Kalkulus Peubah Banyak [PDF]

Citation preview

Nama : Siti Aisyah NIM



: 06081281823025 Kalkulus Peubah Banyak (Soal-soal 12.2)



Dalam soal-soal 1-16, carilah semua turunan parsial pertama masing-masing fungsi! 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦)4 𝜕𝑧 = 4 (2𝑥 − 𝑦)4−1 (2) = 8 (2𝑥 − 𝑦)3 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = 4 (2𝑥 − 𝑦)4−1 (−1) = −4 (2𝑥 − 𝑦)3 𝜕𝑦 3.



𝑓(𝑥, 𝑦) =



𝑥 2 −𝑦 2 𝑥𝑦



𝜕𝑧 𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣′ 2𝑥(𝑥𝑦) − (𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑦 2𝑥 2 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 𝑥 2 + 𝑦 2 = = = = 𝜕𝑥 𝑣2 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦 𝜕𝑧 𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣′ −2𝑦(𝑥𝑦) − (𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑥 −2𝑥𝑦 2 − 𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 𝑥2 + 𝑦2 = = = = − 𝜕𝑦 𝑣2 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦2 𝑥𝑦 2 5.



𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑦 sin 𝑥 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑦 cos 𝑥 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑦 sin 𝑥



7.



𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 − 𝑦 2 1 1 1 1 𝜕𝑧 1 1 = (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 = (𝑥 2 − 𝑦 2 )2−1(2𝑥) = (2𝑥)(𝑥 2 − 𝑦 2 )−2 = (𝑥)(𝑥 2 − 𝑦 2 )−2 𝜕𝑥 2 2 1 1 1 𝜕𝑧 1 2 1 = (𝑥 − 𝑦 2 )2−1 (−2𝑦) = (−2𝑦)(𝑥 2 − 𝑦 2 )−2 = (−𝑦)(𝑥 2 − 𝑦 2 )−2 𝜕𝑦 2 2



9.



𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −𝑥𝑦 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) = −𝑦𝑒 −𝑥𝑦 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑒 −𝑥𝑦



11. 𝑓(𝑥, 𝑦) = tan−1(4𝑥 − 7𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 =



1 = cot (4𝑥 − 7𝑦) tan(4𝑥 − 7𝑦)



𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑠𝑐 2 (4𝑥 − 7𝑦)4 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = −4 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (4𝑥 − 7𝑦)



13. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 cos (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝜕𝑧 = 𝑦{− sin(𝑥 2 + 𝑦 2 )}2𝑥 = −2𝑥𝑦 sin(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = {𝑦[− sin(𝑥 2 + 𝑦 2 )]2𝑦} + {cos(𝑥 2 + 𝑦 2 )} = −2𝑦 2 sin(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + cos(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝜕𝑦 15. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2 sin 𝑥 cos 𝑦 𝜕𝑧 = 2 cos 𝑦 cos 𝑥 = 2 cos 𝑥 cos 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = 2 sin 𝑥 ( − sin 𝑦) = −2 sin 𝑥 sin 𝑦 𝜕𝑦 Dalam soal-soal 17-20, periksa kebenaran bahwa 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 17. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 5 Bukti : 𝑓𝑥 = 4𝑥𝑦 3 − 3𝑥 2 𝑦 5 𝑓𝑦 = 6𝑥 2 𝑦 2 − 5𝑥 3 𝑦 4 𝑓𝑥𝑦 = 12𝑥𝑦 3 − 15𝑥 2 𝑦 5 𝑓𝑦𝑥 = 12𝑥𝑦 3 − 15𝑥 2 𝑦 5 (TERBUKTI) 19. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑒 2𝑥 cos 𝑦 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 6𝑒 2𝑥 cos 𝑦 𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = 6𝑒 2𝑥 (− sin 𝑦) = −6 𝑒 2𝑥 sin 𝑦 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 3𝑒 2𝑥 (− sin 𝑦) = −3𝑒 2 sin 𝑦 𝑓𝑦𝑥 (𝑥, 𝑦) = −6𝑒 2𝑥 sin 𝑦 21. 𝑓(𝑥, 𝑦) =



2𝑥−𝑦



𝑓ₓ(𝑥, 𝑦) =



𝑥𝑦



, carilah 𝑓ₓ(3, −2)dan 𝑓𝑦 (3, −2)



(𝑥𝑦)(2) − (2𝑥 − 𝑦)(𝑦) (𝑥𝑦)²



𝑓ₓ(𝑥, 𝑦) =



𝑦² 𝑥²𝑦²



1 𝑥² 1 𝑓ₓ(3, −2) = 3² (𝑥, 𝑦)(−1) − (2𝑥 − 𝑦)(𝑥) 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦)² 𝑓ₓ(𝑥, 𝑦) =



𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) =



−2𝑥² 𝑥²𝑦²



𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) =



2 𝑦²



𝑓𝑦 (3, −2) =



2 1 =− 2 −2 2



23. Jika𝑓(𝑥, 𝑦) = tan−1(𝑦 2 /𝑥) , carilah 𝑓𝑥 (√5, −2) dan 𝑓𝑦 = (√5, −2). 25. Carilahkemiringangarissinggungpadakurvaperpotonganpermukaan36𝑧 = 4𝑥 2 + 9𝑦 2 dengan bidang 𝑥 = 3 di titik (3,2,2). 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) =



𝑥² 𝑦² + 9 4



𝑦 2



𝑓𝑦 (3,2) = 1 27. Carilah kemiringan garis singgug pada kurva perpotongan permukaan 2𝑧 = 3



√9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 36 dengan bidang 𝑦 = 1 di titik (2, 1, 2).



2𝑧 = √9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 36 1 1 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( ) (9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 36)2 2 1



1



1



= 2 × 2 (9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 36)2−1 (18𝑥) 1



1



= 4 (9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 36)−2 (18𝑥) 9



1



= 2 𝑥(9𝑥 2 + 9𝑦 2 − 36)−2



=



9𝑥 1



2(9𝑥 2 +9𝑦 2 −36)2 3



Maka kemiringan 𝑓𝑥 (2, 1) pada titik (2, 1, 2) 9(2)



𝑓𝑥 (2, 1) =



1



2(9(2)2 + 9(1)2 − 36)2 18



=



1



2(36+9−36)2



=



18 6



=3 29. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan oleh 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ, di mana r jari-jari dan h tinggi. Jika h dipertahankan tetap pada h = 10 inci, cari laju perubahan V terhadap r ketika r = 6 inci.



Dik :



𝑟 = 6 𝑖𝑛𝑐𝑖 ℎ = 10 𝑖𝑛𝑐𝑖



𝑉(𝑟, ℎ) = 𝜋𝑟 2 ℎ Laju perubahan V terhadap 𝑟 = 𝑉𝑟(𝑟, ℎ) 𝑉𝑟(𝑟, ℎ) = 2𝜋𝑟ℎ 𝑉𝑟(6,10) = 2𝜋. 6.10 = 120𝜋 𝑖𝑛𝑐𝑖 2 31. Menurut hukum gas ideal, tekanan, suhu, dan volume gas dihubungkan oleh 𝑃𝑉 = 𝑘𝑇, dengan 𝑘suatu konstanta. Carilah laju perubahan tekanan (pon per inci kuadrat) terhadap suhu pada waktu suhu adalah 300°𝐾 jika volume dipertahankan tetap pada 100 inci kubik.



𝑃𝑉 = 𝑘𝑇 Laju perubahan tekanan (P) terhadap suhu (T) dengan suhu (T) = 300°𝐾 dan 𝑉 = 100 𝑖𝑛𝑐𝑖 3 𝑃=



𝑘𝑇 𝑉



𝑃𝑇 (𝑇, 𝑉) =



𝑘 𝑉



𝑃𝑇 (300,100) =



𝑘 𝑝𝑜𝑛/𝑖𝑛𝑐𝑖 2 100



Suatu fungsi dua variabel yang memenuhi persamaan Laplace. 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 disebut harmonik. Perlihatkan bahwa fungsi-fungsi yang didefinisikan pada soal 33 dan 34 adalah fungsi harmonik. 33. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 Dikatakan fungsi harmonik jika suatu fungsi dua variable memenuhi persamaan Laplace, 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 𝜕𝑓 = 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 3 𝜕𝑥 𝜕 2𝑓 = 6𝑥𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑓 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 𝜕𝑦 𝜕 2𝑓 = −6𝑥𝑦 𝜕𝑦 2 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 6𝑥𝑦 + (−6𝑥𝑦) = 0 Karena memenuhi persamaan Laplace, maka fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 dikatakan sebagai fungsi harmonic. 35. Jika 𝐹(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 4 𝑦 5 − 2𝑥 2 𝑦 3 , carilah 𝜕 3 𝑓(𝑥, 𝑦)/𝜕𝑦 3 . 𝐹(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 4 𝑦 5 − 2𝑥 2 𝑦 3 𝜕𝑓 = 15𝑥 4 𝑦 4 − 6𝑥 2 𝑦 2 𝜕𝑦 𝜕 2𝑓 = 60𝑥 4 𝑦 3 − 12𝑥 2 𝑦 𝜕𝑦 2 𝜕 3𝑓 = 180𝑥 4 𝑦 2 − 12𝑥 2 𝜕𝑦 3 37. Nyatakan yang berikut dalam cara penulisan ∂



𝜕3 𝑓



a. 𝑓𝑦𝑦𝑦 = 𝜕𝑦 3



𝜕3 𝑓



b. 𝑓𝑥𝑥𝑦 = 𝜕𝑦𝜕𝑥2 𝜕4 𝑓



c. 𝑓𝑥𝑦𝑦𝑦 = 𝜕𝑦 3 𝜕𝑥 39. 41. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 −𝑥𝑦𝑧 − ln(𝑥𝑦 − 𝑧 2 ) 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑦𝑧)(𝑒 −𝑥𝑦𝑧 ) −



(𝑦) (𝑥𝑦 − 𝑧 2 )



𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦𝑧𝑒 −𝑥𝑦𝑧 − 𝑦(𝑥𝑦 − 𝑧 2 )−1 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −(𝑦𝑧𝑒 −𝑥𝑦𝑧 + 𝑦(𝑥𝑦 − 𝑧 2 )−1 )



43. 45. 47. a. Bergerak sejajar dengan sumbu y dari titik (1, 1) ke kurva level terdekat dan ∆𝑧 4−5 mendekati ∆𝑦 , diperoleh fy(1,1) = 1,25−1 = −4



b. Bergerak sejajar dengan sumbu x dari titik (-4, 2) ke kurva level terdekat dan ∆𝑧 1−0 2 mendekati ∆𝑥 , diperoleh fx(-4,2) ≈ −2,5−(−4) = 3 c. Bergerak sejajar dengan sumbu x dari titik (-5, -2) ke kurva level terdekat dan ∆𝑧 1−0 2 mendekati ∆𝑥 , diperoleh fx(-4,-5) ≈ −2,5−(−5) = 5 d. Bergerak sejajar dengan sumbu x dari titik (0, -2) ke kurva level terdekat dan ∆𝑧 1−0 8 mendekati ∆𝑥 , diperoleh fx(0,-2) ≈ −19 =3 8



49. a. fy(x,y,z) = lim



𝑓(𝑥,𝑦+∆𝑦,𝑧)−𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) ∆𝑦



∆𝑦→0



b. fz(x,y,z) = lim



−(−2)



𝑓(𝑥,𝑦,𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) ∆𝑧 𝐺(𝑤,𝑥+∆𝑥,𝑦,𝑧)−𝐺(𝑤,𝑥,𝑦,𝑧)



∆𝑧→0



c. Gy(w,x,y,z) = lim



∆𝑥→0



𝜕



d. 𝜕𝑧 λ(𝑥, 𝑦 , 𝑧 , 𝑡 ) = lim



∆𝑥 λ(𝑥,𝑦,𝑧+∆𝑧,𝑡)−λ(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∆𝑧



∆𝑦→0



𝑆(𝑏𝑜, 𝑏1, 𝑏2, +∆𝑏2 ,…,𝑏𝑛 )−𝑆(𝑏𝑜, 𝑏1, 𝑏2,…,𝑏𝑛 )



𝜕



e. 𝜕𝑏 𝑆(𝑏𝑜, 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 ) = lim ( 2



∆𝑏2 →0



∆𝑏2



)