Modul Matematika - Integral Rangkap Tiga [PDF]

Citation preview

Matematika Dasar



INTEGRAL RANGKAP TIGA Misal diberikan fungsi tiga peubah, w = f ( x,y,z ). Maka untuk menentukan integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap suatu balok, B dilakukan sebagai berikut. bagi balok, B menjadi sejumlah n sub balok, Bi ; i = 1,2,…,n. Didapatkan volume sub balok ∆Vi = ∆xi ∆yi ∆zi , sehingga volume balok, B yaitu : V=



n



∑



i =1



∆Vi



Integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap B didefinisikan sebagai berikut:



∫∫∫



f ( x , y , z ) dV = lim



n



∑ f (xi , yi , zi )



n→∞ i=1



B



∆Vi



Syarat yang harus dipenuhi untuk integral rangkap tiga di atas adalah w = f ( x,y,z ) kontinu pada B. Misal G merupakan benda ruang sembarang. Maka untuk menghitung integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dilakukan dengan cara mendefinsikan fungsi g ( x,y,z ) berikut :  f (x , y , z) ; (x , y , z) ∈ G g (x , y , z) =  0 ; ( x , y , z ) ∈ B − G B merupakan balok yang melingkupi benda ruang, G. Sehingga didapatkan :



∫∫∫ G



f ( x , y , z ) dV =



∫∫∫ g ( x , y , z ) dV B



Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh Gz - batas bawah dan batas atas dari Gz berturut-turut z1 = u( x , y ) dan z 2 = v( x , y) atau



{



}



dalam notasi himpunan, Gz = z u( x , y ) ≤ z ≤ v( x , y ) - dan Gxy



yang merupakan



proyeksi dari G pada bidang XOY. Sehingga bentuk integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dituliskan :  v ( x ,y )   ∫∫∫ f ( x , y , z ) dV = ∫∫  ∫ f (x , y , z ) dz  dA G Gxy u ( x, y) 



Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung



Matematika Dasar



Bentuk dari Gxy dapat dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Gxy =



{( x , y) a ≤ x ≤ b, h( x ) ≤ y ≤ g( x )}



 v( x, y )  b g( x) v( x, y)   ∫∫  ∫ f ( x, y , z) dz  dA = ∫ ∫ ∫ f ( x , y , z ) dz dy dx Gxy u ( x , y) a h( x) u ( x, y)  2. Gxy =



{( x , y) h ( y ) ≤ x ≤ g (x ), c ≤ y ≤ d }



 v( x, y )  d g ( y) v( x, y)   ∫∫  ∫ f ( x , y , z ) dz  dA = ∫ ∫ ∫ f ( x, y , z) dz dx dy Gxy u ( x , y) c h ( y ) u ( x, y)  Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G, sehingga selain merupakan gabungan dari Gz dan Gxy . Namun dapat juga G dipandang sebagai gabungan antara Gx dan Gyz atau Gy dan Gxz . Sedangkan Gyz dan Gxz berturutturut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ.



Contoh 7 2 z



x/z



0 1



0



Hitung integral ∫ ∫



∫ 2xyz dy dx dz



Jawab : 2 z



∫ ∫



0 1



 2 z  x / z      dz = 2 2 xyz dy dx dz = z x 2 y dy dx ∫ ∫ ∫  ∫   3  0 0  1  0 



x/z



Contoh 8 Hitung integral ∫∫∫ 2x dV bila G



 3  a. G = ( x , y , z) 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ x  2   b. G merupakan daerah di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y2 + z2 = 1, bidang x = 1 dan x = 4.



Jawab : Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung



Matematika Dasar



4  y  3x /2   65    dx  dy = 2 x dz dx dy = 2 x dz ∫ ∫ ∫ ∫  4  0   G 0 0 0 0  0   b. G dituliskan, G = ( x , y , z ) 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 1 − z 2 , 0 ≤ z ≤ 1 .   1  1− z 2   4 1 1− z 2 4    Jadi ∫∫∫ 2 x dV = ∫ ∫ ∫ 2 x dy dz dx = ∫ 2 x ∫  ∫ dy  dz dx = −4π .  G 1 0 0 1 0 0     4



y 3x /2



a. ∫∫∫ 2 x dV = ∫ ∫



Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas bangun ruang G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1.



Contoh 9 Hitung volume bangun ruang, dan y + 4z = 8.



G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x2



Jawab :  8− y G dituliskan , G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 x 2 , 0 ≤ z ≤ . 4    2 2 x2 ( 8 − y) / 4 2  2 x 2  (8 − y) / 4  224    Volume, V = ∫∫∫ dV = ∫ ∫ ∫ dz dy dx = ∫  ∫  ∫ dz  dy  dx = 30 G 0 0 0 0    0  0 Soal Latihan ( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut. 5 3x x+ 2



1.



∫ ∫ ∫



−2 0 π



2.



4x dz dy dx



y



2 z y



∫ ∫ ∫ sin( x + y + z ) dx dy dz 0 00 2 4 3y + x



3.



∫ ∫



0 −1



4.



∫



dz dy dx



0



4 x+1



2y



− 2 x−1



0



∫ ∫



∫



x



3xyz dz dy dx



Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung



Matematika Dasar



π



5.



2



∫



0



2 yz



∫



∫



0 sin z



0



 x sin  dx dy dz  y



( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral



∫∫∫ xyz dV



bila :



G



1   6. G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ (12 − 3x − 2 y ) 6     7. G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 4 − y 2 , 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3   8. G = 9. G =



{(x , y, z)



}



0 ≤ x ≤ 3z , 0 ≤ y ≤ 4 − x − 2 z , 0 ≤ z ≤ 2



{(x, y, z) 0 ≤ x ≤ y2 ,0 ≤ y ≤



}



z ,0 ≤ z ≤ 1



( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : 2



10. y = 2x , y + 4z = 8 dan terletak di oktan pertama. 2



2



11. y + 4z = 4 , y = x , y = 0 dan terletak di oktan pertama 2 2 12. x =y , z = y dan y = 1 2



13. y = x + 2 , y = 4, z = 0 dan 3y - 4z = 0



Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung