Minterm & Maxterm Fungsi Boolean Dua Peubah: 1. SOP (Sum of Product) / Penjumlahan Dari Hasil Kali [PDF]

Citation preview

SOP DAN POS



1. SOP (Sum Of Product) / Penjumlahan dari



hasil kali Pada bentuk ini fungsi dinyatakan dengan penjumlahan dari hasil perkalian literal-literal fungsi. Masing-masing suku yang dijumlahkan disebut minterm. Dalam penulisan, minterm disimbolkan dengan huruf m kecil diberi indeks angka yang menunjukkan perkalian literal yang diwakilinya. Contohnya : f(x,y)= x’.y’ + x.y’ dapat ditulis sebagai m0 + m2. Suku x’.y’ ditulis dengan indeks 0 karena jika literal dikomplemenkan artinya menunjukkan angka 0, sehingga x’.y’= 00 biner, dalam desimal ditulis 0. Suku x.y’ menunjukkan angka 10 biner, sehingga indeksnya adalah 2 karena 10 salam biner sama dengan 2 dalam desimal. Demikian seterusnya, aturan semacam ini berlaku juga untuk literal yang lebih banyak.



2. Bentuk POS (Product Of Sum) / Perkalian dari hasil jumlah Pada bentuk ini fungsi dinyatakan dengan perkalian dari hasil penjumlahan literal-literal fungsi. Masing-masing faktor yang dikalikan disebut maxterm. Dalam penulisan, maxterm disimbolkan dengan huruf M kapital diberi indeks angka yang menunjukkan penjumlahan literal yang diwakilinya. Contohnya : f(x,y)= (x+y).( x’+y) dapat ditulis sebagai M0 . M2. Faktor x+y ditulis dengan indeks 0 karena jika literal tidak dikomplemenkan artinya menunjukkan angka 0, sehingga x+y = 00 biner, dalam desimal ditulis 0. Faktor x’+y menunjukkan angka 10 biner, sehingga indeksnya adalah 2 karena 10 dalam biner sama dengan 2 dalam desimal. Demikian seterusnya, aturan semacam ini berlaku juga untuk literal yang lebih banyak. Contoh : 1. SOP f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz (Setiap suku (term) disebut minterm) 2. POS g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) (Setiap suku (term) disebut maxterm) Note : Setiap minterm atau maxterm mengandung literal lengkap.



MINTERM & MAXTERM FUNGSI BOOLEAN DUA PEUBAH x



y



0 0 1 1



0 1 0 1



Suku x’y’ x’y x y’ xy



Minterm Lambang m0 m1 m2 m3



Maxterm Suku Lambang x+y M0 x + y’ M1 x’ + y M2 x’ + y’ M3



MINTERM & MAXTERM FUNGSI BOOLEAN TIGA PEUBAH x



y



z



0 0 1 1



0 0 1 1



0 1 0 1



Minterm Suku x’y’z’ x’y’z x‘y z’ x’y z



Maxterm Lambang m0 m1 m2 m3



Suku x+y+z x + y + z’ x + y’+z x + y’+z’



Lambang M0 M1 M2 M3



0 0 1 1



0 0 1 1



0 1 0 1



x y’z’ x y’z x y z’ xyz



m4 m5 m6 m7



x’+ y + z x’+ y + z’ x’+ y’+ z x’+ y’+ z’



M4 M5 M6 M7



SOP DAN POS 



Suatu fungsi Booelan dapat dibentuk secara aljabar dari tabel kebenaran yang diketahui dengan membentuk minterm/maxterm dari setiap kombinasinya.







Untuk membentuk SOP, tinjau kombinasi peubah-peubah yang menghasilkan nilai 1.







Untuk membentuk POS, tinjau kombinasi peubah-peubah yang menghasilkan nilai 0.



Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh di bawah ini :



Soal 1 f(x,y) = x.y + x’ Ubahlah fungsi ini ke bentuk standard SOP maupun POS!



Penyelesaian 1 Pertama yang kita lakukan adalah membuat tabel kebenaran fungsi dengan baris sebanyak 2n, dimana n adalah banyaknya variabel. x



y



No Indeks



x.y



x’



f(x,y)



0



0



0



0



1



1



0



1



1



0



1



1



1



0



2



0



0



0



1



1



3



1



0



1



Untuk mendapatkan bentuk SOP, ambil baris fungsi yang bernilai 1, berdasarkan tabel di atas maka : f(x,y) = x’y’ + xy’ + xy = m0 + m1 + m3 = Σ (0, 1, 3) Untuk bentuk POS, yang dipilih adalah baris fungsi yang bernilai 0, berdasarkan tabel maka bentuk POS fungsi adalah : f(x,y) = (x’ + y) = M2 = Π(2)



Soal



2



Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS



x



y



z



f(x, y, z)



0 0 0 0 1



0 0 1 1 0



0 1 0 1 0



0 1 0 0 1



1 1 1



0 1 1



1 0 1



0 0 1



Penyelesaian 2 SOP Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111 Fungsi f(x,



Booleannya y, z)



dalam =



bentuk x’y’z



Atau dengan menggunakan f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = Σ (1, 4, 7)



kanonik +



SOP xy’z’



lambang



adalah + (minterm)



: xyz :



Ilustrasi



x



y



z



f(x, y, z)



0 0 0 0 1 1 1 1



0 0 1 1 0 0 1 1



0 1 0 1 0 1 0 1



0 1 0 0 1 0 0 1



POS Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110 Fungsi f(x, y,



Booleannya z) =



(x



dalam +



y (x’+



bentuk + z)(x y



Atau dengan menggunakan f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = Π(0, 2, 3, 5, 6) Ilustrasi



x



y



z



f(x, y, z)



0 0 0 0 1 1 1 1



0 0 1 1 0 0 1 1



0 1 0 1 0 1 0 1



0 1 0 0 1 0 0 1



KOMPLEMEN FUNGSI Komplemen fungsi dapat diperoleh dengan dua cara : 1. Menerapkan hukum De Morgan 2. Menggunakan prinsip dualitas, dengan langkah-langkah :



kanonik + + lambang



y’+



POS z)(x z’)(x’+



+



adalah y’+ y’+



(maxterm)



: z’) z) :







Carilah bentuk dual fungsi.







Komplemenkan tiap literal.



Contoh : Tentukan komplemen dari F = x.(y’.z’ + y.z) ! Cara 1 : F = x.(y’.z’ + y.z) F’ = [x.(y’.z’ + y.z)]’ = x’ + (y’.z’ + y.z)’ = x’ + (y’.z’)’.(y.z)’ = x’ + (y+z).(y’+z’) Cara 2 : F = x.(y’.z’ + y.z) Dual = x + (y’+z’).( y+z) F’ = x’ + (y+z).(y’+z’)