Mekanika Bahan (07) - Produk Inersia PDF [PDF]

Citation preview

Modul Perkuliahan:



Mekanika Bahan Oleh: Rudiansyah Putra, ST, M.Si JURUSAN TEKNIK SIPIL



FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Mekanika Bahan



Kuliah Ke-7



- Produk Inersia Luasan



JURUSAN JURUSAN TEKNIKTEKNIK SIPIL SIPIL



FAKULTAS TEKNIK FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAHKUALA KUALA UNIVERSITAS SYIAH



Momen Inersia Polar • Jika suatu sumbu tegak lurus terhadap bidang luasan dan berpotongan bidang pada titik O. Momen inersia yang berhubungan dengan sumbu tegak lurus tersebut disebut momen inersia polar yang disimbulkan dengan IP. • Momen inersia polar yang dihubungkan dengan suatu sumbu yang melalui titik O tegak lurus pada bidang luasan ditentukan dengan persamaan integral: 𝐼𝐼𝑝𝑝 = � 𝜌𝜌2 𝑑𝑑𝑑𝑑



Dimana: ρ = jarak dari titik O ke elemen area.



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Momen Inersia Polar



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



• Dari rumus dasar pythagoras 𝜌𝜌2 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 , sehingga :



𝐼𝐼𝑝𝑝 = � 𝜌𝜌2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑



• Sehingga diperoleh hubungan: 𝐼𝐼𝑝𝑝 = 𝐼𝐼𝑥𝑥 + 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 𝐽𝐽𝑂𝑂



Momen Inersia Polar • Besaran momen inersia polar terhadap suatu sumbu dapat dihitung dengan: 𝐼𝐼𝑝𝑝 𝐼𝐼𝑝𝑝 𝐼𝐼𝑝𝑝



𝐶𝐶



= 𝐼𝐼𝑥𝑥 𝑐𝑐 + 𝐼𝐼𝑦𝑦



𝑂𝑂



= 𝐼𝐼𝑝𝑝



𝑂𝑂



= 𝐼𝐼𝑥𝑥 + 𝐼𝐼𝑦𝑦



𝑐𝑐



2 + 𝐴𝐴 � 𝑑𝑑 𝐶𝐶



• Momen inersia polar nilainya semakin besar apabila titik yang ditinjau semakin jauh dari pusat centroidnya.



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Produk Inersia / Momen sentrifugal (Ixy) • Produk inersia suatu area terhadap sumbu x dan y, didefinisikan dalam bentuk integral sebagai berikut : 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑



• Produk inersia dapat bertanda positif, negative atau bernilai nol, tergantung dari posisi sumbu xy terhadap suatu luasan. • Produk inersia suatu area adalah nol terhadap sepasang sumbu jika salah satunya merupakan sumbu simetri dari area tersebut.



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Produk Inersia (Momen sentrifugal Ixy) • Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar, maka produk inersia dapat dituliskan sebagai berikut : 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝐴𝐴 � 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2



• Produk inersia untuk suatu area terhadap sepasang sumbu dalam bidang sama dengan produk inersia terhadap sumbu yang sejajar sumbu berat ditambah hasil kali luas dan koordinat pusat berat terhadap sepasang sumbu tersebut



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



Contoh 1 • Tentukan produk inersia Ixy penampang dalam gambar berikut.



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



dari



penampang-



• Jawab: 



Penampang (a), (b), dan (c) memiliki nilai produk inersia = 0 (nol)



Contoh 1



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



• Sedangkan penampang (d) dapat ditentukan sbb:



Contoh 1



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Contoh 1



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Contoh



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Momen Inersia dengan sumbu yang diputar • Tinjau suatu area bidang dalam system sumbu xy, maka besarnya momen inersia dan produk inersia terhadap sumbu-sumbu tersebut adalah : 𝐼𝐼𝑥𝑥 = � 𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 ; 𝐼𝐼𝑦𝑦 = � 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 ; 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑



• Selanjutnya terdapat sumbu x’y’ yang sepusat dengan sumbu xy namun diputar dengan sudut θ berlawanan jarum jam terhadap xy



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Momen Inersia dengan sumbu yang diputar



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



• Sehingga momen inersia terhadap sumbu x1 adalah



Momen Inersia dengan sumbu yang diputar



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



• Dengan mengingat hubungan trigonometri : 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃



=



1 2



𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃



1 + cos 2𝜃𝜃 ; = 2 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 = sin 2𝜃𝜃



1 2



1 − cos 2𝜃𝜃 ;



• Maka momen inersia terhadap sumbu x1 adalah : 𝐼𝐼𝑥𝑥 + 𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥 − 𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥 = + cos 2𝜃𝜃 − 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 sin 2𝜃𝜃 2 2



• Dengan cara sama dapat diperoleh momen inersia untuk sumbu y1 𝐼𝐼𝑥𝑥 + 𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥 − 𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑦𝑦1 = − cos 2𝜃𝜃 + 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 sin 2𝜃𝜃 2 2



Momen Inersia dengan sumbu yang diputar



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



• Produk inersia terhadap sumbu x1y1 dapat dituliskan sebagai berikut : 𝐼𝐼𝑥𝑥1𝑦𝑦1 = � 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 𝑑𝑑𝑑𝑑



= � 𝑥𝑥 cos 𝜃𝜃 + 𝑦𝑦 sin 𝜃𝜃 𝑦𝑦 cos 𝜃𝜃 − 𝑥𝑥 sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑



𝐼𝐼𝑥𝑥1𝑦𝑦1 = 𝐼𝐼𝑥𝑥 − 𝐼𝐼𝑦𝑦 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 + 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 cos 2 𝜃𝜃 − sin2 𝜃𝜃



• Dengan menggunakan aturan trigonometri sekali lagi dapat dirumuskan produk inersia terhadap sumbu x1y1 dalam bentuk : 𝐼𝐼𝑥𝑥 − 𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥1𝑦𝑦1 = sin 2𝜃𝜃 + 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 cos 2𝜃𝜃 2



Momen Inersia dengan sumbu yang diputar



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Momen Inersia dengan sumbu yang diputar



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Momen Inersia dengan sumbu yang diputar



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAH KUALA



• Persamaan – persamaan untuk momen inersia dengan sumbu yang dirotasi sering disebut juga sebagai persamaan transformasi • Pada persamaan tersebut terdapat variabel sudut rotasi θ, yang besarnya dapat berubahan- ubah • Pada suatu nilai θ tertentu, maka akan menghasilkan nilai fungsi yang maksimum atau minimum. • Nilai maksimum dan minimum dari momen inersia tersebut dinamakan sebagai momen inersia utama (principal moments of inertia) • Sedangkan sumbu yang berkaitan dinamakan sumbu utama (principal axes)



Ada Pertanyaan ???



Mekanika Bahan



Download Bahan Kuliah Ke-



JURUSAN JURUSAN TEKNIK SIPIL JURUSAN TEKNIKTEKNIK SIPIL SIPIL



FAKULTAS TEKNIK FAKULTAS TEKNIK FAKULTAS TEKNIK



UNIVERSITAS SYIAHKUALA KUALA UNIVERSITAS UNIVERSITAS SYIAH SYIAH KUALA