahkan melihat bentuknya).



1 2 0 1 1 b. Untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁, diambil partisi 𝑃𝑛 ≔ {0, 1 − 𝑛 , 1 + 𝑛 , 2 }. Untuk mengetahui pemahaman anda, tentukan bentuk nyata dari 𝑃2 , 𝑃4 ,dan 𝑃5 . 1 3 3 5 4 6 𝑃2 = {0, , , 2} , 𝑃4 = {0, , , 2} , 𝑃5 = {0, , , 2} 2 2 4 4 5 5 c. Untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁, hitunglah jumlah bawah 𝐿(𝑃𝑛 ; 𝑓) dan jumlah atas 𝑈(𝑃𝑛 ; 𝑓). Kemudian hitunglah M = sup{𝐿(𝑃𝑛 ; 𝑓): 𝑛 ∈ 𝑁 } dan m = inf {𝑈(𝑃𝑛 ; 𝑓): 𝑛 ∈ 𝑁 } 1 2 1 1 𝐿(𝑃𝑛 ; 𝑓) = 𝑚1 ∆1 𝑥 + 𝑚2 ∆2 𝑥 + 𝑚3 ∆3 𝑥 = 2 (1 − ) + 1 ( ) + 1 (1 − ) = 3 − . 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 1 2 1 𝑈(𝑃𝑛 ; 𝑓) = 𝑀1 ∆1 𝑥 + 𝑀2 ∆2 𝑥 + 𝑀3 ∆3 𝑥 = 2 (1 − ) + 3 ( ) + 1 (1 − ) = 3. 𝑛 𝑛 𝑛 1 {3; Jadi 𝑀 = sup {3 − 𝑛 ; 𝑛 ∈ 𝑁} = 3 dan 𝑚 = inf 𝑛 ∈ 𝑁} = 3. d. Misalkan ℘ menyatakan himpunan semua partisi pada [0, 2 ], tuliskan hubungan antara M, m, integral bawah 𝐿(𝑓) dan integral atas 𝑈(𝑓), berikan alasannya. Karena {𝑃𝑛 : 𝑛 ∈ 𝑁} ⊂ ℘ maka diperoleh



3 = sup{𝐿(𝑃𝑛 ; 𝑓): 𝑛 ∈ 𝑁 } ≤ sup{𝐿(𝑃; 𝑓); 𝑃 ∈ ℘} = 𝐿(𝑓) ≤ 𝑈(𝑓) = inf{𝑈(𝑃; 𝑓); 𝑃 ∈ ℘} = 𝑈(𝑓) ≤ inf {𝑈(𝑃𝑛 ; 𝑓): 𝑛 ∈ 𝑁 } = 3 2



Sehingga diperoleh 𝐿(𝑓) = 𝑈(𝑓) = 3. Jadi fungsi 𝑓 terintegral pada [0, 2] dengan ∫0 𝑓 = 3. Skor: a-20, b-10, c-40 dan d-30. 2.



Misalkan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensial pada (𝑎, 𝑏). Buktikan bahwa jika lim 𝑓 ′ (𝑥) = 𝐴 maka 𝑓 ′ (𝑎) ada dan samadengan 𝐴. Anda diminta memahami alur bukti berikut



𝑥→𝑎



dengan melengkapi bagian-bagian yang dihilangkan. Bukti : Diketahui lim 𝑓 ′ (𝑥) = 𝐴, diberikan 𝜀 > 0 sebarang. Maka terdapat 𝛿 > 0 sehingga berlaku 𝑥→𝑎



|𝑓 ′ (𝑥)



− 𝐴| < 𝜀 untuk



a) setiap 𝑥 dimana 0 < |𝑥 − 𝑎| ⋯< 𝛿 (



*)



Misalkan 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) sebarang titik; karena 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensial pada (𝑎, 𝑏) maka b) Berdasarkan TNR terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑥) sehingga berlaku 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑐). 𝑥−𝑎 Karena 𝑐 memenuhi 𝑥 pada a) maka berlaku pula |



c) |𝑓 ′ (𝑐) − 𝐴| < 𝜀



sehingga diperoleh



𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝐴 | = |𝑓 ′ (𝑐) − 𝐴| < 𝜀. 𝑥−𝑎



Akhirnya diperoleh ringkasan berikut : e) untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga jika 𝑥 dimana 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 maka berlaku |



𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝐴 | < 𝜀. 𝑥−𝑎



Berdasarkan definisi maka disimpulkan 𝑓 terdiferensial di 𝑎 dengan 𝑓 ′ (𝑎) = 𝐴. Skor: a-20, b-20, c-20, d-20, e-20.



JAWABAN SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO Mata Kuliah : Teori Bilangan Waktu : 90 menit Hari, tanggal : Sifat : Tutup buku, boleh pakai kalkulator Dosen : Dr. Julan HERNADI 9



1. Anda diminta untuk menentukan dua digit terakhir pada bilangan 99 dengan cara bertahap menjawab pertanyaan berikut. a. Buktikan dulu 99 ≡ 9(𝑚𝑜𝑑 10) Bukti : 92 = 81 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 10) sehingga 98 = (92 )4 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 10). Jadi 99 = 98 × 9 ≡ 1 × 9 ≡ 9(𝑚𝑜𝑑 10). b. Berdasarkan a) maka dapat ditulis 99 = 9 + 10𝑘 untuk suatu 𝑘 ∈ 𝑍. Selanjutnya anda 9



diminta menuunjukkan bahwa 99 = 99 × (910 )𝑘 . 9



9



Karena 99 = 9 + 10𝑘 maka 99 = (9)9 = 99+10𝑘 = 99 × 910𝑘 = 9 × (910 )𝑘 . c. Tunjukkan fakta lainnya bahwa 99 ≡ 89(𝑚𝑜𝑑 100). Bukti: Karena 93 = 729 = 29(𝑚𝑜𝑑 100) maka 99 = (93 )3 = 293 (𝑚𝑜𝑑 100) ≡ 24389 ≡ 89(𝑚𝑜𝑑 100). d. Tunjukkan pula bahwa (910 )𝑘 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 100). Bukti: Karena99 ≡ 89(𝑚𝑜𝑑 100) maka 910 ≡ 89 × 9(𝑚𝑜𝑑 100) = 801(𝑚𝑜𝑑 100) = 1(𝑚𝑜𝑑 100) sehingga (910 )𝑘 ≡ 1𝑘 (𝑚𝑜𝑑 100) = 1(𝑚𝑜𝑑 100). e. Dengan menggunakan b, c dan d coba anda simpulkan dengan alasan logis untuk menentukan dua digit yang dimaksud pada soal. 9



Melalui hasil di atas diperoleh 99 = 99 × (910 )𝑘 ≡ 89 × 1 ≡ 89(𝑚𝑜𝑑 100). DKL: 9



bilangan 99 bila dibagi 100 memberikan sisa 89. Ini berarti 2 digit terakhir yang dimaksud adalah 89. 2. Temukan satu bilangan bulat yang jika dibagi 11 sisanya 5, jika dibagi 29 sisanya 14 dan jika dibagi 31 sisanya 15. Jawaban : Misalkan bilangan bulat tersebut 𝑥 maka 𝑥 memenuhi persamaan kongruensi berikut: 𝑥 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 11), 𝑥 ≡ 14(𝑚𝑜𝑑 29) dan 𝑥 ≡ 15(𝑚𝑜𝑑 31). Karena 𝑛1 = 11, 𝑛2 = 29 dan 𝑛3 = 31 saling relatif prima maka dengan Teorema sisa China, maka system ini mempunyai penyelesaian tunggal relatif thd modulo 𝑛. Di sini kita mempunyai 𝑛 = 11 × 29 ×



31 = 9889, 𝑁1 = 29 × 31 = 899, 𝑁2 = 11 × 31 = 341, 𝑁3 = 11 × 29 = 319. Selanjutnya tentukan penyelesaian masing-masing kongruensi linier berikut 899𝑥1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 11), 341𝑥2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 29), 319𝑥3 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 31). Maka akan diperoleh 𝑥1 = 7, 𝑥2 = 4, 𝑥3 = 7. Silahkan dicek! Akhirnya diperoleh penyelesaian simultan system ini yaitu 𝑥̅ = (5)(899)(7) + (14)(341)(4) + (15)(319)(7). Atau bilangan lain yang kongruen modulo 𝑛 dengan bilangan ini. Coba di cek.



3. Dengan menggunakan Teorema Fermat, buktikan pernyataan berikut (kerjakan 2 item saja) a. 17 membagi 11104 + 1. Bukti: Ambil 𝑝 = 17 prima, 𝑎 = 11 maka 𝑝 ∤ 𝑎 sehingga diperoleh 1116 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 17). Karena (1116 )6 = 1196 maka diperoleh 1196 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 17). Berlaku juga bahwa 112 ≡ −2(𝑚𝑜𝑑 17) sehingga 118 = (112 )4 ≡ 16(𝑚𝑜𝑑 17). Dengan menggunakan ini maka 11104 = 1196 × 118 = 16(𝑚𝑜𝑑 17) ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 17), yaitu 11104 + 1 merupkan kelipatan 17. Terbukti. Yang lainnya dibuktikan sendiri! b. 𝑎21 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 15) untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑍. c. Bila gcd(𝑎, 30) = 1 maka 60 membagi 𝑎4 + 59. d. If 7 ∤ 𝑎 then either 𝑎3 + 1 or 𝑎3 − 1 is divisible by 7. SKOR MAKS: No1=50, No2=30, No3=40, TOTAL=120.