21 0 1 MB
[
π π π π ]+[ ] π π π π
π+π π+π =[ ] π+π π
+π
MATRIKS PETA KONSEP Matriks
Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
Kesamaan Dua Matriks
NILAI KARAKTER ο· ο· ο· ο· ο·
Komunikatif Jujur Disiplin Kerja keras Tanggung jawab KOMPETENSI DASAR
3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suat matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain. 3.2 Menentukan determinan dan invers matriks. 3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.
Operasi Matriks
Determinan dan Invers Matriks
Menyelesaik an Pers. Matriks AX=B atau XA=B
Penerapan Matriks
TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Peserta didik mampu menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain. 2. Peserta didik mampu menentukan determinan dan invers matriks. 3. Peserta didik mampu menggunakan determinan dan invers dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.
PENDAHULUAN Penerapan konsep matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan yang sering kita jumpai berupa data atau informasi yang ditampilkan dalam bentuk tabel atau daftar. Laporan berbentuk tabel atau daftar dapat disederhanakan dalam bentuk bilangan yang teratur menurut baris dan kolom yang disebut matriks. Hal ini untuk memudahkan kita dalam membaca data.
MOTIVASI Tuliskan motivasi anda mempelajari materi pada bab ini! ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... .
1
Pengertian Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunann berbentuk persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa β( )β atau kutung siku β[ ]β
Figure 1 Keterangan: A merupakan pelabelan suatu matriks. Dalam π΄πΓπ , notasi mΓnmenyatakan ordo (ukuran) matriks A. Banyak baris matriks A dan n menyatakan banyak kolom matriks A. πππ merupakan billangan real, menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dengan i = 1, 2, β¦, m dan kolom ke-j dengan j = 1, 2, β¦, n. 2
Jenis-jenis Matriks 2.1. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini, 1 Γ n, dengan n banyak kolomnya. 2.2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Matriks kolom berordo m Γ 1, dengan m banyak barisnya.
2.3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. M a t r i k s ini memiliki ordo n Γ n. Perhatikan matriks persegi berordo 4 Γ 4 di bawah ini. Diagonal utama suatu matriks meliputi semua elemen matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah. Diagonal samping matriks meliputi semua elemen matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut kiri bawah ke sudut kanan atas. 2.4. Matriks Segitiga Mari kita perhatikan matriks persegi F dan G berordo 4 Γ 4 di bawah ini. Jika terdapat pola susunan pada suatu matriks persegi, misalnya:
atau jika polanya seperti berikut ini.
Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah
atau di atas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemenelemen di bawah elemen diagonal utama maka disebut matriks segitiga atas,
sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal utama harus bernilai tak nol. 2.5. Matriks Diagonal Dengan memperhatikan konsep matriks segitiga di atas, jika kita cermati kombinasi pola tersebut pada suatu matriks persegi, seperti matriks berikut ini.
maka matriks persegi dengan pola βsemua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utamaβ, disebut matriks diagonal. 2.6. Matriks Identitas Mari kita cermati kembali matriks persegi dengan pola seperti matriks berikut ini.
Cermati pola susunan angka 1 dan 0 pada ketiga matriks persegi di atas. Jika suatu matriks persegi semua elemen diagonal utamanya adalah 1 dan unsur yang lainnya semua nol disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai I berordo n Γ n. 2.7. Matriks Nol Jika semua elemen suatu matriks semuanya bernilai nol, seperti berikut:
3
maka disebut matriks nol. Transpose Matriks Setiap elemen baris ke-1 pada matriks B menjadi elemen kolom ke-1 pada matriks Bt, setiap elemen baris ke-2 pada matriks B menjadi elemen kolom ke-2 pada matriks Bt, demikian seterusnya, hingga semua elemen baris pada matriks matriks B menjadi elemen kolom pada matriks Bt.
Hal inilah yang menjadi aturan menentukan transpos suatu matriks.Transpos dari matriks B adalah sebuah matriks Bt. 5 Kesamaan Dua Matriks Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika: i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B, aij = bij(untuk semua nilai i dan j). 6 Operasi Matriks a. Penjumlahan Dua Matriks Jikamatriks A = ( a ij ) dan B = (bij ) merupakanduabuahmatriks yang berordo m x n, makajumlahkeduamatriks yang dinotasikandengan A + B adalahsuatumatriksbaru C = (c ij ) yang jugaberordo m x n dengan cij ο½ aij ο« bij untuksetiap i dan j. Dengandemikian: a12 a13 οΆ ο¦a ο·ο· dan Jika A ο½ ο§ο§ 11 ο¨ a 21 a22 a23 οΈ
b b13 οΆ ο¦b ο·ο· , maka B ο½ ο§ο§ 11 12 ο¨ b21 b22 b23 οΈ a12 ο« b12 ο¦a ο«b A ο« B ο½ ο§ο§ 11 11 ο¨ a 21 ο« b21 a 22 ο« b22
Dengandemikian: a12 ο¦a Jika A ο½ ο§ο§ 11 ο¨ a 21 a22
a13 οΆ ο· dan a23 ο·οΈ
b b13 οΆ ο¦b ο·ο· , maka B ο½ ο§ο§ 11 12 ο¨ b21 b22 b23 οΈ ss a12 a13 οΆ ο¦ ο b11 ο b12 ο b13 οΆ ο¦a ο·ο· ο« ο§ο§ ο·ο· ο½ ο§ο§ 11 ο¨ a21 a22 a23 οΈ ο¨ ο b21 ο b22 ο b23 οΈ a12 ο b12 a13 ο b13 οΆ ο¦a οb ο·ο· ο½ ο§ο§ 11 11 a ο b a ο b a ο b 21 21 22 22 23 23 ο¨ οΈ c. Perkalian Matriks a. Perkalian Matriks dengan Skalar Jika k skalar dan A matriks, maka kA adalah matriks yang mempunyai ordo sama dengan ordo matriks A, tetapi semua
elemen-elemennya
diperoleh
dengan mengalikan elemen A dengan k. b. Perkalian Matriks dengan Matriks Perkalian untuk AB terdefinisi jika banyaknya kolom A sama dengan
a13 ο« b13 οΆ ο· a 23 ο« b23 ο·οΈ
b. Pengurangan Dua Matriks Misalkan A dan B adalahmatriks yang berordo m x n, maka pengurangan matriks A dengan B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan lawan dari
GEMAR DISKUSI 1
matriks B yang dinotasikan A = - B, ditulis : A β B = A + (β B).
banyaknya baris B, A(mxp) x B(pxn) = C(mxn). Aturan melakukan perkalian matriks ialah mengalikan baris-baris dengan kolom-kolom dan kemudian menjumlahkan perkalian hasil perkalian tersebut. Misal: π [ π
π π ][ π π
ππ + ππ π ]=[ π ππ + ππ
ππ + ππ ] ππ + ππ
NILAI KARAKTER BANGSA
Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang siswa. Carilah informasi atau keterangan di sekitar lingkungan anda yang dinyatakan dalam bentuk tabel bilangan, kemudian buatlah daftar matriksnya. Anda amati matriks yang terbentuk tentang ordo matriks, elemen-elemen matriks, baris, dan kolom matriks. Apa yang bisa anda peroleh dan kesimpulan apa yang bisa anda dapatkan tentang matriks? Diskusikan hal tersebut dengan kelompok anda. Presentasikan hasil diskusi kelompok anda di depan kelas. Buatlah kesimpulan dari aktivitas ini.
Komunikatif dan Jujur Matematika adalah suatu bahasa, dengan kegiatan ini anda ditunut mengkomunikasikannya baik secara lisan mapun tulisan. Kegiatan ini juga akan membentuk anda menjadi seseorang yang tidak akan mudah percaya pada isu-isu yang tidak jelas sebelum ada pembuktian.
UJI KOMPETENSI 1
1) Diketahui matriksπ΄ = 1 0 0 2 β15 21 [β4 8 17 2 β8 1] 5 2 3 7 12 3 a) Sebutkan ordo dari matriks A! b) Sebutkan elemen-elemen kolom ke-2! c) Sebutkan elemen-elemen baris ke-3! d) Jika πππ menyatakan elemen baris ke-1 dan kolom ke-j, maka tentukan π23 , π14 , π35 ! 2) Berikan contoh matriks berordo 3 Γ 3: a) Matriks diagonal; b) Matriks identitas; c) Matriks segitiga atas; dan d) Matrikss segitiga bawah. 3) Tuliskan transpose dari matriks-mtriks berikut! 1 8 a) [4 0 ] 6 β3 3 7 9 b) [5 1 9] 0 1 0
UJI KOMPETENSI 2
c) [2 1 2] 1 0 d) [ ] 0 1 4) Tentukan nilai-nilai variabelx, y, atau/dan z dari matriks-matriks berikut! π₯ + π¦ β4 12 5 2 12 a) [ ]=[ ] 5 0 2 5 0 π₯βπ¦ βπ₯ 0 0 1 0 0 b) [ 0 π¦ 0 ] = [0 1 0] 0 0 1 0 0 βπ§ 2 log π 1 log π log(π₯ β 2) c) [ ]=[ ] log π 1 log(π β 4) 1 π₯ 6 d) [π¦] = [ ] 8 5) Tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi
persamaan
ο¦1 7 οΆ ο§ο§ ο·ο· ο¨3 ο 4οΈ
ο¦ 3 3x οΆ ο¦ 2 ο§ο§ ο·ο· ο ο§ο§ ο¨4 y οΈ ο¨ y ο« 2
y ο« xοΆ ο·ο½ x ο·οΈ
1) Diketahui
ο¦ ο 2 3οΆ ο§ ο· A ο½ ο§ 3 0ο· ο§ 2 4ο· ο¨ οΈ
matriks
ο¦ 4 8οΆ ο§ ο· ο¦2 ο 5 6 οΆ ο·ο· . , B ο½ ο§ 3 2 ο· dan C ο½ ο§ο§ ο¨ 3 2 ο 1οΈ ο§ ο1 0ο· ο¨ οΈ
Tentukan
matriks
yang
diwakili
matriks-matriks
ο¦ 1 5οΆ ο·ο· dan , B ο½ ο§ο§ ο¨ ο 3 2οΈ
oleh
ο¦ 3 0οΆ ο·ο· A ο½ ο§ο§ ο 2 4 ο¨ οΈ
f ( x, y ) ο½ 2 x ο 3 y .
Tentukan f ( A, B ) 3) Tentukan persamaan
matriks
M
yang
matriks-matriks
ο¦ 2 4οΆ ο·ο·, A ο½ ο§ο§ ο¨5 6οΈ
ο¦ο 2 0 οΆ ο¦ 0 1οΆ ο·ο· . Tentukan: ο·ο·, dan C ο½ ο§ο§ B ο½ ο§ο§ ο¨ 4 ο 1οΈ ο¨ 2 3οΈ
( A ο« B) t ο« C
2) Diketahui
4) Diberikan
memenuhi
ο¦ 0 2οΆ ο¦ 2 6οΆ ο§ ο· ο§ ο· 5ο§ ο 1 3 ο· ο« 3M ο½ ο§ ο 3 7 ο· ο ο§ 0 5ο· ο§ 0 1ο· ο¨ οΈ ο¨ οΈ
a) A + O dan O + A, dimana O merupakan matriks nol berordo 2. Apakah A + O = O +A b) (A + B) + C dan A + (B + C). Apakah (A + B) + C = A + (B + C) ο¦1 2οΆ ο·ο· A ο½ ο§ο§ ο¨ 3 4 οΈ dan 5) Diberikan matriks-matriks ο¦ 4 ο 3οΆ ο·ο· B ο½ ο§ο§ ο¨ ο 2 1 οΈ . Tentukan : a) b) c) d)
A+A 2A 5(A + B) 5A + 5B
ο¦ο1 2 οΆ ο§ ο· ο§ 11 1 ο· ο§ 3 ο 6ο· ο¨ οΈ
7 Determinan Matriks a. Matriks berordo 2 x 2 π π Jika π΄ = ( ), maka π π matriks A adalah det π΄ = |π΄| = ππ β ππ
b. Matriks erordo 3 x 3 Definisi Determinan determinan
Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi. Matriks Persegi yang detrminannya = 0 maka disebut matriks singular , dan bila determinannya tidak sama dengan 0 maka disebut matriks nonsingular.
matriks 3x3, π11 π12 π13 misalkan matriks (π21 π22 π23 ) π31 π32 π33 πΆ11 πΆ12 πΆ13 πΆ Memiliki kofaktor ( 21 πΆ22 πΆ23 ) , πΆ31 πΆ32 πΆ33 determinan matriks A didefinisikan sebagai det(π΄) = π11 πΆ11 + π12 πΆ12 + π13 πΆ13 dengan πΆππ = (β1)π+π . πππ
Berdasarkan definisi diatas, jika diuraikan maka akan menghasilkan det(π΄) = π11 πΆ11 + π12 πΆ12 + π13 πΆ13 π22 π23 π21 π23 π21 = π11 (β1)1+1 . |π | + π12 (β1)1+2 . |π | + π13 (β1)1+3 . |π π π 32 33 31 33 31
π22 π32 |
= π11 (π22 π33 β π23 π32 ) β π12 (π21 π21 β π23 π31 ) + π13 (π21 π32 β π22 π31 ) = π11 π22 π33 β π11 π23 π32 β π12 π21 π33 + π12 π23 π31 + π13 π21 π32 β π13 π22 π31 = π11 π22 π33 + π12 π23 π31 + π13 π21 π32 β π11 π23 π32 β π12 π21 π33 β π13 π22 π31 Jadi, det(π΄) = π11 π22 π33 + π12 π23 π31 + π13 π21 π32 β π11 π23 π32 β π12 π21 π33 β π13 π22 π31 Untuk mempermudah, maka digunakan cara kaidah sarrus berikut: π11 [π21 π31
π12 π22 π32
π13 π11 π23 ] π21 π33 π31
π12 π22 π32
det(π΄) = π11 π22 π33 + π12 π23 π31 + π13 π21 π32 β π11 π23 π32 β π12 π21 π33 β π13 π22 π31 8 Invers Matriks a. Matriks Berordo 2x2 Jika A dan B adalah matriks persegi yang ordonya 2x2, dengan AB=BA=I, maka B adalah Invers dari A ditulis B=A-1 dan A adalah invers dari B, ditulis A= B-1. Jadi A A-1 = A-1 A=I π π Jika π΄ = ( ), maka invers dari π π matriks A dinyatakan sebagai berikut: βπ
π¨
π
βπ = ( ) ππ
βππ βπ π π
Sebuah matriks persegi akan mempunyai invers jika dan hanya jika ,matriks tersebut adalah matriks nonsingular b. Matriks berordo 3x3 Untuk menentukan invers matriks yang berordo 3x3 dapat digunakan rumus
π¨βπ =
π π¨π
π π¨ π
ππ (π¨)
πΆ11 π΄ππ π΄ = πΆ π‘ = (πΆ21 πΆ31
πΆ12 πΆ22 πΆ32
πΆ13 πΆ23 ) πΆ33
dengan C = kofaktor ij, artinya pengahpusan bariske-i kolom ke-j Sifat-sifat invers matriks: Jika A dan B matriks-matriks persegi yang berordo sama dan keduanya mempunyai invers, maka berlaku: ο· ο·
(AB)-1 = B-1A-1 (BA)-1 = A-1B-1 AA-1 = I A-1A = I
GEMAR DISKUSI 2 Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang siswa. Carilah informasi atau keterangan di sekitar lingkungan anda yang dinyatakan dalam bentuk tabel bilangan, kemudian buatlah daftar matriksnya. Dari matriks yang terbentuk, tentukan determinan dan invers matriks tersebut (khusus untuk matriks berorso 2x2 dan berordo 3x3). Apa yang bisa anda peroleh dan kesimpulan apa yang bisa anda dapatkan tentang determinan dan invers matriks? Diskusikan hal tersebut dengan kelompok anda. Presentasikan hasil diskusi kelompok anda di depan kelas. Buatlah kesimpulan dari aktivitas ini.
NILAI KARAKTER BANGSA Komunikatif dan Disiplin Matematika adalah suatu bahasa, dengan kegiatan ini anda ditunut mengkomunikasikannya baik secara lisan mapun tulisan. Selain itu, anda diharapkan dapat bekerja secara teratur dan tertib dalam menggunakan atran-aturan dan konsepkonsep matematika.
UJI KOMPETENSI 3 2 5 5 4 )dan π = ( ) Jika Pβ1 adalah invers matriks P dan Qβ1 adalah invers 1 3 1 1 matriks Q, maka determinan matriks Pβ1 Qβ1 adalah..... 3 2 β3 β1 Diketahui matriks π΄ = ( )dan π΅ = ( ) . Jika AT = transpose matriks A dan AX = B + AT, 0 5 β17 0 maka determinan matriks X =.... β6 1 β3 8 Diketahui matriks π΄ = ( )dan π΅ = ( ) dan C= A-B. Invers matriks C adalah.... 2 4 β17 4 π₯ π¦ 1 2 Jika π = ( )dan π = ( )= 2P-1, dengan P-1 menyatakan invers matriks P, maka x+y adalah... βπ§ π§ 1 3 1 π₯+4 1 1 β3 Jika matriks π΄ = ( ) Invers dari π΄ = ( ) maka carilah nilai y............. 6 2π₯ +π¦ β2 1
1. Diketahui matriks π = (
2.
3. 4. 5.
9
Menyelesaikan Persamaan Matriks AX=B atau XA=B
Untuk
menyelesaikan
langkah berikut.
berordo 2 Γ 2, dengan matriks A dan B sudah
AX = B
diketahui elemennya, sedangkan matriks X
β Aβ1(AX) = Aβ1B
belum diketahui elemen-elemennya. Matriks X
β (Aβ1A)X = Aβ1B
dapat ditentukan jika A mempunyai invers
β IX = Aβ1B
(matriks
β X = Aβ1B
Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = Aβ1B.
matriks
berbentuk AX = B dapat dilakukan dengan
Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks
nonsingular).
persamaan
Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BAβ1 Untuk
menyelesaikan
persamaan
matriks
berbentuk XA = B dapat dilakukan dengan
Menyelesaikan sisitem persamaan linear dengan matriks, jika matriks yang berkaitan dengan sistem persamaan linear adalah AX = B maka matriks X = A-1B. b. Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Determinan
langkah berikut. XA = B β X(AAβ1) = BAβ1
Misal terdapat sistem persamaan linear ππ₯ + ππ¦ = π :{ ππ₯ + ππ¦ = π
β XI = BAβ1
Maka π₯ =
β (XA)Aβ1 = BAβ1
β X = BAβ1 10
Penerapan Matriks Dalam Persamaan Linear a. Penyelesaian SPL Dua Variabel dengan Invers Matriks KERJA PROYEK 3
1. Alat dan Bahan a. Alat tulis c. Daftar isian b. Buku catatan d. Kelas yang disurvei 2. Langkah kerja a. Buatlah kelompok yang terdiri dari 3-4 orang siswa b. Ambillah dua kelas di sekolah anda untuk disurvei tentang lamanya belajar di luar sekolah c. Lakukan wawancara dengan siswa dari kelas yang telah anda pilih tentang lamanya belajar di luar sekolah. Catat hasil wawancara anda, kemudian bedakan untuk setiap kelas antara laki-laki dan perempuan d. Jumlahkan lamanya waktu belajar untuk setiap kategori (laki-laki dan perempuan) untuk setiap kelas. Tentukan rerata untuk setiap kategori dan rerata kelas (bulatkan). Kemudian isikan ke dalam daftar isian berikut
βπ₯ β
,π¦ =
βπ¦ β
π π Dimana : β = | | merupakan π π determinan matriks koefisien x dan y. π π βπ₯ = | | merupakan π π determinan variabel x.. π π βπ¦ = | π π | merupakan determinan variabel y.
Lamanya Belajar Jumlah LakiPerempuan laki Kelas A Kelas B 3. Analisis a. Misalkan x adalah jumlah siswa laki-laki dan y adalah jumlah siswa perempuan, tentukan model matematika dari data yang anda peroleh. b. Nyatakan model yang anda peroleh dengan notasi matriks. Misalkan A adalah matriks lamanya waktu belajar. Tentukan x dan y dengan menggunakan invers dari A. c. Tentukan rerata waktu belajar untuk siswa laki-laki, siswa perempuan, kelas A, dan kelas B. d. Susunlah laporan hasil kegiatan ini dan kumpulkan pada guru anda.
NILAI KARAKTER BANGSA
Kerja Keras dan Tanggung Jawab
diharapkan tidak mudah menyerah dan terus berjuang untuk menghasilkan suatu jawaban yang benar. Selain itu, diharapkan dapat melahirkan suatu sikap tanggung jawab atas pelaksanaan kewajiban yang seharusnya dilakukan.
Dalam belajar matematika, seseorang harus teliti, tekun, dan telaten. Dengan kegiatan ini, anda UJI KOMPETENSI 3
1. Diketahui Sistem Persamaan Linear SPL sebagai berikut: π + π β 2π + 3π β 4 = 0 3π + 3π = π β 2π + 3 4π + π = 5 β 5π β 7π a Tuliskan SPL di atas dalam notasi matriks AX = B b Periksa apakah SPL di atas memiliki solusi 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut: 3π₯ + π¦ = 75π₯ + 2π¦ = 12
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut: 3π₯ + 2π¦ = β2 π₯ β 2π¦ = 10 4. Diketahui sistem persamaan π₯ + 2π¦ = 52π₯ + πΌπ¦ = 3 Tentukan nilai Ξ± sehingga SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal. 5. Jika 2π₯ + 5π¦ = 11 dan 4π₯ β 3π¦ = β17 , Tentukanlah nilai dari 2π₯ β π¦ = . . .
ULANGAN HARIAN Soal pilihan Ganda a 2 3 1. Diketahui K = [5 4 b ] dan L = 8 3c 11 6 2 3 [5 4 2a ] jika K = L, maka nilai c adalah ... 8 4b 11 a. 16 c. 13 e. 12 b. 15 d. 14 1 2 4 3 2. Jika A = A = [ ],B = [ ] , dan C = 3 4 6 0 2 5 [ ]. Maka (A + B) β (C + A) adalah ... 1 2 4 2 2 β2 a. [ ] d. [ ] 5 β2 β2 7 3 7 5 5 b. [ ] e. [ ] 4 6 9 4 6 8 c. [ ] 6 2
1 0 3. Jika A = [ ]dan | matriks ordo dua, maka 2 3 A2 β 2A + | = ... 0 1 4 0 a. [ ] b. [ ] c. 1 0 0 4 1 0 0 0 4 1 [ ] d. [ ] e. [ ] 0 1 4 4 4 1 3 β2 ],B = 4 β1 4 10 4 3 [ ] , dan C = [ ]. Nilai determinan 9 12 β2 β1 dari matriks (AB β C) adalah ... a. -7 b. -5 c. 2 d.3 e.12 1 β1 β5 3 5. Diketahui matriks A = [ ],B = [ ], 1 β3 β2 1 invers matriks AB adalah 4. Diketahui matriks A = [
2 β1 ]+ 3 4 2 10 25 ]=[ ] Nilai x + y 3 5 28
8. Diketahui matriks : [ 1
a. [
β2
2 1
β 2 β1 2
c. [ β1 1 e. [ 2
xβ1 1 1 ][ 3 y β1 adalah ...
1
]
β β2 b. [ 1 2 ] β1 2
1 2
1] β2
d. [
2 β1
2[ 1
β2 1 ] a. 2
2
1
b. 6
c. 8
d. 10
e. 12
2
1] β2
9. Diketahui matriks A = [
4 β3 6. Matriks X yang memenuhi: [ ]X = β1 5 7 18 [ ] adalah ... β6 12 1 β1 β1 9 1 9 a. [ ] b. [ ] c. [ ] β6 9 1 β6 β1 6 1 β9 β6 9 d. [ ] e. [ ] 1 β6 1 1 1 2 1 1 2 5 7. Jika A = [ ],B = [ ] , dan C = [ ] 3 4 1 1 3 7 maka Det (AB β C) = ... a. -8 b. -6 c. -2 d. 6 e. 8
1 2 ] dan B = 3 5
3 β2 ]. Jika Aβ adalah transpose matriks A 1 4 dan AX = B + Aβ maka determinan matriks x adalah ... a. 46 b. 33 c. 27 d. -33 e. -46 [
10. Jika I matriks satuan dan matriks 2 1 A=[ ] sehingga A2 = pA + qI maka p + β4 3 q = ... a. 15 b.10 c. 5 d. -5 e. -10
Soal Essay 3 2 ] maka A2 β A = ... 0 3 2 3 2. Nilai x agar matriks [ ] merupakan 5 x sebuah matriks yang tidak memiliki invers adalah 2 0 1 5 3. Jika A = [ ],B = [ ], dan det (AB) 1 x 0 β2 = 12 maka nilai x adalah ... 1. Jika A = [
4. Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi 2 6 2 persamaan [ ] [ ] adalah ... 1 β3 β5 2x β2 5. Jika matriks A = [ ],B = x 3y + 2 9 3x 5 6 [ ] , dan C = [ ] memenuhi A + B 8 β4 β8 7 = C dengan Ct transportase matriks C maka 2x + 3y = ...
REMEDIAL 1. Matriks X berordo (2 Γ 2) yang memenuhi [
1 2 4 3 ].X = [ ] adalah ... 3 4 2 1
2. Hasil kali matriks [BA][B + A-1]B-1 = ... 1 1 0 5 β2 2 3. Diketahui persamaan matriks [ ][ ]=[ ]. Nilai x β y = ... 0 1 9 β4 x x + y 1 2 π π 4. Matriks P dan matriks Q adalah P = [ ][ ]. Tentukan matriks PQ ... 3 4 π₯ π¦ 5. Tentukan determinan dari matriks A berikut ini:
A=[
5 1 ] β3 2
PENGAYAAN Untuk menambah pemahaman anda setelah mempelajari materi matriks, kerjakan soal pada studi kasus berikut ini! Sebuah perusahaan memperoduksi lima jenis produk dan membagi wilayah pemasaran produknya menjadi tiga wilayah. Matriks S di bawah memuat ekspektasi banyaknya masingmasing produk yang dapat dijual di tiap-tiap wilayah pada bulan mendatang. π€ππππ¦πβ 1 2 3 500 200 400 300 π = 250 425 100 150 [200 175
350 1 100 2πππππ’π 50 3 350 4 225] 5
Setiap produk dari kombinasi keempat komponen standar. Elemen-elemen matriks R di bawah menyatakan banyaknya masing-masing komponen yang digunakan tiap-tiap produk.
ππππππππ 1 2 3 4 1 0 2 0 1 1 1 1 0 2πππππ’π π
= 2 1 0 3 3 0 2 1 1 4 [1 2 3 1] 5 Lebih spesifik lagi, keempat komponen tersebut diproduksi di lima departemen yang berbeda dan masing-masing memiliki waktu produksi yang dinyatakan pada matriks P dibawah ini.
π·πππππ‘ππππ 1 2 3 4 5 2 0 1 2 3 1 πππππ’π 1 3 2 5 1 2 π=[ ] 0 2 1 4 2 3 0 4 1 1 5 4 Jika matriks C berikut menyatakan biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk membayar setiap jam masing-masing departemen dalam memproduksi komponen-komponen tersebut, hitunglah biaya total produksi kelima produk yang akan dipasarkan diketiga wilayah diatas.