Modul 8 Matematika 2 [PDF]

Citation preview

MODUL PERKULIAHAN



MATEMATIKA III



POKOK BAHASAN : APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN ORDO DUA



Fakultas TEKNIK



2018



1



Program Studi TEKNIK SIPIL



Tatap Muka 08



Kode MK W111700035



Disusun Oleh Masnia, M.Pd



Abstract



Kompetensi



Mampu menyelesaikan model matematika untuk masalah nyata



Mahasiswa Mampu menyelesaikan model matematika untuk masalah nyata



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Pembahasan Sistem Gerak Sistem gerak diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantung pada suatu pegas pada gambar dibawah ini.



Gambar sistem gerak benda pada pegas Pemodelan sistem gerak pada gambar diatas berdasarkan Hukum Newton II, yaitu: 𝐹 = 𝑚. 𝑎 Dengan: 𝐹



= Gaya-gaya yang bekerja pada benda



𝑚



= massa benda



𝑎



= Persepatan gerak benda



Gaya-gaya yang bekerja pada benda yang tergantung pada pegas: 1. 𝐹𝑔 = 𝑚. 𝑔, 𝐹𝑔 adalah gaya Tarik gravitasi benda, 𝑚 = massa benda dan 𝑔= gravitasi. Arah gaya ini kebawah karena pengaruh gravitasi. Gaya ini sering disebut sebagai berat benda 𝐹𝑠 = −𝐾(𝑦 + ∆𝐿), 𝐹𝑠 adalah gaya pegas, k = konstanta pegas 𝑦= posisi benda dan



2.



∆𝐿= perubahan panjang pegas. Arah gaya ini keatas dan kebawah. Jika pegas ditarik 𝐹𝑠 negartif, arah gaya keatas dan jika pegas ditekan 𝐹𝑠 positif, arah gaya kebawah 𝑑𝑦



3. 𝐹𝑑 = −𝑑. 𝑑𝑡 , 𝐹𝑑 = gaya rendam, arah gaya berlawanan dengan gerak benda, 𝑑 = konstanta rendaman,



𝑑𝑦 𝑑𝑡



= kecepatan benda. Jika 𝑑 > 0 sistem disebut sistem



terendam (Damped System), jika 𝑑 = 0sistem disebut sistem tak terendam (Undamped System) 2018



2



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Gambar A. Sistem gerak benda dengan peredam, B Sistem gerak benda dengan peredam dan gaya luar F(t)



Berdasarkan Hukum Newton II diatas maka : 𝐹 = 𝑚. 𝑎 𝐹 adalah gaya-gaya yang bekerja pada benda, 𝑎 =



𝑑2 𝑦 𝑑𝑡 2



adalah percepatan benda



sehingga: 𝐹𝑔 + 𝐹𝑠 + 𝐹𝑑 + 𝐹𝑒 = 𝑚.



𝑑2 𝑦 𝑑𝑡 2



𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚. 𝑔 ± 𝑘(𝑦 + ∆𝐿) − 𝑑.



𝑑𝑦 𝑑2 𝑦 + 𝐹(𝑡) = 𝑚. 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡



Untuk sistem dalam kesetimbangan 𝑚. 𝑔 = 𝑘∆𝐿, sehingga persamaan menjadi: −𝑘𝑦 − 𝑑.



𝑑𝑦 𝑑2 𝑦 + 𝐹(𝑡) = 𝑚. 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Atau



𝑚.



𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑑. + 𝑘𝑦 = 𝐹(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡



Model persamaan terakhir menghasilkan persamaan diferensial orde 2. Persamaan diferensial orde-2 diatas menggambarkan sistem gerak benda pada pegas. Jika 𝐹(𝑡) = 0 (tanpa gaya eksternal) sistem disebut sistem gerak bebas (unforced), jika 𝐹(𝑡) ≠ 0 disebut Sistem gerak paksa (forced), jika 𝑑 = 0 maka sistem disebut sistem takteredam (undamped) dan jika 𝑑 > 0 maka disebut sistem teredam (damped)



2018



3



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Sistem Gerak Bebas Takteredam (𝑭(𝒕) = 𝟎, 𝒅 = 𝟎)



I.



Model sistem gerak harmonic bebas teredam : 𝑚.



𝑑2 𝑦 + 𝑘𝑦 = 0 𝑑𝑡 2



Gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD diatas. Persamaan dibagi menjadi m, maka PD menjadi : 𝑑2 𝑦 𝑘 + 𝑦=0 𝑑𝑡 2 𝑚 𝑑2 𝑦 + 𝜔02 𝑦 = 0 𝑑𝑡 2 𝑘 𝜔0 = √ 𝑚 Persamaan karakteristik PD diatas : 𝑟 2 + 𝜔02 = 0 Akar-akar persamaan karakteristik : 𝑟1,2 = ±𝑖𝜔02 Sehingga penyelesaian umum PD yang menggambarkan gerak benda: 𝑦(𝑡) = 𝑐1 cos 𝜔0 𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔0 𝑡 Jika persamaan dikali dan dibagi dengan √𝑐12 + 𝑐22, maka : 𝑐1 𝑐2 𝑦(𝑡) = √𝑐12 + 𝑐22 [ cos 𝜔0 𝑡 + sin 𝜔0 𝑡] √𝑐12 + 𝑐22 √𝑐12 + 𝑐22 Jika didefinisikan : 𝑅 = √𝑐12 + 𝑐22 cos 𝜃 = sin 𝜃 =



𝑐1 √𝑐12 + 𝑐22 𝑐2 √𝑐12 + 𝑐22



Maka persamaan menjadi : 𝑦(𝑡) = 𝑅[cos 𝜃 cos 𝜔0 𝑡 + sin 𝜃 sin 𝜔0 𝑡] Atau 𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(



𝜔0 𝑡 − 𝜃)



Dengan R disebut amplitude sistem gerak harmonic 𝜃 disebut sudut fasa 𝑘



𝜔0 disebut frekuensi = √𝑚 2018



4



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Jika satu siklus gerak harmonic yang terjadi digambarkan dalam unit waktu 2𝜋, maka frekuensi didefinisikan menjadi 𝜔



1



2𝜋



𝑘



𝑓 = 2𝜋0 , maka periode gerak harmonic 𝑇 = 𝑓 = 𝜔 = 2𝜋√𝑚 0



Gambar Ilustrasi gerak harmonic 𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(cos 𝜔0 𝑡 − 𝜃)



Gambar Ilustrasi Hubungan 𝑐1 , 𝑐2, 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝜃 Contoh Kasus: 1



Sistem gerak benda yang tergantung pada pegas, jika massa benda 𝑚 = 4 𝑘𝑔 dan 𝑁



konstanta 𝑘 = 16 𝑚 , redaman = 0. Pegas saat tertarik benda bertambag panjang 𝑚



1 m dan mulai bergerak keatas dengan kecepatan 8 𝑑𝑒𝑡. Sistem tidak diberi gaya luar. 2018



5



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



a. Tentukan model persamaan yang menggambarkan sistem gerak harmonic pada pegas pada contoh kasus diats! b. Tentukan persamaan gerak benda! c. Tentukan amplitude, sudut fasa, frekuensi dan periode gerak benda! Penyelesaian: a. Model persamaan sistem gerak harmonic pada pegas 𝑚.



𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑑. + 𝑘𝑦 = 𝐹(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1



Pada contoh kasus diketahui redaman d = 0, gaya luar = 0, massa 𝑚 = 4 kg, 𝑁



konstanta pegas 𝑘 = 16 𝑚, sehingga model persamaan gerak harmonic pada pegas menjadi : 1 𝑑2 𝑦 . + 16𝑦 = 0 4 𝑑𝑡 2 Dengan kondisi awal : Posisi awal benda y(0)=1 dan kecepatan awal benda



𝑑𝑦 (0) 𝑑𝑡



= −8



b. Persamaan gerak benda Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD (a), yaitu 1 𝑑2 𝑦 . + 16𝑦 = 0 4 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑦 + 64𝑦 = 0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 𝑦(0) = 0,1; (0) = −8 𝑑𝑡 Penyelesaiannya adalah: 



Persamaan karakteristik dari PD diatas 𝑟 2 + 64 = 0







Akar-akar persamaan karakteristiknya 𝑟 = ±8𝑖







Solusi umum PD 𝑦(𝑡) = 𝑐1 cos 8𝑡 + 𝑐2 sin 8𝑡



Dengan memasukan syarat kondisi awal maka: 𝑦(0) = 𝑐1 = 1 𝑦 ′ (0) = 8𝑐2 = −8 ↔ 𝑐2 = −1 Sehingga persamaan gerak benda: 𝑦(𝑡) = cos 8𝑡 − sin 8𝑡 2018



6



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



c. Menentukan amplitude, sudut fasa, frekuensi dan periode dengan membentuk persamaan dalam satu sinus /cosinus Bentuk umum persamaan satu sinus/cosinus sistem gerak pada pegas 𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(𝜔0 𝑡 − 𝜃) 𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(8𝑡 − 𝜃) Dengan 𝑅 = √𝑐12 + 𝑐22



tan 𝜃 =



𝑐2 𝑐1



𝜔0 2𝜋 1 2𝜋 𝑚 𝑇= = = 2𝜋√ 𝑓 𝜔0 𝑘 𝑓=



Sehingga 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑅 = √1 + (−)2 = √2 8 2𝜋 𝜋 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑇 = 4



𝐹𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑓 =



tan 𝜃 = −1 (𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 𝐼𝑉) 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑓𝑎𝑠𝑎 𝜃 =



7𝜋 4



𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(8𝑡 − 𝜃) 𝑦(𝑡) = √2 cos (8𝑡 −



2018



7



7𝜋 ) 4



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Gambar ilustrasi sudut fasa pada contoh kasus



4



Gambar Harmonik benda pada pegas 𝑅 = √2; 𝑓 = 𝜋 ; 𝜃 =



7𝜋 4



Latihan soal :



Entukan persamaan gerak harmonic benda pada model persamaan diferensial berikut! Tentukan aplitudo, frekuensi, periode dan sudut fasa dari persamaan gerak harmoniknya! 1. 𝑦" + 𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 𝑦′(0) = 0 2. 𝑦" + 𝑦 = 0 𝑦(0) = 0 𝑦′(0) = 1 3. 𝑦" + 𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 𝑦′(0) = 1 4. 𝑦" + 9𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 𝑦′(0) = 0 5. 𝑦" + 4𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 𝑦′(0) = −2



2018



8



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



II.



Sistem Gerak Bebas Teredam Model sistem gerak benda bebas teredam : 𝑚.



𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑑. + 𝑘𝑦 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡



Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD diatas. Untuk mengilustrasikan gerak benda pada sistem pegas bebas teredam akan diuraikan pada 3 kasus, yaitu sistem teredam kurang (underdumped), sistem teredam kritis (critically damped), dan sistem teredam lebih (overdamped), dimana masingmasingditentukan dari nilai diskriminasi 𝑑2 − 4𝑚𝑘 Persamaan karakteristik dari model sistem gerak benda bebas teredam adalah: 𝑚 𝑟2 + 𝑑 𝑟 + 𝑘 = 0 Sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya : 𝑟12 =



−𝑑 ± √𝑑2 − 4𝑚𝑘 2𝑚



1. Sistem Teredam kurang (underdamed), (𝒅𝟐 − 𝟒𝒎𝒌 < 𝟎) Solusi persamaan gerak benda pada sistem teredam kurang (underdamped) didapatkan jika 𝑑2 − 4𝑚𝑘 < 0, dimana akar-akar persamaan karakteristik adalah 𝑟12 =



−𝑑 ± √𝑑2 − 4𝑚𝑘 2𝑚



Persamaan solusinya adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽) + 𝑐2 𝑒 (𝛼−𝑖𝛽) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝛼 = − 𝑦=𝑒



(−



𝑑 √4𝑚𝑘 − 𝑑2 ;𝛽 = 2𝑚 2𝑚



𝑑 )𝑡 2𝑚 (𝐴 cos 𝛽𝑡



+ 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑡)



Bentuk satu sinus/cosinus persamaan diatas adalah: 𝑦 = 𝑅𝑒



𝑑 (− ) 2𝑚 cos(𝛽𝑡



− 𝜃)



𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2 tan 𝜃 =



2018



9



𝐵 𝐴



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Gambar Osilasi Gerak benda bebas teredam kurang Faktor cosinus cos(𝛽𝑡 − 𝜃) menyebabkan osilasi bernilai antara +1 dan -1. Periode osilasi jika dilihat pada gambar bukan periode asli atau sering disebut sebagai perioda bayangan (quasi-period) atau perioda teredam (damped-period), didefinisikan sebagai : 𝑇𝑑 =



2𝜋 2𝜋 4𝜋𝑚 = = 2 𝛽 √4𝑚𝑘 − 𝑑 √4𝑚𝑘 − 𝑑2 2𝑚



Frekuensi dinyatakan sebagai frekuensi bayangan (quasi -frequency) atau teredam (damped-frequency), yaitu 𝑇𝑑 =



𝛽 2𝜋



𝑑



, sedangkan 𝑅𝑒 (−2𝑚)𝑡 disebut



amplitude teredam (damped amplitude) 2. Sistem Teredam Kritis (Criticaaly damped), (𝑑2 = 4𝑚𝑘) Pada sistem teredam kritis 𝑑 2 = 4𝑚𝑘 sehingga akar-akar persamaan karakteristik sama yaitu 𝑟12 =



−𝑑 2𝑚



Persamaan solusinya −𝑑



𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 𝑡)𝑒 (2𝑚)𝑡



2018



10



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Gambar Gerak benda pada sistem Gerak Bebas teredam kritis (c1, c2 positif)



Gambar gerak benda pada sistem gerak bebas teredam kritis (c2 negatif) 3. Sistem Teredam Lebih (overdamped)( 𝒅𝟐 > 𝟒𝒎𝒌) Pada sistem teredam lebih 𝑑 2 > 4𝑚𝑘 sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : 𝑟12 =



−𝑑 ± √𝑑2 − 4𝑚𝑘 2𝑚



Solusi umum persamaan gerak pada sistem teredam lebih adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑟1 𝑡 + 𝑐2 𝑒 𝑟2 𝑡 Pada kenyataannya nlai 𝑟12 < 0 sehingga untuk 𝑡 → ∞ maka 𝑦(𝑡) = 0. Jika 𝑦(𝑡) kita turunkan, yaitu 𝑦 ′(𝑡) = 𝑐1 𝑟1 𝑒 𝑟1 𝑡 + 𝑐2 𝑟2 𝑒 𝑟2 𝑡 𝑦 ′(𝑡) = 𝑒 𝑟1 𝑡 (𝑐1 𝑟1 + 𝑐2 𝑟2 𝑒 (𝑟2−𝑟1) 𝑡 ) Maka 𝑦 ′(𝑡) = 0 hanya jika (𝑐1 𝑟1 + 𝑐2 𝑟2 𝑒 (𝑟2−𝑟1) 𝑡 ) = 0 Jadi secara umum gerak benda pada pegas pada sistem teredam lebih mempunyai prilaku yang sama dengan sistem teredam kritis, yaitu 𝑡 → ∞ maka



2018



11



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



𝑦(𝑡) = 0 dan hanya memiliki satu titik puncak maksimum dan minimum pada 𝑡>0



Contoh kasus pengaruh peredaman Sebuah sistem gerak benda pada pegas dengan peredam dimodelkan oleh persamaan berikut: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑑. +𝑦 =0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦(0) = 1; 𝑦 ′ (0) = 0 Jika 𝑑 = 1, 2 𝑑𝑎𝑛 4 , tentukan persamaan gerak benda! Bagaimana pengaruh perubahan nilai konstanta peredaman d pada jarak benda?



Penyelesaian: Persamaan karakteristik dari model persamaan sistem adalah: 𝑟 2 + 𝑑. 𝑟 + 1 = 0 Akar-akar persamaan karakteristik 𝑟12 =



−𝑑 ± √𝑑2 − 4 2



a. Jika 𝒅 = 𝟏, 𝒅𝟐 − 𝟒 < 𝟎 disebut sistem teredam kurang Akar-akar persamaan karakteristiknya 1 √3 𝑟12 = − ± 𝑖 2 2 Solusi umum persamaan gerak benda: 𝑦=𝑒 𝑦=𝑒



(−



𝑑 )𝑡 2𝑚 (𝐴 cos 𝛽𝑡



1 √3 (− )𝑡 2 (𝐴 cos 𝑡



2



+ 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑡)



+ 𝐵𝑠𝑖𝑛



√3 𝑡) 2



+ 𝐵𝑠𝑖𝑛



√3 𝑡) 2



Substitusi 𝑦(0) = 1, didapatkan : 𝑦=𝑒



1 √3 (− )𝑡 2 (𝐴 cos 𝑡



2



1 = 𝐴 cos 0 → 𝐴 = 1 Substitusi 𝑦′(0) = 0



2018



12



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



1 (−1)𝑡 √3 √3 𝑦 ′ = − 𝑒 2 (𝐴 cos 𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑡) + 2 2 2 =𝑒



1 √3 √3 (− )𝑡 2 (−𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑡



2



2



+𝐵



√3 √3 cos 𝑡) 2 2



1 √3 0 = − (𝐴 cos 0) + (𝐵 cos 0) 2 2 1 √3 0 = − (1) + (𝐵 ) 2 2 𝐵=



1 √3



Maka solusi khusus gerak benda sistem teredam kurang adalah:



𝑦=𝑒



1 √3 (− )𝑡 2 (cos 𝑡



2



+



1 √3



𝑠𝑖𝑛



√3 𝑡) 2



Bentuk satu sinus/cosinus 𝑦=



2 √3



𝑒



1 √3 (− )𝑡 2 (cos 𝑡



2



𝜋 − ) 6



b. Jika 𝒅 = 𝟐, 𝒅𝟐 − 𝟒 = 𝟎 disebut sistem teredam kritis Akar-akar persamaan karakteristiknya 𝑟12 = −1 Solusi umum persamaan gerak benda: 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 𝑡)𝑒 −𝑡 Substitusi 𝑦(0) = 1, didapatkan : 𝑦(0) = (𝑐1 + 𝑐2 . 0)𝑒 −0 → 𝑐1 = 1 Substitusi 𝑦′(0) = 0, didapatkan : 𝑦 ′(0) = 𝑐2 𝑒 −0 − (𝑐1 + 𝑐2 . 0)𝑒 −0 0 = 𝑐2 − 𝑐1 → 𝑐2 = 1 Maka solusi khusus gerak benda sistem teredam kritis adalah 𝑦 = (1 + 𝑡)𝑒 −𝑡 c. Jika 𝒅 = 𝟒, 𝒅𝟐 − 𝟒 > 𝟎 disebut sistem teredam lebih Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah 𝑟12 =



−𝑑 ± √𝑑2 − 4 2



𝑟12 = −2 ± √3 2018



13



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Solusi umum persamaan gerak benda: 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒 𝑟1 𝑡 + 𝑐2 𝑒 𝑟2 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒 (−2+√3)𝑡 + 𝑐2 𝑒 (−2−√3)𝑡 Substitusi 𝑦(0) = 1 didapatkan : 1 = 𝑐1 𝑒 (−2+√3)0 + 𝑐2 𝑒 (−2−√3)0 1 = 𝑐1 + 𝑐2 Substitusi 𝑦′(0) = 0 didapatkan : 0 = 𝑐1 𝑟1 𝑒 𝑟1 0 + 𝑐2 𝑟2 𝑒 𝑟2 0 0 = 𝑐1 (−2 + √3) + 𝑐2 (−2 − √3) Dari dua persamaan konstanta diatas yaitu: 𝑐1 + 𝑐2 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑐1 (−2 + √3) + 𝑐2 (−2 − √3) = 0 Diperoleh: 𝑐1 = 𝑐1 =



2 + √3 2√3



−2 + √3 2√3



Maka solusi khusus gerak benda sistem teredam lebih adalah : 𝑦(𝑡) =



2 + √3 2√3



𝑒 (−2+√3)𝑡 +



−2 + √3 2√3



𝑒 (−2−√3)𝑡



Pengaruh konstanta redaman d pada sistem gerak benda dijelaskan sebagai berikut: 



𝑑 = 1 maka gerak benda 𝑦(𝑡) → 0 menurut fungsi 𝑒 −0,5𝑡







𝑑 = 2 maka gerak benda 𝑦(𝑡) → 0 menurut fungsi 𝑒 −𝑡







𝑑 = 4 maka gerak benda 𝑦(𝑡) → 0 menurut fungsi 𝑒 (−2−√3)𝑡 = 𝑒 −0,3𝑡



Disimpulkan bahwa pada 𝑑 = 2 (teredam kritis) gerak benda paling cepat ke posisi setimbang 𝑦(𝑡) = 0, sedang paling lama pada 𝑑 = 4 (teredam lebih) hal ini juga dapat dilihat pada gambar berikut:



2018



14



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Gambar gerak benda pada variasi nilai konstanta redaman (d)



Latihan soal : Tentukan komponen amplitude, frekuensi dan sudut fasa pada model sistem gerak benda berikut! 1. 𝑦(𝑡) = 4𝑒 −𝑡 cos (2𝑡 − 𝜋) 𝜋



2. 𝑦(𝑡) = 3𝑒 −2𝑡 cos (√3𝑡 − 3 ) 𝜋



3. 𝑦(𝑡) = 5𝑒 −2𝑡 cos (𝑡 − 3 ) 4. 𝑦(𝑡) = 3𝑒 −2𝑡 cos (5𝑡 − 𝜋) Tentukan apakah gerak benda berikut diklasipikasikan dalam sistem teredam kurang (underdampes), teredam kritis (critically damped) atau teredam lebih (over damped) 5. 𝑦 " + 4𝑦 = 0 6. 𝑦 " − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0 7. 𝑦 " + 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 0 8. 𝑦 " + 2𝑑𝑦 ′ + 𝑑2 𝑦 = 0; 𝑑 > 0 9. 𝑦 " + 2𝑑𝑦 ′ + 𝑘 2 𝑦 = 0; 𝑑 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑘 2 = 𝑑2 10. 𝑦" + 2𝑑𝑦′ + 𝑘𝑦 = 0; 𝑑^2 > 𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑘 < 0



.



2018



15



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id



Daftar Pustaka Purcell, J Edwin (1987), Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1. Gramedia Jakarta Stroud, K.A (2002), Matematika Teknik. Gramedia Jakarta Schaum’s( 2004), Kalkulus, Gramedia Jakarta Schaum’s( 2004), Persamaan Diferensial, Gramedia Jakarta -----, (2011), Bahan Ajar Matematika 1, Universitas Brawijaya



2018



16



Matematika 1 UMB



Pusat Bahan Ajar dan eLearning



Masnia, M.Pd



http://www.mercubuana.ac.id