Makalah Matematika Semua Bilangan Ana [PDF]

Citation preview

KATA PENGANTAR



Dengan mengucapkan puji dan syukur kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dengan judul “Makalah Matematika”. Makalah ini disusun dengan harapan dapat menambah pengetahuan dan wawasan kita semua tentang macam-macam bilangan dan lain lain. Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun guna sempurnanya makalah ini. Kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca umumnya dan bagi kami khususnya .



Banjarbaru, 14 April 2018



Penyusun



DAFTAR ISI Halaman Judul Kata Pengantar Daftar Isi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Tujuan BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Bilangan 2.2 Macam-Macam Bilangan 2.2.1 Bilangan Asli 2.2.2 Bilangan Cacah 2.2.3 Bilangan Bulat 2.2.4 Bilangan Kompleks 2.2.5 Bilangan Rasional 2.2.6 Bilangan Irasional 2.3 Sifat Operasi Hitung Bilangan 2.4 Operasi Hitung Bilangan BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan 3.2 Saran DAFTAR PUSTAKA



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Matematika merupakan suatu ilmu yang berhubungan dengan penelaahan bentuk-bentuk atau struktur-struktur yang abstrak dan hubungan-hubungannya diantara hal-hal itu. Bertitik tolak dari tujuan pembalajaran matematika di Sekolah Dasar yaitu menumbuhkan dan mengembangkan keterampilan berhitung



sebagai alat dalam kehidupan sehari-hari, maka matematika sebagai salah satu ilmu dasar yang memberi tekanan pada penalaran dan pembentukan sikap anak memberikan pengajaran perpangkatan dan akar bilangan dalam menerapkan matematika dalam kehidupan seharihari. Oleh karena itu konsep dasar matematika harus ditanamkan benarbenar dalam diri pribadi setiap anak didik. Sebab kalau penguasaan mereka terhadap konsep matematika, dalam hal ini tentang pengerjaan perpangkatan dan akar bilangan pada Sekolah Dasar sekarang tentu akan menjadi faktur kesulitan begi 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas kami merumuskan beberapa masalah yaitu diantaranya : 1.



Apa Pengertian Bilangan ?



2.



Sebutkan dan jelaskan macam-macam bilangan?



3. Apa itu bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat, Bilangan Kompleks, Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional ?



1.3 Tujuan Adapun tujuan penulisan adalah : 1.



Untuk memahami apa itu pengertian bilangan.



2.



Untuk mengetahui macam-macam bilangan.



3.



Agar lebih mengenal apa itu bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat, Bilangan Kompleks, Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional.



BAB II PEMBAHASAN MACAM-MACAM BILANGAN 2.1 Pengertian Bilangan Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukura. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.



Gambar Struktur Bilangan.



2.2 Macam-Macam Bilangan :



2.2.1 Bilangan asli (A) Bilangan asli adalah merupakan bilangan cacah selain nol. 1. Contoh himpunan bilangan asli secara umum A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan seterusnya } Maksudnya yaitu bilangan asli itu adalah satu, dua, tiga, empat dan seterusnya sampai tidak terbatas. 2. Contoh bilangan asli kurang dari 10 A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Maksudnya yaitu himpunan bilangan asli yang kurang dari 10 adalah dimulai dari 1 sampai 9. 3. Contoh himpunan bilangan asli kurang dari 15 A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } Maksudnya yaitu himpunan bilangan asli yang kurang dari 15 adalah dimulai dari satu sampai dengan 14. 4. Contoh himpunan bilangan asli kurang dari A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 } Artinya bahwa himpunan bilangan asli yang kurang dari delapan adalah dimulai dari satu sampai dengan tujuh. 5. Contoh himpunan bilangan asli kurang dari 5 A = { 1, 2, 3, 4 } Maksudnya yaitu himpunan bilangan asli yang kurang dari 5 adalah dimulai dari satu sampai dengan empat. 6. Contoh himpunan bilangan asli antara 1 dan 10 A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Maksudnya yaitu bilangan asli antara satu dan sepuluh dimulai dari 2 sampai dengan 9. 7. Contoh himpunan bilangan asli antara 6 dan 7 A = { } Maksudnya yaitu bilangan asli antara enam dan tujuh adalah tidak ada. 8. Contoh himpunan bilangan asli antara 10 dan 50 yang habis dibagi 4 A = { 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48 } 2.2.2



Bilangan Cacah (C) Bilangan cacah adalah bilangan yang di mulai dari angka nol dan selalu bertambah satu dengan bilangan stelahnya atau



himpunan bilangan bulat yang bukan negatif, atau dapat juga di katakan himpunan bilangan asli ditambah nol. Contoh Bilangan Cacah : { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 ,6, .......} Operasi pada bilangan Cacah 1. Operasi Penjumlahan Pada Bilangan Cacah a) komutatif, contohnya a+b=b+a b) asosiatif , contohnya (a+b)+c=a+(b+c) c) unsur identitas adalah nol d) tertutup yakni penjumlahan 2 bilangan cacah akan menghasilkan bilangan cacah juga. 2. Operasi Pengurangan Pada Bilangan Cacah yakni operasi kebalikan dari pengurangan x-y=z sama artinya dengan y+z=x maka sifatnya sama dengan penjumlahan. 3. Operasi Perkalian Pada Bilangan Cacah Konsep perkalian bilangan cacah dapat di maknai sebagai hasil proses penjumlahan berulang-ulang dari bilangan cacah yang dikalikan, contoh : 2 x 3 = 3 + 3 dan 3 x 2= 2 +2+2 Di dalam perkalian bilangan cacah juga berlaku sifat : axb=bxa =>( komutatif ) (axb)xc=ax(bxc) =>(asosiatif ) ax(b+c)=(axb)+(axc) dan ax(b-c)=(axb)-(axc) =>(distributif ) unsur identitas perkalian yaitu 1 : ax1=a dan bx1=b semua bilangan cacah jika dikalikan dengan nol hasil = nol. 4. Operasi Pembagian Pada Bilangan Cacah Pada bilangan ini operasi pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian x:y=z maka yxz=x . Pembagian bilangan cacah dengan nol tidak didefinisikan sedangan nol dibagi dengan bilangan cacah hasilnya nol. 2.2.3



Bilangan Bulat (B) Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, negatif, dan nol (0). Bilangan bulat dinotasikan atau dilambangkan dengan huruf B.



Dari pengertian di atas bisa kita ambil kesimpulan jika bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang termasuk didalamnya adalah bilangan cacah, bilangan asli, bilangan prima, bilangan komposit, bilangan nol, bilangan satu, bilangan negatif, bilangan ganjil dan bilangan genap. Selain itu juga bilangan bulat tidak memiliki bilangan terkecil ataupun bilangan terbesar. A. Bilangan bulat terdiri dari : 1. Bilangan bulat positif. Bilangan bulat positif adalah bilangan yang dimulai dari bilangan satu ke atas dan seterusnya. Contoh 2. 3.



bilangan bulat positif : { 1, 2, 3, 4, 5,dan seterusnya }. Bilangan nol. Nol {0} Bilangan bulat negatif. Bilangan bulat negatif adalah bilangan yang dimulai dari bilangan negatif satu ke bawah dan seterusnya. Contoh bilangan bulat negatif : { dan seterusnya -5, -4, -3, -2, -1 }.



Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. B. Garis bilangan bulat Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil : 1. Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … } Bilangan yang habis dibagi dengan 2 2. Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … } Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1. 2.2.4



Bilangan Kompleks (K) Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Contoh : 2 + a) Bilangan Imajiner (i)



Contoh: Misalkan a = 5 + 3i dan b = 3 - 2i, tentukan nilai dari a+b=? a + b = 5 + 3i + 3 - 2i = 8 + i b) Bilangan Riil (R) Bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Sifat-sifat : Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga. Contoh: 2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil. 2.2.5



Bilangan Rasional Dalam matematika, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk a / b , di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan Rasional diberi lambang : Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”). Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai: 12 / 2 atau 30 / 15 dan sebagainya.



2.2.6 Bilangan irasional Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional. Maksudnya adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk a / b di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh: p = 3,141592653358…….. (desimalnya tidak beraturan / tidak berulang) 2.2.7 Bilangan Prima Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asliyang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan



bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit. Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes Secara matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga.[1] Bilangan prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah



257,885,161 − 1.[2] Bilangan



ini



mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-48. M57885161 (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013 yang merupakan profesor-profesor dari University of Central Missouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS. Jadi bilangan prima adalah bilangan-bilangan sail/asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, dan angka satu bukan bilangan prima. Contoh: 2,3,5,7,11,13,17,…. 2.2.8



Bilangan Real Bilangan real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan – 23 / 129 , dan bilangan irrasional,



seperti π dan



√2,



dan



dapat



direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Note : Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”.



Himpunan



semua



bilangan



riil



dalam



matematika



dilambangkan dengan R (real). 2.2.9



Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian 0 termasuk bilangan genap, karena 0 habis dibagi dua. Bilangan genap dapat dituliskan dengan bentuk rumus 2k, dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k)+(2k) hasilnya adalah 4k=2(2k). Misalnya 2k=n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n, dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.



2.3



Sifat Operasi Hitung Bilangan 2.3.1 Komutatif ( Pertukaran ) Dalam operasi penjumlahan dan perkalian akan menghasilkan nilai yang sama jika kita melakukan pertukaran seperti berikut. Contoh 2.3.2 Asosiatif (Pengelompokan) Asosiatif berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian. Pengelompokan ditandai dengan kurung buka dan kurung tutup. Cara pengerjaan operasi ini adalah mempunyai tanda kurung terlebih dahulu. Contoh 2.3.3 Distributif (Penyebaran) Coba perhatikan dibawah ini. Dengan distributif maka kita akan mengalikan atau membagi b dan c dengan a. Contoh



2.4



Operasi Hitung Bilangan 2.4.1 Pengurangan dan Sifat-sifatnya 1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : a – b = a + (-b) a – (-b) = a + b contoh: 8 – 5 = 8 + (-5) = 3 7 – (-4) = 7 + 4 = 11 2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku a–b≠b–a (a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Contoh : 7 – 3 ≠ 3 -7 4 ≠ - 4 (9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 2 ≠ 8 3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a 4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga a dan b ∈



2.4.2



bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat contoh : 7 - 8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat Perkalian dan Sifat-sifatnya 1. a x b = ab hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42 a x –b = -ab hasil pekalian bilangan bulat positif dan



negative hasilnya adalah bilangan bulat negatif Contoh : 3 x -4 = -12 -a x -b = ab hasil perkalian dua bilangan negatif adalah



2. 3. 4.



bilangan bulat positif Contoh : -4 x -5 = 20 Sifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c) Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24 Sifat komutatif axb=bxa Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20 Sifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a x c) Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24



2.4.3



Pembagian dan Sifat-sifatnya 1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif



2.



adalah bilangan positif (+) : (+) = (+) Contoh : 8 : 2 = 4 Hasil bagi dua bilangan bulat negatif



3.



adalah bilangan positif (-) : (-) = (+) Contoh : -10 : -5 = 2 Hasil bagi dua bilangan bulat yang



berbeda adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-) (-) : (+) = (-) Contoh : 6 : -2 = -3 -12 : 3 = -4 4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi a : 0 tidak terdefinisi (~) 0 : a 0 (nol) Contoh : = ~ (Tidak terdefinisi) 5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif a:b≠b:a (a:b):c ≠ a : (b:c) Contoh : 4 :2 ≠ 2 : 4 2 ≠ (8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4) 1 ≠ 16 6. Bersifat tidak tertutup Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga contoh : 6 : 2 = 3 bilangan bulat 7:2=3 bukan bilangan bulat (bilangan pecahan) BAB III PENUTUP



3.1 Kesimpulan Bilangan



adalah



suatu



konsep matematika yang



digunakan



untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang



digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angkaatau lambang bilangan. Ada banyak macam bilangan diantarnya adalah : Bilangan Bulat, Bilangan Genap, Bilangan Ganjil, Bilangan Prima, Bilangan Desimal, Bilangan Cacah dan Bilangan Real.



DAFTAR PUSTAKA



Marsigit,Nugroho Budi Susilo. 2006. Matematika SMP Kelas VII. Bogor: Yudhistira Mustaqim Burhan, Astuty Ary. 2008. Ayo Belajar Matematika Sumanto Y.D., Kusumawati Henny, Aksi Nur. 2008. Gemar Matematika 5



Sumanto Y.D., Kusumawati Henny, Aksi Nur. 2008. Gemar Matematika 6 Primagama. Panduan Belajar Sistus web : http://doktermath.blogspot.com/2012/08/bilangan.html http://satriaskyterror.wordpress.com/2010/10/31/berbagai-macam-bilangan/. 2012-10-9:21:19 http://davidrevala.blogspot.com/2012/09/bilangan-kompleks.html. 2012-10-9:21:19