LK 1 Modul 3 Kalkulus Dan Trigonometri [PDF]

Citation preview

LK 1.1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul Judul Kegiatan Belajar (KB)



No 1



Butir Refleksi Daftar peta konsep (istilah dan definisi) di modul ini



Kalkulus dan Trigonometri 1. Fungsi Trigonometri 2. Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi 3. Turunan dan Aplikasi Turunan 4. Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral Respon/Jawaban K.B 1. Fungsi Trigonometri 1. Identitas Fungsi Trigonometri a. Definisi dasar nilai fungsi trigonometri



𝑆𝑖𝑛 𝛼 =



𝑑𝑒 𝐴𝐵 = 𝑚𝑖 𝐵𝐶



𝐶𝑜𝑠 𝛼 =



𝑠𝑎 𝐴𝐶 = 𝑚𝑖 𝐵𝐶



𝑇𝑎𝑛 𝛼 =



𝑑𝑒 𝐴𝐵 = 𝑠𝑎 𝐴𝐶



Sifat dari fungsi trigonometri 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 b. Aturan sinus dan cosinus. Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku (Aturan sinus) + (Perluasan Aturan Sinus) 𝑎 𝑏 𝑐 = = = 2𝑅 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐵 𝑆𝑖𝑛 𝐶 𝑅 merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga (Aturan Cosinus) 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐶 c. Periode dan amplitudo fungsi trigonometri Sebuah fungsi 𝑓 dikatakan periodik jika terdapat sebuah bilangan positif 𝑝 sehingga 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓. Nilai 𝑝 terkecil disebut periode



2. Invers Fungsi Trigonometri a. Invers fungsi sinus b. Invers fungsi cosinus c. Invers fungsi tan d. Identitas invers fungsi trigonometri



sin(𝑡𝑎𝑛−1 𝑥) = cos(𝑡𝑎𝑛−1 𝑥) =



𝑥 √1 + 𝑥 2 1 √1 + 𝑥 2



tan(𝑡𝑎𝑛−1 𝑥) = 𝑥 3. Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri. 1. Identitas jumlah dan selisih sudut



cos(𝛼 ± 𝛽) = cos𝛼.cos𝛽 ∓ sin𝛼.sin𝛽 sin(𝛼 ± 𝛽) = sin𝛼.cos𝛽 ± cos𝛼.sin𝛽 tan(𝛼 ± 𝛽) =



tan 𝛼±tan 𝛽 1∓𝑡𝑎𝑛𝛼.𝑡𝑎𝑛𝛽



2. Identitas sudut ganda



cos(2𝛼) = cos2 𝛼 − sin2 𝛽 = 2cos2 𝛼 − 1 = 1 − 2sin2 𝛼 3. Identitas setengah sudut 4. Identitas jumlah fungsi trigonometri 5. Identitas perkalian fungsi trigonometri K.B.2. Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi 1. Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada Fungsi a. Pengertian Fungsi Suatu fungsi 𝑓 dari himpunan 𝐴 ke 𝐵 merupakan pasangan terurut 𝑓 ⊂ 𝐴 × 𝐵 sedemikian sehingga memenuhi:



(1) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∋ (𝑥,𝑦) ∈ 𝑓 dan (2) (𝑥,𝑦) ∈ 𝑓 dan (𝑥,𝑧) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑦 = 𝑧



b. Jenis Fungsi



Menurut sifat: 1. fungsi satusatu(injektif 2. fungsi pada (surjektif), 3. fungsi bijektif



Menurut kemonotonannya: (a) fungsi naik dan (b) fungsi turun.



Fungsi-fungsi yang tergolong jenis fungsi transenden di antaranya: fungsi trigonometri , fungsi invers trigonometri (siklometri), fungsi logaritma asli, fungsi eksponensial, fungsi hiperboliks



Fungsi-fungsi yang tergolong jenis fungsi aljabar di antaranya: (a) fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik, dan seterusnya yang dikenal sebagai fungsi polinomial, (b) fungsi rasional, (c) fungsi irrasional Terdapat juga jenis fungsi khusus: (a) fungsi dengan nilai mutlak (modulus), (b) fungsi ganjil/genap. (c) fungsi periodik, (d) fungsi tangga. c. Operasi pada Fungsi 2. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 3. Limit Fungsi a. Barisan dan limit barisan b. Limit Fungsi c. Limit fungsi trigonometri 4. Limit Sepihak 5. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 6. Kekontinuan Fungsi



Syarat untuk suatu fungsi dikatakan kontinu: yaitu 1. lim 𝑓(𝑥) 𝑎𝑑𝑎 𝑥→𝑐



2. 𝑓(𝑐)𝑎𝑑𝑎 3. lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐



K.B.3 Turunan dan Aplikasi Turunan 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Salah satu masalah yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adalah gradien garis singgung (m). b. Teorema-teorema turunan



1. Jika 𝑓′(𝑐) ada maka 𝑓 kontinu pada 𝑐 𝑑𝑥



2. 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑦 3. 𝑓(𝑥 ± 𝑦)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) ± 𝑓′(𝑦) 4. (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔′ (𝑥) 5.



𝑓 𝑔



(𝑥) =



𝑓 ′ (𝑥).𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔′ (𝑥) 𝑔(𝑥)2



c. Aturan rantai Mis : 𝑦 = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) 𝑑𝑎𝑛 𝑢 = 𝑔(𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = . 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers a. Turunan fungsi implisit b. Turunan Fungsi Invers 3. Aplikasi Turunan Berkaitan dengan nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum Kemonotonan grafik fungsi : 𝒇′(𝒙) > 𝟎 Kecekungan grafik fungsi : 𝒇′′(𝒙) > 𝟎



K.B.4 Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral 1. Antiturunan → antiturunan yang merupakan balikan dari turunan , disebut juga dengan pengintegralan tak tentu. a. Integral tak tentu antara lain: 𝑥 𝑟+1 ∫ 𝑥 𝑟 𝑑𝑥 = +𝑐 𝑟+1 b. Kelinieran c. Integral Parsial d. Integral Fungsi Trigonometri



Integral bentuk ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan mudah untuk beberapa kasus nilai 𝑚 dan 𝑛 yang tertentu. Kasus 𝒎 ganjil atau 𝒏 ganjil dan Kasus 𝒎 genap dan 𝒏 genap



e. f. g. h. i.



Integral Fungsi Rasional Deret dan Notasi Sigma Jumlah Riemann Integral Tertentu Sifat Penjumlahan Selang 𝑏



𝑐



𝑏



∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎



j. k. l. m. n. o. p.



𝑎



𝑐



Luas Daerah pada Bidang Datar Volume Benda Putar Metode Cakram Metode Cincin Metode Sel Silinder (Kulit Tabung) Panjang Busur Suatu Grafik Fungsi Luas Permukaan Benda PutarLuas Permukaan Benda Putar



Volume Benda Putar dari suatu daerah 𝐷 pada bidang datar yang diputar dengan suatu poros tertentu, di mana dibatasi oleh grafik fungsi kontinu 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada selang [𝑎,𝑏], garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu 𝑋, diputar terhadap sumbu 𝑌, dengan metode sel silinder (kulit tabung). Volume.



2 3



Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi



1. Fungsi,,jenis fungsi,limit fungsi 2. Aplikasi turunan 1. Limit fungsi