Kerapatan Fluks Listrik, Hukum Gauss, Dan Divergensi [PDF]

Citation preview

MAKALAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK “KERAPATAN FLUKS LISTRIK, HUKUM GAUSS, DAN DIVERGENSI”



Disusun oleh : Kelompok 3 1. Niken Amanda Shifa Alifia – 1513618030 2. Syaid Musthofa – 1513618052



PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRONIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA 2019



Kerapatan Fluks Listrik, Hukum Gauss, dan Divergensi 3.1 KERAPATAN FLUKS LISTRIK Di sekitar tahun 1837, Direktur Royal Society di London, Michael Faraday, merasa sangat tertarik untuk mengkaji fenomena medan listrik statis dan efek yang ditimbulkan oleh berbagai bahan isolator (penyekat listrik) pada medan ini. Permasalahn tersebut telah mengganggunya sejak sepuluh tahun silam, saat ia melakukan eksperimen yang melahirkan teorinya yang terkenal mengenai gaya gerak listrik (electromotive force) induksi –akan kita pelajari di dalam Bab 10 nanti. Untuk tujuan penelitian medan statis ini, ia membuat sebuah alat yang terdiri dari sepasang bola logam konsentris, di mana bola bagian luar dibentuk dari dua buah lempeng setengah-bola yang dapat disatukan. Ia juga menyiapkan sejumlah kulit pelapis dari berbagai jenis bahan penyekat (disebut bahan dielektrikum, atau sekedar dielektrikum saja), yang akan digunakan untuk mengisi ruang setebal beberapa centimeter di antara kedua bola konsentris tersebut. Kita tidak akan membicarakan dulu penemuannya mengenai bahan dielektrikum ini, karena saat ini kita masih membatasi perhatian kita hanya pada medan listrik di dalam ruang hampa. Pembicaraan mengenai dielektrikum akan kita lanjutkan di dalam Bab 6, dan kita akan melihat bahwa bahan – bahan isolator yang digunakannya itu kini dikenal sebagai dielektrikum ideal.



Singkat kata, percobaan yang dilakukan Faraday secara garis besar terdiri dari langkah – langkah berikut ini : 1. Sebelum bola bagian luar dipasang, bola-dalam diberikan muatan positif dengan nilai yang diketahui. 2. Kedua lempeng setengah-bola kemudian disatukan membentuk bola bagian luar, melingkupi bola bagian dalam yang telah bermuatan, dengan ruang-antara setebal sekitar 2 cm memisahkan kedua bola. 3. Bola bagian luar kemudian „dibersihkan‟ dulu dari muatan awal yang mungkin ada di permukaannya dengan cara menghubungkannya ke tanah sesaat. 4. Setelah beberapa waktu, bola bagian luar dilepaskan dari kedudukannya, dengan memisahkan secara hati-hati kedua lempeng setengah-bola menggunakan alat-alat yang terbuat dari isolator, agar tidak mengganggu muatan-muatan induksi yang kini ada di permukaannya. Selanjutnya, muatan induksi negatif pada permukaan masingmasing lempeng setengah-bola diukur.



Faraday mendapatkan bahwa muatan total yang ada di permukaan bola bagian luar (muatan dua lempeng setengah-bola dijumlahkan) ternyata persis sama magnitudonya dengan muatan awal yang diberikan ke permukaan bola bagian dalam, dan hal ini berlaku terlepas dari apapun bahan dielektrikum yang memisahkan kedua bola. Ia menyimpulkan terjadinya suatu “perpindahan” (displacement) muatan dari bola-dalam ke bola-luar, dan perpindahan ini tidak dipengaruhi oleh jenis medium yang harus dilewati; seolah-olah muatan-muatan tersebut „melompat‟ dari permukaan bola-dalam ke permukaan bola-luar. Kita menyebut aliran semacam ini sebagai fluks perpindahan muatan listrik, atau singkatnya fluks listrik. Percobaan Faraday mengungkapkan pula bahwa jika kita memperbesar muatan pada bola bagian dalam, maka muatan negatif yang diinduksikan ke bola bagian luar akan bertambah besarnya secara sebanding; hal ini membimbing Faraday pada kesimpulan bahwa fluks listrik sebanding dengan nilai muatan pada bola bagian dalam. Konstanta kesebandingan ini bergantung pada sistem metrik yang digunakan, dan di sini kita beruntung telah memilih satuan-satuan SI sebagai acuan kita, karena konstanta untuk sistem SI adalah satu. Jika fluks listrik dilambangkan oleh (psi) dan muatan total pada bola bagian dalam adalah , maka berdasarkan eksperimen Faraday Ψ=𝑄



Dan fluks listrik dinyatakan dalam satuan coulomb. Kita dapat memperoleh informasi kuantitatif yang lebih banyak dengan mengasumsikan bahwa bola-dalam memiliki jari-jari a dan bola-luar memiliki jari-jari b, di mana muatan masingmasing bola secara berturut-turut adalah Q dan –Q (Gambar 3.1). Jalur-jalur fluks listrik atau jalur-jalur perpindahan muatan dari bola-dalam menuju ke bola-luar digambarkan sebagai garisgaris gaya radial yang simetris dari bola-dalam ke bola-luar. Di permukaan bola bagian dalam, coulomb fluks listrik dihasilkan oleh muatan sebesar Q (= ) coulomb yang terdistribusi secara merata atau seragam di seluruh permukaan yang luasnya . Kerapatan fluks di permukaan ini oleh karenanya adalah , atau , dan nilai ini merupakan sebuah kuantitas baru yang dianggap penting. Kerapatan fluks listrik, yang dinyatakan dalam satuan coulomb per meter persegi (kadang dikatakan juga sebagai “garis fluks per meter persegi”, karena setiap garis fluks dihasilkan oleh satu muatan coulomb), dinotasikan dengan huruf D; lambang ini dipilih karena sebutan yang biasa dipakai adalah displacement fluks density (kerapatan fluks perpindahan) atau displacement density (kerapatan perpindahan). Namun, kerapatan fluks listrik (electric flux density) dianggap lebih memberi gambaran, dan kita akan menggunakan istilah ini secara konsisten. 2



Kerapatan fluks listrik D adalah sebuah medan vektor yang diklasifikasikan sebagai medan vektor “kerapatan fluks”, atau “kerapatan aliran”, berbeda dengan intensitas medan listrik E yang merupakan salah satu dari medan vektor kelas “medan gaya”. Arah medan D pada sebuah titik di dalam ruang sama dengan arah garis fluks yang melewati titik tersebut, dan magnitudonya adalah jumlah garis fluks yang menembus pada sebuah permukaan normal terhadap garis fluks, dibagi dengan luas permukaan itu. Memperhatikan sekali lagi Gambar 3.1, kita dapat mengetahui bahwa kerapatan fluks listrik memiliki arah radial (searah jari-jari) dan memiliki nilai sebesar



3



Jika sekarang kita menjadikan bola-dalam semakin kecil dan semakin kecil, sementara tetap mempertahankan muatan sebesar Q padanya, maka pada batas penciutannya –atau secara matematika, mengambil limit volume mendekati nol- bola ini akan menyerupai sebuah muatan titik. Namun, kerapatan fluks listrik di sebuah titik yang berjarak r meter dari muatan titik ini akan tetap mengikuti hubungan



(1) karena sejumlah Q garis fluks akan tetap dihasilkan oleh muatan tersebut (meskipun dalam bentuknya yang baru), dimana garis-garis ini dapat divisualisasikan mengarah radial keluar dari muatan titik secara simetris, dan menembus permukaan bola khayal seluas di titik berjarak r tadi. Bandingkanlah hasil ini dengan persamaan (10) pada Subbab 2.2, yaitu persamaan untuk intensitas medan listrik di sebuah titik berjarak r di dalam ruang-hampa,



Dari perbandingan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa di dalam ruang-hampa,



(hanya untuk (ruang hampa)



(2)



Meskipun (2) berlaku hanya untuk vakum, atau ruang-hampa, hubungan ini tidak terbatas pada muatan titik saja. Untuk distribusi muatan volume secara umum di dalam ruang-hampa,



(hanya untuk ruang hampa)



(3)



4



di mana hubungan ini diturunkan dari persamaaan medan listrik di sekitar sebuah muatan titik. Dengan cara yang sama, persamaan (1) memberikan kita hubungan



(4) dan (2) oleh karenanya berlaku untuk semua bentuk distribusi –titik, volume, garis, dan permukaan– di dalam ruang hampa; kita akan menetapkan persamaan (2) sebagai persamaan definisi untuk D di dalam ruang-hampa. Sebagai sedikit persiapan untuk membahas dielektrikum nanti, patut kita ketahui bahwa untuk sebuah muatan titik yang berada di dalam suatu medium dielektrik ideal, eksperimen Faraday memperlihatkan persamaan (1) tetap berlaku dan demikian pula persamaan (4). Namun persamaan (3) tidak berlaku, sehingga hubungan D dan E akan menjadi sedikit lebih rumit dari persamaan (2). Karena di dalam ruang-hampa D sebanding dengan E, pendefinisian besaran baru D ini tampak tidak terlalu diperlukan. Bagaimanapun kita menganggapnya perlu untuk beberapa alasan berikut ini. Pertama, besaran D terkait dengan konsep fluks, di mana konsep ini sendiri adalah sesuatu yang baru dan penting. Kedua, D sebagai medan vektor lebih sederhana dibandingkan dengan medan E, karena konstanta permitivitas tidak mucul di dalamnya. Terakhir, konsep yang dibawa oleh besaran D akan memainkan peranan penting ketika kita mempelajari dielektrikum nanti di dalam Bab 6. Marilah kita perhatikan sebuah contoh sederhana untuk mengilustrasikan besaran-besaran dan satuan-satuan baru yang kita pelajari di dalam subbab ini. CONTOH 3.1__________________________________________________________________ Kita ingin mengetahui D pada daerah di sekitar sebuah muatan garis seragam yang memiliki kerapatan 8 nC/m, dan terletak berhimpitan dengan sumbu z di dalam-hampa. Pemecahan : Medan E untuk muatan ini adalah



Pada jarak



= 3 m dari muatan garis, E = 47,9



V / m. 5



Terkait dengan medan listrik E, kita dapat menentukan adanya



Kerapatan fluks pada



= 3 m adalah D = 0,424



nC/m.



Banyaknya fluks listrik yang meninggalkan sebuah muatan garis sepanjang 5 m, dengan demikian, sama dengan muatan total yang terdapat pada segmen garis tersebut, yaitu = . _____________________________________________________________________________ 3.2 HUKUM GAUSS Hasil-hasil yang diperoleh Faraday di dalam percobaannya dapat dirangkumkan menjadi sebuah kesimpulan eksperimental yang menyatakan bahwa jumlah fluks listrik yang melewati atau menembus sebuah permukaan bola khayal yang berada di dalam ruang-antara dua bola penghantar konsentris, sama dengan muatan total yang terkurung di dalam permukaan khayal tersebut. Muatan terkurung ini boleh jadi terdistribusi sebagai muatan permukaan pada bola bagian dalam, atau bisa saja terkonsentrasi sebagai sebuah muatan titik di pusat bola khayal tadi. Akan tetapi, karena satu coulomb fluks listrik dihasilkan oleh satu coulomb muatan listrik, maka konduktor pembawa muatan yang berada di dalam permukaan bola khayal bisa saja berbentuk sebuah kubus, atau bahkan sebuah kunci pintu dari logam kuningan; terlepas dari apapun bentuk distribusi muatan bagian dalam ini, fluks listrik yang dihasilkan –dan dengan sendirinya muatan induksi pada permukaan bola bagian luar– akan tetap sama. Tentu saja, dalam kasus ini kerapatan fluks akan berubah dari susunan simetris sebelumnya menjadi suatu konfigurasi yang belum jelas bentuknya, namun sekali lagi, +Q coulomb pada suatu konduktor dalam berwujud apapun akan menginduksikan muatan –Q coulomb pada permukaan bola yang melingkupi konduktor. Melangkah lebih jauh lagi, kita dapat menggantikan dua lempeng setengah-bola Faraday dengan sebuah kaleng ikan sardin, yang kosong namun sepenuhnya tertutup. Muatan Q coulomb pada kunci kuningan tersebut akan menghasilkan fluks listrik = garis, dan 1 menginduksikan –Q coulomb pada permukaan kaleng sardin. Penarikan kesimpulan umum dari kesimpulan eksperimental Faraday ini membawa kita pada pernyataan berikut ini, yang dikenal sebagai hukum Gauss : Jumlah fluks listrik yang menembus keluar dari sembarang permukaan tertutup sama dengan muatan total yang terkurung di dalam –atau dilingkupi oleh– permukaan tersebut. 1



Sup ikan sardin di dalam kaleng sebenarnya dapat berfungsi sebagai dielektrikum jika dibutuhkan. Hasil yang diperoleh akan tetap sama.



6



Kontribusi Gauss, salah seorang matematikawan paling cemerlang yang pernah lahir ke dunia, sebenarnya bukanlah menyatakan hukum ini dalam bentuk kalimat yang baru saja kita baca. Namun, ia memberikannya dalam bentuk sebuah persamaan matematika yang sebentar lagi akan segera kita pelajari.



Marilah kita bayangkan suatu bentuk distribusi muatan (ditampilkan sebagai sebuah awan muatan di dalam Gambar 3.2) yang dilingkupi oleh sembarang permukaan tertutup. Permukaan tertutup ini bisa saja diumpamakan berupa sebuah lempengan yang terbuat dari suatu bahan tertentu di dunia nyata ini, namun secara umum kita dapat membayangkan permukaan tertutup apapun. Apabila aman muatan di dalam permukaan tertutup mengandung muatan total Q, maka sebanyak Q coulomb fluks listrik akan menembus keluar dari permukaan. Di setiap titik pada permukaan tertutup, vektor kerapatan fluks listrik D akan memiliki suatu nilai DS, di mana subskrip S sekedar mengingatkan kita bahwa D di sini terkait dengan sebuah permukaan (surface), dan bahwa magnitude dan arahnya akan berubah-ubah dari satu titik ke titik lainnya pada permukaan. Berikutnya, kita harus mencari tahu lebih jauh tentang sifat permukaan tertutup tersebut. Elemen-elemen parsial dari permukaan tertutup adalah vektor permukaan yang memiliki luas (magnitudo) , dan berbentuk sangat mendekati bidang datar. Namun, untuk mendapatkan gambaran lengkap mengenai vektor ini, kita masih harus menentukan arahnya di dalam ruang. Satu-satunya arah unik untuk vektor elemen permukaan ini adalah arah normal terhadap permukaan, yang merupakan garis tangen untuk permukaan di titik lokasi vektor. Tentu saja, selalu terdapat dua buah garis normal terhadap suatu permukaan, dan kita menghilangkan kerancuan ini dengan memilih garis normal “keluar” dari permukaan tertutup. Ambillah sebuah elemen permukaan parsial di sembarang titik P, dan asumsikan bahwa di titik itu DS membentuk suatu sudut terhadap , sebagaimana diperlihatkan dalam Gambar 3.2. Fluks yang menembus keluar dari dengan demikian adalah hasil kali antara komponen normal DS dan komponen normal , yaitu = fluks yang menembus



= DS, norm



= DS



= DS .



di mana definisi hasil kali titik yang kita pelajari di dalam Bab 1 dapat digunakan pada persamaan ini. 7



Fluks total yang menembus seluruh permukaan tertutup dapat dihitung dengan menjumlahkan fluks-fluks dari semua elemen permukaan parsial , atau dengan mengambil limit diferensial untuk fluks-fluks parsial ini dan kemudian mengintegrasikannya,



Integral di dalam persamaan ini adalah integral permukaan tertutup, dank arena elemen permukaan diferensial dS selalu melibatkan diferensial dari dua buah koordinat, seperti misalnya dx dy, , atau , maka integral tersebut sebenarnya merepresentasikan sebuah integral lipat dua. Biasanya, hanya satu tanda integral saja yang digunakan, demi tujuan keringkasan, dan sebuah huruf S selalu dituliskan di bawah tanda integral untuk menegaskannya sebagai integral permukaan; meski sebenarnya tidak perlu, mengingat keberadaan dS sudah cukup untuk mengindikasikan hal ini. Konvensi terakhir yang perlu diperhatikan untuk persamaan ini adalah penulisan sebuah lingkaran kecil pada tanda integralnya sendiri, yang mengindikasikan bahwa integral harus dilakukan terhadap sebuah permukaan tertutup. Permukaan semacam ini dikenal dengan sebutan permukaan Gauss. Dengan demikian, sekarang kita telah memperoleh rumusan matematis dari hokum Gauss,



Muatan terkurung ini dapat berupa sekumpulan titik bermuatan, sehingga dalam kasus ini = atau sebuah muatan garis = ∫ atau sebuah muatan permukaan = ∫



(tidak harus permukaan tertutup)



atau sebuah bentuk distribusi muatan volume,



8



Bentuk terakhir ini adalah yang paling biasa digunakan, dan kini seharusnya kita telah mengetahui bahwa distribusi muatan volume dapat dipakai untuk merepresentasikan segala bentuk distribusi muatan. Dengan memahami hal ini, hukum Gauss dapat dituliskan dalam konteks distribusi muatan sebagai,



sebuah pernyataan matematis yang secara sederhana mengatakan bahwa jumlah fluks yang melewati sebuah permukaan tertutup adalah sama dengan muatan di dalam permukaan itu. Sebagai contoh penerapan hukum Gauss, marilah kita periksa lagi kebenaran hasil-hasil eksperimen Faraday, dengan menempatkan sebuah muatan titik Q di pusat sebuah sistem koordinat bola (Gambar 3.3), dan memilih permukaan tertutup berupa sebuah selubung bola berjari-jari a. Intensitas medan listrik yang dihasilkan oleh muatan titik ini adalah,



9



Elemen luas diferensial untuk sebuah permukaaan bola, di dalam sistem koordinat bola, adalah



atau



Kedua integran dengan demikian dapat diketahui adalah



di mana batas-batas integral ini ditetapkan sedemikian rupa sehingga integrasi dilakukan untuk seluruh permukaan bola sebanyak sekali saja.2 Penyelesaian integrasi di atas memberikan kita



dan kita mendapatkan sebuah hasil yang memperlihatkan ada Q coulomb fluks listrik yang menembus keluar dari permukaan bola, yang membuktikan kebenaran hasil-hasil eksperimen Faraday, berhubung muatan yang terkurung memang sebesar Q coulomb. Subbab selanjutnya akan menyajikan contoh-contoh penerapan hukum Gauss untuk memecahkan beberapa soal yang melibatkan simetri-simetri geometris sederhana, dengan sasaran menentukan intensitas medan listrik untuk distribusi-distribusi muatan dasar.



2



Perhatikan bahwa jika kedua sudut dan memiliki batas dari 0 hingga seluruh permukaan bola sebanyak dua kali.



, maka integrasi ini dilakukan terhadap



10



3.3 APLIKASI HUKUM GAUSS : BEBERAPA DISTRIBUSI MUATAS SIMETRIS Sekarang marilah kita perhatikan bagaimana kita dapat memanfaatkan hukum Gauss,



untuk menentukan DS jika distribusi muatan di dalam permukaan tertutup dapat diketahui. Permasalahan ini akan membawa kita pada sebuah contoh persamaan integral, di mana besaran tak-diketahui yang hendak ditentukan nilainya berada di bawah tanda integral. Pemecahan persamaan integral ini, dan dengan demikian juga penentuan nilai untuk besaran tak-diketahui, akan menjadi mudah jika kita dapat menemukan sebuah permukaan tertutup yang memenuhi dua kriteria sebagai berikut : 1. DS memliki nilai arah normal atau merupakan garis tangen di setiap titik pada permukaan tertutup, sehingga secara berturut-turut DS . dS akan memiliki nilai DSdS atau nol. 2. Pada bagian permukaan dimana DS . dS tidak bernilai nol, DS bernilai konstan. Permukaan semacam ini akan memungkinkan kita untuk mereduksi hasil kali titik kedua vektor menjadi perkalian dua skalar DS dan dS, dan untuk kemudian mengeluarkan DS dari bawah tanda integral. Dengan demikian, integrasi yang harus diselesaikan hanyalah ∫ untuk seluruh bagian permukaan tertutup yang ditembus oleh DS kea rah normal, dan pada dasarnya integral ini hanyalah mencari luas permukaan tertutup itu. Satu-satunya hal yang dapat membantu kita menemukan permukaan tertutup yang tepat adalah pemahaman mengenai simetri yang berlaku di dalam soal, dan pemahaman ini dapat diperoleh dengan mengingat bahwa intensitas medan listrik dari sebuah muatan titik positif akan mengarah secara radial keluar dari muatan titik itu. Marilah sekali lagi kita memperhatikan sebuah muatan titik Q di pusat sistem koordinat bola, lalu mencoba menentukan sebuah permukaan tertutup yang dapat memenuhi dua kriteria tersebut diatas. Permukaan yang kita inginkan ini jelas-jelas adalah sebuah selubung bola, dengan pusat yang berhimpit dengan pusat koordinat bola dan memiliki sembarang jari-jari r. DS akan normal di setiap titik permukaan ini; DS memiliki nilai yang sama untuk semua titik pada permukaan.



11



Sehingga, kita dapat menurunkan,



dan karenanya,



Karena r dapat memiliki sembarang nilai dan karena DS mengarah radial keluar,



yang bersesuaian dengan hasil yang diperoleh di dalam Bab 2. Contoh ini memang terasa terlalu mengambang, dan seseorang boleh jadi membantah bahwa kita harus mengetahui begitu banyak bentuk medan simetris untuk menentukan permukaan yang tepat, dan bahkan mungkin permukaan yang kita pilih bukanlah satu-satunya yang memenuhi kriteria. Hal ini memang benar, dan tak ada cara lain bagi kita untuk mengetahui kebenaran pilihan kita kecuali dengan membandingkan jawabannya dengan hasil dari hukum kuadtar-terbalik Coulomb. Namun, contoh ini tetap memberikan sebuah metode alternatif yang dapat digunakan pada soal-soal yang spesifik, termasuk di antaranya beberapa yang praktis tak terpecahkan oleh hukum Coulomb. Apakah untuk contoh pertama ini masih ada permukaan lain yang dapat memenuhi kedua persyaratan di atas? Para mahasiswa seharusnya dapat mengetahui bahwa permukaan-permukaan semisal kubus dan silinder bukanlah permukaan yang memenuhi kriteria. Sebagai contoh kedua, marilah kita meninjau sebuah muatan garis yang terdistribusi secara merata (seragam) pada sumbu z dan membentang dari hingga . Pertama-tama, kita harus mengetahui benar simetri dari medan yang dihasilkan muatan, dan kita dapat memperoleh pengetahuan ini dengan menjawab kedua pertanyaan di bawah ini : 1. Terhadap koordinat-koordinat mana medan ini akan berubah, atau dengan kata lain merupakan fungsi dari variabel-variabel apakah medan D? 2. Komponen-komponen mana saja dari D yang akan muncul di dalam persamaan? 12



Pertanyaan-pertanyaan ini telah dijumpai sebelumnya pada subbab 2.5, saat kita mencoba memecahkan soal yang sama dengan hukum Coulomb. Ketika itu kita mendapatkan bahwa dengan mengetahui jawaban-jawaban dari pertanyaan-pertanyaan ini, kita dapat menyusun sebuah persamaan integral yang jauh lebuh sederhana. Soal ini dapat diselesaikan dengan hukum Coulomb tanpa memperhatikan simetri, namun pekerjaannya akan jauh lebih sulit. Tetapi dalam menggunakan hukum Gauss, masalahnya bukan lagi menggunakan simetri untuk menyederhanakn solusi, karena penerapan hukum Gauss bergantung pada simetri itu sendiri; jika kita tidak dapat memperlihatkan bahwa suatu bentuk simetri ada di dalam soal, maka kita tidak dapat menggunakan hukum Gauss untuk memcahkannya. Kedua pertanyaan di atas kini menjadi “wajib” dijawab. Dari diskusi sebelumnya mengenai muatan garis seragam, kita telah mengetahui bahwa medan D hanya memiliki komponen radial, yaitu



dan komponen ini hanya merupakan fungsi dari koordinat ,



Pemilihan permukaan tertutuop kini menjadi lebih mudah, karena satu-satunya permukaan yang di setiap titiknya akan normal adalah sebuah selubung silinder-lingkaran, dan kita dapat menjadikan selubung ini permukaan tertutup dengan menambahkan dua buah bidang datar normal terhadap sumbu z di bagian atas dan bawahnya –layaknya kita menambahkan dua buah „tutup kaleng‟. Sebuah silinder-lingkaran tertutup berorientasi tangan-kiri, dengan jari-jari dan dibatasi oleh bidang-bidang datar z = 0 dan z = L, ditampilkan dalam Gambar 3.4.



13



Kita menerapkan hukum Gauss,



dan memperoleh



Dalam konteks kerapatan muatan ini adalah



, muatan total yang terkurung di dalam permukaan



sehingga



atau



Perbandingan dengan hasil dari Subbab 2.4, yaitu persamaan (20), memperlihatkan bahwa jawaban yang kita peroleh adalah benar, dengan usaha yang jauh lebih sedikit. Setelah permukaan yang tepat dapat ditentukan, maka integrasi hanya perlu dilakukan untuk menghitung luas bagian dari permukaan ini yang merupakan normal terhadap D.



14



Permasalahan medan di sekitar sebuah kabel koaksial sangat mirip dengan yang baru saja kita selesaikan untuk muatan garis, dan merupakan contoh sebuah permasalahan yang sangat sulit untuk diselesaikan dengan hukum Coulomb. Umpamakan bahwa kita memiliki dua buah konduktor silindris yang koaksial (sama sumbunya), dengan jari-jari konduktor-dalam sebesar a dan jari-jari konduktor-luar sebesar b, dan panjang kedua konduktor adalah tak-berhingga (Gambar 3.5). Kita akan mengasumsikan bahwa muatan terdistribusi secara merata dengan kerapatan pada permukaan bagian luar dari konduktor-dalam. Analisis simetri menunjukkan kepada kita bahwa medan dari muatan pada permukaan silinder-dalam hanya memiliki komponen , dan bahwa komponen ini hanya merupakan fungsi dari . Sebuah silinder-lingkaran dengan panjang L dan jari-jari , di mana , adalah pilihan permukaan Gauss yang tepat untuk masalah ini, dan dengan pilihan ini kita segera saja dapat menuliskan



Muatan total pada bagian sepanjang L dari konduktor-dalam adalah



di mana dari kedua persamaan ini kita memperoleh



Hasil ini dapat dinyatakan dalam konteks muatan per satuan panjang (yaitu, kerapatan muatan garis), karena konduktor-dalam memiliki coulomb muatan permukaan untuk setiap meter panjangnya, sehingga bila = , maka



dan solusi ini memiliki bentuk yang sama dengan hasil untuk muatan garis tak-hingga. Karena setiap garis fluks bermula dari sebuah muatan pada permukaan konduktor-dalam dan berujung di sebuah muatan negatif pada permukaan bagian dalam dari konduktor-luar, muatan total pada permukaan bagian dalam konduktor-luar adalah



15



dan kerapatan muatan permukaan untuk konduktor-luar dapat dihitung dengan



yang menghasilkan



Apa yang terjadi jika kita menggunakan silinder dengan jari-jari sebagai permukaan Gauss kita? Muatan total yang diselubungi oleh permukaan ini akan sama dengan nol, karena terdapat muatan-muatan yang saling berlawanan tanda dan sama besarnya pada masing-masing konduktor. Oleh karenanya,



Hasil yang serupa akan diperoleh untuk . Sehingga, sebuah kabel koaksial tidak memiliki medan pada daerah di luar konduktor bagian luarnya (dengan ini kita membuktikan bahwa konduktor-luar memang berfungsi sebagai "pelindung" atau "perisai"), dan tidak pula terdapat medan di bagian dalam konduktor pusat (konduktor-dalam). Hasil yang kita peroleh di sini dapat pula digunakan untuk sebuah segmen kabel koaksial dengan panjang berhingga dan kedua ujung yang dibiarkan terbuka, asalkan panjang kabel L jauh lebih besar dari jari-jari kabel b, sehingga kondisi asimetris yang terjadi di daerah sekitar kedua ujung kabel tidak akan terlalu mempengaruhi jawaban soal. Segmen kabel semacam ini disebut juga sebagai kapasitor koaksial. Baik kabel koaksial maupun kapasitor koaksial akan sering kita jumpai di dalam pembahasan-pembahasan mendatang. Contoh numerik berikut ini mungkin dapat membantu menguatkan pemahaman Anda.



16



CONTOH 3.2__________________________________________________________________ Asumsikan kita memiliki kabel koaksial sepanjang 50 cm dengan jari-jari konduktor dalam sebesar 1 mm dan jari-jari konduktor luar sebesar 4 mm. Ruang di antara kedua konduktor silindris ini diasumsikan berisi udara. Muatan total yang terdapat pada permukaan konduktordalam adalah 30 nC. Kita hendak mengetahui kerapatan muatan pada masing-masing konduktor, berikut medan-medan E dan D-nya. Pemecahan. Kita mulai dengan menghitung kerapatan muatan permukaan untuk silinder dalam,



Kerapatan muatan negatif pada permukaan bagian dalam dari konduktor-luar adalah



Medan-medan internal di dalam kabel dapat dihitung dengan:



dan



Kedua persamaan medan ini berlaku pula untuk daerah di mana 1 < < 4 mm, yaitu ruang di antara kedua konduktor. Untuk daerah-daerah di mana < 1 mm atau > 4 mm, E dan D bernilai nol.



17



3.4 APLIKASI HUKUM GAUSS: ELEMEN VOLUME DIFERENSIAL Sekarang kita akan mencoba menerapkan metode berbasis-hukum Gauss ini pada jenis soal yang berbeda dari sebelumnya –soal-soal yang tidak mengandung bentuk simetri apapun. Secara sepintas, usaha kita ini nampaknya akan sia-sia belaka, karena tanpa simetri maka sebuah permukaan Gauss yang sesuai –yaitu permukaan yang di setiap titiknya komponen normal D akan bernilai konstan atau nol- tidak akan dapat ditentukan. Dan tanpa adanya permukaan Gauss, persamaan integral untuk medan tidak dapat diselesaikan. Hanya ada satu cara untuk keluar dari kesulitan ini, yaitu dengan memilih permukaan-permukaan tertutup yang sangat kecil, sedemikian rupa sehingga D akan mendekati konstan di seluruh permukaan tersebut. Dengan ini, variasi-variasi kecil dalam nilai D dapat direpreseprentasikan secara cukup baik oleh ekspansi deret Taylor untuk D. Hasil yang diperoleh akan semakin mendekati kebenaran jika volume yang dilingkupi oleh permukaan Gauss dibuat semakin kecil, dan pada akhirnya mendekati nol.



Contoh ini juga berbeda dari soal-soal terdahulu, karena di sini kita tidak akan mencoba menentukan nilai D sebagai jawaban akhir, melainkan mencoba mengetahui bagaimana D berubah-ubah dari satu titik ke titik lainnya pada permukaan Gauss. Contoh ini akan membawa kita langsung pada salah satu dari keempat persamaan Maxwell –yang merupakan persamaanpersamaan fundamental bagi seluruh teori elektromagnetika. Marilah kita bayangkan sembarang titik P di dalam sistem koordinat persegi, sebagaimana diperlihatkan dalam Gambar 3.6. Nilai D di titik P dapat dinyatakan dalam komponen-komponen koordinat persegi sebagai = . Kita memilih sebuah balok persegi kecil sebagai permukaan tertutup kita, dengan pusat di P dan memiliki panjang x, y, z untuk ketiga pasang rusuknya. Menerapkan hukum Gauss pada permukaan ini,



18



Untuk dapat menyelesaikan persamaan integral di atas untuk seluruh permukaan balok, maka integrasi harus dipecah menjadi enam bagian, satu bagian untuk masing-masing sisi balok,



Marilah kita perhatikan bagian pertama dari keenam integrasi di atas dari dekat. Karena elemen permukaan yang bersangkutan sangat kecil, D praktis tidak akan berubah nilainya (magnitudo dan arahnya) di seluruh permukaan tersebut, dan



di mana kita haya perlu memperkirakan nilai berjarak dari P, dan oleh karenanya



pada sisi muka balok ini. Sisi muka balok



di mana adalah nilai di titik P, dan di mana sebuah turunan parsial harus dipakai untuk menyatakan laja perubuhan terhadap variabel x, karena D secara umum juga merupakan fungsi dari y dan z. Persamaan ini dapat diperoleh dengan cara yang lebih formal, menggunakan suku konstanta dan suka derivatif pertama dari ekspansi deret Taylor untuk pada titik-titik di sekitar P. Dengan demikian kita memperoleh



19



Perhatikan sekarang integrasi untuk sisi belakang balok,



dan



sehingga



Jika kita menggabungkan kedua integral ini, maka kita mendapatkan



Dengan cara yang persis sama kita memperoleh



dan



20



dan hasil-hasil ini disatukan untuk mendapatkan



atau



(7) Persamaan ini adalah sebuah persamaan pendekatan, atau aproksimasi, yang akan bertambah akurat jika kita menjadikan semakin kecil, dan pada subbab selanjutnya kita akan menjadikan mendekati nol. Untuk sementara ini, kita telah menerapkan hukum Gauss pada permukaan yang melingkupi elemen volume , dan hasilnya adalah persamaan aproksimasi (7) yang menyatakan



(8) CONTOH 3.3_________________________________________________________________ Hitunglah nilai perkiraan untuk muatan total yang ada di dalam sebuah volume parsial sebesar yang berada di pusat koordinat, Jika D = . Pemecahan. persamaan (8):



Pertama-tama kita mengerjakan tiga turunan parsial yang ada di dalam



21



Di titik pusat, dua persamaan parsial pertama bernilai nol dan persamaan terakhir bernilai 2. Sehingga, kita dapat memperkirakan bahwa muatan yang ada di dalam elemen volume kecil ini adalah mendekati (lebh atau kurang) 2 . Jika besarmya , maka muatan di dalam volume elementer ini adalah sekitar 2 nC. ______________________________________________________________________________ 3.5 DIVERGENSI Sekarang kita akan menurunkan hubungan sebenarnya dari persamaan (7), dengan cara menciutkan elemen volume hingga mendekati nol. Kita menuliskan persamaan (7) sebagai



atau sebagai nilai limit



di mana tanda mendekati (perkiraan) pada persamaan sebelumnya telah digantikan dengan sebuah tanda sama dengan. Kita dapat mengetahui dengan cukup jelas bahwa besaran terakhir dalam persamaan di atas adalah kerapatan muatan volume , dan oleh karenanya



(9)



Ada terlalu banyak informasi di dalam persamaan ini untuk dibicarakan secara sekaligus, sehingga kita akan menuliskannya menjadi dua buah persamaan yang terpisah,



(10)



(11)



di mana persamaan (11) akan kita simpan dulu untuk dibahas di dalam subbab berikutnya. 22



Persamaan (10) tidak melibatkan besaran kerapatan muatan, dan metode yang kita pakai pada subbab sebelumnya dapat digunakan pada sembarang vektor A untuk menghitung ∮



untuk sebuah permukaan tertutup kecil. Maka,



(12)



di mana A dapat merepresentasikan kecepatan, gradien suhu, gaya, atau medan vektor apapun. Operasi matematika ini digunakan dalam begitu banyak pengkajian di berbagai bidang fisika dalam seratus tahun terakhir. Begitu populemya hingga mendapat sebuah nama sendiri yang cukup deskriptif: divergensi. Divergensi A didefinisikan sebagai



(13)



dan biasanya disebut dengan nama pendeknya div A. Pengejawantahan fisik dari divergensi sebuah vektor dapat diketahui dengan memahami makna yang disiratkan oleh operasi di bagian kanan persamaan (13), di mana kita akan mengasumsikan bahwa A adalah sebuah vektor dari keluarga vektor kerapatan fluks demi memudahkan pemahaman ini. Divergensi vektor kerapatan fluks A adalah aliran keluar per satuan volume garis-garis fluks meninggalkan sebuah permukaan tertutup yang berukuran sangat kecil, di mana volume yang dilingkupi permukaan ini dijadikan mendekati nol (mendekati besarnya titik).



Interpretasi fisik yang diberikan oleh pernyataan di atas seringkali sangat membantu kita dalam mendapatkan informasi kualitatif tentang divergensi sebuah medan vektor, tanpa membutuhkan kalkulasi matematis. Sebagai contoh, marilah kita perhatikan divergensi vektor kecepatan air di dalam sebuah bak mandi setelah sumbat di bagian dasarnya dibuka. Untuk sebuah permukaan tertutup yang sepenuhnya berada di dalam air, aliran air yang menembus keluar dari permukaan ini secara netto akan sama dengan nol, karena air pada dasarnya tidak dapat dimampatkan dan tidak dapat mengembang. Sehingga, aliran air keluar dari permukaan ini akan dibarengi oleh aliran air masuk yang sama jumlahnya. Karena itu, divergensi dari vektor kecepatan air adalah nol. Akan tetapi, jika kita memperhatikan kecepatan udara di dalam sebuah ban yang baru saja bocor tertusuk paku, kita dapat mengetahui bahwa udara mengembang seiring dengan jatuhnya tekanan di dalam ban, dan sebagai akibatnya, untuk sembarang permukaan tertutup di dalam ban, udara secara netto mengalir keluar. Divergensi vektor kecepatan oleh karenanya lebih besar dari nol. 23



Untuk sembarang titik di dalam ruang, sebuah nilai positif untuk divergensi suatu vektor mengindikasikan bahwa titik itu adalah sebuah sumber fluks (source) bagi vektor tersebut. Sebaliknya, divergensi negatif mengindikasikan titik yang terkait sebagai sebuah pembuangan fluks (sink). Karena divergensi vektor kecepatan air di dalam bak mandi adalah nol, maka tidak didapatkan adanya sumber atau pembuangan bagi besaran vektor ini di dalam air.3 Namun, udara yang mengembang di dalam ban menghasilkan divergensi positif, sehingga setiap titik di dalam ban dapat dianggap scoagai sebuah sumber. Dengan konsep baru ini, kita dapat menuliskan kembali persamaan (10) menjadi



(14)



Sekali lagi kita mendapatkan sebuah persamaan yang tidak melibatkan kerapatan muatan. Persamaan ini dihasilkan dari penerapan definisi divergensi (13) terhadap sebuah elemen volume diferensial di dalam sistem koordinat persegi. Apabila definisi divergensi diterapkan pada elemen volume diferensial dari sistem koordinat silinder, atau pada dari sistem koordinat bola, maka persamaan divergensi untuk masing-masing sistem koordinat ini dapat diperoleh. Penurunan persamaan divergensi untuk ketiga sistem koordinat dijabarkan di dalam Lampiran A, dan kita hanya akan menyajikan hasil-hasilnya di sini:



(15)



(16)



(17)



Persamaan-persamaan ini dapat ditemukan pula di muka dalam sampul belakang buku ini sebagai rujukan cepat. 3



Penurunan ketinggian air secara perlahan (karena dibukanya sumbat) pada akhimya akan menjadikan elemen volume kita berada di atas permukaan air. Namun, pada saat permukaan air berpotongan dengan volume kecil ini, maka divergensi tidak lagi nol dan memiliki nilai positif. Hal ini bertentangan dengan kesimpulan di atas, dan membuat masalahnya menjadi rumit. Kesulitan ini diatasi dengan menjadikan elemen volume mendekati ukuran titik.



24



Patut diperhatikan bahwa divergensi adalah sebuah operasi matematika yang dilakukan pada sebuah vektor, namun hasil yang diberikannya adalah sebuah skalar. Operasi ini mengingatkan kita pada operasi hasil kali titik, yang merupakan perkalian dua buah vektor yang menghasilkan sebuah skalar. Karena satu hal dan lainnya, orang yang baru mengenal divergensi sering sekali menyalahartikannya sebagai suatu bentuk vektor, dengan membubuhkan vektor-vektor satuan di antara kuantitas-kuantitas turunan parsial di dalam persamaannya. Divergensi hanya memberitahukan banyaknya fluks yang menembus keluar dari sebuah permukaan tertutup untuk setiap satuan volume yang dilingkupi oleh permukaan tersebut; divergensi sama sekali tidak berhubungan dengan arah. Kita dapat memahami lebih jelas konsep divergensi ini dengan memperhatikan soal berikut, yang merupakan kelanjutan dari contoh yang diberikan di akhir Subbab 3.4. CONTOH 3.4_________________________________________________________________ Carilah div D di pusat koordinat jika D =



.



Pemecahan. Kita menggunakan persamaan (14) atau (15) untuk mendapatkan



Nilai divergensi ini adalah konstan, yaitu 2, terlepas dari di mana pun lokasinya. Apabila satuan untuk medan D adalah , maka satuan div D adalah . Dengan demikian, div D adalah sebuah kerapatan muatan volume dan gagasan ini akan kita bahas lebih dalam pada subbab selanjutnya. 3.6 PERSAMAAN PERTAMA MAXWELL (MEDAN ELEKTROSTATIK) Sekarang kita telah siap untuk menggabungkan semua yang telah kita pelajari dari dua subbab sebelumnya untuk mengetahui interpretasi dari konsep divergensi dalam kaitannya dengan kerapatan fluks listrik. Persamaan-persamaan yang diperoleh pada kedua subbab tersebut dapat dituliskan sebagai (18)



(19) dan (20)



25



Persamaan pertama adalah definisi dari divergensi, dan yang kedua adalah hasil dari penerapan definisi ini pada sebuah elemen volume diferensial di dalam koordinat persegi; persamaan kedua adalah persamaan yang dapat kita gunakan untuk menghitung divergensi sebuah vektor yang dinyatakan dalam koordinat persegi. Persamaan ketiga sebenarnya hanyalah persamaan (11) yang dituliskan sebagai div D. Persamaan (20) secara otomatis akan kita pahami jika kita telah mengenal dengan baik konsep divergensi yang didefinisikan oleh persamaan (18), karena jika hukum Gauss



dijadikan per satuan volume sebagai,



Maka, bila volume dijadikan mendekati nol,



kita dapat melihat bahwa sisi kiri persamaan adalah div D dan sisi kanannya adalah kerapatan muatan volume, (20)



Persamaan ini adalah persamaan pertama dari empat persamaan Maxwell yang berlaku untuk medan elektrostatik, yaitu medan listrik statis dan medan magnet diam, dan menyatakan bahwa jumlah fluks listrik per satuan volume yang meninggalkan sebuah elemen volume berukuran sangat kecil adalah sama dengan kerapatan muatan di dalam volume tersebut. Persamaan ini disebut juga sebagai bentuk titik dari hukum Gauss. Hukum Gauss menghubungkan jumlah fluks yang meninggalkan sebuah permukaan tertutup dengan muatan total di dalam permukaan tersebut, dan persamaan pertama Maxwell memberikan pernyataan yang serupa, namun dalam konteks per satuan volume dan untuk sebuah volume yang begitu kecil hingga mendekati nol -atau dengan kata lain, muatan pada sebuah titik. Karena divergensi dinyatakan sebagai jumlah dari tiga buah besaran turunan, makn persamaan pertama Maxwel dapat pula dikatakan sebagai bentuk diferensial dari hukum Gauss, dan sebaliknya hukum Gauss dipandang sebagai bentuk integral dari persamaan pertama Maxwell. 26



Sebagai sebuah contoh ilustratif, marilah kita coba untuk menentukan divergensi D pada daerah di sekitar sebuah titik Q yang berada di pusat koordinat. Kita mengetahui bahwa medan ini adalah



dan kemudian menggunakan persamaan (17) dari Subbab 3.5, yang merupakan rumus divergensi untuk sistem koordinat bola:



Karena



dan



adalah nol, kita mendapatkan



Sehingga, = pada setiap titik di sekitar pusat koordinat, kecuali di titik pusat koordinat itu sendiri di mana adalah tak-berhingga. Operasi divergensi tidak hanya dapat diterapkan pada vektor kerapatan fluks listrik saja; operasi ini dapat digunakan pada setiap medan vektor. Kita akan menerapkan divergensi pada beberapa medan elektromagnetik lainnya di dalam bab-bab mendatang. 3.7 OPERATOR VEKTOR



DAN TEOREMA DIVERGENSI



Jika kita memperhatikan kembali bahwa divergensi adalah operasi matematika pada sebuah vektor yang memberikan sebuah hasil skalar, sebagaimana halnya perkalian titik dua buah vektor juga menghasilkan sebuah skalar, maka nampaknya divergensi



dapat pula dikonsepsikan sebagai sebuah operasi titik antara vektor D dengan suatu bentuk "besaran vektor" lainnya. Perhatikan bahwa kita di sini menggunakan istilah operasi titik –atau operasi dot– dan bukan perkalian titik, karena hasil yang muncul bukanlah sebuah hasil perkalian.



27



Untuk tujuan ini, maka kita mendefinisikan operator del vektor, yaitu



sebagai sebuah operator



(21)



Operator-operator skalar yang menyerupai operator ini dapat dijumpai di dalam sejumlah metode untuk memecahkan persamaan-persamaan diferensial, di mana kita seringkali menggunakan D untuk menggantikan , untuk dan seterusnya.4 Kita akan menggariskan bahwa, sesuai dengan definisinya, (dibaca "del") akan diperlakukan sebagaimana layaknya sebuah vektor biasa, namun bahwa operasi dot sebuah vektor dengannya akan menghasilkan turunan parsial ketimbang hasil perkalian skalar-skalar. Dengan demikian,



mengindikasikan



Pertama-tama kita mengerjakan perkalian titik antara vektor-vektor satuan seperti biasa, dengan menghilangkan enam hasil kali titik yang bernilai nol dan menuliskan hanya



di mana ketiga pasang tanda kurung kemudian dibuka dengan menerapkan operasi diferensial:



Hasil akhir ini kita kenal sebagai divergensi vektor D, sehingga kita mendapatkan



4



Jangan sampai Anda merancukan antara operator skalar D ini dengan besaran kerapatan fluks listrik. Anda tak perlu khawatir, operator tersebut tidak akan kita gunakan lagi di dalam buku ini.



28



Penggunaan notasi jauh lebih umum dijumpai ketimbang penggunaan div D, meskipun masing-masingnya memberikan keuntungan tersendiri. Menuliskan divergensi sebagai memungkinkan kita menurunkan dengan mudah dan cepat (bila kita lupa atau tidak hafal caranya) persamaan diferensial parsial dari divergensi D, namun hal ini hanya bisa dilakukan untuk sistem koordinat persegi, seperti akan segera kita lihat. Di sisi lain, div D mengingatkan kita dengan baik akan interpretasi fisik dari operasi divergensi. Di sini, hingga seterusnya nanti kita akan menggunakan notasi untuk mengindikasikan operasi divergensi. Operator vektor tidak hanya digunakan untuk operasi divergensi, namun juga untuk beberapa operasi matematika lainnya yang sangat penting, yang akan kita jumpai di dalam pembahasanpembahasan lebih lanjut. Salah satu dari operasi semacam ini adalah , di mana u adalah sembarang medan skalar, dan operasi ini didefinisikan sebagai



Operator tidak memiliki bentuk yang spesifik di dalam sistem-sistem koordinat, selain koordinat persegi. Apabila kita membahas D di dalam sistem koordinat silinder misalnya, maka tetap mengindikasikan divergensi D untuk koordinat silinder, yang bentuk persamaan diferensial parsialnya adalah



yang kita ambil dari Subbab 3.5. Operator itu sendiri tidak memiliki suatu bentuk tertentu yang dapat membantu kita menurunkan persamaan di atas. Hal ini berarti bahwa –sebuah besaran yang belum kita ketahui namanya namun mudah untuk diingat di dalam koordinat persegi sementara ini belum dapat kita tuliskan di dalam sistem koordinat silinder. Persamaan yang dimaksud akan diperoleh saat kita mendefinisikan di dalam Bab 4. Kita menutup diskusi kita mengenai divergensi dengan menyajikan sebuah teorema yang akan dibutuhkan untuk beberapa pembahasan di dalam bab-bab mendatang, yaitu teorema divergensi. Teorema ini berlaku untuk sembarang medan vektor yang bentuk fungsionalnya dapat memenuhi persamaan diferensial parsial divergensi –yaitu memiliki turunan parsial untuk ketiga variabel koordinat– meskipun penerapannya paling mudah dilakukan pada vektor kerapatan fluks listrik. Kita sebenarmya telah menurunkan teorema ini, meskipun belum secara formal, dan yang kini harus kita lakukan hanyalah menyajikannya dalam bentuk yang lebih jelas dan terstruktur. Dimulai dari hukum Gauss,



29



dan bila



dan kemudian menggantikan , dengan besaran yang setara



kita mendapatkan bahwa



Persamaan pertama dan terakhir memberikan kita teorema divergensi,



(22)



yang dapat dinyatakan sebagai berikut, Integrasi dari komponen-komponen normal sembarang medan vektor pada sebuah permukaan tertutup sama dengan integrasi dari divergensi kerapatan fluks untuk seluruh volume di dalam permukaan tertutup tersebut.



Sekali lagi, kita akan menegaskan bahwa teorema divergensi berlaku untuk setiap medan vektor, meskipun di sini kita hanya menurunkannya untuk kerapatan fluks listrik D. Di dalam pembahasan-pembahasan selanjutnya, kita akan mendapat kesempatan untuk melihat beberapa penerapannya pada medan-medan vektor lain. Kemudahan utama yang ditawarkan oleh teorema ini adalah bahwa teorema ini menghubungkan sebuah integrasi lipat-tiga untuk suatu volume, dengan sebuah integrasi lipat-dua untuk permukaan tertutup yang melingkupi volume tersebut. Sebagai contoh, lebih mudah bagi kita untuk menemukan kebocoran pada sebuah botol yang berisi penuh cairan dengan memeriksa aliran keluar cairan dari permukaannya, ketimbang menghitung kecepatan pergerakan cairan tersebut di dalam botol. Konseptualisasi fisik dari teorema divergensi menjadi lebih mudah dibayangkan bila kita memperhatikan sebuah volume v, diperlihatkan dalam Gambar 3.7, yang dibungkus oleh sebuah permukaan tertutup S. Membagi volume ini menjadi sel-sel kecil berukuran diferensial, dan kemudian mengamatinya dari dekat akan menperlihatkan kepada kita bahwa fluks-fluks yang terpencar (diverging) dari sebuah sel akan masuk ke sel-sel yang bersebelahan dengannya, kecuali jika sel itu berbatasan langsung dengan permukaan S. 30



Sehingga, jumlah netto aliran fluks yang keluar dan memasuki tiap-tiap sel di dalam volume ini akan sama dengan nol, terkecuali untuk sel-sel yang berbatasan dengan permukaan tertutup, di mana aliran nettonya adalah sama dengan aliran keluar menembus permukaan tersebut. Singkat kata, menghitung divergensi fluks untuk seluruh volume akan memberikan hasil yang dengan menghitung jumlah fluks yang keluar dari permukaan pembungkus volume tersebut. Marilah kita perhatikan sebuah contoh yang mengilustrasikan teorema divergensi baru saja kita pelajari.



CONTOH 3.5_________________________________________________________________ Gunakan kedua sisi persamaan teorema divergensi untuk medan = dan sebuah volume paralelepipedum-persegi yang dibatasi oleh bidang-bidang datar x = 0 dan x = 1, y = 0 dan y = 2, serta z = 0 dan z = 3. Pemecahan. Pertama-tama kita akan mengevaluasi ruas integral permukaan (ruas kiri) dari teorema divergensi. Kita dapat melihat bahwa D sejajar dengan bidang-bidang z = 0 dan z = 3, sehingga pada kedua permukaan ini = . Untuk keempat bidang lainnya, kita mendapatkan



31



Akan tetapi,



= , dan



=



, sehingga menyisakan hanya



Karena



ruas integral volume dari teorema divergensi akan menghasilkan



dan kita dapat melihat bahwa kedua sisi teorema divergensi memberikan hasil yang sama. Mengingat kembali hukum Gauss, kita dapat mengetahui pula bahwa secara sekaligus hasil ini memberikan muatan total yang ada di bagian dalam bangun, atau terkurung di dalam permukaan tertutup paralelepipedum tersebut, yaitu 12 C.



32