Kelipatan Persekutuan Terkecil [PDF]

Citation preview

Kuliah 5: Kelipatan Persekutuan Terkecil Y. Hartono FKIP Unsri



16 Oktober 2011



Definisi dan Notasi



Definisi Bilangan bulat m disebut kelipatan persekutuan terkecil (kpk) dari bilangan bulat positif a dan b apabila 1. a|m dan b|m, 2. jika a|n dan b|n, maka m ≤ n.



Definisi dan Notasi



Definisi Bilangan bulat m disebut kelipatan persekutuan terkecil (kpk) dari bilangan bulat positif a dan b apabila 1. a|m dan b|m, 2. jika a|n dan b|n, maka m ≤ n. • Dengan kata lain, kpk dari dua bilangan bulat positif adalah



bilangan bulat terkecil yang dapat dibagi oleh kedua bilangan tersebut.



Definisi dan Notasi



Definisi Bilangan bulat m disebut kelipatan persekutuan terkecil (kpk) dari bilangan bulat positif a dan b apabila 1. a|m dan b|m, 2. jika a|n dan b|n, maka m ≤ n. • Dengan kata lain, kpk dari dua bilangan bulat positif adalah



bilangan bulat terkecil yang dapat dibagi oleh kedua bilangan tersebut. • Kita menggunakan notasi [a, b] untuk kpk dari a dan b.



Jadi, jika m adalah kpk dari a dan b, maka m = [a, b].



Contoh



• Kelipatan dari 5 adalah {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, . . .}. • Kelipatan dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .}.



Contoh



• Kelipatan dari 5 adalah {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, . . .}. • Kelipatan dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .}. • Kelipatan persekutuan dari 5 dan 6 adalah {30, 60, . . .}.



Contoh



• Kelipatan dari 5 adalah {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, . . .}. • Kelipatan dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .}. • Kelipatan persekutuan dari 5 dan 6 adalah {30, 60, . . .}. • Jadi [4, 5] = 30



Sifat-sifat KPK



Kita akan membuktikan tiga sifat berikut: 1. a|c, b|c → [a, b]|c. 2. [ca, cb] = c[a, b] untuk c > 0. 3. (a, b)[a, b] = ab.



Sifat-sifat KPK



Teorema 1 a|c, b|c → [a, b]|c.



Sifat-sifat KPK



Teorema 1 a|c, b|c → [a, b]|c. Bukti. Misalkan [a, b] = m. Kita akan menunjukkan bahwa m|c. Andaikan m 6 | c. Menurut algoritma pembagian ada q dan r sehingga c = mq + r dengan 0 ≤ r < m, atau r = c − mq. Karena a|c dan a|m, maka a|c − mq = r . Dengan alasan yang sama b|r . Ini berarti r adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, tetapi r < m. Ini tidak mungkin karena m adalah kpk dari a dan b. Kontradiksi ini membuktikan teorema. 



Sifat-sifat KPK



Teorema 2 [ca, cb] = c[a, b] untuk c > 0.



Sifat-sifat KPK



Teorema 2 [ca, cb] = c[a, b] untuk c > 0. Bukti. Misalkan [a, b] = m dan [ca, cb] = t, akan dibuktikan bahwa t = cm. Karena a|m dan b|m, maka ca|cm dan cb|cm. Ini berarti cm adalah kelipatan persekutuan dari ca dan bc. Jadi t|cm. Selanjutnya, karena ca|t, maka t = cak = cp. Akibatnya, cp|cm atau p|m. Tetapi ca|cp dan cb|cp atau a|p dan b|p sehingga m|p. Jadi, p = m atau cp = cm dan ini berarti t = cm. 



Sifat-sifat KPK



Teorema 3 (a, b)[a, b] = ab.



Sifat-sifat KPK



Teorema 3 (a, b)[a, b] = ab. Bukti. Misalkan (a, b) = d dan [a, b] = m, akan dibuktikan bahwa ab = dm. Karena d|b, maka b = dk atau ab = adk. Membagi kedua ruas dengan d menghasilkan ab/d = ak. Ini berarti a|(ab/d). Dengan cara yang sama diperoleh pula b|(ab/d). Jadi, m ≤ ab/d sehingga diperoleh dm ≤ ab. Selanjutnya, b|m atau ab|am sehingga am = abk. Membagi kedua ruas dengan m memberikan a = (ab/m)k. Jadi, (ab/m)|a. Dengan cara yang sama diperoleh (ab/m)|b. Ini berari ab/m ≤ d atau ab ≤ dm. Akibatnya, ab = dm.