Pembalikan Matriks [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887. Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks..



Pembalikan Matriks 1



BAB II PEMBAHASAN



A. Pembalikan Matriks ordo 2x2 jika A dapat dibalik, maka inversnya dapat dinyatakan dengan simbol 𝐴−1 . 1 Sehingga 𝐴. 𝐴−1 = I, atau 𝐴. 𝐼 = 𝐴−1 Dengan Matriks indentitas [ 0 𝑎 𝑏 𝐴=[ ] , jika 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, maka 𝑐 𝑑 𝑑 −1



𝐴



𝑑 = (𝑎 .𝑑)−(𝑏 .𝑐) [ −𝑐 1



−𝑏 ] = [ 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑐 𝑎 −



𝑎𝑑−𝑏𝑐



0 ] 1



𝑏



− 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑎



]



𝑎𝑑−𝑏𝑐



Contoh 1: 1 Tentukan matriks balikan (invers) dari matriks 𝐴 = [ 1



2 ] 3



Penyelesaian: 𝐴−1 =



1 𝑑 [ (𝑎 . 𝑑) − (𝑏 . 𝑐) −𝑐



𝐴−1 =



1 3 −2 [ ] (1. 3) − (2 . 1) −1 1



−𝑏 ] 𝑎



1 3 −2 [ ] 3 − 2 −1 1 3 −2 𝐴−1 = [ ] −1 1 1 2 3 −2 Matriks balikan dari matriks 𝐴 = [ ] adalah 𝐴−1 = [ ] 1 3 −1 1 𝐴−1 =



Untuk menentukan balikan matriks dengan metode eliminasi GaussJordan, dibutuhkan sebuah matrik identitas. Maka akan diperkenalkan terlebih dahulu bagaimana bentuk matriks identitas. 𝐴 . 𝐴−1 = 𝐼 1 [ 1 [



2 3 −2 ] .[ ]=𝐼 3 −1 1



(1. 3) + (2 . (−1))



(1 . (−2)) + (2 . 1) ]=𝐼 (1 . 3) + (3 . (− 1)) (1 . (−2)) + (3 . 1) [



3 + (−2) −2 + 2 ]=𝐼 3 + (−3) −2 + 3 Pembalikan Matriks 2



[



Matriks 𝐼 = [



1 0 ]=𝐼 0 1



1 0 ] adalah matriks satuan atau matriks identitas. 0 1



B. Pembalikan Matriks ordo 3x3 Menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan Contoh 2: Carilah invers dari 1 𝐴 = [2 1



2 3 5 3] 0 8



Kita ingin mereduksi 𝐴 pada matriks satuan dengan menggunakan operasioperasi baris dan menerapkan operasi-operasi ini secara serempak pada 𝐼 untuk menghasilkan 𝐴−1 . Maka matriks akhir akan mempunyai bentuk [ (𝐼|𝐴−1 )] 1 (2 1 1 2 3 1 (0 1 −3 |−2 0 −2 5 −1



0 0 1 0) 0 1



1 2 (0 1 0 0



3 1 0 0 −3 |−2 1 0) −1 −5 2 1



1 2 (0 1 0 0



3 1 0 0 −3 |−2 1 0) −1 5 −2 1



1 2 (0 1 0 0



0 14 0 | 13 1 5



6 3 −5 −3) −2 −1



2 3 1 0 0 5 3 | 0 1 0) 0 8 0 0 1



tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga



tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga



Kalikan baris ketiga dengan -1



tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama



Pembalikan Matriks 3



1 0 (0 1 0 0



0 −40 0 | 13 1 5



Jadi



16 9 −5 −3) −2 −1 −40 𝐴−1 = [ 13 5



Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama



16 9 −5 −3] −2 −1



Catatan: apabila matriks tidak dapat dibalik, maka pada suatu tahap dalam perhitungan tersebut baris bilangan nol akan timbul pada ruas kiri (diagonal bawah). Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa matriks yang diberikan tidak dapat dibalik dan perhitungannya dapat dihentikan.



Contoh 3 2 0 1 Tentukan matriks balikan dari matriks 𝐴 = [3 2 5] dengan menggunakan 1 −1 0 eliminasi Gauss-Jordan! Penyelesaian: Mulai dengan matriks lengkap ⌈𝐴, 𝐼⌉ 2 0 11 0 (3 2 5|0 1 1 −1 0 0 0



0 0) 1



Tukarkan baris (i) dengan baris (ii) kemudian bagi baris (i) sehingga a11 = 1 1 (2 1



0,67 1,67 0 0 1 |1 −1 0 0



0,33 0 0 0) 0 1



Eliminasi elemen-elemen pada kolom (j) di bawah diagonal 1 (0 0



0,67 1,67 0 0,33 0 −1,33 −2,33|1 −0,67 0) −1,67 −1,67 0 −0,33 1



Tukarkan baris (ii) dengan baris (iii) kemudian bagi baris (ii) sehingga a22 = 1 1 (0 0



0,67 1,67 0 0,23 0 1 1 |0 −0,20 −0,60) −1,33 −2,33 1 −0,67 0



Pembalikan Matriks 4



Eliminasi elemen-elemen pada kolom (jj) kecuali diagonal 1 (0 0



0 1 0 1 1 |0 0 −1 1



0,2 0,4 0,2 −0,6) −0,4 0,8



Kalikan baris (iii) dengan (-1) sehingga a33 = 1 1 0 (0 1 0 0



10 1|0 11



0,2 0,4 0,2 −0,6) 0,4 −0,8



Eliminasi elemen-elemen pada kolom (jjj) di atas diagonal 1 (0 0



0 0 1 −0,2 −0,4 1 0| 1 −0,2 −1,4) 0,8 0 1 −1 0,4



2 Matriks balikan dari matriks 𝐴 = [3 1



0 1 2 5] adalah −1 0



1 −0,2 −0,4 𝐴−1 = [ 1 −0,2 −1,4] −1 0,4 0,8



Pembalikan Matriks 5



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Invers matrik adalah sebuah matrik yang dibalik. Invers matrik merupakan kebalikan dari sebuah matriks dasar. Pembalikan matriks ordo 2𝑥2 menggunakan 1 𝑑 −𝑏 𝑎 𝑏 [ ] dimana matriks dasarnya adalah 𝐴 = [ ] (𝑎 .𝑑)−(𝑏 .𝑐) −𝑐 𝑎 𝑐 𝑑



rumus𝐴−1 =



Pembalikan matriks yang berordo lebih dari 2𝑥2 menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan dimana metode ini mereduksi matriks dasar menjadi matriks satuan atau matriks identitas. Matriks yang dapat dibalik adalah matriks yang berordo 𝑛 𝑥 𝑛 yaitu matriks dimana baris dan kolomnya berjumlah sama.



Pembalikan Matriks 6



DAFTAR PUSTAKA



Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga Susila, I. Nyoman. 1994. Dasar-Dasar Metode Numerik. Jakarta: Depdikbud.



Pembalikan Matriks 7