Pembuktian Rumus Kerucut [PDF]

Citation preview

Sama seperti pembuktian rumus volume bola, untuk membuktikan rumus volume kerucut bisa juga menggunakan cara induktif. Disini kita juga membuktikannya melalui peragaan dengan menakar menggunakan kerucut dan tabung pasangannya. Yang dimaksud dengan tabung pasangan disini adalah tabung yang luas alas dan tingginya samadengan kerucut. Perhatikan gambar di bawah ini:



Dari hasil penakaran yang telah dilakukan (boleh buktikan sendiri di rumah), ternyata isi tabung samadengan 3 kali isi kerucut. Itu berarti bahwa volume tabung samadengan 3 kali volume kerucut. Sehingga:



Pembuktian volume kerucut menggunakan integral Kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralaskan lingkaran dengan Rumus Volume Kerucut =



r2 t. Rumus volume ini kita buktikan melalui integral volume benda putar, dengan memandang garis linier dengan gradien 0, kemudian dengan memutar persamaan garis tersebut terhadap sumbu-x maka akan terbentuk kerucut dengan jari-jari r dan tinggi t. Bagaimana persamaan garis yang digunakan? Perhatikan gambar dibawah ini,



garis tersebut melalui titik (t, r) dengan gradien , maka dari persamaan garis umum (y – y1) = m(x – x1) diperoleh (y – r) = (x – t) atau y = x. Karena dibuthkan batas atas dan batas bawah, maka dari gambar terlihat jelas bahwa batas bawahnya adalah 0 dan batas atasnya adalah t. Sehingga diperoleh : y2 dx



Volume =



=



( x)2 dx



=



x2 dx



=



x3



t3 –



= [ =



r2 t



03]



Rumus luas permukaan kerucut Asal-usul rumus luas permukaan kerucut Perhatikan jaring-jaring kerucut berikut ini, yang merupakan hasil dari bangun kerucut yang dibelah!



Berdasarkan gambar jaring-jaring kerucut di atas, maka gambar tersebut terdiri atas; • juring lingkaran CDD’ yang merupakan selimut kerucut. • lingkaran dengan jari-jari r yang merupakan sisi alas kerucut. Pada Gambar tersebut di atas, terlihat bahwa panjang jari-jari juring lingkaran sama dengan s (garis pelukis kerucut). Adapun panjang busur DD’ sama dengan keliling alas kerucut, yaitu 2πr. Jadi, luas selimut kerucut sama dengan luas juring CDD’.



Jadi, luas selimut kerucut = πrs. Luas permukaan kerucut = luas selimut + luas alas = πrs + πr2 = πr (s + r) Dengan demikian, pada kerucut berlaku rumus sebagai berikut. Luas selimut kerucut = πrs Luas permukaan kerucut = πr (s + r)