Kel.5 Keterbagian [PDF]

Citation preview

MAKALAH KETERBAGIAN Makalah ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika 1 MI/SD



Dosen Pengampu: Ria Norfika Yuliana, M.Pd.



Disusun oleh: Aidha Luluul Azkiyah



( 200103110015)



Fatimah Nur Lely



(200103110021)



Veny Anjarir Fadila



(200103110062)



JURUSAN PENDIDIKAN GURU MADARASAH IBTIDAIYAH FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2021



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Tak lupa kami sampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada dosen pengampu mata kuliah Matematika 1 MI/SD, Ibu Ria Norfika Yuliana, M.Pd.I yang telah membimbing kami setiap waktu dan semua pihak yang turut membantu proses penyusunan makalah ini. Kami berharap makalah ini dapat bermanfaat untuk menambah pengetahuan kita semua terkait dengan “KETERBAGIAN”. Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini, masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca kiranya kami harapkan sehingga dapat menjadi bahan perbaikan dalam penyusunan makalah berikutnya. Demikian semoga makalah sederhana ini dapat bermanfaat bagi pembaca pada umumnya, serta bagi kami khususnya. Kami berharap dan terbuka selalu terhadap kritik dan saran yang membangun dari pembaca sekalian.



Malang, 10 Oktober 2021



Penulis



i



DAFTAR ISI



Contents KATA PENGANTAR .............................................................................................................................. i DAFTAR ISI......................................................................................................................................... ii BAB I ................................................................................................................................................ iii PENDAHULUAN ................................................................................................................................ iii A.



Latar Belakang ...................................................................................................................... iii



B.



Rumusan Masalah................................................................................................................. iii



C.



Tujuan Penulisan................................................................................................................... iii



PEMBAHASAN ................................................................................................................................... 1 A.



pengertian Keterbagian.......................................................................................................... 1



B.



Sifat-sifat Keterbagian ........................................................................................................... 2



C.



Ciri suatu Bilangan yang Habis Dibagi ..................................................................................... 5



BAB III ............................................................................................................................................. 10 PENUTUP......................................................................................................................................... 10 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................................ 11



ii



BAB I



PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Dalam menyelesaikan soal dalam matematika penting untuk diketahui tentang teori yang berlaku dalam penyeleseian sebuah soal. Hal ini penting dilakukan supaya dalam penyelesaiannya memperhatikan prosedur penyelesaiannya soal. Seperti dalam penyelesaian soal keterbagian. Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalam teori bilangan ada bab yang berjudul Keterbagian Bilangan. Keterbagian merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, teori keterbagian bilangan sendiri terbagi kedalam beberapa bagian, yaitu yang akan membahas mengenai sifat keterbagian, ciri bilangan yang habis dibagi, ciri bilangan yang tidak habis dibagi, hingga muncul faktor.



B. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan Keterbagian? 2. Apa sajakah Sifat yang berlaku dalam Keterbagian? 3. Bagaimana ciri suatu Bilangan yang Habis Dibagi? C. Tujuan Penulisan 1. Untuk mengetahui Definisi tentang Keterbagian . 2. Untuk mengetahui Sifat-sifat yang Berlaku dalam Keterbagian 3. Untuk mengetahui ciri suatu Bilangan yang Habis Dibagi



iii



BAB II PEMBAHASAN



A. pengertian Keterbagian Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan di dalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat yang lain, maka hasil baginya adalah suatu bilangan bulat atau suatu bilangan yang tidak bulat, misalnya, jika 40 dibagi 8, maka hasil baginya adalah bilangan bulat 8; tetapi jika 40 dibagi 16, maka hasil baginya adalah 2,5. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian. Definisi keterbagian misalkan a dan b merupakan bilangan bulat b ≠ 0, maka akan muncul m dan n bilangan bulat. Sehingga : a = bm + n dan 0 ≤ n < |b|. Jika n = 0 maka b dikatakan membagi habis a dan biasa ditulis b | a. sebaliknya jika n ≠ 0 maka b dikatakan tidak membagi habis a biasa di tulis dengan b ┼ a . 1 Diberikan bilangan bulat a dan b dengan a ≠ 0. Bilangan a dikatakan habis membagi b jika terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga b=ak. Selain a|b dibaca a membagi habis b, juga dapat dibaca a faktor dari b, atau b habis dibagi a atau b kelipatan a. Contoh keterbagian habis dibagi 



5 | 20 5=b 20 = a 20 = 5 × 4 karena b=ak Jadi 5 membagi habis 20



Contoh keterbagian bersisa 



1



3 ┼ 23 3: b 23 : a



Muslihan. 2019. Top Master Olimpiade Matematika SD Nasional Dan Internasional, Jakarta : PT. Grasindo 1



23 = 3.7 + 2 karena a = bm + n Jadi 3 tidak membagi habis 23 B. Sifat-sifat Keterbagian Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teoi bilanga, sehingga konsep-konsep tentang keterbagian akan banyak dijumpai dalam uraian berikutnya. Konsep-konsep keterbagian ini juga sering muncul dalam buku-buku yang membahas struktur aljabar. Berikut ini sifat-sifat dari keterbagian : 1. Sifat Transitif Jika a,b,c adalah bilangan bulat dengan a|b dan b|c maka a|c.



Bukti : a|b dan b|c menurut definisi, terdapat bilangan m dan k, b = (k)a dan c = (m)b sedemikian sehingga : c = (m)b = m(ka) jadi, c = (mk)a untuk suatu mk = anggota bilangan bulat maka c = (mk)a. Akibatnya menurut definisi, a|c. Contoh : Notasi a|b -> b = ka b|c -> c = mb c = mb c = m(ka) c = (mk)a



a|c



Maka b = k.a



c = m.b



12 = 2.6



24 = 2.12



c = mb c = m(ka) c = (mk)a 24 = (2.2)6 24 = 4.6



a|c 2



2. Jika a|b maka a|mb, untuk setiap bilangan m Jika a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = (k)a. Ambil m bilangan bulat maka mb = m (mk)a Karena mk juga bilangan bulat maka disimpulkan a|mb. Contoh : a|b -> b = ka b = ka x m mb = (km)a



a|mb



maka Diketahui bilangan a,b, dan m ialah 4,8,16 maka : a|b -> b = ka 8 = 2.4 maka-> b = ka x m mb = (km) a 16.8 = (2.16) 4



a|mb



3. Jika a|b dan a|c maka a|b+c Bukti : Jika a|b maka terdepat bilangan bulat k sehingga b = ka Jika a|c maka terdapat bilangan bulat m sehingga c = ma Persamaan bilangan diatas dijumlahkan dan diperoleh : b + c = ka + ma b + c = (k+m)a Contoh : a|b -> b = ka a|c -> c = ma



+



b + c = ka + ma b + c = (k+m) a



a|b+c



Maka Diketahui bilangan a,b, dan c ialah 5,20, dan 35 maka : 20 = 4.5



3



35 = 7.5 + 20+35 = (4.5+7.5) 20+35 = (4+7) 5



a|b+c



4. Jika a|b dan a|c maka a|Pb+ Qc Bukti : Jika a|b maka berdasarkan sifat (2) berlaku a = kb untuk k bilangan bulat Jika a|c maka berdasarkan sifat (2) berlaku a = mb untuk m bilangan bulat Berdasarkan sifat (3) berlaku a(Pb+Qc) Contoh : a|b -> b = ka x P Pb = pka a|c -> c = ma x Q Qc = qma + Pb + Qc = Pka + Qma (bilangan a dikeluarkan karena dikolom tersebut terdapat bilangan sesama a) Pb + Qc = (Pk + Qm) a



a|Pb+ Qc



Maka : Diketahui bilangan a,b,c ialah 6,18,36 maka : 18 = 3.6 xP P.18 = P.3.6 36 = 6.6 xQ Q.36 = Q.6.6 + P.18 + Q.36 = P.3.6 + Q.6.6 P.18 + Q.36 = (P.3+Q.6) 6



a|Pb+ Qc



5. Jika a|b maka Pa|Pb Bukti : Jika a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka Kemudian a|b dikalikan P Maka dapat disimpulkan Pa|Pb Contoh : a|b -> b = ka



xP



Pb = k (pa)



Pa|Pb



Maka : Diketahui bilangan a,b ialah 2 dan 10 maka : 10 = 5.2 x P 4



P.10 = 5. (P2)



Pa|Pb



6. Jika a|b dan c|d maka ab|cd Bukti : Jika a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = (k)a. Jika c|d maka terdapat bilangan bulat m sehingga d = (m)c. Kemudian kedua bilangan yang sudah diketahui dikalikan, menjadi bd = (ka)mc = bd =(k.m)ac dapat disimpulkan ac|bd. Contoh : a|b - > b = ka c|d -> d = mc



×



bd = (k.a)m.c bd = (k.m)ac



ac|bd



Maka : Diketahui bilangan a,b,c dan d ialah 14,56,12 dan 24 maka : 56 = 4.14 24 = 2.12



×



56.24 = (4.14) 2.12 56.24 = (4.2) 14.12



ac|bd



C. Ciri suatu Bilangan yang Habis Dibagi Ciri-ciri Suatu Bilangan Habis Dibagi. Ada beberapa teorama yang berkaitan dengan ciri suatu bilangan yang habis dibagi, yaitu: 1. Teoram 7-10: untuk a,b,c € Z. Dan masing-masing habis dibagi X, maka ( a+b+c) juga habis dibagi X 2. Teorama 7-11: untuk a,b,c € Z. Dan masing-masing habis dibagi X, maka (a-b-c) juga habis dibagi X 3. Teorama 7-12: untuk a,b,c € Z. Jika a│c, maka c│ab D. Hukum Keterbagian Hukum keterbagian ini adalah sebuah cara atau teknik agar kita bisa mengetahui apakah bilangan tersebut bisa dibagi atau tidak tanpa perlu kita melakukan aksi pembagian a.



Bilangan yang habis dibagi 2, Yaitu suatu bilangan bulat positif N yang habis dibagi 2 jika angka terakhirnya genap. Misalkan bilangan tersebut adalah ab=a.10+b, dan a.10 habis dibagi 2, dan supaya ab habis dibagi 2 maka b dibagi 2: 5



Contoh: - 24= 2.10+4 2.10=20 habis dibagi 2 dan 4 juga habis dibagi 2, maka 24 habis dibagi 2→ (2│24) - 312 habis dibagi 2 karena digit terakhirnya genap.→ 2│312 - 475 tidak habis dibagi 2 karena digit terakhirnya ganjil → 2 ┼ 475 b.



Bilangan yang habis dibagi oleh 𝟐𝒏 , Yaitu suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 2𝑛 jika n digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi oleh 2𝑛 Contoh : - Untuk n=1, 21 = 2 → 64 habis dibagi oleh 2, karena digit terakhir bilangan tersebut adalah 4 habis dibagi oleh 2. - Untuk n=2, 22 = 4→ 124 habis dibagi oleh 4, karena dua digit terakhir bilangan tersebut 24 habis dibagi oleh 4. - 23 = 8→ 2488 habis dibagi oleh 8 , karena 3 digit terakhir bilangan tersebut adalah 488 habis dibagi oleh 8. - Dan seterusnya.......



c.



Bilangan yang habis dibagi 3, Yaitu suatu bilangan bulat positif N yang habis dibagi 3 jika jumlah dari semua digitnya habis dibagi oleh 3. Contoh : - 624 habis dibagi 3 karena jumlah dari semua digitnya habis dibagi 3→ (6+2+4=12, dan 12 habis dibagi 3) → 3│624 - 425 tidak habis dibagi dibagi 3 karena jumlah semua digitnya tidak habis dibagi 3 (4+2+5=11, dan 11 tidak habis dibagi 3) → 3 ┼ 425



d.



Bilangan yang habis dibagi 4, Yaitu suatu bilangan bulat positif N yang habis dibagi 4 jika dua angka terakhir habis dibagi 4. Contoh: - 3132 habis dibagi 4, karena dua angka terakhir bilangan tersebut adalah 32, habis dibagi oleh 4. → 4│3132 - 2246 tidak habis dibagi 4 karena 46 tidak habis dibagi 4. → 4 ┼ 2246



e.



Bilangan yang habis dibagi 5, Yaitu suatu bilangan bulat positif N yang habis dibagi 5 jika digit terakhir bilangan tersebut salah satu dari 0 dan 5. Contoh : - 675 dan 780 habis dibagi 5, →( 5│675, 5│780) 6



-



f.



789 tidak habis dibagi 5, karena digit terakhir bilangan tersebut adalah 9 maka tidak habis dibagi oleh 5. → 5 ┼ 789



Bilangan yang habis dibagi 6, Yaitu suatu bilangan bulat positif N yang habis dibagi 6 merupakan bilangan genap yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Atau bilangan yang habis dibagi 2 dan 3 Contoh : - 234 habis dibagi 6, karena jumlah angka-angkanya adalah 2+3+4=9, dan 9 habis dibagi 3 maka bilangan 234 habis dibagi 6.→ 6│234 - 235 tidak habis dibagi 6, karena 2+3+5=10 maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 3 dan 2, oleh sebab itu 235 tidak habis dibagi oleh 6.→ 6┼ 235



g.



Bilangan yang habis dibagi 7, Yaitu suatu bilangan bulat positif N jika diambil digit terakhir bilangan tersebut ( satuannya) kemudiannya dikalikan 2, dan hasilnya kali tersebut menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Dan jika hasil pengurangannya itu habis dibagi 7, maka bilangan tersebut habis dibagi 7. Contoh: - 5236→ kita pisahkan terlebih dahulu 6( satuannya), kemudian 523- (6×2)= 511. Lalu disederhanakan lagi 511→ 51- (1×2)= 49, Karena 49 habis dibagi 7 , maka 5236 habis dibagi 7 ( 7 │5236) - 143 apakah habis dibagi 7? → kita pisahkan terlebih dahulu satuannya yaitu 3, kemudian 14 - (3×2) = 14-6 = 8, maka bilangan 143 tidak habis dibagi 7 karena 8 tidak habis dibagi oleh 7.→ 7 ┼ 143



h.



Bilangan yang habis dibagi 8, Yaitu suatu bilangan bulat positif N jika 3 digit terakhirnya habis dibagi 8. Contohnya : - 3224, → tiga digit terakhirnya = 224÷8= 28, sehingga 3224 habis dibagi 8, karena 3 digit terakhirmya habis dibagi 8. ( 8 │3224) - 3126 → 126÷ 8= 15, 3126 tidak habis dibagi 8, karena tiga digit terahirnya tidak habis dibagi oleh 8. (8 ┼ 3126)



i.



Bilangan yang habis dibagi 9, Yaitu suatu bilangan bulat positif N jika jumlah dari semua digitnya habis dibagi 9. Contoh: - 378 habis dibagi 9 karena jumlah semua digitnya habis dibagi 9. ( 3+ 7+8= 18, dan 18 habis dibagi 9)→ 9│ 378



7



-



j.



745 tidak habis dibagi 9, karena 7+4+5=15, jadi 15 tidak habis dibagi 9. Maka 745 tidak habis dibagi oleh 9. → 9 ┼ 745



Bilangan yang habis dibagi 10, Yaitu suatu bilangan bulat positif N jika angka satuannya adalah 0 (=0) maka bilangan tersebut habis dibagi 10. Contoh : - 160 habis dibagi 10, karena satuan bilangan tersebut adalah 0, sehingga 160 habis dibagi 10 → 10│160 - 101 tidak habis dibagi 10, karena bilangan satuanya 1 tidak habis dibagi oleh 10.→ 10 ┼ 101



k.



Bilangan yang habis dibagi 11, Yaitu suatu bilangan bulat positif N jika jumlah silang tanda ganti digit-digitnya habis dibagi 11. Contoh: -



803 habis dibagi 11, karena ( 8+0+3= 11) karena 11 habis dibagi 11 maka 803 habis dibagi 11. → 11 │ 803 987654321 tidak habis dibagi 11, karena ( 9-8+7-6+5-4+3-2+1 )=5. Maka 987654321 tidak habis dibagi oleh 11. → 11┼ 987654321



l. Bilangan yang habis dibagi 12 Suatu bilangan bulat positif N yang syaratnya hanya bilangan itu habis dibagi 3 dan 4. yaitu bilangan tersebut jika 2 digit angka terakhirnya harus dibagi 4, dan jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Syarat bilangan yang habis dibagi 3 adalah jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Dan syarat-syarat bilangan yang habis dibagi 4 adalah dua angka di belakang (puluhannya) harus habis dibagi 4. Sehingga syarat suatu bilangan habis dibagi 12 adalah bilangan puluhannya habis dibagi 4 dan jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Contoh : - 111111111144 Karena 44 habis dibagi 4, dan jumlah angkanya habis dibagi 3, (18 habis dibagi 3).. jadi, 111111111144 habis dibagi 12→ 12│111111111144 m. Bilangan yang habis dibagi 13 Ciri bilangan habis dibagi 13 adalah bilangan asal dipisahkan satuannya. Kemudian dikalikan 9 Dan bilangan yang setelah dipisahkan tadi dikurangi dengan 9 kali bilangan satuannya. Misalnya bilangan awal kita adalah abcdefg, maka ciri bilangan habis dibagi 13 adalah [abcdef] – 9[ satuannya]. Jika hasilnya habis dibagi 13, maka bilangan tersebut juga habis dibagi 13.



8



Contoh : - 3419 habis dibagi 13 → pisahkan terlebih dahulu 341 – 9[9] = 341 – 81 = 260. Karena 260 habis dibagi 13, maka 3419 habis dibagi 13. (93│3419) - 12818 habis dibagi 13→ 1281 – 9[8] = 1281 – 72 = 1209→ 120 – 9[9] = 120 – 81 = 39. Jadi 39 habis dibagi 13, maka 12818 habis dibagi 13.→ 13│12818



9



BAB III PENUTUP A. kesimpulan Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan di dalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat yang lain, maka hasil baginya adalah suatu bilangan bulat atau suatu bilangan yang tidak bulat, misalnya, jika 40 dibagi 8, maka hasil baginya adalah bilangan bulat 8; tetapi jika 40 dibagi 16, maka hasil baginya adalah 2,5. Sifat keterbagian dibagi menjadi 6, yaitu : Jika a|b dan b|c maka a|c, Jika a|b maka a|mb, Jika a|b dan a|c maka a|b+c, Jika a|b dan a|c maka a|bc, Jika a|b dan a|c maka a|Pb+ Qc, Jika a|b maka Pa|Pb. Hukum keterbagian ada 10 macam yaitu: bilangan yang habis dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 dan 13. B. saran Kami ucapkan terimakasih terhadap semua pihak yang sudah berpartipasi dalam pembuatan makalah ini, sehingga makalah ini bisa diselesaikan tepat pada waktunya. Semoga makalah yang telah kami buat dapat bermanfaat bagi pembaca dan terutama kami sebagai penyusunnya. Dan kami ucapkan terimakasih untuk para pembaca makalah ini, mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penyampaiannya , karena kami masih dalam proses pembelajaran.



10



DAFTAR PUSTAKA Mahmudah, Wilda dan Illah Winanti Triyana. 2018. Teori Bilangan, Ponorogo: Uwais Inspirasi Indonesia Muslihan. 2019. Top Master Olimpiade Matematika SD Nasional Dan Internasional, Jakarta : PT. Grasindo



11