Kelompok 9 - Analisis Variansi [PDF]

Citation preview

STATISTIKA LANJUTAN (EMA 202M) ANALISIS VARIANSI



Dosen Pengampu: Dr. Luh Gede Sri Artini, S.E., M.Si.



Oleh: Kelompok 9



Nicholas Gregory Wendy



(2007521274)



Viona Fenella



(2007521275)



PROGRAM STUDI MANAJEMEN FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS UNIVERSITAS UDAYANA 2021 1



KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat dan karunia-Nya, kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Analisis Variansi” dengan tepat waktu. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistika Bisnis Lanjutan. Kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Luh Gede Sri Artini, S.E., M.Si. selaku dosen pengampu mata kuliah Statistika Bisnis Lanjutan. Kami juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang membantu dalam penyusunan makalah ini. Kami menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan kelemahan. Oleh sebab itu, kami mengharapkan kritik dan saran yangmembangun untuk menyempurnakan makalah ini. Demikian makalah ini kami buat, kami berharap makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.



Denpasar, 25 November 2021



Kelompok 9



2



DAFTAR ISI



JUDUL .............................................................................................................................. 1 KATA PENGANTAR ........................................................................................................ 2 DAFTAR ISI...................................................................................................................... 3 BAB I PENDAHULUAN................................................................................................... 4 1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 4 1.2 Rumusan Masalah ..................................................................................................... 4 1.3 Tujuan ...................................................................................................................... 4 BAB II PEMBAHASAN .................................................................................................... 5 2.1 Pengertian Distribusi F .............................................................................................. 5 2.1.1 Ciri-Ciri Distribusi F ........................................................................................... 5 2.2 Cara Menentukan dan Membaca Distribusi F ............................................................. 5 2.2.1 Cara Menentukan Nilai Kritis Distribusi F ........................................................... 5 2.2.2 Cara Membaca Distribusi F ................................................................................. 5 2.3 Pengujian Beda Dua Variansi Populasi....................................................................... 7 2.4. Pengujian Beda Lebih dari Dua Rata-rata Populasi .................................................. 10 2.4.1 Klasifikasi Satu Arah ........................................................................................ 10 2.4.2 Klasifikasi Dua Arah ......................................................................................... 18 BAB III PENUTUP .......................................................................................................... 27 3.1 Kesimpulan ............................................................................................................. 27 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 28



3



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam materi sebelumnya, telah dibahas mengenai cara pengujian hipotesis beda dua rata-rata dari dua populasi independent, berdasarkan rata-rata sampelnya masingmasing. Dalam bab ini akan dipelajari mengenai pengujian beda lebih dari dua rata -rata populasi, baik yang sampelya berasal dari populasi yang sama maupun tidak, dan pengujian beda dua variansi populasi. Teknik analisis yang digunakan untuk menguji kedua hal tersebut adalah analisis variansi. Perbandingan secara serempak terhadap beberapa ratarata populasi dinamakan analisis variansi. Dalam analisis variansi, digunakan distribusi F Oleh karena analisis variansi menggunakan distribusi F. maka akan dibahas terlebih dahulu distribusi F. Untuk dapat memahami pengujian dengan distribusi F yang disebut uji F, diperlukan pengertian yang cukup tentang sampel, populasi, distribusi sampel, rata-rata, variansi, dan simpangan baku. Tujuan penulisan makalah ini, mahasiswa diharapkan dapat memahami analisis variansi dalam pengujian beda dua variansi populasi dan pengujian beda lebih dari dua ratarata populasi. 1.2 Rumusan Masalah 1) Apa pengertian dari distribusi F? 2) Bagaimana pengujian beda dua variansi populasi? 3) Bagaimana pengujian beda lebih dari dua rata-rata populasi? 1.3 Tujuan 1) Untuk mengetahui apa pengertian dari distribusi F. 2) Untuk mengetahui pengujian beda dua variansi populasi. 3) Bagaimana pengujian beda lebih dari dua rata-rata populasi.



4



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Distribusi F Bila 𝑄1 = 𝑥 2𝑣1 dan𝑄2 = 𝑥𝑣22 merupakan variabel acak bersifat bebas (independent) satu sama lainnya, maka rasio (Q1 ∕ v1 ) dan (Q2 ∕ v2 ) akan menyebar menurut distribusi F, dengan derajat bebas (v1 , v2), yang dapat dirumuskan sebagai berikut: Rumus 1. 𝑭 =



𝑸𝟏∕𝒗 𝟏 𝑸𝟐∕𝒗 𝟐



𝑸



𝒗



𝒔 𝟐𝟏⋅𝑸𝟐𝟐



𝑸𝟐



𝒗𝟏



𝒔 𝟐𝟐⋅𝑸𝟐𝟏



= ( 𝟏 ) ( 𝟐) =



Jadi, distribusi F adalah pertandingan antara hasil bagi dua macam distribusi Chi Kuadrat dengan derajat bebasnya masing-masing. 2.1.1 Ciri-Ciri Distribusi F Menurut Mason dan Lind (1996), distribusi F memiliki-ciri-ciri berikut: 1) Suatu anggota keluarga distribusi F ditentukan berdasarkan dua parameter: derajat bebas pembilang (v1 ) dan derajat bebas penyebut (v2 ). 2) Nilai F non-negatif dan bersifat ke arah positif. 3) Kurva distribusi F menjulur kea rah positif 4) Nilai f mempunyai interval dari 0 hingga ∞ 2.2 Cara Menentukan dan Membaca Distribusi F 2.2.1 Cara Menentukan Nilai Kritis Distribusi F Cara menentukan nilai (titik) kritis distribusi F dengan derajat bebas v1 dan v 2, pada taraf nyata 𝑎, yang ditulis secara singkat 𝐹𝑎 (𝑣1,𝑣2). Contoh 1. Tentukanlah nilai 𝐹0.05 (5,12). Jawab: 𝐹0.05( 5,12) berarti distribusi F dengan 𝑎 = 0,05, v1 = 5 dan v2 = 12. Lihat Lampiran 6, yaitu tabel distribusi F dengan taraf nyata 0,05. Cari pada baris v1 bilangan 5, cari pada kolom v 2 nilai 12. Pada perpotongan antara kolom 5 (v1 = 5) dengan baris (v 2 = 12) adalah bilangan 3,11. Jadi, nilai 𝐹0.05 ( 5,12) = 3,11.



2.2.2 Cara Membaca Distribusi F Peluang variabel F mengambil nilai sama atau lebih besar dari nilai yang terdaapat pada Tabel F dengan derajat kebebasan v1 dan v 2 adalah 𝑎, dapat dinotasikan sebagai berikut: 5



Rumus 2. P{F ≥ Fa(v1 ⋅ v2 )} =



a



Di dalam praktek sering kali diperlukan nilai F sebagai batas bawah (kurva bagian kiri). Untuk menghitung nilai F sebagai batas bawah dipakai rumus berikut: Rumus 3. 𝐹1−𝑎(𝑣1 ⋅𝑣2 )



=



1 𝐹𝑎 (𝑣1 ⋅𝑣𝑥)



Contoh 2. Untuk v1 = 10, v2= 4 pada taraf nyata 5%, maka nilai F nya sebesar 5,96 (lihat lampiran 6), dan dinotasikan sebagai 𝐹0.05 ( 10,4) = 5,96. Secara grafis dapat dinyatakan dengan gambar berikut: f (F)



P {F ≥ (𝐹0,05 (10,4) )} = 0,05 5,96



F



Bila dicari batas bawahnya, berarti dicari nilai 𝐹1 − 𝑎 (𝑣1 , 𝑣2 ) = ⋯ ? 𝐹0,95(10,4) =



1 𝐹0,05(4,10)



=



1 = 0,287 3,89



Yang secara grafis dapat dinyatakan sebagai berikut: f (F)



𝑎 = 0.05 0,287



0,95 = (1- 𝑎) F



Sementara untuk pengujian dua sisi pada taraf nyata sebesar 𝑎, gambar kurvanya secara umum seperti di bawah ini.



6



Titik kritis bawah dapat dihitung per rumus 3. dan titik kritis batas atasnya dihitung per rumus 2. f (F)



𝑎/2 (1- 𝑎) 𝑎



F1 − (𝑣1 , 𝑣2 ) 2



𝑎/2 𝑎



F1 − (𝑣1 , 𝑣2 )



F



2



2.3 Pengujian Beda Dua Variansi Populasi Dalam pengujian ini diasumsi kan bahwa: (1) Variansi masing-masing populasi adalah sama (dan tidak diketahui), dan (2) Populasinya bersifat independent dan sebarannya normal. Sampel berukuran n1 ditarik dari populasi pertama dan sampel berukuran n2 ditarik dari populasi kedua. Beda variansi populasinya. Tahapan pengujian beda dua variansi populasi berdasarkan beda variansi sampelnya, adalah sebagai berikut: 1. Rumusan hipotesis a. H0 : σ12 = σ 22 dan H1 : σ12 ≠ σ22 (uji dua sisi) b. H0 : σ12 = σ 22 dan H1 : σ12 > σ22 (uji satu sisi, yaitu sisi kanan) c. H0 : σ12 = σ 22 dan H1 : σ12 < σ22 (uji satu sisi, yaitu sisi kiri) 2. Tentukan taraf nyata (𝐚) 3. Statistik uji dan daerah kritis •



Statistik ujinya tergantung dari rumusan H1 sebagai berikut (McClave, et al., 2008): Rumusan 𝐇𝟏 (a)



Statistik uji



H1 : σ12 ≠ σ22 (uji dua sisi) Bila 𝑆12 > 𝑆22



𝐹0 = 𝑆12 /𝑆22



(R.4)



Bila 𝑆22 > 𝑆12



𝐹0 = 𝑆22 /𝑆12



(R.5)



(b)



H1 : σ12 > σ22 (uji sisi kanan)



𝐹0 = 𝑆12 /𝑆22



(R.6)



(c)



H1 : σ12 < σ22 (uji sisi kiri)



𝐹0 = 𝑆22 /𝑆12



(R.7)



( x1⋅ⅈ−x̅1) 2



dengan, S12 =



( n1−1)



7



( x1⋅ⅈ−x ̅ 1) 2



S12 =



( n1−1)



S12 = merupakan variansi sampel I, yang ditarik dari populasi Idan merupakan penduga dari σ12 (variansi populasi I) S22 = merupakan variansi sampel II, yang ditarik dari populasi II dan merupakan penduga dari σ22 (variansi populasi II) Daerah Kritis Uji F, memiliki dua macam derajat bebas yaitu derajat bebas untuk pembilang (degree of freedom for number) dinotasikan v1 dan derajat bebas untuk penyebut (degree of freedom for denominator) dinotasikan v2. Besarnya derajas bebas, uji F df = (v1 , v2 ) = (n1 − 1)(n2 − 1) Daerah kritis a. Pengujian dua sisi F< F(1−a)(v ,v ) dan F > 1 2 2 b. Pengujian sisi kanan F > Fa (v1 , v 2 )



Fa (v1,v2 ) 2



2



c. Pengujian sisi kiri F < F(1−a)(v1,v2 ) 4. Menghitung nilai statistik uji 5. Simpulan/Putusan Terima H0 , bila statistic uji jatuh pada daerah penerimaan H0 atau tolak H0 bila statistik uji jatuh pada daerah penolakan H0 . Contoh 3. Sebuah penelitian bermaksud membandingkan waktu yang diperlukan oleh karyawan lakilaki dan perempuan untuk merakit sebuah produk tertentu. Pengalaman lalu menunjukan bahwa sebaran waktu yang diperlukan bagi karyawan laki-laki dan perempuan menghampiri sebaran (distribusi) normal, tetapi variansi waktu bagi perempuan lebih kecil



8



dari pada variansi waktu bagi laki-laki. Suatu sampel acak 11 karyawan laki-laki dan karyawan perempuan diteliti. Ternyata besarnya variansi waktu yang diperlukan dalam merakit produk yang dimaksud adalah 37,21 menit untuk laki-laki dan 28,09 untuk perempuan. Dengan menggunakan taraf nyata 10%, ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa variansi waktu yang diperlukan untuk merakit produk tersebut oleh karyawan lakilaki dan perempuan adalah sama (tidak berbeda). Penyelesaian: Informasi yang tersedia, n1 = 11, n2 = 14, S12 = 37,21 dan S22 = 28,09 1. Rumusan hipotesis H0 : σ12 = σ 22 H1 : σ12 ≠ σ 22 (uji dua sisi) 2. Taraf nyata, 𝑎 = 10% = 0,01 v1 = (n1 − 1) = 10



} df = (10,13)



v2 = (n2 − 1) = 13 3. Statistik uji dan daerah kritis Statistik uji: F0 =



𝑆12



(oleh karena 𝑆12 > 𝑆22 )



𝑆22



Daerah kritisnya F(1−a)( v



1,v2 )



2



Nilai F(1−a)(v 2



1 ,v2)



< F < Fa (v1 , v 2 ) 2



dicari dengan rumus 3.



F1−a(v1⋅v2) =



1 F a( v1⋅vx )



Pada soal di atas, df = (10,13) maka, nilai Fa (df) = F0,05(10,13) = 2,67 nilai F0,95(10,13)=



1 F0,05(10,13)



1



= 2,91 = 0,34



Daerah kritisnya adalah F < F0,95(10,13) = 0,034 dan F > F0,05(10,13) = 2,67 4. Menghitung statistik uji, F0 F0 =



𝑆12 𝑆22



= 37,21/28,09 = 1,32



9



5. Simpulan/putusan Oleh karena statstik uji jatuh pada daerah penerimaan H0 diterima. Ini berarti tidak ada beda variasi waktu dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan produk tersebut, oleh karyawan laki-laki dan perempuan. 2.4. Pengujian Beda Lebih dari Dua Rata-rata Populasi Dalam pengujian tentang lebih dari dua rata-rata populasi diasumsikan bahwa: (1) Populasi-populasi induk dari sampel berdistribusi normal, dan (2) variansi atau simpangan baku masing-masing populasi dianggap sama atau σ12 = σ22 … = σ 2n atau σ1 = σ2 … = σ n… Untuk menguji ada tidaknya perbedaan rata-rata k sampel (k > 2) yang diambil dari k populasi yang bersifat independent akan dipakai uji F, yang analisisnya disebut analisis variansi. Uji F dengan Teknik analisis variansi (keragaman) digolongkan atas dua yaitu analisis variansi klasifikasi satu arah (one way classification) dan analisis dua arah dibedakan atas dua analisis variansi klasifikasi dua arah tanpa interaksi dan analisis variansi klasifikasi dua arah dengan interaksi. Namun dalam sub bab ini hanya dipelajari analisis variansi dua arah tanpa interaksi. 2.4.1 Klasifikasi Satu Arah a. Klasifikasi satu arah dengan ukuran sampel sama Analisis variansi klasifikasi satu arah dengan ukuran sampel sama (n1 = n2 = … = n) Bentuk umum tabel k sampel acak dari k populasi dapat dilihat pada buku Nata Wirawan:221) dengan, T = T1 + T2 + …. Tj …. + Tk. x̅ = =



∑𝑥̅ 𝑖 𝑘



, I = 1, 2, … k



𝑥̅1. + 𝑥̅2. + … + 𝑥̅𝑖. + … + 𝑥̅𝑘. 𝑘



10



Perhitungan-perhitungan dalam analisis variansi klasifikasi satu arah, bila diringkas bentuk umumnya seperti tabel di bawah ini. Tabel ANOVA Klasifikasi Satu Arah Sumber



Derajat



Jumlah



Variansi



Bebas



Kuadrat



Antar sampel



(k-1)



JKK



Rata-rata Kuadrat



(F0) 𝐽𝐾𝐾 (𝑘 − 1)



𝑆12 =



atau



F0 =



perlakuan Dalam sampel



K (n-1)



JKG



𝑆22 =



(error) Total



Statistik uji



n.k-1



𝑆12 𝑆22



𝐽𝐾𝐺 𝑘 (𝑛−1)



JKT



*Rumus dapat dilihat di buku Nata Wirawan:222 Rumusan hipotesisnya H0 = μ1 = μ2 = μ3 = … = μk H1 = Minimal dua rata-ratanya tidak sama Contoh 4. Sebuah pabrik memproduksi 3 jenis bola lampu A1 , A2 , dan A3 . Bagian teknisi pabrik ini ingin mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata daya pakai/umur pakai di antara ketiga jenis bola lampu tersebut. Untuk keperluan ini diambil sampel acak masingmasing 5 bola lampu dari ke tiga jenis bola lampu tersebut dites umur pakainya. Ternyata hasilnya sebagai berikut: Nomor



Umur pakai (x 100 jam)



Sampel



A1



A2



A3



1



22



19



27



2



25



15



26



3



23



16



23



4



26



19



25



5



24



21



24



11



Dengan menggunakan taraf nyata 5%, ujilah apakah rata-rata umur pakai ketiga macam bola lampu tersebut berbeda? Penyelesaian: n1 = n2 = n3 = n = 5 k=3 1. Rumusan hipotesis H0 = μ1 = μ2 = μ3 (rata-rata umur pakai ketiga jenis bola lampu adalah sama). H1 = Minimal dua macam bola lampu yang rata-rata umur pakainya tidak sama. 2. Taraf nyata, 𝑎 = 5% = 0,05 3. Statistik uji dan daerah kritis Statistik uji: F0 =



𝑆12 𝑆22



Daerah kritis: v1 = (k-1) = (3-1) = 2



} df = (v1 , v2) = (2,12)



v2 = k(n-1) = 3(5-1) = 12 Titik/Nilai kritis Fa (v1 ,v2 ) = F0,05(2,12) = 3,89 Daerah kritisnya adalah F > F0,05(2,12) = 3,89 4. Menghitung nilai statistik uji, F0 Tabel perhitungan statistik uji, F0 Umur pakai (x100 jam) A1



A2



A3



1



22



19



27



2



25



15



26



3



23



16



23



4



26



19



25



5



24



21



24



Tⅈ



120



90



125



T.. = 335



𝑥̅ 𝑖



24



18



25



𝑥̅ . = 22,33



Total



12



𝑘



𝑘𝑛



JKT = ∑. ∑ 𝑥 2𝑖𝑗 − 𝑖=1 𝑗=1 3



5



2 = ∑. ∑ 𝑥𝑖𝑗 − 𝑖=1 𝑗=1



𝑇..2 𝑛𝑘 𝑇. 2 𝑛𝑘



= 222 + 252 + 232 + 262 + 242 + 192 + 152 + 162 + 192 + 212 + 272 + 262 + 232 + 252 + 242 −



(355) 2 5𝑥3



= 7669 – 7481,66 = 187,34 k



∑



JKK =



=



i=1



T2i.



n



3



-



𝑇.2



∑



= 𝑛𝑘



1202 + 902 + 1252 5



i=1



T2i.



5



-



-



𝑇.2 15



(355) 2 15



= 7625 – 7481,66 = 143,34 JKG = JKT – JKK = 187,34 – 143,34 = 44 Jadi,



F0 =



=



𝑆12 𝑆22



=



143,34 2 44 3(4)



Sumber



𝐽𝐾𝐾 (𝑘−1) 𝐽𝐾𝐺 𝑘(𝑛−1)



= 19,54 Derajat bebas



variansi Antar sampel



2



Jumlah



Rata-rata



kuadrat



kuadrat



143,34



71.67



Statistik uji F0



19,54 Dalam sampel



12



44



Total



14



187,34



3,66



13



5. Simpulan/putusan Oleh karena statistik uji jatuh pada daerah penolakan H0 atau karena F0 = 19,54 > F0,05(2,12) = 3,89, maka H0 ditolak, sebaliknya H1 diterima. Ini berarti ada perbedaan yang signifikan/nyata antara rata-rata umur pakai ketiga jenis bola lampu tersebut (atau paling sedikit ada dua jenis bola lampu yang rata-rata umur pakainya berbeda/tidak sama secara nyata). Catatan: Bila paling sedikit ada 2 jenis (sepasang) bola lampu yang umur pakainya berbeda/tidak sama secara nyata, untuk mengetahui bola lampu mana yang dimaksud, perlu di uji lagi dengan uji LSD (Least Significance Difference). LSDa = 𝑡𝑎 2



;𝑘 (𝑛−1)



𝑆𝑑 = 𝑡𝑎 ;𝑘 (𝑛−1) . √ 2



2𝑠2 𝑛



Berdasarkan contoh 4, nilai LSD, dapat dihitung sebagai berikut: 𝑠 2 = S22 = 3,66 LSDa = 𝑡𝑎 2



2𝑠2



√ ;𝑘 (𝑛−1) . 2(3,6)



= 2,179 √



5



𝑛



= 2,64



Nilai LSD ini dibandingkan dengan nilai absolut beda rata-rata masing-masing di bawah ini |𝑥̅ 2 − 𝑥̅ 1| = |18 − 24| = |6| |𝑥̅ 3 − 𝑥̅ 1| = |25 − 24| = |1| |𝑥̅ 3 − 𝑥̅ 2 | = |25 − 28| = |7| Nilai absolut beda rata-rata yang lebih besar dari nilai LSD menunjukkan adanya perbedaan yang nyata antara nilai rata-rata umur pakai kedua masam lampu tersebut. Oleh karena |𝑥̅ 2 − 𝑥̅ 1| = |18 − 24| = |6| > LSD = 2,64 dan |𝑥̅ 3 − 𝑥̅ 2 | = |25 − 28| = |7| > LSD = 2,64



14



Maka, rata-rata umur pakai bola lampu jenis A2 dan A1 , secara keseluruhan (populasi) berada secara nyata, demikian juga rata-rata umur pakai bola lampu jenis A3 dan A2 (populasinya) berbeda secara nyata. b. Klasifikasi Satu Arah dengan Ukuran Sampel Tidak Sama Bila ukuran sampel tidak sama ( 𝑛1 , 𝑛2 … . 𝑛𝑘 ), berlaku rumus-rumus sebagai berikut: 𝑘



𝑘𝑛



JKT = ∑. ∑ 𝑥12 − 𝑖=1 𝑗=1



𝑇2 𝑁



𝐽𝐾𝐺 = 𝐽𝐾𝑇 − 𝐽𝐾𝐾 𝑆12 =



𝐽𝐾𝐾 (𝑘 − 1)



𝑆22 =



𝐽𝐾𝐺 (𝑁 − 𝑘)



𝐹0 =



𝑆12 𝑆22



𝑘



N = ∑ 𝑛𝑖 𝑖=1



Contoh 5. Seorang peneliti menduga bahwa rata-rata modal awal perusahaan yang bergerak dibidang real estate di tiga kota A, B, dan C adalah sama besar. Untuk menguji dugaan peneliti tersebut diambil sampel acak 15 perusahaan (6 perusahaan di kota A, 5 perusahaan di kota B, dan 4 perusahaan di kota C) untuk diteliti. Ternyata hasil penelitian ini memberikan data tentang besarnya modal awal perusahaan di tiga kota tersebut (dalam miliar rupiah) seperti data pada tabel. Perusahaan 1 2 3 4 5 6



A 5 1 3 5 3 4



Kota B 8 6 8 9 5



C 4 7 6 6



15



Paraf taraf nyata 5% ujilah dugaan peneliti tersebut. Penyelesaian 𝑛𝐴 = 6, 𝑛𝐵 = 5 𝑛𝑐 = 4 → 𝑁 = 𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 + 𝑛𝐶 = 15 k=3 1. Rumus Hipotesis H0 : μA = μB = μC (Rata-rata modal awal perusahaan real estate di tiga kota adalah sama) H0 ∶ Minimal rata-rata modal awal perusahaan real estate di dua kota adalah tidak sama 2. Taraf nyata, 𝛼 = 5% = 0,05 3. Statistik uji dan daerah kritis Statistik uji: 𝐹0 =



𝑆21 𝑆22



Daerah kritis 𝑉1 = (𝑘 − 1) = (3 − 1) = 2



} 𝑑𝑓 = ( 𝑣1 , 𝑣2 ) = (2,12)



𝑉2 = (𝑁 − 𝑘) = (15 − 3) = 12 Titik/nilai kritis 𝐹𝛼 = 𝐹0,05(2,12) = 3,89 dan Daerah kritisnya adalah 𝐹 > 𝐹0,05(2,12) = 3,89 4. Menghitung nilai statistik uji F Perusahaan 1 2 3 4 5 6 Total



A 5 1 3 5 3 4 21



Kota B 8 6 8 9 5



C 4 7 6 6



36



23



Total 17 14 17 20 8 4 80



16



𝑘𝑛



JKT = ∑𝑘𝑖=1. ∑𝑗=1 𝑥12 − 15



JKT = ∑3𝑖=1. ∑𝑗=1 𝑥12 −



𝑇2 𝑁 𝑇2 15



= ( 52 + 12 + 32 + 52 + 32 + 42 ) + (82 + 62 + 82 + 92 + 52 ) + (42 + 72 + 62 + 62 ) −



JKK = JKK = =



∑𝑘 𝑖=1 𝑇𝑖



∑3𝑖=1 𝑇𝑖



212 6



+



𝑇2 15



362 5



= 492 − 426,66 = 65,34



𝑁



−



𝑛𝑖



15



𝑇2



−



𝑛𝑖



802



+



232 4



−



802 15



= 73,5 + 259,2 + 132,25 − 426,66 = 38,29 𝐽𝐾𝐺 = 𝐽𝐾𝑇 − 𝐽𝐾𝐾 𝐽𝐾𝐺 = 65,34 − 38,29 = 27,05 𝑆12 =



𝐽𝐾𝐾 ( 𝑘−1)



𝑆22 =



𝐽𝐾𝐺 (𝑁−𝑘)



= =



38,29 2 27,05 12



= 19,145 = 2,254



Selanjutnya nilai statistic uji 𝐹0 , dihitung dan didapat, 𝐹0 =



𝑆12 19,145 = = 8,49 𝑆22 2,254



5. Simpulan/putusan Oleh karena srarisrik uji jatuh pada daerah penilakan Ho, yaitu 𝐹0 = 8,49 > 𝐹0,05(2,12) = 3,89, maka 𝐻0 ditolak, dan sebaliknya 𝐻1 diterima. Ini berarti rata-rata modal awal perusahaan yang bergerak di bidang real estate di ketiga kota tidak sama (berbeda secara nyata) atau minimal di dua kota yang tidak sama.



17



2.4.2 Klasifikasi Dua Arah Menurut dua kriteria dengan menyusun data tersebut dalam baris dan kolom. Kolom menyatakan kriteria klasifikasi yang satu, sedangkan baris menyatakan kriteria klasifikasi yang lain. Klasifikasi dibedakan dengan dua yaitu dua arah dengan satu pengamatan per sel dan klasifikasi dua arah dengan beberapa (n) pengamatan per sel. Pada klasifikasi dua arah dengan satu pengamatan per sel bertujuan ingin mengetahui bagaimana ef ek baris dan efek kolom terhadap variasi hasil yang diperoleh tanpa melihat efek interaksi antara efek baris dan kolom sedangkan pada klasifikasi dua arah dengan beberapa (n) pengamatan pada sel bertujuan untuk mengetahui bagaimana pengaruh baris terhadap variasi hasil yang diperoleh, bagaimana pengaruh kolom terhadap variasi hasil yang diperoleh, dan bagaimana pengaruh dari adanya interaksi pengaruh baris dan kolom terhadap variasi hasil yang diperoleh dapat dilihat pada buku Nata Wirawan:230. Tahapan perhitungan nilai statistik uji, 𝐹0 , sebagai berikut 1. Jumlah kuadrat total (JKT) 𝑟



𝑐



JKT = ∑. ∑(𝑥 𝑖𝑗 − 𝑋. . ) 2 𝑖=1 𝑗=1 𝑟



𝑐



2 JKT = ∑. ∑(𝑥𝑖𝑗 − 𝑖=1 𝑗=1



𝑇2 𝑟. 𝑐



2. Jumlah kuadrat antar baris (JKB) 𝑟



JKB = 𝑐 ∑. ( 𝑥 𝑖 − 𝑋. . ) 2 𝑖=1



=



∑𝑟𝑖=1 𝑇𝑖2 𝑐



−



𝑇2 𝑟. 𝑐



3. Jumlah kuadrat antar kolom (JKK) 𝑐



JKK = 𝑟 ∑(𝑋.𝑗 − 𝑥. . ) 2 𝑗=1



=



∑𝑐𝑗=1 𝑇𝑗2 𝑟



−



𝑇2 𝑟. 𝑐



18



4. Jumlah kuadrat galat/error (JKG) 𝑟



𝑐



JKG = ∑. ∑(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥 𝑖 −𝑥𝑗 + 𝑥. . ) 2 𝑖=1 𝑗=1



= 𝐽𝐾𝑇 − 𝐽𝐾𝐵 − 𝐽𝐾𝐾 5. Menentukan penduga bagi 𝜎 2 a. Penduga Pertama bagi 𝜎 2 , yang didasarkan pada (r-1) derajat bebas yang disebut juga rata-rata antar baris 𝑆12 =



𝐽𝐾𝐵 (𝑟 − 1)



b. Penduga kedua bagi 𝜎 2 yang didasarkan pada (c-1) derajat bebas yang disebut juga rata-rata antar kolom 𝑆22 =



𝐽𝐾𝐾 (𝑐 − 1)



c. Penduga ketiga bagi 𝜎 2 , yang didasarkan pada (r-1)(c-1) derajat bebas dan bersifat dari 𝑆12 dan 𝑆22 yang juga disebut rata-rata kuadrat galat/error, 𝑆32 =



𝐽𝐾𝐺 (𝑟 − 1)(𝑐 − 1)



6. Menghitung nilai statistic uji 𝐹1 dan 𝐹2 a. Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh baris semuanya sama dengan nol, maka dihitung nilai 𝐹1 dengan rumus sebagai berikut; 𝐹1 =



𝑆12 𝑆32



b. Untuk menguji hipotesis nol, bahwa pengaruh kolom semuanya sama dengan nol, maka dihitung nilai 𝐹2 , dengan rumus sebagai berikut; 𝑆22 𝐹2 = 2 𝑆3 Semua tahapan perhitungan di atas secara ringkas dapat disajikan seperti dalam tabel Sumber



Jumlah



Derajat



Variasi



Kuadrat



Bebas



Antar baris



JKB



r-1



Rata-rata Kuadrat 𝑆12 =



𝐽𝐾𝐵 (𝑟 − 1)



Statistik Uji (𝐹0 ) 𝑆12 𝐹1 = 2 𝑆3



19



Antar kolom



JKK



c-1



Galat



JKG



(r-1)(c-1)



Total



JKT



rc-1



𝑆22 = 𝑆32 =



𝐽𝐾𝐾 (𝑐 − 1)



𝐹2 =



𝑆22 𝑆32



𝐽𝐾𝐺 (𝑟 − 1)(𝑐 − 1)



Tahapan Pengujian Hipotesis 1. Rumus Hipotesis a) 𝐻0 : 𝛼1 = 𝛼2 =. . . = 𝛼𝑟 (pengaruh baris nol) 𝐻1 : Paling sedikit satu dari 𝛼1 ≠ 0 (pengaruh baris tidak sama nol) b) 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽 =. . . = 𝛽𝑐 = 0 (pengaruh kolom nol) 𝐻1 : Paling sedikit satu dari 𝛽1 ≠ 0 (pengaruh kolom tidak sama nol) 2. Menetapkan taraf nyata 3. Statistik uji dan daerah kritis Statistik uji: a) 𝐹1 = b) 𝐹2 =



𝑆21 𝑆23 𝑆22 𝑆23



Derajat bebas a) Untuk uji efek baris, 𝑑𝑓 = (𝑣1 , 𝑣2 ) → 𝑣1 = (𝑟 − 1) 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = (𝑟 − 1)(𝑐 − 1) b) Untuk uji efek kolom, 𝑑𝑓 = (𝑣1 , 𝑣2 ) → 𝑣1 = (𝑐 − 1) 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = (𝑟 − 1)(𝑐 − 1) Daerah kritis a) 𝐹 > 𝐹𝛼(𝑣1,𝑣2) → 𝑣1 = (𝑟 − 1) 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = (𝑟 − 1)(𝑐 − 1) b) 𝐹 > 𝐹𝛼(𝑣1,𝑣2) → 𝑣1 = (𝑐 − 1) 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = (𝑟 − 1)(𝑐 − 1) 4. Menghitung nilai statistic uji, 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 5. Simpulan/putusan Tolak Ho bila statistik uji (𝐹1 ) jatuh pada daerah penolakan Ho. Demikian juga tolak 𝐻𝑜 bila statistik uji (𝐹1 ) jatuh pada daerah penolakan 𝐻𝑜



20



Contoh 6. Sebuah perusahaan ingin mengetahui apakah media promosi dan kemasan produk berpengatuh atau tidak terhadap omzet penjualannya. Hasil penelitian yang berkaitan dengan hal itu dutabulasikan sebagai. Media



Kemasan Produk



Promosi



Kecil



Sedang



Besar



TV



3,30



3,60



3,70



Radio



3,15



2,60



2,90



Koran



2,95



3,30



2,85



Medsos



3,50



3,10



2,80



Pada taraf nyata 5% ujilah a) Apakah media promosi berpengaruh terhadap omzet penjualan b) Apakah kemasan produk berpengaruh terhadap omzet penjualan? Penyelesaian: R=4, dan c=3 1. Rumus hipotesis a) 𝐻0 : 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 𝛼4 = 0 (jenis media promosi tidak berpengaruh nyata terhadap omzet penjualannya) 𝐻1 : Minimal satu dari 𝛼1 ≠ 0 (salah satu media promosi berpengaruh nyata terhadap omzet penjualannya) b) 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽 = 𝛽3 = 0 (ukuran kemasan produk tidak berpengaruh nyata terhadap omzet penjualannya) 𝐻1 : Minimal satu dari 𝛽1 ≠ 0 (salah satu dari ukuran kemasan produk berpengaruh nyata terhadap omzet penjualannya) 2. Taraf nyata 𝛼 = 5% = 0,05 3. Statistik uji dan daerah kritis Statistik Uji: a) 𝐹1 =



𝑆21 𝑆23



b) 𝐹2 =



𝑆22 𝑆23



21



Derajat bebas a) 𝑑𝑓 = (𝑣1 , 𝑣2 ) → 𝑣1 = (4 − 1) = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = (4 − 1)(3 − 1) = 6 df = (3,6) b) 𝑑𝑓 = (𝑣1 , 𝑣2 ) → 𝑣1 = (3 − 1) = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = (4 − 1)(3 − 1) = 6 df = (2,6) Daerah kritis/penolakan Ho a) 𝐹 > 𝐹𝛼(𝑣1,𝑣2) → 𝐹 > 𝐹0,05(3,6) = 4,76 b) 𝐹 > 𝐹𝛼(𝑣1,𝑣2) → 𝐹 > 𝐹0,05(2,6) = 5,14 4. Menghitung nilai statistik uji 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 Kemasan Produk



Media



Total



Promosi



Kecil



Sedang



Besar



TV



3,30



3,60



3,70



10,6



Radio



3,15



2,60



2,90



8,65



Koran



2,95



3,30



2,85



9,10



Medsos



3,50



3,10



2,80



9,40



Total



12,90



12,60



12,25



37,75



JKT = (3,30) 2 + (3,15) 2 + (2,95) 2 + (3,50) 2 + (3,60) 2 + (2,60) 2 + (3,30) 2 +



(3,10) 2 +



(3,70) 2 +



(2,90) 2



+ (2,85) 2



+ (2,80) 2 −



(37,75) 2 4×3



= 1,30 JKB = JKK =



(10,6) 2+(8,65) 2+(9,1) 2+(9,4)2 3 (12,90) 2+(12,60) 2+(12,25) 2 3



−



−



( 37,75) 2 12



( 37,75) 2 12



= 0,70



= 0,06



JKG = JKT-JKB-JKK = 1,30-0,7-0,06 = 0,54 𝑆12 = 𝑆22 = 𝑆32 =



𝐽𝐾𝐵 (𝑟−1) 𝐽𝐾𝐾 (𝑐−1)



= =



𝐽𝐾𝐺 (𝑟−1)(𝑐−1)



0,7 (4−1) 0,06 (3−1)



=



= 0,23 = 0,03



0,54 (4−1)(3−1)



=



0,54 6



= 0,09



22



Jadi, 𝐹1 = 𝐹2 =



𝑆21 𝑆23 𝑆22 𝑆23



= =



0,23 0,09 0,03 0,09



= 2,55 = 0,33



5. Simpulan/putusan a) Oleh karena 𝐹1 = 2,55 < 𝐹0,05(3,6) = 4,76 maka Ho diterima. Jenis media promosi tidak berpengaruh nyata terhadap omzet penjualannya. Dengan kata lain, bahwa omzet penjualan yang dicapai karena perbedaan media promosi adalah sama (tidak berebda nyata secara statistik). b) Oleh karena𝐹2 = 0,33 < 𝐹0,05(2,6) = 5,14 maka Ho diterima. Ini berarti ukuran kemasan tidak berpengaruh nyata terhadap omzet penjualan. Dengan kata lain, bahwa rata-rata omzet penjualan yang dicapai karena adanya perbedaan kemasan adalah sama. Contoh 7. Suatu penelitian yang bertujuan untuk mengetahui apakah lokasi hotel dan kelas hotel berpengaruh terhadap tingkat penghunian kamarnya (dalam persen). Diambil sampel acak, masing-masing empat hotel bintang 5, 4, 3 dan 2 di tiga lokasi yaitu daerah pantai, pusat kota dan daerah pegunungan. Didapat hasil sebagai berikut: Lokasi Hotel



Kelas Hotel B.5



B.4



B.3



B.2



Daerah pantai



80



90



75



40



Pusat kota



70



75



80



85



60



65



40



30



Daerah pegunungan Pada taraf 5% ujilah



a. Apakah lokasi hotel berpengaruh terhadap tingkat penghunian kamar? b. Apakah kelas hotel berpengaruh terhadap tingkat penghunian kamarnya Penyelesaian r=3, c=4



23



1. Rumus hipotesis a. 𝐻0 : 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 0 (lokasi hotel tidak berpengaruh nyata terhadap tingkat penghunian kamarnya) 𝐻1 : Minimal satu dari 𝛼1 ≠ 0 (minimal satu lokasi hotel berpengaruh nyata terhadap tingkat penghunian kamarnya) b. 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽 = 𝛽3 = 𝛽4 = 0 (kelas hotel tidak berpengaruh nyata terhadap tingkat penghunian kamarnya). 𝐻1 : Minimal satu dari 𝛽1 ≠ 0 (minimal satu dari kelas hotel berpengaruh nyata terhadap tingkat penghunian kamarnya) 2. Taraf nyata 𝛼 = 5% = 0,05 3. Statistik uji dan daerah kritis Statistik uji a) 𝐹1 = b) 𝐹2 =



𝑆21 𝑆23 𝑆22 𝑆23



Derajat bebas a) 𝑑𝑓 = (𝑣1 , 𝑣2 ) → 𝑣1 = (3 − 1) = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = (3 − 1)(4 − 1) = 6 df = (2,6) b) 𝑑𝑓 = (𝑣1 , 𝑣2 ) → 𝑣1 = (4 − 1) = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = (3 − 1)(4 − 1) = 6 df = (3,6) Daerah kritis/penolakan Ho a) 𝐹 > 𝐹𝛼(𝑣1,𝑣2) → 𝐹 > 𝐹0,05(2,6) = 5,14 Daerah penolakan dan penerimaan Ho tampak dalam gambar f(F) 𝛼 = 0,05



F Daerah terima Ho



5,14 Daerah tolak Ho



24



b) 𝐹 > 𝐹𝛼(𝑣1,𝑣2) → 𝐹 > 𝐹0,05(3,6) = 4,76 Daerah penolakan dan penerimaan Ho tampak dalam f(F) 𝛼 = 0,05



F Daerah terima Ho



4,76 Daerah tolak Ho



4. Menghitung nilai statistic uji 𝐹1 dan 𝐹2 Kelas Hotel



Lokasi Hotel



Total



B.5



B.4



B.3



B.2



Daerah pantai



80



90



75



40



315



Pusat kota



70



75



80



85



315



60



65



40



30



225



230



235



190



Daerah pegunungan Total



250



880



𝐽𝐾𝑇 = (85) 2 + (80) 2 + (60) 2 + (85) 2 + (75) 2 + (70) 2 + (80) 2 + (90) 2 + (65) 2 + (65) 2 + (70) 2 + (55) 2 − 𝐽𝐾𝐵 = 𝐽𝐾𝐾 =



(315) 2+(315) 2+(250) 2 3



−



( 880) 2 12



(880) 2 = 1.316,67 3𝑥4



= 704,17



(225) 2 + (230) 2 + (235) 2 + (190) 2 (880) 2 − = 416,67 3 12



JKG = JKT – JKB - JKK = 1316,67 - 704,17 - 416,67 = 195,83 Jadi, 𝐹1 =



𝑆21 𝑆23



=



352,08 32,64



= 10,79



25



𝐹2 =



𝑆22 𝑆23



=



138,89 32,64



= 4,26



5. Simpulan/putusan a) Oleh Karena F1 = 10,79 > 𝐹0,05(2,6) = 5,14 maka Ho ditolak. Ini berarti lokasi hotel berpengaruh nyata terhadap tingkat penghunian kamar hotel. b) Oleh karena F2 = 4,26 < 𝐹0,05(3,6) = 4,76 maka Ho diterima. Ini berarti kelas hotel tidak berpengaruh nyata terhadap tingkat penghunian kamar hotel.



26



BAB III PENUTUP



3.1 Kesimpulan Distribusi F adalah pertandingan antara hasil bagi dua macam distribusi Chi Kuadrat dengan derajat bebasnya masing-masing. Menurut Mason dan Lind (1996), distribusi F memiliki-ciri-ciri berikut: Suatu anggota keluarga distribusi F ditentukan berdasarkan dua parameter: derajat bebas pembilang (v1 ) dan derajat bebas penyebut (v 2 ). Nilai F non-negatif dan bersifat ke arah positif. Kurva distribusi F menjulur kea rah positif Nilai f mempunyai interval dari 0 hingga ∞.



27



DAFTAR PUSTAKA Wirawan, Nata. 2017. Statistika Ekonomi dan Bisnis (Buku 2: Statistika Inferensia). Denpasar: Keraras Emas)



28