Parabola [PDF]

Citation preview

PARABOLA Definisi



Parabola adalah himpunan titik-titik yang jaraknya terhadap suatu titik F sebarang dan suatu garis lurus sebarang (sejajar sumbu-x atau sumbu-y) adalah sama. Garis L disebut directrix dan titik F disebut fokus. Atribut-atribut yang dimiliki oleh suatu parabola :



1.



Titik fokus.



2.



Garis directrix.



3.



Parameter fokus(focal parameter).



4.



Titik vertex.



5.



Latus Rectum.



Ciri-ciri suatu parabola :



1.



Tiap titik pada parabola berjarak sama terhadap titik fokus dan garis directrix.



2.



Persamaannya berbentuk persamaan kuadrat.



3.



Puncak berada di vertex.



4.



Jarak titik fokus - directrix = 2a.



Parabola dengan Puncak di Titik (0,0) 1. Parabola dengan directrix sejajar sumbu-y.



Parabola berpuncak di titik (0,0) dengan persamaan y2 =4px Parabola yang memiliki titik fokus F(p,0) dan garis directrix (-p,0) memiliki persamaan : y2 = 4px Perhatikan gambar di atas, sesuai dengan definisi parabola, jarak PF = PM. Dengan demikian :



atau y2 = 4px



2. Parabola dengan directrix sejajar sumbu-x. Bila parabola memiliki fokus di titik (0,p) dan directrix (dengan persamaan y = -p) maka persamaan parabolanya : x2 = 4py Contoh-contoh :



Parabola berpuncak di titik (0,0) dengan persamaan x2 =4py



Parabola dengan F (0,3) dan directrix ( y= -3 ) persamaannya adalah x2 = 12y



Parabola dengan Puncak di Titik (h,k) 1. Parabola dengan directrix sejajar sumbu-y.



Parabola berpuncak di titik (h,k) dengan persamaan (y-x)2 =4p(x-h) Parabola yang memiliki titik vertex di (h,k) , fokus F(h+p,k) dan garis directrix (x=h-p)memiliki persamaan : (y-k)2 = 4p(x-h)



Contoh-contoh :



Parabola dengan V(1,3), F (4,3) dan directrix ( x= -2 ) persamaannya adalah (y-3)2 = 12 (x-1)



2. Parabola dengan directrix sejajar sumbu-x.



Parabola berpuncak di titik (h,k) dengan persamaan (x-h)2 =4p(y-k) Parabola yang memiliki titik vertex di (h,k) , fokus F(h,,k+p) dan garis directrix (y=k-p)memiliki persamaan : (x-h)2 = 4p(y-k)



Contoh-contoh :



Parabola dengan V(1,1), F (1,4) dan directrix ( y= -2 ) persamaannya adalah (x-1)2 = 12 (y-1)



Rumus Persamaan Parabola a. Persamaan para bola dengan puncak (0,0) Persamaan parabola dengan titik fokus F(p,0) persamaan garis direktriks x = -p serta titik puncak (0,0) adalah : y² = -4px



Jika titik fokus terletak disebelah kiri garis direktris y² = 4px Jika titik fokus terletak pada sumbu y dan berada diatas garis direktris x² = 4py Jika titik fokus terletak pada sumbu y dan berada dibawah garis direktris x² = -4py b. Persamaan para bola dengan puncak (a,b) Persamaan parabola dengan puncak (a,b) adalah : ( y – b )² = 4p(x – a ) Dengan Koordinat fokus F(a+p,b) Persamaan direktris x = - p + a Persamaan direktris x = p + a, maka persamaan parabolanya adalah : ( y – b )² = - 4 (x – a )



Persamaan sumbu simetri x = 0, maka persamaan parabolanya adalah : (x – a )² = 4p ( y – b ) Persamaan garis direktris y = p + b, maka persamaan parabolanya adalah : (x – a)² = - 4p (y – b) Catatan : 1. Dalam parabola yang penting diperhatikan adalah titik puncak dan nilai p. dimana nilai p adalah jarak fokus dari nilai puncak atau jarak titik puncak dengan garis direktris. 2. Untuk parabola dengan persamaan y² = 4px : · Apabila p > 0 grafik ( parabola ) terbuka kekanan · Apabila p < 0 grafik ( parabola ) terbuka kekiri 3. Untuk parabola dengan persamaan y² = 4py · Apabila p > 0 grafik ( parabola ) terbuka keatas · Apabila p < 0 grafik ( parabola ) terbuka kebawah



CONTOH SOAL 1. Persamaan parabola dengan puncak (2, −3) dan fokus (0, −3) adalah …. Pembahasan : ( y−b)2 =−4 p( x−2) Y



2



( y +3) =−8( x−2)



X



2



y + 6 y+ 9=−8 x +16 y 2+ 6 y+ 8 x−7=0 (2,-3)



2. Persamaan parabola dengan puncak (−2, 3), sumbu simetri sejajar sumbu X dan melalui (2, 7) adalah …. Pembahasan : 2 Persamaan parabola : ( y−3) =4 p(x +2) melalui (2, 7)



Y



2



maka (7−3) =4 p( 2+ 2) 16=16 p



(2,7)



p=1 (-2,3) X



∴Persamaan parabola : ( y−3)2=4( x +2)



2 3. Persamaan garis singgung pada parabola ( y +4 ) =12(x−1) yang tegak lurus



garis 2 x −6 y+ 5=0



adalah ….



Pembahasan : m1 . m2=−1 1 . m =−1 3 2 m2=−3 ( y +4 )2=12( x−1) 4 p=12 p=3



Persamaan garis singgung dengan gradien = −3 adalah 3 y +4=−3 ( x−1 ) + −3 y=−3 x+ 2−4



y +3 x+2=0 4. Persamaan garis singgung pada parabola y2= 4x melalui titik (−1, 0) adalah…. Pembahasan : p=1 Persamaan garis singgung dengan gradien m melalui (−1, 0) adalah y−0=m( x +1)  y=mx +m Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola y2= 4x adalah 1 y=mx + m mx+ m=mx+



1 2 m m = 1 m = ±1



Jadi persamaan garissinggungnya adalah : y=x +1 atau



y=−x – 1



5. Carilah persamaan titik singgung dengan gradient 2, terhadap parabola Pembahasan:



y 2=8 x



2



y =8 x y=mx +



p m



2 2



¿2x+



y=2 x+ 1



Titik singgungnya y 2=8 x



( 2 x +1 )2=8 x 2



4 x +4 x+1=8 x 4 x 2−4 x +1=0



( 2 x−1 )2=0 x=0 , x= x=



1 2



1 y=2 x+ 1 2  y=2



( 12 )+1



y=2



Jadi titik singgung parabola



1 y 2=8 x adalah ( , 2) 2